高二数学下学期期末考试分类汇编：计数原理（含解析）

计数原理
基础练
一、单选题
1．（2021·北京市十一学校高二期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·广东中山·高二期末）对任意实数，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·重庆南开中学高二期末）若，则n=（ ）
A．l B．3 C．5 D．7
4．（2021·湖南师大附中高二期末）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
5．（2021·辽宁葫芦岛·高二期末）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·湖南·衡阳市八中高二期末）用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有（ ）
A．48个 B．64个
C．72个 D．90个
二、多选题
7．（2021·重庆南开中学高二期末）我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
8．（2021·辽宁辽阳·高二期末）现有个男生个女生，若从中选取个学生，则（ ）
A．选取的个学生都是女生的不同选法共有种
B．选取的个学生恰有个女生的不同选法共有种
C．选取的个学生至少有个女生的不同选法共有种
D．选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种
三、填空题
9．（2021·陕西·榆林市第十中学高二期末（理））风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.时值建党100周年，为深入开展党史学习教育，某街道党支部决定将4名党员安排到3个社区进行专题宣讲，且每名党员只去1个社区，每个社区至少安排1名党员，则不同的安排方法种数为__________.
10．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知，则_____．
11．（2021·河北·石家庄市第一中学东校区高二期末）的展开式的中间一项为______.
四、解答题
12．（2021·江苏省镇江第一中学高二期末）（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则有多少个不同的排法？
提升练
一、单选题
1．（2021·江苏南通·高二期末）琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·云南玉溪·高二期末（理））把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种．
A．60 B．72 C．96 D．150
3．（2021··高二期末）在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2021·北京市十一学校高二期末）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
二、多选题
5．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高二期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
6．（2021·辽宁丹东·高二期末）对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．存在，展开式中有常数项
B．对任意，展开式中没有常数项
C．对任意，展开式中没有x的一次项
D．存在，展开式中有x的一次项
7．（2021·湖南·衡阳市八中高二期末）关于及其展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中二项式系数和是 B．该二项展开式中第七项为
C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以100的余数是1
8．（2021·江苏常州·高二期末）若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
9．（2021·江苏·南京师大附中高二期末）(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为
A．a=2，n=5 B．a=1，n=6 C．a=－1，n=5 D．a=1，n=5
三、填空题
10．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有___________种.
11．（2021·湖北黄冈·高二期末）若，则被12整除的余数为______．
12．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）在的展开式中，的系数为_____．
四、解答题
13．（2021·江苏省镇江第一中学高二期末）（1）已知.
求：①；
②；
（2）在的展开式中，求：
①展示式中的第3项；
②展开式中二项式系数最大的项.
14．（2021·全国·高二期末）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（），若的展开式中，______.
（1）求的值；
（2）求的值.
参考答案：
基础练
一、单选题
1．（2021·北京市十一学校高二期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
将展开得，化简计算即可.
【详解】
∵，∴，化简可得，则.
故选：B
2．（2021·广东中山·高二期末）对任意实数，有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由，根据二项式定理可得特定项系数.
【详解】
因为，所以，
故选：A.
3．（2021·重庆南开中学高二期末）若，则n=（ ）
A．l B．3 C．5 D．7
【答案】D
【解析】
根据组合数的性质，将方程化简整理，即可求解.
【详解】
由，根据组合数的性质可得：，
则，解得.
故选：D.
4．（2021·湖南师大附中高二期末）已知的展开式中各项的二项式系数的和为512，则这个展开式中的常数项为（ ）
A．－34 B．－672 C．84 D．672
【答案】B
【解析】
由二项式系数公式求得，再根据通项公式令指数为0解出参数然后代回公式求得常数项.
【详解】
由已知，，则，所以.
令，得，所以常数项为，
故选：B．
【点晴】
方法点晴：求二项式展开式的指定项问题，一般由通项公式建立方程求参数，再代回公式求解.
5．（2021·辽宁葫芦岛·高二期末）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
化简集合，再求集合交集．
【详解】
由，则
故选：C
6．（2021·湖南·衡阳市八中高二期末）用数字1，2，3，4，6可以组成无重复数字的五位偶数有（ ）
A．48个 B．64个
C．72个 D．90个
【答案】C
【解析】
根据排列的定义，结合分步计算原理进行求解即可
【详解】
满足条件的五位偶数有：.
故选：C.
