13.1命题、定理与证明—2022-2023学年华东师大版数学八年级上册堂堂练
1.下列语句中，是命题的是( )
①若，则
②同位角相等吗？
③画线段；
④如果，那么；
⑤直角都相等.
A.①④⑤ B.①②④ C.①②⑤ D.②③④⑤
2.下列可以用来证明命题“任何偶数都是4的整数倍”是假命题的反例为( )
A.3 B.4 C.8 D.6
3.下列语句不是命题的是( )
A.两点之间线段最短 B.不平行的两条直线有一个交点
C.x与y的和等于0吗 D.两个锐角的和一定是直角
4.下列命题是真命题的是( )
A.如果，，那么 B.相等的角是对顶角
C.一个角的补角大于这个角 D.一个三角形中至少有两个锐角
5.下列命题是真命题的是( )
A.如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0
B.如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1
C.如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0
D.如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0
6.命题“若,则”,这个命题是________(填“真”或“假”)命题.
7.将“互为相反数的两个数之和等于0”写成如果______________________________
___________________ ，那么___________________________________________的形式.
8.已知命题“如果两条平行线被第三条直线所截，那么对同位角的平分线互相平行”.
（1）图为符合该命题的示意图，请你把该命题用几何符号语言补充完整：已知_______，分别平分_______和_______；
（2）试判断这个命题的真假，并说明理由.
答案以及解析
1.答案：A
解析：②③都不是判断一件事情的语句，不是命题，①④⑤是命题.
2.答案：D
解析：A项，3不是偶数；B项，4是偶数，且能被4整除；C项，8是偶数，且是4的2倍；D项，6是偶数，但不能被4整除.故选D.
3.答案：C
解析：判断一件事情的句子叫作命题，疑问句不是命题.故选C.
4.答案：D
解析：A.如果，，不能判断b，c的大小，原命题是假命题；
B.相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题；
C.一个角的补角不一定大于这个角，原命题是假命题；
D.个三角形中至少有两个锐角，原命题是真命题；
故选：D.
5.答案：A
解析：
A，如果一个数的相反数等于这个数本身，那么这个数一定是0，是真命题；
B，如果一个数的倒数等于这个数本身，那么这个数一定是1，是假命题；
C，如果一个数的平方等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
D，如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数一定是0，是假命题；
故选：A.
6.答案：真
解析：在的两边同乘,得,∴原命题是真命题.
7.答案：两个数互为相反数；这两个数之和等于0
解析：“互为相反数的两个数之和等于0”的题设是两个数互为相反数，结论是这两个数的和为0，改写成如果…，那么…的形式为：如果两个数互为相反数，那么这两个数之和等于0.
故答案为：两个数互为相反数，这两个数之和等于0.
8.答案：（1）
（2）见解析
解析：（1）已知分别平分和，则.
故答案为.
（2）这个命题为真命题.
证明：，
分别平分和，
.13.2三角形全等的判定—2022-2023学年华东师大版数学八年级上册堂堂练
1.如图，若，则下列结论中一定成立的是( )
A. B. C. D.
2.如图，用尺规作已知角的平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判定方法是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
3.如图，欲测量内部无法到达的古塔相对两点A，B间的距离，可延长AO至C，使，延长BO至D，使，则，从而通过测量CD就可测得A，B间的距离，其全等的依据是( )
A.SAS B.ASA C.AAS D.SSS
4.如图，点B，C，E在同一条直线上，，，则与BC相等的线段是( )
A.AC B.AF C.CF D.EF
5.如图，在中，，，于点D，于点E.若，，则的面积等于( )
A.6 B.21 C.12 D.24
6.如图，A,B,C,D是四个村庄，B,D,C在同一条东西走向公路的沿线上，千米，千米，村庄A,C和A,D间也有公路相连且千米，,A,B之间间隔了一个小溯泊，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上建一座斜拉桥EF，测得千米，千米，则建造的斜拉桥EF的长至少为_______千米.
7.如图，中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且，若，则____________度.
8.如图，已知和，，，.
（1）求证：；
（2）求证：.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，，，，
，即.故B中结论正确，故选B.
2.答案：D
解析：由画法得，，而，所以，所以，即OP平分.故选D.
3.答案：A
解析：在和中，，.故选A.
4.答案：D
解析：，，.在和中，，，.故选D.
5.答案：A
解析：，，，，，，，又，，.，，，的面积，故选A.
