高中数学必修第一册人教A版2.3 《二次函数与一元二次方程、不等式》教学设计二

《二次函数与一元二次方程、不等式》教学设计
教学设计
活动1：你能用前面学过的知识解决如下问题吗？
问题 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24 ，围成的矩形区域的面积要大于20，则这个矩形的边长是多少米？
设计意图：通过问题的解决，复习前面的内容，由不等关系写不等式，提升学生数学建模素养，同时引出本节课要解决的一元二次不等式问题.
【师生活动】师：提出问题，引导学生分析回答.
生：自行分析，试探解决，根据教师的讲解，独立完成.
师：这个问题的关键在于“面积要大于20”.设一边长为，则
，其中，整理得，.
活动2：观察化简得到的不等式，我们以前见过这种形式的不等式吗？它应该如何命名？
设计意图：引导学生归纳定义，得到一元二次不等式的概念，让学生发表自己的见解，可培养学生的语言表达能力，提升学生数学抽象素养.而且，通过具体问题归纳不等式的名称，顺理成章，也便于学生理解记忆和对比.
【师生活动】师：根据学生的总结，板书本节课的课题.
生：类比以前所学内容，试探着给出名称，归纳定义.
师：归纳给出的定义后，引导学生回到原问题，使学生产生如何解决这样的不等式的疑问，进入下一环节.
活动3：解不等式.
设计意图：以解不等式来引起认知上的冲突，使学生产生想知道如何解决的念头，激发学生求知的欲望.
【师生活动】师：提出问题，让学生思考.
生：类比，尝试解决.
师：为了解决这一问题，我们先从和它有相同点的一元一次不等式的解决入手考虑，采用类比的方法，探究新问题的解决.
师：给出问题：（1）解方程；（2）画出函数的图象；（3）解不等式.
生：回忆，独立解决.
师：你能看出这三个题目之间的关系吗？相互交流一下，看看会得到什么结论.
生：交流、探讨、总结自己的观点.
师：一元一次方程的解就是相应一次函数的零点（图象与轴交点的横坐标）.
师：你能根据一次函数的图象直接看出相应一元一次不等式的解集吗？
生：猜想、归纳总结：不等式的解集为函数图象落在轴上方部分对应的横坐标.
师：那这两个结论能推广到一般的一元一次方程、一次函数、一元一次不等式吗？
生：思考、猜想.
师：这里教师要强调如下内容：（1）直线与轴的交点的横坐标是方程的解；（2）作出函数的图象，根据图象得出，当时，的解集为；当时，可化为来解，为下面一元二次不等式求解的推广做好准备.
活动4：探求解不等式的方法.
设计意图：前面我们发现一元一次方程、一元一次不等式与一次函数三者之间有着密切的联系，利用它们之间的这种联系（集中反映在相应一次函数的图象上），结合化归思想，类似地，我们可以将要求解的一元二次不等式与二次函数、一元二次方程联系起来，讨论找到其求解的方法，提升直观想象素养.
【师生活动】师：你能用上面的方法求解吗？试试看.
生：大胆猜测，思考、类比，试探解决.
师生：共同分析，寻找探求一元二次不等式的解法.
师：写出与相对应的方程和函数，方程是否有根？有根求根，作出函数的图象.
生：方程的根是，，并画出草图.
师：根据刚才一元一次不等式的求解思想，你能利用图象写出所求不等式的解集吗？
生：的解集是图象在轴下方所对应的点的横坐标的集合，即解集为.进而解决一开始提出的问题：当围成的矩形的一条边长满足
时，围成的矩形区域的面积要大于20.
师：不考虑现实意义，你能根据函数图象写出的解集吗？
生：的解集是图象在轴上方所对应的点的横坐标的集合，即解集为.
师：我们通过对应的二次函数的图象，不仅求得了的解集，还求出了的解集，可见，利用二次函数的图象来解一元二次不等式是个十分有效的方法.
生：通过教师的引导，产生疑问：对一般的一元二次不等式是不是也可以这样解决？
活动5：探求解不等式或的解法.
设计意图：由特殊到一般，培养学生的探索精神和化归思想，提升学生数学抽象素养.也为一元二次不等式的解决探求一般的适用广泛的方法，整个过程体现了数形结合的思想.
【师生活动】师：给出问题，引导学生思考，最后统一认识.
生：类比，反思、推广应用.
师生：统一认识，总结规律：先计算对应方程的判别式，判断相应方程是否有根，有就求出根；再作出对应的函数的图象；最后根据图象写出不等式的解集.
师：以开口向上的抛物线为例，分、、三种情况展示“三个二次”关系表的幻灯片，可挖空让学生补充结果.
活动6：完成教材例1、例2、例3，总结解题步骤.
设计意图：通过例题，使学生初步运用结论来解决具体的一元二次不等式的求解问题，加深对结论的理解，提升学生逻辑推理素养.
【师生活动】师：巡视指导、纠正错误，点评学生的成果，引导学生用框图表示求解过程.
生：自主完成、板演、总结解题步骤并形成框图.
例1（教材第52页例1）
解：对于方程，因为，所以它有两个实数根，解得，.
画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为.
例2（教材第52页例2）
解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得
.
画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为.
例3（教材第52页例3）
解：不等式可化为，因为.所以方程无实数根.
画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为.
活动7：利用一元二次不等式解决实际问题.
设计意图：学以致用，进一步巩固所学，提升学生数学建模素养.
师：分析题干，引导学生给出解答过程，并给出评价.
生：思考，用不等式表示出不等关系，尝试解答.
例4（教材第53页例4）
解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车，根据题意，得.
移项整理，得.
对于方程，，方程有两个实数根，.
画出二次函数的图象，结合图象得不等式
的解集为.从而原不等式的解集为.
因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得60 000元以上的收益.
例5（教材第54页例5）
解：根据题意，得.移项整理，得.
对于方程，，方程有两个实数根，
.
画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为
，从而原不等式的解集为.
因为车速，所以.而，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h.
活动8：通过这节课的学习，请学生从知识点、思想方法等方面谈谈收获.
设计意图：通过小结，使学生对所学内容有一个全面、系统的认识，让学生的学习更上一层楼.
师：对学生的回答进行点评，不足之处进行补充.
生：回顾、思考，发言、补充发言，形成体系.
板书设计
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式的概念 2.二次函数的零点 3.解题步骤：一化二判三求四解 4.三个“二次”之间的关系 例1 例2 例3 5.一元二次不等式的实际应用 例4 例5
教学研讨
二次函数的内容，初中阶段就已经进行了学习，但研究不够彻底，而高中对二次函数的研究有点“一带而过”的感觉，从而可能出现不少学生不太会画二次函数的图象.针对这个问题，结合学生的实际情况，可以看看有没有必要在学习新课之前进行一节二次函数的复习课，或者将本节内容划分为2课时.