二、多选题
7．（2021·重庆南开中学高二期末）我国古代著名的数学著作中，《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《孙丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《级术》和《纠古算经》，称为“算经十书”，某老师将其中的《周碑算经》、《九章算术》、《孙子算经）、《五经算术》、《缀术》和《缉古算经》6本书分给5名数学爱好者，其中每人至少一本，则不同的分配方法的种数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AD
【解析】
先选出一个人分得两本书，剩余四人各分得一本书，再利用分步乘法计数原理相乘即得结果.
【详解】
依题意，6本书分给5名数学爱好者，其中一人至少一本，则有一人分得两本书，剩余四人各分得一本书，
方法一：分三步完成，
第一步：选择一个人，有种选法；
第二步：为这个人选两本书，有种选法；
第三步: 剩余四人各分得一本书，有种选法.
故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为，故A正确；
方法二：分两步完成，
第一步：先分组，选择两本书，将书分成“2+1+1+1+1”的五组，有种选法；
第二步：将五组分配给五个人，有种选法.
故由乘法原理知，不同的分配方法的种数为，故D正确.
故选：AD.
8．（2021·辽宁辽阳·高二期末）现有个男生个女生，若从中选取个学生，则（ ）
A．选取的个学生都是女生的不同选法共有种
B．选取的个学生恰有个女生的不同选法共有种
C．选取的个学生至少有个女生的不同选法共有种
D．选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种
【答案】AC
【解析】
【分析】
根据组合的定义和分步计数原理即可求出．
【详解】
解：选取的个学生都是女生的不同选法共有种，
恰有个女生的不同选法共有种，
至少有个女生的不同选法共有种，
选取的个学生至多有个男生的不同选法共有种.
故选：AC
三、填空题
9．（2021·陕西·榆林市第十中学高二期末（理））风雨苍黄百年路，高歌奋进新征程.时值建党100周年，为深入开展党史学习教育，某街道党支部决定将4名党员安排到3个社区进行专题宣讲，且每名党员只去1个社区，每个社区至少安排1名党员，则不同的安排方法种数为__________.
【答案】36
【解析】
【分析】
根据题意，分2步进行分析：先将党员分成3组，再将三组党员安排到三个社区，由分步计数原理可以计算答案.
【详解】
解：根据题意得：
第一步：先将4名党员分成三组，一共有种分法；第二步：然后将分好的3组安排到3个社区，有种分法，根据分步计数法可知不同的安排方法数共有种.
故答案为：
10．（2021·宁夏·青铜峡市宁朔中学高二期末（理））已知，则_____．
【答案】
【解析】
【分析】
令分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值.
【详解】
令得：，
令得：，
.
【点睛】
赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法.
11．（2021·河北·石家庄市第一中学东校区高二期末）的展开式的中间一项为______.
【答案】924
【解析】
【分析】
根据二项式的展开式通项公式，以及展开式的项数，即可求出展开式的中间一项．
【详解】
解：的展开式通项公式为：
，
令，得，
即展开式的中间一项为．
故答案为：924
四、解答题
12．（2021·江苏省镇江第一中学高二期末）（1）用0到9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位偶数？
（2）六个人从左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则有多少个不同的排法？
【答案】（1）328个；（2）216种.
【解析】
（1）分类讨论是否在末位，结合分类加法计数原理以及分步乘法计数原理求解即可；
（2）当最左端排甲时，剩下5人全排列，当最左端只排乙时，先安排甲的位置，再安排剩下3人的位置.
【详解】
解：（1）首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有（个）
当0不排在末位时，有（个）
于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有（个）
（2）最左端排甲，共有种
最左端只排乙，最右端不能排甲，有种
根据加法原理可得，共有种.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键是优先安排特殊元素，再分类讨论得出所有的排法.
提升练
一、单选题
1．（2021·江苏南通·高二期末）琵琶、二胡、编钟、箫笛、瑟、琴、埙、笙和鼓这十种民族乐器被称为“中国古代十大乐器”.为弘扬中国传统文化，某校以这十种乐器为题材，在周末学生兴趣活动中开展了“中国古代乐器”知识讲座，共连续安排八节课，一节课只讲一种乐器，一种乐器最多安排一节课，则琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出全部的结果总数为，再求出琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的基本事件总数为，再利用古典概型的概率求解.
