高中数学必修第一册人教A版（2019）第二章《一元二次函数、方程和不等式》综合测评（含解析）

《一元二次函数、方程和不等式》综合测评
一、单项选择题（本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.若，则下列不等式中正确的是（ ）
2.已知，且，则下列不等式成立的是（ ）
3.已知，若不等式恒成立，则m的最大值为（ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
4.在上定义运算，则满足的实数x的取值范围为（ ）
或
5.的最大值为（ ）
9
6.关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为（ ）
或 或
C.或 D.或
7.在上定义运算，若不等式对任意的实数恒成立，则实数a的取值范围为（ ）
8.设，定义运算“”和“”如下：若正数满足，则（ ）
9.若，且，则下列代数式中值最大的是
（ ）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全都选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）
10.下列不等式推理正确的是( )
A.若，则 B.若，则
C.若，则 D.若，则
E.若正实数满足，则
11.不等式的解集为，则能使不等式成立的x为（ ）
或
12.下列结论正确的是（ ）
B.不等式的解集为，则
C.命题“”的否定是“”
D.若，则
E.若，则
三、填空题[本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中横线上〕
13.若不等式的解集为M，使恒成立的实数a的范围是集合N，则_____________.
14.若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________.
15.已知，且，则的最小值是__________.
16.某辆汽车以的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为，其中k为常数.若汽车以120km/h的速度行驶时，每小时的油耗为11.5L，欲使每小时的油耗9L，则x的取值范围为______________.
四、解答题（本大题共6小题，共70分.解答题应写出文宇说明、证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
（1）已知数轴上点，若线段BC的中点M到点A的距离小于两点间的距离，求实数x的范围；
（2）若对于任意恒成立，求实数a的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知
（1）当时，求xy的最小值；
（2）当时，求的最小值.
19.（本小题满分12分）
已知为正数，且，证明：.
20.（本小题满分12分）
若不等式的解集是
（1）解不等式；
（2）b为何值时，的解集为？
21.（本小题满分12分）
（1）若恒成立，求实数x的取值范围；
（2）若恒成立，求实数m的取值范围.
22.（本小题满分12分）
某种商品原来每件售价为25元，年销售量为8万件.
（1）据市场调査，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
（2）为了扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营策略改革，并提高定价到x元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的定价.
参考答案
1.
答案：D
解析：由得，A错，B错，D正确；又C错.
2.
答案：A
解析：由题意可知，于是，，A成立；
易知，又可以为正值，B不一定正确；易知，C不成立；
的符号不能确定，D不一定正确.
3.
答案：C
解析：，不等式恒成立， ，当且仅当时取等号，的最大值为9.
4.
答案：B
解析：根据定义得，，解得，所以实数x的取值范围为
5.
答案：B
解析：因为，所以，则由基本不等式可知，
，当且仅当，即时，等号成立.
6.
答案：
解析：的解集是，
且，即，且.，即，故或.
7.
答案：
解析：，即对恒成立.
，，即
8.
答案：C
解析：事实上本题的“”和“”运算就是取最小值和最大值的运算.由为正数且，得中至少有一个大于或等于2，否则；由为正数且，得中至少有一个小于或等于
9.
答案：A
解析：
又，所以
注意到，所以
综上可知最大.另解，代特殊值验证：取，则，，，故选A.
10.
答案：DEA
解析：A中，例如，此时，所以A不正确；
B中，若，则，则，所以B不正确；
C中，例如，，则，所以C不正确；
D中，若，则，则，所以D正确；
E中，因为，且，所以
，故E正确.故选DE.
11.
答案：BC
解析：因为不等式的解集为，所以和2是方程的两根且，所以，由，得，
设的两根为，则，，联立①②得解得因为，所以的解集为或，所以不等式的解集为或.故选BC.
12.
答案：ABCD
解析：A对，，.又，
；B对，设，则原不等式可转化为，由题可得，且2与6是方程的两根，由此可得；C对，命题“”是全称命题，则命题的否定是“”；
D对，，当且仅当时取等号；E不对，时，.故选ABCD.
13.
答案：
解析：解得或，或，
若恒成立，则，.
14.
答案：
解析：因为，所以（当且仅当时取等号），所以，即的最大值为，故
15.
答案：4
解析：或，当且仅当时等号成立，故最小值为4.
16.
答案：
解析：由于汽车以的速度行驶时，每小时的油耗为，所以，解得，故每小时油耗为，依题意列不等式为，解得，又，故，所以x的取值范围为
17.
答案：见解析
解析：（1）由题意知，
，即x的范围是.
（2）由绝对值的几何意义知的最小值为，即
，解得，的取值范围是
18.
答案：见解析
解析：（1）已知，当时，，即，当且仅当时，等号成立，故的最小值为9.
（2）已知，当时，可得两边都除以，得，
，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为
19.
答案：见解析
解析：证明
为正数，且，，
，
20.
答案：见解析
解析：（1）由题意知，，且和1是方程的两根，
解得
不等式即为，解得或，
所求不等式的解集为
（2）即为，若此不等式的解集为，则
21.
答案：见解析
解析：（1）令，则，，是关于m的一次函数，要使恒成立，只需解得，
（2）恒成立，
即恒成立，而时，，当时，取得最大值，
则
22.
答案：见解析
解析：（1）设每件定价为元，由题意，有，即，解得.
又.要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
（2）由题得，时，不等式有解，等价于时，有解.
（当且仅当时，等号成立），当该商品明年的销售量a至少达到10.2万件时，才可能使明年的销售收人不低于原收入与总投人之和，此时该商品的定价为30元/件.
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