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5.1.1 任意角
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 任意角的概念
1.角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2.角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点：O.
3.角的分类
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
4.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
5.相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α.
知识点二 象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
注意点：
(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限．
(2)每一个象限都有正角和负角．
(3)无法比较两个象限角的大小．
知识点三 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意点：
(1) α为任意角．k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(2)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
(3)k∈Z这一条件不能少，并且书写的时候在大括号内．
(4)终边在x轴正半轴的角可表示为：{α|α＝k·360°，k∈Z}；终边在x轴负半轴的角可表示为：{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}；终边在y轴正半轴的角可表示为：{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}；终边在y轴负半轴的角可表示为：{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}；终边在坐标轴的角可表示为：{α|α＝k·90°，k∈Z}．
(5) 终边在第一象限的角可表示为：{α|α＝k·360°<α习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.给出下列四个命题：①－135°是第二象限角；②240°是第三象限角；③－410°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：C
解析：①中－135°是第三象限角，从而①错．②中240°＝180°＋60°，则240°是第三象限角，从而②正确．③中－410°＝－360°－50°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．
2.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A.A＝B B.B＝C C.A＝C D.A＝D
答案：D
解析：直接根据角的分类进行求解，容易得到答案．
3.以下命题正确的是( )
A.第二象限角比第一象限角大
B.A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A B
C.若k·360°<αD.终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
答案：B
解析：A不正确，如－210°<30°.在B中，当k＝2n，k∈Z时，β＝n·180°，n∈Z. ∴A B，∴B正确．又C中，α为第一或第二象限角，或在y轴的非负半轴上，∴C不正确．显然D不正确．
4.如果角α的终边上有一点P(－3，0)，那么α( )
A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.是第三或第四象限角 D.不是象限角
答案：D
解析：点P(－3，0)在x轴负半轴上，故α的终边为x轴的负半轴，坐标轴上的角不属于任何象限．
5.“α是锐角”是“α是第一象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
答案：A
解析：因为α是锐角能推出α是第一象限角，但是反之不成立，例如400°是第一象限角，但不是锐角，所以“α是锐角”是“α是第一象限角”的充分不必要条件．
6.(2022·福建联考改编)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的度数为( )
A.840° B.－840° C.70° D.－70°
答案：B
解析：分针每分钟转6°，则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为－6°×(2×60＋20)＝－840°．
7.(2022·湖北宜昌一中月考改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线x＋y＝0上，则角α的取值集合是( )
A.{αα＝360°k－45°，k∈Z} B.{αα＝360°k＋135°，k∈Z}
C.{αα＝180°k＋45°，k∈Z} D.{αα＝180°k－45°，k∈Z}
答案：D
解析：因为直线x＋y＝0与x轴正向的夹角是135°，所以终边落在直线x＋y＝0上的角的取值集合为{αα＝360°k－45°或α＝360°k＋135°，k∈Z}或{αα＝180°k－45°，k∈Z}．
8.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A.{α|－45°≤α≤120°} B.{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
C.{α|120°≤α≤315°} D.{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
答案：B
解析：如题图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}．
9.集合{α180°k＋45°≤α≤180°k＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案：C
解析：当k＝2n时，180°×2n＋45°≤α≤180°×2n＋90°(n∈Z)，此时α的终边和45°≤α≤90°的终边一样．当k＝2n＋1时，180°×2n＋180°＋45°≤α≤180°×2n＋180°＋90°(n∈Z)，此时α的终边和225°≤α≤270°的终边一样．
10.集合M＝，P＝{x|x＝±90°，k∈Z}，则M、P之间的关系为( )
A.M＝P B.M P C.P M D.M∩P＝
答案：B
解析：对集合M来说，x＝(2k±1)·45°，即45°的奇数倍；对集合P来说，x＝(k±2)·45°，即45°的倍数．
二、填空题
11.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
答案：120°，300°
解析：与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z.∵所求角在0°～360°范围内，∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，k∈Z，解得≤k≤，k∈Z，∴k＝1或2.当k＝1时，β＝120°；当k＝2时，β＝300°.
12.－2 022°角是第________象限角，与－2 022°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．
答案：二 138° －222°
解析：∵－2 022°＝－6×360°＋138°，∴－2 022°角的终边与138°角的终边相同．∴－2 022°角是第二象限角，与－2 022°角终边相同的最小正角是138°.又∵138°－360°＝－222°，故与－2 022°终边相同的最大负角是－222°.
13.若α为△ABC的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α＝________.
答案：120°或30°
解析：∵4α＝120°＋k·360°，k∈Z，∴α＝30°＋k·90°，k∈Z，又∵0°<α<180°，∴当k＝1时，α＝120°；当k＝0时，α＝30°.
14.若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________________.
答案：－110°或250°
解析：∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k·360°＋250°，k∈Z，∵－360°<θ<360°，∴k＝－1或0.∴θ＝－110°或250°.
15.集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝________________.
答案：{－126°，－36°，54°，144°}
解析：当k＝－1时，α＝－126°；当k＝0时，α＝－36°；当k＝1时，α＝54°；当k＝2时，α＝144°.∴A∩B＝{－126°，－36°，54°，144°}．
三、解答题
16.如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
解：终边落在y＝x(x≥0)上的角的集合是S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}，
终边落在y＝x(x≤0)上的角的集合是S＝{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}，
∴终边在y＝x上角的集合是S＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}∪{α|α＝240°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
即终边落在直线y＝x上的角的集合为{α|α＝60°＋n·180°，n∈Z}．
17.已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
解：(1)α＝－1 910°＝－6×360°＋250°，它是第三象限角．
(2)令θ＝250°＋n·360°(n∈Z)，
取n＝－1，－2就得到符合－720°≤θ<0°的角．
当n＝－1时，θ＝250°－360°＝－110°；
当n＝－2时，θ＝250°－720°＝－470°.