【详解】
从这十种乐器中挑八种全排列，有情况种数为.从除琵琶、二胡、编钟三种乐器外的七种乐器中挑五种全排列，有种情况，再从排好的五种乐器形成的6个空中挑3个插入琵琶、二胡、编钟三种乐器，有种情况，故琵琶、二胡、编钟一定安排，且这三种乐器互不相邻的情况种数为.
所以所求的概率，
故选：B.
【点睛】
方法点睛：排列组合常用的方法有：一般问题直接法、相邻问题捆绑法、不相邻问题插空法、特殊对象优先法、等概率问题缩倍法、至少问题间接法、复杂问题分类法、小数问题列举法.
2．（2021·云南玉溪·高二期末（理））把5名同学分配到图书馆、食堂、学生活动中心做志愿者，每个地方至少去一个同学，不同的安排方法共有（ ）种．
A．60 B．72 C．96 D．150
【答案】D
【解析】
先把5名同学分成组，有两种情况，再将他们分配下去即可求出．
【详解】
5名同学分成组，有两种情况，故共有种分组方式，再将他们分配到图书馆、食堂、学生活动中心有种方式，根据分步乘法计数原理可知，不同的安排方法共有种．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查有限制条件的排列组合问题的解法应用，解题关键是对“至少”的处理，属于中档题．方法点睛：常见排列问题的求法有：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数．
3．（2021··高二期末）在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
利用二项式系数的性质：展开式中间项二项式系数最大，得，得出n的值.
【详解】
在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大，即中间项项的二项式系数最大， 即，解得：
故选：C．
【点睛】
结论点睛：本题考查二项式系数的性质，在的展开式中，若n是偶数时，中间项项的二项式系数最大；若n是奇数时，中间两项与项的二项式系数相等且最大．
4．（2021·北京市十一学校高二期末）用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有
A．144个 B．120个 C．96个 D．72个
【答案】B
【解析】
【详解】
试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．
解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；
分两种情况讨论：
①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，
②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，
共有72+48=120个．
故选B
考点：排列、组合及简单计数问题．
二、多选题
5．（2021·河北·衡水市冀州区第一中学高二期末）甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】ABCD
【解析】
【分析】
对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题即解.
【详解】
对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确，
对于B，最左端排甲时，有种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24+18=42种,故正确，
对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有种，故正确，
对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故正确．
故选：ABCD．
6．（2021·辽宁丹东·高二期末）对于二项式，以下判断正确的有（ ）
A．存在，展开式中有常数项
B．对任意，展开式中没有常数项
C．对任意，展开式中没有x的一次项
D．存在，展开式中有x的一次项
【答案】AD
【解析】
【分析】
利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案．
【详解】
设二项式展开式的通项公式为，
则，
不妨令，则时，展开式中有常数项，故答案A正确，答案B错误；
令，则时，展开式中有的一次项，故C答案错误，D答案正确．
故选：AD
7．（2021·湖南·衡阳市八中高二期末）关于及其展开式，下列说法正确的是（ ）
A．该二项展开式中二项式系数和是 B．该二项展开式中第七项为
C．该二项展开式中不含有理项 D．当时，除以100的余数是1
【答案】BD
【解析】
求出二项式系数和判断A；求出二项展开式中第七项判断B；根据最后一项是有理项判断C；利用二项展开式的应用和整除问题的应用判断D．
【详解】
对于A，该二项展开式中二项式系数和是，故错误；
对于B，由于，即该二项展开式中第七项为，故正确．
对于C，该二项展开式中，最后一项为，是有理项，故错误．
对于D，当时，，除了最后一项（最后一项等于1），前面的所有项都能被100整除，即当时，除以100的余数是1，故正确．
故选：BD.
【点睛】
方法点睛：二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
8．（2021·江苏常州·高二期末）若，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．展开式中二项式系数和为
C．展开式中所有项系数和为
D．
【答案】ACD
【解析】
对于A，利用赋值法令，并结合题目条件，即可求出，从而可求出；对于B，根据二项展开式中二项式系数和为，即可判断B选项；对于C，由于已求出，利用赋值法，即可求出展开式中所有项系数和；对于D，对原式进行求导，再令，即可得出的结果.
