专题09 立体几何与空间向量讲义 -2023届新高考1卷高考二轮复习 解答题篇（无答案）

专题09 运用空间向量研究立体几何问题
平行
垂直
角 异面直线角：平移 线面角：作平面垂线（由面面垂直得线面垂直） 二面角：作三垂线（由等体积法求垂线长）
题组一 平行关系的证明
类型一 线线平行证明线面平行
中位线法
1．已知四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，点E，F分别是，的中点．
求证： 平面．
平行四边形法
2．在四棱锥P-ABCD中，，，，点E在棱PD上，且．
求证：AE∥平面PBC；
类型二 线面平行证明线线平行
（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）如图，在四棱锥中，，，，△是边长为2的等边三角形，平面平面，为线段上一点.
设平面平面，证明：平面；
类型三 面面平行证明线面平行(双中点）
（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD．E，F，H分别是PA，PD，AB的中点，G为DF的中点．
证明：平面BEF；
题组二 垂直关系的证明
1、如图，已知三棱柱，平面平面，，，，分别是的中点．
证明：．
2．（浙江省绍兴市2021届高三下学期4月适应性考试数学试题）如图，在三棱柱中，.
证明：平面；
3．（浙江省绍兴市嵊州市2021届高三下学期5月高考适应性考试数学试题）已知平行六面体，底面是边长为2的菱形，且，．
证明：平面平面；
题组三 线面角、二面角的定义
（浙江省温州市高三下学期3月适应性测试）如图，在三棱锥中，，．
（1）证明：；
（2）有三个条件；
①；
②直线与平面所成的角为；
③二面角的余弦值为．
请你从中选择一个作为条件，求直线与平面所成的角的正弦值．
2．（2021·浙江高三月考）已知四边形，，，将沿翻折至.
（Ⅰ）若，求证：；
（Ⅱ）若二面角的余弦值为，求与面所成角的正弦值.
题组四 点到平面的距离
如图，在三棱锥中，是边长为4的正三角形， ，分别为的中点，且．求点到平面的距离．
题组五 线面角、二面角的几何求法
类型一 线面角几何求法——等体积法
（浙江省绍兴市上虞区2021届高三下学期第二次教学质量检测数学试题）已知三棱锥，是等腰直角三角形，是等边三角形，且，，.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值
类型二 二面角几何求法——垂面法
如图甲，△ABC是边长为6的等边三角形，E，D分别为AB、AC靠近B、C的三等分点，点G为BC边的中点．线段AG交线段ED于F点，将△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，连接AB、AC、AG形成如图乙所示的几何体．
(1)求证BC⊥平面AFG．
(2)求二面角B-AE-D的余弦值．
类型三 二面角几何求法——三垂线定理
如图， 和 所在平面互相垂直，且 ，，， 分
别为 ， 的中点．
（1） 求证：；
（2） 求二面角 的正弦值
题组六、探索性问题
1、（2021·山东滨州市·高三二模）如图，在四棱锥中，O是BD的中点，平面ABCD，，，.
（1）求证：平面平面；
（2）设，若二面角的余弦值为，求的值.
2、（2021·福建厦门双十中学高三其他模拟）已知四棱锥E—ABCD中，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥DC，AD＝DC＝2，AB＝4，△ADE为等边三角形，且平面ADE⊥平面ABCD．
（1）求证：AE⊥BD；
（2）是否存在一点F，满足 (0＜≤1)，且使平面ADF与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为．若存在，求出的值，否则请说明理由．
题组七、线面角、二面角的空间向量求法
类型一 线面角
1、（2021·山东聊城市·高三三模）如图，在平面四边形ABCD中，，，，以BD为折痕把折起，使点A到达点P的位置，且．
（1）证明：；
（2）若M为PB的中点，二面角的大小为60°，求直线PC与平面MCD所成角的正弦值．
2、（2021·山东泰安市·高三其他模拟）如图，圆柱的高为3，是圆柱的下底面圆的内接三角形，是上底面圆内的一条弦，均为圆柱的母线，且分别为的中点．
（1）求证：平面；
（2）若是等边三角形，求直线与平面所成角的正弦值．
类型二、面面角
1、（2021·河北邯郸市高三三模）在三棱柱中，底面，为正三角形，，是的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
2、（2021·山东泰安市·高三三模）已知三棱柱，，，，点为中点.
（1）试确定线段上一点，使平面；
（2）在（1）的条件下，若平面平面， ，求平面 与平面所成锐二面角的余弦值．
1、（2021·山东青岛市·高三二模）如图，在直三棱柱中，底面三角形为直角三角形，其中，，，，，分别为和的中点.
（1）求证：平面；
（2）当点在线段上移动时，求直线与平面所成角正弦的最大值.
2、（2021·长沙市·湖南师大附中高三二模）如图，在四棱锥中，，，，△是边长为2的等边三角形，平面平面，为线段上一点.
（1）设平面平面，证明：平面；
（2）是否存在这样点，使平面与平面所成角为，如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由.
3．（浙江省丽水、湖州、衢州三地市2021届高三下学期4月教学质量检测数学试题）已知三棱柱，是正三角形，四边形是菱形且，是的中点，.
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
4．如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面.
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角所成角的余弦值.
1、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
2、（2021年全国高考甲卷数学（理）试题）已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和的中点，D为棱上的点．
（1）证明：；
（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小
3、（2020全国Ⅰ理18）如图，为圆锥的顶点，是圆锥底面的圆心，为底面直径，．是底面的内接正三角形，为上一点，．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的余弦值．
4、（2020天津17）如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求二面角的正弦值；
（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．
5、（2020山东20）如图，四棱锥的底面为正方形，底面，设平面与平面的交线为．
（1）证明：平面；
（2）已知，为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值．
6、（2019 新课标Ⅰ，理18）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，，，分别是，，的中点．
（1）证明：平面；
（2）求二面角的正弦值．
7. （2022 全国甲卷理科）在四棱锥中，底面．
（1）证明：；
（2）求PD与平面所成的角的正弦值．
8、（2022 全国新高考1卷）．如图，直三棱柱 的体积为4， '的面积为
（1）求A到平面 的距离；
（2）设D为 的中点， 平面 平面 求二面角 的正弦值.
9．（2022 全国乙卷理科）如图，四面体中，，E为的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）设，点F在上，当的面积最小时，求与平面所成的角的正弦值．
10. （2022 全国新高考2卷）如图，是三棱锥高，，，E是的中点．
（1）证明：平面；
（2）若，，，求二面角的正弦值．