6.答案：1.1
解析：由题意知,,,在△ADB和△ADC中,所以(SAS),所以千米,故建造的斜拉桥EF的长至少为(千米)
7.答案：70
解析：在与中，，
.
.
，，
，
.
8.答案：证明：（1）在和中，，
，.
（2），，
即.
由（1）知，.
在和中，，
，.13.3等腰三角形—2022-2023学年华东师大版数学八年级上册堂堂练
1.如图，在中，，点D在CA的延长线上，于点E，，则( )
A.40° B.50° C.60° D.80°
2.如图，等边三角形ABC中，，垂足为D，点E在线段AD上，连接BE，CE，，则等于( )
A.15° B.30° C.45° D.60°
3.如图，中，，过点A作交BC于点D.若，则的度数为( )
A.18° B.20° C.30° D.36°
4.如图，是等边三角形，，，则的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
5.如图，在等边中，，点O在AC上，且，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则AP的长是( )
A.3 B.5 C.6 D.8
6.如图，在中，，，折叠三角形，使点A与点B重合，得到折痕MN，则__________.
7.如图，等边三角形ABC的两条角平分线BD和CD交于点D，则等于____________.
8.如图，在中,是边上的中点，连接平分交于点E，过点E作交于点F.
(1)若，求的度数.
(2)求证:.
答案以及解析
1.答案：B
解析：，，，于点E，，故选B.
2.答案：A
解析：等边三角形ABC中，，，，点E在线段AD上，，，，，.故选A.
3.答案：A
解析：，，，，，，，，，故选A.
4.答案：C
解析：是等边三角形，，，在和中，，，，故选C.
5.答案：C
解析：如图，，，，
为等边三角形，，线段OP绕点D逆时针旋转60°得到线段OD，要使点D恰好落在BC上，则，，，，，，，在和中，，.故选C.
6.答案：30°
解析：，，.由折叠可知，.
7.答案：120°
解析：是等边三角形，，BD平分，CD平分，，，.
8.答案：(1)54°
(2)见解析
解析：(1).
又D是边上的中点，
,
.
(2)证明：平分.
，
.13.4尺规作图—2022-2023学年华东师大版数学八年级上册堂堂练
1.下列作图属于尺规作图的是( )
A.用刻度尺画线段cm B.用量角器画一个60°的角
C.用圆规在射线AE上截取线段 D.用三角尺作AB的平行线
2.已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是( )
A.平分已知角
B.作已知直线的垂线
C.作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段
D.作已知直线的平行线
3.用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是( )
A. B.
C. D.
4.如图，已知点A和直线MN，过点A用尺规作直线MN的垂线，下列画法中错误的是( )
A. B.
C. D.
5.下面是黑板上的尺规作图题,下列说法正确的是( )
A.①表示DE B.②表示OQ C.③表示Q D.④表示任意长
6.如图，是不等边三角形，，以D，E为两个顶点作位置不同的三角形，使所作的三角形与全等，这样的三角形最多可以画出___________个.
7.如何过直线l上一点P作已知直线l的垂线，下面作法的合理顺序为__________.
①分别以A、B为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点C；
②在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使；
③过点C、P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
8.如图，已知，点B，C分别在射线OM，ON上，且.
（1）用直尺和圆规作出的平分线OP，在射线OP上取一点A，分别连接AB，AC（只需保留作图痕迹，不要求写作法）.
（2）在（1）的条件下，求证：.
答案以及解析
1.答案：C
解析：选项A中涉及有刻度的直尺；选项B中作图工具是量角器；选项D中作图工具是三角尺，所以它们都不属于尺规作图.只有选项C正确.故选C.
2.答案：C
解析：已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段，故选C.
3.答案：D
解析：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线；选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线，
故选：D.
4.答案：A
解析：已知点A和直线MN，过点A用尺规作直线MN的垂线，画法正确的是B、C、D选项，不符合题意.A选项画法错误，符合题意.故选A.
5.答案：B
解析：结合尺规作图可知,①表示任意长,②表示OP或OQ,③3表示D,④表示PQ.
6.答案：4
解析：如图，可以作出这样的三角形4个.
7.答案：②①③
解析：过直线l上一点P作已知直线l的垂线的步骤是②①③.
8.答案：（1）见解析
（2）见解析
解析：（1）如图所示：
（2）由（1）知，OP是的平分线，
.
