高中数学必修第一册人教A版（2019）2.3 《二次函数与一元二次方程、不等式》教学设计

《二次函数与一元二次方程、不等式》教学设计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.一元二次不等式 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 【考查内容】 1.从近几年高考命题来看,基本不等式是必考内容,单独考查的频率不高,时常作为已知条件的部分或者解题工具出现在其他考点的题目中 2.本节考查的重点是利用基本不等式求代数式的最值或证明不等式 【考查题型】 选择题、填空题
2.一元二次不等式的解法 数学运算 直观想象
3.一元二次不等式的应用 数学建模
一、本节内容分析
本节内容包括从函数观点看一元二次方程、从函数观点看一元二次不等式.通过本节的学习,学生能够感悟数学知识之间的关联,认识函数的重要性,体会数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想.
本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.一元二次不等式 2.一元二次不等式的解法 3.一元二次不等式的应用 直观想象 数学运算 数学建模 数学抽象 核心素养
二、学情整体分析
学生在初中就已经接触了不等式,并通过从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式,发现了三者之间的内在联系,有着良好的知识基础.同时学生的心智发育逐渐成熟,发散思维的习惯和方式已初步形成,具备了一定的数形结合思想,有着较好的观察与总结、类比、化归、探究的能力.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.一元二次不等式
2.一元二次不等式的解法
3.一元二次不等式的应用
【教学目标设计】
1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.
2.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系,体会数学的整体性.
3.能够借助二次函数,求解一元二次不等式,并利用一元二次不等式解决一些实际应用问题.
【教学策略设计】
本节内容涉及建立一元二次不等式模型的过程和通过函数图象探究一元二次不等式与相应函数、方程的联系,教学时,可以利用信息技术,动态呈现二次函数图象,让学生在直观的环境下轻松地学习,提高学生学习数学的兴趣,通过层层深入的讲解,让学生进一步加强求解一元二次不等式的运算能力.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
能够借助一元二次函数求解一元二次不等式.
难点:
理解三个“二次”之间的关系.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在初中,我们从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式,发现了三者之间的内在联系,利用这种联系可以更好地解决相关问题.对于二次函数、一元二次方程和一元二次不等式,是否也有这样的联系呢
【设计意图】
回顾从一次函数的角度看一元一次方程、一元一次不等式等知识,提出疑问,激发学习兴趣,引出课题.
教学精讲
探究1 一元二次不等式
师:先来看一个问题.
【情景设置】
探究一元二次不等式的概念
园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉,若栅栏的长度是,围成的矩形区域的面积要大于,则这个矩形的边长为多少米
【学生独立设未知数,并列出不等式,教师强调不要忘记自变量的取值范围】
生:通过列式,整理得,.
师:与一元一次不等式类比,这个不等式有什么特点
生:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2.
师:根据一元一次不等式的定义,能否给这不等式起个名字 并给出这类不等式的一般形式.
【学生思考、总结,教师补充】
【先学后教】
学生经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义,总结一元二次不等式的概念.
【要点知识】
一元二次不等式的概念
一般地,我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,一元二次不等式的一般形式是或,其中均为常数,.
【情境学习】
通过学生在初中学习函数的情境中,探究一元二次不等式的解法,提高学生合作、交流的能力和学习的探究精神.
探究2 一元二次不等式的解法
师:在初中,我们学习了从一次函数的观点看一元一次方程、一元一次不等式的思想方法.类似地,能否从二次函数的观点看一元二次不等式,进而得到一元二次不等式的求解方法呢
【学生思考、合作探究、大胆猜测、思考、类比,试探解决】
师:我们先考察一元二次不等式与一元二次方程之间的关系.
【教师用几何画板画出函数的图象,并在函数图象上任取一点,让点在抛物线上移动,让学生观察图象】
师:观察图象,随着点的移动,它的纵坐标在变化过程中有什么变化
生:当点移动到轴上时,它的纵坐标等于0.
当点移动到轴上方时,它的纵坐标大于0.
当点移动到轴下方时,它的纵坐标小于0.
师:当点的纵坐标为0时,如何求点的横坐标
【教师引导学生解方程,得出方程的根就是点的横坐标】
【观察记忆能力】
计算二次函数与相应的一元二次不等式的解集,体会函数在判断方程根的情况及求不等式解集中的作用,从而提升学生的观察记忆能力.
师:一元二次方程的实数根与二次函数有什么关系
【学生思考,并回答问题,教师引导学生把方程的解看成纵坐标为0的点的横坐标】
生:一元二次方程的两个实数根是2和10,从函数的角度看,就是二次函数图象上纵坐标为0的点的横坐标.
【引导学生得出这一结论可以推广到一般的二次函数】
师:对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点,二次函数的两个零点是2和10.
【要点知识】
二次函数的零点
二次函数的零点:一般地,对于二次函数,我们把使的实数叫做二次函数的零点.
