平行四边形奥赛[下学期]
图片预览
文档简介
平行四边形
知识扩展：
1、利用平行四边形的性质是求边、角关系的常用方法。
2、若凸四边形各边的平方和等于两条对角线的平方和，则此凸四边形是平行四边形，其逆亦成立。
3、过平行四边形对称中心的直线将平行四边形分成两部分，这两部分的面积相等。
4、平行四边形区域上的三角形面积不大于该平行四边形面积的一半。
方法指导：
例1 如图， ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，△BEF的垂心（三条高的交点）为H，若DG⊥BC，求证：BH=GF。
分析：此题利用平行四边形证边等。
注意寻找关于BH、GF的平行四边形。
例2 如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°。
分析：此题可构造平行四边形
转化已知相等线段构造特殊三角形。
过M作ME⊥BC，使ME=AN，连结ME、EC。
例3 ABCD中，E、F分别在CD、AD上，AE=CF，AE、CF交于G，连结BG，
求证：BG平分∠AGC。
分析：此题为利用平行四边形与其内接
三角形面积关系，解决实际问题的题型，
过B作BM⊥FC，BN⊥AE，分别交FC、
AE于M、N，连结BF，BE，
由S△BFC= ABCD，S△BFA=S ABCD，
可证BM=BN。
能力训练
1、选择题
（1）四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形一定是（ ）
A、两组角分别相等的四边形 B、平行四边形
C、对角线互相垂直的四边形 D、对角线相等的四边形
（2）如图4-44，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6， ABCD的周长为40，则S ABCD为（ ）
A、24 B、36 C、40 D、48
图4-44 图4-45
（3）如图4-45，在 ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）
A、60° B、65° C、70° D、75°
（4）能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A、∠A=∠B=∠C B、AB=BC=CD
C、∠A=∠C，AB∥CD D、AB=CD，AD∥BC
（5）从等腰三角形底边上的任意一点作两腰的平行线，所构成的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的（ ）
A、腰长 B、周长的一半 C、腰长的2倍 D、周长
（6）给定平面内不在一直线上的三点，以这三点为顶点的平行四边形有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
（7）根据下列条件，能作出平行四边形的是（ ）
A、相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线的长为9
B、两组对边的长分别是3和5
C、一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D、一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
（8）在 ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，设∠EDF
=60°，则S△DEF：S ABCD=（ ）
A、 B、 C、 D、
（9）、如图， ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD
于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）
A、60° B、65° C、70° D、75°
2、填空题
（1）如图4-46， ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM的周长为a，那么 ABCD的周长为 。
图4-46 图4-47 图4-48
（2）如图4-47， ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于E、F，则EF= 。
（3）如图4-48，E在 ABCD对角线AC上，AE=2EC，F在AB上，BF=2AF，如果△BEF的面积为2cm2，则 ABCD的面积是 。
（4）已知 ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，若DE=5，DF=8，则BE+BF的长为 。
（5）、如图 ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC交AD于点M，若△CDM周长为a，那么 ABCD的周长为 。
（6）、如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE=2EC，F在AB上，BF=2AF，如果△BEF的面积为2cm2，则 ABCD的面积是 。
（5）题 （6)题
3、如图4-49，△ABC是正三角形，在AB、BC边上分别取点E、D，使AE=BD，顶点D、E分别作DF∥CE，EF∥CD，EF交DF于F点，延长FE交AC于G，求证：△AGF≌△EAC。
4、如图4-50，以 ABCD的BC、CD边为边在四边形内侧作等边△BCE和等边△CDF，求证：△AEF为等边三角形。
5、以△ABC的三条边为边向BC的同侧作等边△ABP、等边△ACQ、等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。
6、在 ABCD中，AB=2AD，E为AB的中点，求证：CE⊥DE。
7、如图4-51，在 ABCD中，E、F分别为BC、AB上的点，且AE=CF，AE、CF交于G，求证：GD平分∠AGC。
图4-51 图4-52
8、如图4-52，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM、AC，点N在AC上，且AN=MC，AM、BN相交于P，求证：∠BPM=45°。
9、已知，如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足，EM⊥AD，FN⊥BC，M、N为垂足，求证：MF∥EN，MF=EN，
10、如图，在 ABCD中，3AB=2AD，E1、E2、E3、E4、E5依次是CB上的五个点，并且CE1=E1E2=E2E3=E3E4=E4E5=E5B，在三个结论中，（1）BE3⊥AE3，（2）AE2⊥DE4，（3）AE2⊥DE2之中，正确的个数是 。
5题
创新思维
如图，C为线段AB的中点，以AC及BC为对角线作平行四边形ADCE和BFCG，再作平行四边形CDHF及CEKG。
求证：H、C、K三点共线。
B
A
F
D
N
M
E
C
A
B
F
C
G
B
H
E
A
C
E
M
N
E
D
C
B
F
A
B
A
O
C
M
D
E
C
D
A
F
B
A
M
E
B
F
N
C
D
A
D
C
B
E1
E2
E3
E4
E5
C
K
E
A
D
G
B
F
H