在与中，
，
.14.1勾股定理—2022-2023学年华东师大版数学八年级上册堂堂练
1.以下列各组数据为边长，不能构成直角三角形的是( )
A.9，12，15 B.15，36，39 C.10，24，26 D.12，35，36
2.在中，，BD是AC边上的高，，则BD等于( )
A. B.4 C.6 D.8
3.用反证法证明“”时应假设( )
A. B. C. D.
4.一个三角形的两边长为4和5，要使该三角形为直角三角形，则第三条边长为( )
A.3 B. C.或3 D.9
5.如图，四边形中，，，，，且，则四边形的面积为( )
A. B. C. D.
6.李老师要做一个直角三角形教具，做好后量得三边长分别是30cm，40cm和50cm，则这个教具____________（填“合格”或“不合格”）.
7.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O.若，，则__________.
8.如图，已知在中，，垂足为点D，，，.
（1）求CD的长；
（2）求的面积.
答案以及解析
1.答案：D
解析：选项A，，A不符合题意；选项B，，B不符合题意；选项C，，C不符合题意；选项D，，D符合题意.故选D.
2.答案：C
解析：，，.BD是AC边上的高，.由勾股定理得，故选C.
3.答案：D
解析：a，b的大小关系有，，三种情况，因而的反面是.因此用反证法证明“”时，应假设.故选D.
4.答案：C
解析：当长为4和5的两边都是直角边时，斜边长是；
当长是5的边是斜边时，第二边长是.所以第三边长为或3.故选C.
5.答案：C
解析：如图，连接，，，，，
，，，为直角三角形，
四边形.故选C.
6.答案：合格
解析：，三边长分别为30cm，40cm和50cm的三角形是直角三角形，这个教具合格.
7.答案：20
解析：，，由勾股定理得，，，，，，.故答案为20.
8.答案：（1），
，
在中，，，
.
（2）在中，，
，，
.
.14.2勾股定理的应用—2022-2023学年华东师大版数学八年级上册堂堂练
1.如图，有一长方形空地ABCD，如果米，米，那么要从A走到C，至少要走( )
A.6米 B.8米 C.10米 D.14米
2.如图，第9号台风“利奇马”过后，某市体育中心附近一棵大树在高于地面3米处折断，大树顶部落在距离大树底部4米处的地面上，那么树高是( )
A.5 m B.8 m C.9 m D.12 m
3.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？译文：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为( )
A.7.5平方千米 B.15平方千米 C.75平方千米 D.750平方千米
4.图是一个底面为等边三角形的三棱柱，为了漂亮，小丽在三棱柱的侧面上，从顶点A到顶点镶上一圈金属丝，已知此三棱柱的高为5cm，底面边长为4cm，则这圈金属丝的长度至少为( )
A.8 cm B.13 cm C.12 cm D.15 cm
5.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺寸），则AB的长是( )
A.50.5寸 B.52寸 C.101寸 D.104寸
6.如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动打开.一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则___________米.
7.如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为____________cm（杯壁厚度不计）.
8.某市进行老城区道路改造，原来从小明家A地到商场F地需要沿着连续多次直角拐弯行进，造成出行困难（行走各段路程数据如图所示），道路改造后可从小明家A地直达商场F地.求从小明家到商场的路程比原来缩短了多少米.
答案以及解析
1.答案：C
解析：由四边形ABCD是长方形可得，米，如图，连接AC，，米.要从A走到C，至少要走10米.故选C.
2.答案：B
解析：根据勾股定理可知：折断的树高，所以折断的树高m，则这棵大树折断前的树高m.故选B.
3.答案：A
解析：将里换算为米，则三角形沙田的三边长分别为2.5千米，6千米，6.5千米.因为，所以该三角形沙田为直角三角形，且直角边长分别为2.5千米和6千米，所以（平方千米）.故选A.
4.答案：B
解析：将三棱柱的侧面沿展开，如图所示，
由勾股定理得，所以cm.故选B.
5.答案：C
解析：由题知AB的中点为O，过D作于E，如图所示.
由题意得，寸，寸，
设寸，则寸，寸，
在中，，
即，
解得，
，寸，故选C.
6.答案：1.5
解析：如图所示，过点D作于点E，
米，米，米，则（米）.在中，由勾股定理得，（米）.
7.答案：20
解析：如图，将圆柱侧面展开，延长AC至，使，连接，则线段的长为蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离.过B作，垂足为.在中，cm，cm，所以，所以cm，即蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为20cm.
8.答案：如图所示，过点A作于H，
则在中，（米），
（米），由勾股定理得米，
故改造后小明家与商场的距离为100米，
改造前小明家与商场的距离为（米），
缩短距离：（米）.
答：从小明家到商场的路程比原来缩短了80米.