【概括理解能力】
通过引导学生观察二次函数的图象,概括得出二次函数零点的概念,提升学生的概括理解能力.
师:二次函数的两个零点将轴分成三段,每一段(不包括零点)对应的函数图象有什么特点 函数值有什么特点
生:当或时,函数图象位于轴上方,此时,即;
生:当时,函数图象位于轴下方,此时,即.
师:从函数图象上能确定矩形的边长是多少米吗
生:解一元二次不等式的解集是,所以矩形的边长满足.
师:上述方法可以推广到求一般的一元二次不等式和的解集吗 对于一般的一元二次方程、一元二次不等式与相应的函数之间是否也具有类似的关系
【学生以组为单位进行讨论,教师巡视指导,然后全班展示各组结果,交流讨论】
【归纳总结】
二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
的图象
的根 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根
的解集 ,或 R
的解集
【少教精教】
通过问题串的形式,教师提问,学生回答,依据二次函数的零点分析、讨论二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应的关系,达到少教精教目标.
师:下面我们来求一下一元二次不等式的解集.
【典型例题】
解一元二次不等式(二次项系数是1)
例1 求不等式的解集.
【师生共同分析:方程的根是函数的零点,所以求的根,再根据函数图象得到的解集】
【以学定教】
对于二次项是1的一元二次不等式,可以让学生独立完成；关于二次项系数是负数的一元二次不等式,教师可以补充.
【典型例题】
解一元二次不等式(二次项系数不是1)
例2 求不等式的解集.
例3 求不等式的解集.
【学生独立完成例2,教师点评】
师:如何求二次项系数是负数(即)的一元二次不等式的解集 请用框图表示例3的求解过程.
【学生独立完成例3,教师给予肯定或补充】
【分析计算能力】
通过对例2,例3的不等式求解,学生掌握求解方法,巩固学科知识,提升分析计算能力.
师:你能用框图表示出一般一元二次不等式的求解过程吗
【归纳总结】
一元二次不等式求解框图表示形式
师:下面进行巩固练习.
【巩固练习】
解一元二次不等式
1.不等式的解集是______.
2.不等式的解集是________.
3.不等式的解集是_________.
【学生独立完成,教师点名学生讲解,并点评】
生:把原不等式转化为,解得.故解集为.
生:把原不等式转化为,因为,所以方程无实根.又因为二次函数的图象开口向上,所以原不等式的解集为.
生:原不等式等价于,且,解得或.故原不等式的解集为或
探究3 一元二次不等式的应用
【典型例题】
一元二次不等式的应用
例4 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线,这条流水线生产的摩托车数量x(单位:辆)与创造的价值y(单位:元)之间有如下的关系:,若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收60000元以上,则在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车
【学生独立完成,教师点评】
【典型例题】
一元二次不等式的应用
例5 某种汽车在水泥路面上的刹车距离(单位:)和汽车刹车前的车速单位:之间有如下关系:.在一次交通事故中,测得这种车的刹车距离大于,那么这辆汽车刹车前的车速为多少(精确到)
师:刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离,请同学们完成此题.
【学生独立完成,教师巡视,进行指导】
师:这节课我们借助二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系,求解一元二次不等式,你掌握了吗
【课堂小结】
二次函数与一元二次方程、不等式
【设计意图】
引导学生整理知识,使其体会通过解一元二次不等式的相关问题,提高观察记忆、分析计算、解决简单问题的能力,从而达到培养数学运算、直观想象、数学建模等核心素养的目标要求.
教学评价
通过本节课学习,学生应体会一元二次不等式的现实意义,借助二次函数图象,了解一元二次不等式与函数,方程的联系.
应用所学知识,完成下题:
已知关于实数的不等式的解集为,则的值为____.
解析:由题意可知是方程的两根,由根与系数的关系得
即.答案:-2.
【设计意图】
通过本题,使学生认真体会到一元二次不等式的解法与一元二次方程的根和二次函数的图象之间的联系,为掌握一元二次不等式的求解方法奠定基础,培养了学生的观察记忆能力、概括理解能力、分析计算能力、简单问题解决能力和数学运算、直观想象等核心素养.
【以学定教】
在理解一元二次不等式及相关概念的基础上,综合函数、方程、不等式的三个“二次”之间的关系,解决问题.
教学反思
本节课以具体的生活实例为背景并通过探究一元二次不等式的解法,解决实际问题,利用转化思想将实际问题转化为数学问题,将不等关系用不等式表示,建立一元二次不等式的数学模型,让学生体会数学在实际问题中的应用价值,感受不等式应用的广泛性和重要性,从而激发学习兴趣和自主动手解决实际问题的能力.
【以学论教】
根据学生对一元二次不等式的了解情况和课堂学生积极参与,教师启发、探究、互动的效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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