高中数学必修第一册人教A版《2.3二次函数与一元二次方程、不等式---第一课时》名师课件(共23张PPT)

(共23张PPT)
复习引入
在初中，我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式，发现了三者之间的内在联系，利用这种联系可以更好地解决相关问题，对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式，是否也有这样的联系呢？
人教A版同步教材名师课件
二次函数与一元二次方程、不等式
---第一课时
学习目标
学 习 目 标 核心素养
体会从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程 数学抽象
通过函数图象了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 直观想象
会解一元二次不等式. 数学运算
能够利用一元二次不等式解决一些实际问题. 数学建模
课程目标
1. 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系.
2. 使学生能够运用二次函数及其图像，性质解决实际问题．
3. 渗透数形结合思想，进一步培养学生综合解题能力。
数学学科素养
1.数学抽象：一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系；
2.逻辑推理：一元二次不等式恒成立问题；
3.数学运算：解一元二次不等式；
4.数据分析：一元二次不等式解决实际问题；
5.数学建模：运用数形结合的思想，逐步渗透一元二次函数与一元二次方程，一元二次不等式之间的联系.
学习目标
探究新知
问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉，若栅栏的长度是24 m，围成的矩形区域的面积要大于20 ，则这个矩形的边长为多少米？
设这个矩形的一条边长为，则另一条边长为.由题意，得 ，其中.
整理得 . ①
求得不等式①的解集，就得到了问题的答案.
一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式（quadric inequality in one unknown）.一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数， .
画出函数的图象，并根据图象回答：
(1).图象与轴交点的坐标为 ,该坐标与方程的解有什么关系： .
(2).当取 时， =0？
当取 时， >0？
当取 时， <0？
(2, 0)，(10, 0)
交点的横坐标即为方程的根
= 2 或 10
<2 或 >10
2 < <10
y
0
2
10
o
o
o
o
>0
>0
<0
探究新知
(3).由图象写出：
不等式>0的解集
为 .
不等式的解集为 .
{|<2 或 >10}
{| 2 < <10}
一元二次不等式的解集如表
△=b2-4
△> 0
△=0
△< 0
二次函数
(>0)的图象
方程 （>0）的根
（>0）的解集
（>0）的解集
有两个不等
实根 1≠ 2
有两个相
等实根根
=2 = -/2
无实根
﹛|<1或
或>2﹜
{|≠-/2}
R
{|1<<2}
Φ
Φ
0
1
0
1
2
0
探究新知
解一元二次不等式的方法步骤是：
（3）根据图象写出解集.
步骤：（1）化成标准形式 (>0)：
　　　 或 ax2+bx+c<0; 　
（2）求△，解方程，画图象；
方法：数形结合
探究新知
例1：解不等式:
∵ △=
方程＝0的两根为:
＝－3，或＝5
y
-3
5
0
x
∴ 不等式的解集为:{ ≤－3 或 ≥5}.
。
。
典例讲解
解析
方法归纳
(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零；
(2)计算对应方程的判别式；
(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根；
(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集．
解一元二次不等式的一般步骤
变式训练
1.解下列不等式：
(1)2x2－3x－2>0；(2)x2－3x＋5>0；(3)－4x2≥1－4x.
解：(1)因为Δ＝(－3)2－4×2×(－2)＝25>0，所以方程2x2－3x－2＝0的两根为－，2，再根据函数y＝2x2－3x－2的图象开口方向，所以原不等式的解集为.
(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y＝x2－3x＋5图象的开口方向，
所以原不等式的解集为R.
(3)原不等式可化为4x2－4x＋1≤0.因为Δ＝(－4)2－4×4×1＝0，方程4x2－4x＋1＝0的根为x＝，所以原不等式的解集是{x | x＝}.
例2. 已知一元二次不等式
的解集为{}, 求的值.
由题意知 ： 且方程 的根是－2、3 ， 代入方程可得：
则＝－2
解方程组得：
典例讲解
根据根与系数关系得：
解析
(1)给出一元二次不等式的解集，则可知二次项系数的符号和相应一元二次方程的两根．
(2)三个二次的关系体现了数形结合，以及函数与方程的思想方法．
方法归纳
2.若关于的不等式 的解集是,则____
变式训练
解：由题意知 ： 且方程 的根是， 代入方程可得：
则＝－14
解方程组得：
根据根与系数关系得：
例3.设函数，若对于一切实数，恒成立，求的取值范围.
典例讲解
要使，
则有：
⑴当=0时，化为-1<0，恒成立,符合题意；
⑵当≠0时，则有, 解得.
解析
方法归纳
1．不等式ax2＋bx＋c＞0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＞0；当a≠0时， 不等式ax2＋bx＋c＜0的解是全体实数(或恒成立)的条件是当a＝0时，b＝0，c＜0；当a≠0时，
2．解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
3.对一切实数，关于的不等式 恒成立，求实数的取值范围.
解：要使，
则有：
⑴当=0时，化为<0，解得,不合题意；
⑵当≠0时，则有, 解得.
变式训练
素养提炼
1．解一元二次不等式的常见方法
(1)图象法：由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系，可以得到解一元二次不等式的一般步骤：
①化不等式为标准形式：ax2＋bx＋c>0(a>0)，或ax2＋bx＋c<0(a>0)；
②求方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根，并画出对应函数y＝ax2＋bx＋c图象的简图；
③由图象得出不等式的解集．
(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解．
当m0，则可得x>n或x有口诀如下：大于取两边，小于取中间．
素养提炼
2．与不等式有关的恒成立问题的等价转化方式
(1)不等式ax2＋bx＋c>0的解是全体实数的条件是：
①当a＝0时，b＝0，c>0；
②当a≠0时，
(2)不等式ax2＋bx＋c<0的解是全体实数的条件是：
①当a＝0时，b＝0，c<0；
②当a≠0时，
对a是否为零要进行讨论．
当堂练习
1．不等式(3x－2)(2－x)≥0的解集是(　　)
A.　　　　　　B.∪[2，＋∞)
C. D.
解析：原不等式等价于(x－ )(x－2) ≤0，解得≤x≤2，故选A.
A
2．函数y＝的定义域为(　　)
A．[－7，1] B．(－7，1)
C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)
解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7B
当堂练习
3．已知方程ax2＋bx＋2＝0的两根为和2.
(1)求a，b的值．
(2)解不等式ax2＋bx－1>0.
解：(1)因为方程ax2＋bx＋2＝0的两根为和2，
由根与系数的关系，得解得a＝－2，b＝3.
(2)由(1)知，ax2＋bx－1>0变为－2x2＋3x－1>0，即2x2－3x＋1<0，解得0的解集为{归纳小结
⒉一元二次不等式的简单应用
⒈一元二次不等式的解法;
作 业
课本P53：练习：1
课本P58：综合运用：6