B
P
M
C
N
A
D
C
E
B
G
F
A
图4-50
图4-49
B
C
D
E
F
A
B
D
C
F
E
G
A
D
C
E
B
F
A
B
C
D
E
F
A
O
B
C
D
M
A
D
P
G
C
B
E
F
A
D
C
F
B
E
A
D
1
2
知识扩展：
1、利用平行四边形的性质是求边、角关系的常用方法。
2、若凸四边形各边的平方和等于两条对角线的平方和，则此凸四边形是平行四边形，其逆亦成立。
3、过平行四边形对称中心的直线将平行四边形分成两部分，这两部分的面积相等。
4、平行四边形区域上的三角形面积不大于该平行四边形面积的一半。
方法指导：
例1 如图， ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，△BEF的垂心（三条高的交点）为H，若DG⊥BC，求证：BH=GF。
分析：此题利用平行四边形证边等。
注意寻找关于BH、GF的平行四边形。
例2 如图，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM=AC，点N在AC上且AN=MC，AM与BN相交于P，求证：∠BPM=45°。
分析：此题可构造平行四边形
转化已知相等线段构造特殊三角形。
过M作ME⊥BC，使ME=AN，连结ME、EC。
例3 ABCD中，E、F分别在CD、AD上，AE=CF，AE、CF交于G，连结BG，
求证：BG平分∠AGC。
分析：此题为利用平行四边形与其内接
三角形面积关系，解决实际问题的题型，
过B作BM⊥FC，BN⊥AE，分别交FC、
AE于M、N，连结BF，BE，
由S△BFC= ABCD，S△BFA=S ABCD，
可证BM=BN。
能力训练
1、选择题
（1）四边形的四条边长分别是a、b、c、d，其中a、c为对边，且满足a2+b2+c2+d2=2ab+2cd，则这个四边形一定是（ ）
A、两组角分别相等的四边形 B、平行四边形
C、对角线互相垂直的四边形 D、对角线相等的四边形
（2）如图4-44，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE=4，AF=6， ABCD的周长为40，则S ABCD为（ ）
A、24 B、36 C、40 D、48
图4-44 图4-45
（3）如图4-45，在 ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）
A、60° B、65° C、70° D、75°
（4）能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ）
A、∠A=∠B=∠C B、AB=BC=CD
C、∠A=∠C，AB∥CD D、AB=CD，AD∥BC
（5）从等腰三角形底边上的任意一点作两腰的平行线，所构成的平行四边形的周长等于这个等腰三角形的（ ）
A、腰长 B、周长的一半 C、腰长的2倍 D、周长
（6）给定平面内不在一直线上的三点，以这三点为顶点的平行四边形有（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
（7）根据下列条件，能作出平行四边形的是（ ）
A、相邻两边的长分别是3和5，且一条对角线的长为9
B、两组对边的长分别是3和5
C、一边的长为7，两条对角线的长分别为6和8
D、一边的长为7，两条对角线的长分别为6和5
（8）在 ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，设∠EDF
=60°，则S△DEF：S ABCD=（ ）
A、 B、 C、 D、
（9）、如图， ABCD中，∠ABC=75°，AF⊥BC于F，AF交BD
于E，若DE=2AB，则∠AED的大小是（ ）
A、60° B、65° C、70° D、75°
2、填空题
（1）如图4-46， ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM的周长为a，那么 ABCD的周长为 。
图4-46 图4-47 图4-48
（2）如图4-47， ABCD中，AB=2，BC=3，∠ABC、∠BCD的平分线分别交AD于E、F，则EF= 。
（3）如图4-48，E在 ABCD对角线AC上，AE=2EC，F在AB上，BF=2AF，如果△BEF的面积为2cm2，则 ABCD的面积是 。
（4）已知 ABCD的周长为52，自顶点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，若DE=5，DF=8，则BE+BF的长为 。
（5）、如图 ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC交AD于点M，若△CDM周长为a，那么 ABCD的周长为 。
（6）、如图，已知ABCD是平行四边形，E在AC上，AE=2EC，F在AB上，BF=2AF，如果△BEF的面积为2cm2，则 ABCD的面积是 。
（5）题 （6)题
3、如图4-49，△ABC是正三角形，在AB、BC边上分别取点E、D，使AE=BD，顶点D、E分别作DF∥CE，EF∥CD，EF交DF于F点，延长FE交AC于G，求证：△AGF≌△EAC。
4、如图4-50，以 ABCD的BC、CD边为边在四边形内侧作等边△BCE和等边△CDF，求证：△AEF为等边三角形。
5、以△ABC的三条边为边向BC的同侧作等边△ABP、等边△ACQ、等边△BCR，求证：四边形PAQR为平行四边形。
6、在 ABCD中，AB=2AD，E为AB的中点，求证：CE⊥DE。
7、如图4-51，在 ABCD中，E、F分别为BC、AB上的点，且AE=CF，AE、CF交于G，求证：GD平分∠AGC。
图4-51 图4-52
8、如图4-52，在△ABC中，∠C=90°，点M在BC上，且BM、AC，点N在AC上，且AN=MC，AM、BN相交于P，求证：∠BPM=45°。
9、已知，如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E、F为垂足，EM⊥AD，FN⊥BC，M、N为垂足，求证：MF∥EN，MF=EN，
10、如图，在 ABCD中，3AB=2AD，E1、E2、E3、E4、E5依次是CB上的五个点，并且CE1=E1E2=E2E3=E3E4=E4E5=E5B，在三个结论中，（1）BE3⊥AE3，（2）AE2⊥DE4，（3）AE2⊥DE2之中，正确的个数是 。
5题
创新思维
如图，C为线段AB的中点，以AC及BC为对角线作平行四边形ADCE和BFCG，再作平行四边形CDHF及CEKG。
求证：H、C、K三点共线。
B
A
F
D
N
M
E
C
A
B
F
C
G
B
H
E
A
C
E
M
N
E
D
C
B
F
A
B
A
O
C
M
D
E
C
D
A
F
B
A
M
E
B
F
N
C
D
A
D
C
B
E1
E2
E3
E4
E5
C
K
E
A
D
G
B
F
H
B
P
M
C
N
A
D
C
E
B
G
F
A
图4-50
图4-49
B
C
D
E
F
A
B
D
C
F
E
G
A
D
C
E
B
F
A
B
C
D
E
F
A
O
B
C
D
M
A
D
P
G
C
B
E
F
A
D
C
F
B
E
A
D
1
2