故θ＝－110°或θ＝－470°.
18.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
解：由题意可知，α＋β＝－280°＋k·360°，k∈Z，
∵α，β都是锐角，∴0°<α＋β<180°.取k＝1，得α＋β＝80°.①
∵α－β＝670°＋k·360°，k∈Z.
∵α，β都是锐角，∴－90°<α－β<90°.
取k＝－2，得α－β＝－50°.②
由①②，得α＝15°，β＝65°.
19.若α是第二象限角，试分别确定2α，，的终边所在位置．
解：∵α是第二象限角，
∴90°＋k·360°<α<180°＋k·360°(k∈Z)．
∴180°＋2k·360°<2α<360°＋2k·360°(k∈Z)，
∴2α的终边位于第三或第四象限，或在y轴的非正半轴上．
方法一 ∵45°＋k·180°<<90°＋k·180°(k∈Z)，
当k＝2n(n∈Z)时，45°＋n·360°<<90°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝2n＋1(n∈Z)时，225°＋n·360°<<270°＋n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一或第三象限．
∵30°＋k·120°<<60°＋k·120°(k∈Z)，
当k＝3n(n∈Z)时，30°＋n·360°<<60°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋1(n∈Z)时，150°＋n·360°<<180°＋n·360°(n∈Z)；
当k＝3n＋2(n∈Z)时，270°＋n·360°<<300°＋n·360°(n∈Z)，
∴的终边位于第一、第二或第四象限．
方法二 将坐标系的每个象限二等分，得到8个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示．
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一或第三象限．
将坐标系的每个象限三等分，得到12个区域．自x轴正向按逆时针方向把每个区域依次标上Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，如图所示．
∵α是第二象限角，与角α所在象限标号一致的区域，即为的终边所在的象限，
∴的终边位于第一、第二或第四象限．
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5.1.1 任意角
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 任意角的概念
1.角的概念：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形．
2.角的表示：如图所示，角α可记为“α”或“∠α”或“∠AOB”，始边：OA，终边：OB，顶点：O.
3.角的分类
名称 定义 图示
正角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角
负角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角
零角 一条射线没有做任何旋转形成的角
4.任意角：我们把角的概念推广到了任意角，包括正角、负角和零角．
5.相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角α的相反角记为－α.
知识点二 象限角
如果角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
注意点：
(1)锐角是第一象限角，钝角是第二象限角，直角的终边在坐标轴上，它不属于任何一个象限．
(2)每一个象限都有正角和负角．
(3)无法比较两个象限角的大小．
知识点三 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
注意点：
(1) α为任意角．k·360°与α之间是“＋”号，k·360°－α可理解为k·360°＋(－α)．
(2)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．
(3)k∈Z这一条件不能少，并且书写的时候在大括号内．
(4)终边在x轴正半轴的角可表示为：{α|α＝k·360°，k∈Z}；终边在x轴负半轴的角可表示为：{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}；终边在y轴正半轴的角可表示为：{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}；终边在y轴负半轴的角可表示为：{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}；终边在坐标轴的角可表示为：{α|α＝k·90°，k∈Z}．
(5) 终边在第一象限的角可表示为：{α|α＝k·360°<α习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.给出下列四个命题：①－135°是第二象限角；②240°是第三象限角；③－410°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确命题的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2.设A＝{θ|θ为锐角}，B＝{θ|θ为小于90°的角}，C＝{θ|θ为第一象限的角}，D＝{θ|θ为小于90°的正角}，则下列等式中成立的是( )
A.A＝B B.B＝C C.A＝C D.A＝D
3.以下命题正确的是( )
A.第二象限角比第一象限角大
B.A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A B
C.若k·360°<αD.终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)
4.如果角α的终边上有一点P(－3，0)，那么α( )
A.是第三象限角 B.是第四象限角 C.是第三或第四象限角 D.不是象限角
5.“α是锐角”是“α是第一象限角”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.(2022·福建联考改编)时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的度数为( )
A.840° B.－840° C.70° D.－70°
7.(2022·湖北宜昌一中月考改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线x＋y＝0上，则角α的取值集合是( )
A.{αα＝360°k－45°，k∈Z} B.{αα＝360°k＋135°，k∈Z}
C.{αα＝180°k＋45°，k∈Z} D.{αα＝180°k－45°，k∈Z}
8.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A.{α|－45°≤α≤120°} B.{α|－45°＋k·360°≤α≤120°＋k·360°，k∈Z}
C.{α|120°≤α≤315°} D.{α|120°＋k·360°≤α≤315°＋k·360°，k∈Z}
9.集合{α180°k＋45°≤α≤180°k＋90°，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
10.集合M＝，P＝{x|x＝±90°，k∈Z}，则M、P之间的关系为( )
A.M＝P B.M P C.P M D.M∩P＝
二、填空题
11.在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．
12.－2 022°角是第________象限角，与－2 022°角终边相同的最小正角是________，最大负角是________．
13.若α为△ABC的一个内角，且4α与120°的终边相同，则α＝________.
14.若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________________.
15.集合A＝{α|α＝k·90°－36°，k∈Z}，B＝{β|－180°<β<180°}，则A∩B＝________________.
三、解答题
16.如图所示，写出终边落在直线y＝x上的角的集合(用0°到360°间的角表示)．
17.已知α＝－1 910°.
(1)把α写成β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α的终边相同，且－720°≤θ<0°.
18.已知α，β都是锐角，且α＋β的终边与－280°角的终边相同，α－β的终边与670°角的终边相同，求角α，β的大小．
19.若α是第二象限角，试分别确定2α，，的终边所在位置．
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