《定积分的概念》教学设计
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文档简介
二、教材分析
《定积分的概念》是人教版高中选修系列2-1，第一章第五节的内容，在导数学习之后，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引人体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以，无论从内容还是数学思想方面，本次课在教材中都处于重要的地位。
三、学生分析
1.学生方面
具备了基本的数学能力和数学素养，但对于概念性的学习，特别是概念性的知识运用方面存在着一定困难。
2.数学思想方面
学生已具备一定的极限和微分思想的基础。
四、教法学法分析
1.在本节教学过程中，主要采用“问题教学法”，在教学过程中引导启发，培养学生“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的能力以及交流与合作的能力，
2．学法方面（1）发现法解决第一个案例
（2）模仿法解决第二个案例
（3）归纳法总结出概念
（4）练习法巩固加深理解
五、教学过程
（一） 问题一：什么是曲边梯形？曲边梯形面积怎么求？
（1）先出示一个曲边梯形的图形，如图1
思考：如何求这个图形的面积？
（2）展示刘徽的“割圆术”
考虑用简单的图形来估计它的面积.用什么图形好呢？由于矩形面积=长×宽，最简单，
故用矩形的面积.
（3）设问：a用一个矩形的面积估计行吗？为什么？（误差太大了。）
b如果利用中点分割出两个矩形，（如图2）用它们的面积和来估计呢？误差会小一点吗？
如利用三等分点得到三个矩形的面积和呢？（如图3）
c用什么方法使误差越来越小？
（4）新知探究
（1）分割：
把区间作n等分，得到n个小区间：
其中第的区间为，
其长度=
过上述的分点作X轴的垂线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，显然，这些小曲边梯形的面积的和 就是所求曲边梯形面积.
（2）近似代替
上述的小曲边梯形面积和不易得到，故我们考虑用小矩形的面积去代似代替。这些小矩形如何作出，它们的宽与高分别是什么？
可知宽为，高为（取每个小区间的左端点的函数值）
这样，在区间上，局部的
上“以曲代直”（即用小矩形面积代替
相应的小曲边梯形面积），则有
（3）求和
这些小矩形的面积和能否作为曲边梯形面积的近似值。我们来求这些小矩形的面积和。
记这些小矩形面积的和为，则
（注意公式： ）
故
（4）取极限
当小矩形无限的增多，或近似值的极限就得到曲边梯形面积的精确值。
如何求出这个精确值呢？联想到用正多边形求圆的面积的方法，同样，用极限的方法求得。从而
。
∴ 在上，由函数与x轴围成的曲边梯形的面积是。
（二）问题二：汽车行驶的路程
汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
分析：仿照问题一的求解，得出解题思路
1．分割
在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等
分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：
，，…，
显然，
（2）近似代替
当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
（三）得出模型
从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变速运动的路程，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都归结为形如 的和式极限问题。
（四）定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
一、教学框图
问题一：曲边梯形的面积
问题二：汽车行驶的路程
建构模型
发现法
类比法
模型法
归纳法
得出定积分的概念
图2
图3
《定积分的概念》是人教版高中选修系列2-1，第一章第五节的内容，在导数学习之后，定积分概念的建立为微积分基本定理的引出做了铺垫，起到了承上启下的作用。而且定积分概念的引人体现着微积分“无限分割、无穷累加”“以直代曲、以不变代变”的基本思想。所以，无论从内容还是数学思想方面，本次课在教材中都处于重要的地位。
三、学生分析
1.学生方面
具备了基本的数学能力和数学素养，但对于概念性的学习，特别是概念性的知识运用方面存在着一定困难。
2.数学思想方面
学生已具备一定的极限和微分思想的基础。
四、教法学法分析
1.在本节教学过程中，主要采用“问题教学法”，在教学过程中引导启发，培养学生“发现问题、提出问题、分析问题、解决问题”的能力以及交流与合作的能力，
2．学法方面（1）发现法解决第一个案例
（2）模仿法解决第二个案例
（3）归纳法总结出概念
（4）练习法巩固加深理解
五、教学过程
（一） 问题一：什么是曲边梯形？曲边梯形面积怎么求？
（1）先出示一个曲边梯形的图形，如图1
思考：如何求这个图形的面积？
（2）展示刘徽的“割圆术”
考虑用简单的图形来估计它的面积.用什么图形好呢？由于矩形面积=长×宽，最简单，
故用矩形的面积.
（3）设问：a用一个矩形的面积估计行吗？为什么？（误差太大了。）
b如果利用中点分割出两个矩形，（如图2）用它们的面积和来估计呢？误差会小一点吗？
如利用三等分点得到三个矩形的面积和呢？（如图3）
c用什么方法使误差越来越小？
（4）新知探究
（1）分割：
把区间作n等分，得到n个小区间：
其中第的区间为，
其长度=
过上述的分点作X轴的垂线段，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，显然，这些小曲边梯形的面积的和 就是所求曲边梯形面积.
（2）近似代替
上述的小曲边梯形面积和不易得到，故我们考虑用小矩形的面积去代似代替。这些小矩形如何作出，它们的宽与高分别是什么？
可知宽为，高为（取每个小区间的左端点的函数值）
这样，在区间上，局部的
上“以曲代直”（即用小矩形面积代替
相应的小曲边梯形面积），则有
（3）求和
这些小矩形的面积和能否作为曲边梯形面积的近似值。我们来求这些小矩形的面积和。
记这些小矩形面积的和为，则
（注意公式： ）
故
（4）取极限
当小矩形无限的增多，或近似值的极限就得到曲边梯形面积的精确值。
如何求出这个精确值呢？联想到用正多边形求圆的面积的方法，同样，用极限的方法求得。从而
。
∴ 在上，由函数与x轴围成的曲边梯形的面积是。
（二）问题二：汽车行驶的路程
汽车以速度组匀速直线运动时，经过时间所行驶的路程为．如果汽车作变速直线运动，在时刻的速度为（单位：km/h），那么它在0≤≤1(单位：h)这段时间内行驶的路程（单位：km）是多少？
分析：仿照问题一的求解，得出解题思路
1．分割
在时间区间上等间隔地插入个点，将区间等
分成个小区间：
，，…，
记第个区间为，其长度为
把汽车在时间段，，…，上行驶的路程分别记作：
，，…，
显然，
（2）近似代替
当很大，即很小时，在区间上，可以认为函数的值变化很小，近似的等于一个常数，不妨认为它近似的等于左端点处的函数值，从物理意义上看，即使汽车在时间段上的速度变化很小，不妨认为它近似地以时刻处的速度作匀速直线运动，即在局部小范围内“以匀速代变速”，于是的用小矩形的面积近似的代替，即在局部范围内“以直代取”，则有
①
（3）求和
由①，
==
==
从而得到的近似值
（4）取极限
当趋向于无穷大时，即趋向于0时，趋向于，从而有
（三）得出模型
从上面例子看出，不管是求曲边梯形的面积或是计算变速运动的路程，它们都归结为对问题的某些量进行“分割、近似代替、求和、取极限”，或者说都归结为形如 的和式极限问题。
（四）定积分的概念
一般地，设函数在区间上连续，用分点
将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：
如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分。记为：
其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限。
说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：等分区间；②近似代替：取点；③求和：；④取极限：
一、教学框图
问题一：曲边梯形的面积
问题二：汽车行驶的路程
建构模型
发现法
类比法
模型法
归纳法
得出定积分的概念
图2
图3