高中数学必修第一册人教A版2.3 《二次函数与一元二次方程、不等式》教学设计一（表格式）

《二次函数与一元二次方程、不等式》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
提出问题 引入新知 园艺师打算在绿地上用栅栏围一个矩形区域种植花卉.若栅栏的长度是24，围成的矩形区域的面积要大于20，则这个矩形的边长为多少米？ 分析：设矩形的一条边长为，则另一条边长为. 由题意，得， 其中.整理得 ，. 师：引导学生完成教材第50页问题得到一元二次不等式模型，介绍一元二次不等式的概念. 可设置如下问题： （1）该式子是等式还是不等式？ （2）该式中含有几个未知数？ （3）未知数的最高次数是几次？ 生：思考问题，尝试列出问题中面积所满足的表达式，归纳、总结一元二次不等式的概念. 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式. 一般形式是或，其中，，均为常数，. 从实际情境中抽象出一元二次不等式模型，提升学生数学抽象素养，为下面引导学生通过类比探究一元二次不等式的解法做铺垫.
初步探究 类比方程的根与二次函数图象的关系，探求不等式的解集. 教师设置如下问题： 问题1：画出 的图象，并观察其零点（教材第50页已有定义）的位置. 问题2：零点两侧函数值的符号怎么样？ 问题3：能用这一方法求的解集吗？ 学生根据设置的问题，画出函数图象，发现零点为2和10，观察得出2与10之间的数对应的函数值小于0，从而得到不等式 的解集为. 借助具体二次函数图象的直观性，获得对一元二次不等式求解的感性认识，揭示二次函数、一元二次方程、不等式三者之间的关系，突破本节课的难点，提升学生直观想象素养.
深入探究 1.类比不等式的解题过程，求不等式或的解集，并给出一般规律. 2.一元二次方程 的根与二次函数 的图象以及不等式 的解集之间的关系. 师：引导学生分析、观察、归纳，探究结合图象得到一元二次不等式的解法.教师巡视，鼓励学生上讲台，利用多媒体演示自己的成果. 生：类比的解题过程，得到和的解法. 从上面的例子出发，综合学生的意见，可以归纳出确定一元二次不等式的解集关系要考虑以下两点： （1）抛物线与轴的相关位置的情况，也就是一元二次方程的根的情况； （2）抛物线的开口方向，也就是的符号. 师：演示几何画板制好的图象（开口向上的抛物线），上下拖动抛物线的最低点，观察的值以及抛物线与轴相关位置，引导学生得出一元二次不等式的解集应分，，三种情况讨论，并让学生得到教材第51页的表格. 生：小组讨论、交流、合作，小组代表发言、展示小组成果 （得到教材第51页表2.3-1二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系）. 完成由特殊到一般的抽象思维过程，最终形成结论，得到三个“二次”之间的关系，突破难点，提升学生数学抽象素养.
例题讲解 例1（教材第52页例1） 解：对于方程，因为，所以它有两个实数根. 解得，. 画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为. 例2（教材第52页例2） 解：对于方程，因为，所以它有两个相等的实数根，解得. 画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为. 例3（教材第52页例3） 解：不等式可化为. 因为，所以方程无实数根. 画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为. 因此，原不等式的解集为. 梳理一元二次不等式的求解过程： （1）将不等式化成的形式； （2）判断与0的关系； （3）求出相应方程的根； （4）根据函数图象写出不等式的解集. 教师巡视，学生自己动手求解，然后演示解题过程，学生之间点评，最后教师点评，并板书解题过程，重点强调解题步骤的规范性. 引导学生梳理一元二次不等式的求解过程：化不等式为标准形式——计算判别式的值并与0比较大小——根据判别式与0的大小关系确定方程根的个数，进一步推出不等式的解集. 学生通过探究会发现当二次项系数小于零时，可以先化为正再求解，而且这三道例题也分别体现了，，对不等式解集的影响，具有典型性、层次性和学生的可接受性. 通过例题，使学生初步运用结论来解决具体的一元二次不等式.利用对比加深印象，提高效果，进而总结出解不等式的步骤，提升逻辑推理、数学运算等素养.
应用举例 例4（教材第53页例4） 解：设这家工厂在一个星期内大约应该利用这条流水线生产辆摩托车，根据题意，得. 移项整理，得. 对于方程， ，方程有两个实数根， . 画出二次函数的图象，结合图象得不等式 的解集为.从而原不等式的解集为. 因为只能取整数值，所以当这条流水线在一周内生产的摩托车数量在51～59辆时，这家工厂能够获得60000元以上的收益. 例5（教材第54页例5） 解：根据题意，得. 移项整理，得. 对于方程，，方程有两个实数根， . 画出二次函数的图象，结合图象得不等式的解集为，从而原不等式的解集为. 因为车速，所以. 而，所以这辆汽车刹车前的车速至少为80 km/h. 师：分析题干，引导学生建立数学模型，利用二次函数图象对不等式进行求解，并让学生板演或展示成果，教师适时点评. 可设置如下问题： （1）例4中如何利用不等式表示出不等关系——创收60000元以上？ 提示：. （2）在求解不等式 的过程中需要注意什么问题？ 提示：根据自变量的实际含义，只能取整数. （3）如何解系数看起来比较麻烦的不等式 ？ 提示：移项、整理，将不等式等价转化为再求解。 生：思考、分析，展示成果. 引导学生将实际问题转化为数学问题，并让学生自主完成，解决问题，培养学生应用所学知识解决问题的能力，提升数学建模、数学运算素养.
课堂小结 1.概念： （1）一元二次不等式； （2）二次函数的零点. 2.一元二次不等式的求解： 即“一化二判三求四解”. 3.思想方法. 师：引导学生回忆、概括、总结所学知识点并就学生的回答进行点评. 生：思考、整理、表述概括的结果. 通过总结，使学生有一个更全面更深刻的认识.
布置作业 教材第55页习题2.3第2，3，4题. 教师布置作业，学生课后独立完成. 巩固所学内容，对所学内容进行检测、反馈与及时补救.
板书设计
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 1.一元二次不等式 2.二次函数的零点 3.三个“二次”之间的关系表 4.一元二次不等式的求解步骤 例题 例1 例2 例3 例4 例5 小结 1.概念 2.求解步骤 3.思想方法
教学研讨
在本节课中，有几个问题值得探讨，比如：对一些同学提出的等价转化思想求解一元二次不等式问题，教师应该解释到什么程度？对二次项系数小于0的一元二次不等式求解步骤是否应该详细归纳？一元二次不等式的解集是或的情况往往容易混淆，应该如何加强？