【核心素养目标】4.5相似三角形的判定定理证明 教学设计

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4.5相似三角形的判定定理证明教学设计
课题 4.5相似三角形的判定定理证明 单元 4 学科 数学 年级 九
教材分析 本节课的内容是“探索三角形相似的条件”之后的一个学习内容，学生已经学习了相似三角形的有关知识。本节课从证明相似三角形判定定理1、两角分别相等的两个三角形相似入手，使学生进一步通过推理证明上节课所得结论命题1的正确性，从而学会证明的方法，为后续证明判定定理2，3打下基础，感受转化的数学思想方法，感悟定理证明的完备性。
核心素养 以问题的形式，创设一个有利于学生动手和探究的情境，达到学会本节课所学的相似三角形的判定方法，培养学生积极的思考、动手、观察的能力，使学生感悟几何知识在生活中的价值，掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力。
学习 目标 1、理解并掌握相似三角形判定定理的证明； 2、能运用相似三角形的判定定理解决相关问题.
重点 相似三角形判定定理的证明
难点 学会合理添加辅助线
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1.判定两个三角形相似的方法有哪些？ 2.你能对它们进行证明吗？ 在上两节中，我们探索了三角形相似的条件，稍候我们将对它们进行证明． 学生思考，回答问题 复习证明相似三角形的判定定理，为后面的证明做好铺垫。
讲授新课 1.定理 两角分别相等的两个三角形相似 已知:如图在△ABC和△AB'C'中，∠A=∠A',∠B=∠B'. 求证:△ABC△A'B'C'. 证明:在△ABC的边AB(或它的延长线)上截取AD=A'B',过点D作DE∥BC交AC于点E, 则∠ADE=∠B,∠AED=∠C,= . 过点D作AC的平行线，交BC于点F,则 =. ∴ = ∵DE//BC, DF//AC,∴四边形DFCE是平行四边形， ∴DF=CF. ∴= ∴== 而∠ADE=∠B，∠DAE=∠BAC，∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC. ∵∠A=∠A',∠ADE=∠B=∠B', AD= A'B', ∴△ADE≌△A'B'C'. ∴△ABC∽△A'B'C'. 归纳总结：证明三角形相似的判定定理,关键是利用转化的数学思想,结合平行线分线段成比例,通过作辅助线,把一个三角形转移、构建到另一个三角形中，然后利用相似三角形的定义证明相似三角形的判定定理. 2.定理 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 已知:如图，在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', =，求证: ABC∽△A'B'C'. 证明：在△A′B′C′的边A′B′上截取点D，使A′D=AB.过点D作DE∥B′C′,交A′C′于点E. ∵DE∥B′C′, ∠ADE= ∠B′, ∠A ′ ED= ∠C′ ∴△A′DE∽△A′B′C′. ∴ ∵A′D=AB， ∴ ∴A′E=AC. 又∠A′=∠A. ∴△A′DE≌△ABC， ∴△A′B′C′∽△ABC. 判定定理3：三边成比例的两个三角形相似. 已知：如图，在△ABC 和△A'B'C'中， 求证：△ABC ∽△A'B'C' . 证明:在线段 AB (或延长线) 上截取 AD=A′B′， 过点 D 作 DE∥BC 交AC于点 E. ∵ DE∥BC ， ∴ △ADE∽△ABC. ∴ 又 ，AD=A′B′， ∴，. ∴ DE=B′C′，EA=C′A′. ∴△ADE≌△A′B′C′， ∴△A′B′C′ ∽△ABC. 问题1：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程共同点是什么？ 作平行线→相似→相等→相似 问题2：定理2，3的证明过程与定理1的证明过程的不同点是什么？ 定理2，3只作了1条辅助线，它在定理1的基础上证明的，简单一些． 典例精析 例、如图，正方形ABCD中，M为AB上一点，N为BC上一点，且BM=BN,BP⊥MC于点P.求证： PCD∽ PBN 证明：在正方形ABCD中,BC=CD,∠ABC=∠BCD=90°，BP⊥MC ∴∠BPC=∠MPB=90°,∠PBC=∠ PMC. ∴△BPM∽△CPB. ∴=. 又BM=BN,CB=CD，∴=. 又∵∠PBC+∠PCB=∠PCD+∠PCB =90° ∴∠PBC=∠PCD. ∴△PBN∽△PCD. 动画演示，学生试着解答 学生交流汇报之后，教师总结.. 学生解答，老师指导订正 学生思考、交流、讨论、解决问题. 学生独立完成 利用学生感兴趣的动画演示开始本节课的学习和探讨，更有助于培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣。 引导学生通过自主探究、合作交流，进一步熟悉证明文字命题的基本步骤:画图已知、求证、证明过程.同时通过分析问题,提高学生交流的能力和语言表达能力！ 在学生已有的知识背景和活动经验的基础上，为学生提供了操作、思考与交流的机会，让学生在合作交流中体验成功与快乐。 由于学生已经有了定理2证明的基本方法和思路,因此,定理3证明起来应该很顺利,可以大胆放手给学生,这样更能激发学生的求知欲望,让学生在不知不觉中感受学习数学的乐趣和成功的喜悦. 教师通过例题，提升学生综合运用知识和说理分析的能力
课堂练习 1．如图，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC边上，DE∥BC，若AD＝1，BD＝2，则DE:BC的值为(　 　) A.1:2 B.1:3 C.1:4 D.1:9　 2．如图，在 ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC＝(　 　) A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2 3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD＝2，DE＝1，则BC的长为_______． 4．△ABC中，AB=10 ，AC=6 ，点D在AC上且AD=3 ，若要在AB上找一个点E，使△ADE与△ABC相似，则AE= __ ． 5．如图，在正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N. (1)求证：△ABM∽△EFA； (2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长． 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
课堂小结 谈一谈这节课有什么收获？ 学生总结，分享收获 鼓励学生结合本节课的学习过程，自觉总结，并自觉地应用到现实之中，逐步形成正确的数学观，培养学生的审美意识。
板书 课题：4.5相似三角形判定定理证明 定理1 定理2 定理3
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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