【详解】
解：对于A，令，可得，
即，
即，①
令，得，即，②
由于的展开式中，所以，③
所以①-②-③得：，
而，
所以，解得：，故A正确；
对于B，由于，则，
所以展开式中二项式系数和为，故B错误；
对于C，由于，则的所有项系数为
，故C正确；
对于D，由于，则，
等式两边求导得：，
令，则，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
关键点点睛：本题考查根据二项式的系数和求参数，以及所有项的二项式系数和的求法，利用赋值法求各项系数和是解题的关键，考查学生运用和计算能力.
9．（2021·江苏·南京师大附中高二期末）(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，n的值可能为
A．a=2，n=5 B．a=1，n=6 C．a=－1，n=5 D．a=1，n=5
【答案】CD
【解析】
【分析】
每个(1＋ax＋by)中取1，ax，by之一求得乘积构成(1＋ax＋by)n的展开式中的每一项，利用组合知识得出所有系数的绝对值，结合二项式定理即可得解.
【详解】
(1＋ax＋by)n的展开式可以看成n个(1＋ax＋by)，每个(1＋ax＋by)中取1，ax，by之一求得乘积构成的每一项，
(1＋ax＋by)n的展开式中不含y的项的系数的绝对值的和为32，
即，即，
结合四个选项则a，n的值可能为：a=－1，n=5，或a=1，n=5
故选：CD
【点睛】
此题考查二项式定理的应用，关键在于弄清多项式展开式的求法，结合组合知识和二项式定理求解.
三、填空题
10．（2021·天津市红桥区教师发展中心高二期末）共五人站成一排，如果必须站在的右边，那么不同的排法有___________种.
【答案】
【解析】
【分析】
首先将C、D、E排序，再将作为整体插入队列中的一个空或分别插入队列中的两个空，即可得不同的排法数.
【详解】
1、将C、D、E排成一列，有种，
2、把作为整体插入4个空中，有种，或分别插入4个空中的2个空中，有种，
所以共有种.
故答案为：60.
11．（2021·湖北黄冈·高二期末）若，则被12整除的余数为______．
【答案】0
【解析】
根据题意，给自变量赋值，取和，两个式子相减，得到的值，用二项展开式可以看出被12整除的结果，得到余数．
【详解】
在已知等式中，取得，
取得，
两式相减得，
即，
因为
能被12整除，所以则被12整除，余数是0.
故答案为：0.
【点睛】
本题考查二项式定理的应用和带余除法，本题解题的关键是利用赋值的方法、利用二项式定理得到式子的结果，属于中等题．
12．（2021·湖南·宁乡市教育研究中心高二期末）在的展开式中，的系数为_____．
【答案】120
【解析】
【分析】
先把变形为，再利用二项式定理中的通项公式求出结果．
【详解】
，
的系数为．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用
四、解答题
13．（2021·江苏省镇江第一中学高二期末）（1）已知.
求：①；
②；
（2）在的展开式中，求：
①展示式中的第3项；
②展开式中二项式系数最大的项.
【答案】（1）①；②；（2）①；②或.
【解析】
（1）①运用赋值法，令，求得，令，求得，由此可求得答案.
②由二项式的展开式判断、、、都大于零，而、、、都小于零，令，可求得答案；
（2）先求出展开式的通项公式，①令时，求展示式中的第3项；
②令或3时，求得二项式系数最大项．
【详解】
解：（1）令，则，
令，则.
①∴.
②∵展开式中，、、、都大于零，而、、、都小于零，
∴，
令，则.
所以.
（2）的展开式中第项为，
①当时，所以展示式中的第3项为.
②或3时，二项式系数最大，
时，由（1）知，
时，．
【点睛】
方法点睛：求最大二项式系数时：如果n是奇数，最大的就是最中间一个，如果n是偶数,最大的就是最中间两个；
求系数的最大项时：设第r+1项为系数最大项，需列出不等式组，解之求得.
14．（2021·全国·高二期末）在①只有第6项的二项式系数最大，②第4项与第8项的二项式系数相等，③所有二项式系数的和为，这三个条件中任选一个，补充在下面（横线处）问题中，解决下面两个问题.
已知（），若的展开式中，______.
（1）求的值；
（2）求的值.
【答案】（1）10；（2）
【解析】
【分析】
（1）分别选择不同方案，根据展开式系数关系即可求出；
（2）令和可求出.
【详解】
（1）选择条件①，
若的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则，
；
选择条件②，
若的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则，
；
选择条件②，
若的展开式中所有二项式系数的和为，则，
；
（2）由（1）知，则，
令，得，
令，则，
.
【点睛】
本题考查二项展开式系数关系