【新课标】4.5相似三角形判定定理的证明 课件（共24张PPT）

(共24张PPT)
4.5相似三角形判定定理的证明
北师大版九年级上册
教学目标
1.了解相似三角形判定定理的证明方法.
2.通过添加辅助线，选择适当的方法证明两个三角形相似.
3.熟练运用相似三角形判定定理进行推理、计算、证明与探究，求解相关问题.
情景导入
判定两个三角形相似的方法有哪些？
你能对它们进行证明吗？
新知讲解
在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明．
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似.可以简单说成：两角对应相等，两三角形相似.
新知讲解
已知:如图在△ABC和△AB'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'.
求证:△ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A'
B'
C'
1.定理 两角分别相等的两个三角形相似，
归纳总结
A
B
C
D
E
A'
B'
C'
F
证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',
过点D作DE∥BC交AC于点E,
则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,= .
过点D作AC的平行线，交BC于点F,
则=.
∴ =
新知讲解
∵DE//BC, DF//AC,∴四边形DFCE是平行四边形，
∴DF=CF.
∴=
∴==
而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C,
∴△ADE∽△ABC.
∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B', AD= A'B',
∴△ADE≌△A'B'C'.
∴△ABC∽△A'B'C'.
归纳总结
证明三角形相似的判定定理,关键是利用转化的数学思想,结合平行线分线段成比例,通过作辅助线,把一个三角形转移、构建到另一个三角形中，然后利用相似三角形的定义证明相似三角形的判定定理.
新知讲解
2.定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
已知:如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', =
求证: △ABC∽△A'B'C'.
B
A
C
B’
A’
C’
新知讲解
证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E.
∵DE∥B′C′,∠ADE= ∠B′, ∠A′ ED= ∠C′
∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴
∵A′D=AB， ∴
∴A′E=AC. 又∠A′=∠A.
∴△A′DE≌△ABC，
∴△A′B′C′∽△ABC.
B
A
C
B'
A'
D
E
C'
新知讲解
判定定理3：三边成比例的两个三角形相似.
已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中，
求证：△ABC ∽△A'B'C' .
A′
B′
C′
A
C
B
新知讲解
∴
又 ，AD=A′B′，
证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B ′，
过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E.
∵ DE∥BC ，
∴ △ADE∽△ABC.
E
D
A′
B′
C′
A
C
B
∴ DE=B′C′，EA=C′A′.
∴△ADE≌△A′B′C′，
∴△A′B′C′ ∽△ABC.
∴，.
归纳总结
问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？
作平行线→相似→相等→相似
问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程的不同点是什么？
定理2，3只作了1条辅助线，它在定理1的基础上证明的，简单一些．
典例精析
例、如图，正方形ABCD中，M为AB上一点，N为BC上一点，且BM=BN,BP⊥MC于点P.求证： PCD∽ PBN
证明：在正方形ABCD中,BC=CD,∠ ABC=∠BCD=90° ，BP⊥MC
∴∠BPC=∠MPB=90°,∠PBC=∠ PMC.
∴△BPM∽△CPB.
∴=.
又BM=BN,CB=CD，∴=.
又∵∠PBC+∠PCB=∠PCD+∠PCB =90°
∴∠PBC=∠PCD.
∴△PBN∽△PCD.
课堂练习
1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则DE:BC的值为(　 　)
A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9　
2．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝(　 　)
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
B
D
课堂练习
3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为_______．
4．△ABC中，AB=10 ，AC=6 ，点D在AC上且AD=3 ，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE= __ ．
5或
课堂练习
5．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.
(1)求证：△ABM∽△EFA；
(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．
课堂练习
解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝90°，AD∥BC，
∴∠AMB＝∠EAF.
又∵EF⊥AM，
∴∠AFE＝90°，
∴∠B＝∠AFE，
∴△ABM∽△EFA.
课堂练习
解： (2)∵∠B＝90°，AB＝12，BM＝5，
∴AM ＝12 ＋5 ＝13 ，AM=13,AD＝AB＝12.
∵F是AM的中点，∴AF＝AM＝6.5.
∵△ABM∽△EFA，∴＝
即＝，∴EA＝16.9，
∴DE＝EA－AD＝16.9-12=4.9.
课堂总结
板书设计
课题：4.5相似三角形判定定理的证明
一、定理1：
二、定理2：
三、定理3
作业布置
课本P102 习题4.9 第1,2，3题
谢谢
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