第十九章 四边形
19.1 平行四边形
课时安排:8课时
第1课时 19.1.1 平行四边形的性质(1)
三维目标
1、 知识与技能
1、平行四边形的概念。
2、平行四边形的性质。
2、 过程与方法
1、经历探索平行四边形有关概念和性质的过程,使学生理解平行四边形的概念和性质。
2、探索平行四边形的对边相等、对角相等的性质并能掌握应用它解决问题。
3、 情感态度与价值观
在进行探索的活动中培养学生合作交流的意识与合情的推理能力。
教学重点
平行四边形的性质。
教学难点
理解并应用平行四边形的性质。
教学准备:纸、剪刀、多媒体.
教学过程:
1、 创设情景,引入课题
1、 欣赏图片,激发学生的学习兴趣和求知欲。让我们一起走进神秘而有趣的四边形的世界吧!
学生欣赏完图片后提出问题:在这些图片中有哪些你熟悉的几何图形吗 然后通过实际问题1(下巩固有)引出大课题: 平行四边形的性质的探索。
2、 请同学们拿出准备好的剪刀、纸一张,我们来个剪纸活动,将一张纸对折,剪下两张叠放的三角形纸片,拼图:
(1)两张纸片拼成了怎样的图形?它是四边形吗?
(2)这个图形中有哪些相等的角?有没有互相平行的线段?
(3)用简洁的语言刻画这个图形的特征,并与同伴交流。
通过学生们的探索、交流,发现其特征是“两组对边分别平行的四边形”,引出课题:平行四边形的性质。
2、 新知识探索
1、 平行四边形的概念。
通过学生的回答及时提出问题:你是怎样判断的?从而得出:判断一个图形是否是平行四边形必须满足(1)图形是四边形;(2)两组对边分别平行。为后面画平行四边形做铺垫。
2、 如图:连结BD,沿BD剪开平行四边形ABCD,这时平行四边形ABCD就变成△ABD和△BCD,然后把这两个三角形重合,这样就通过剪—拼—分—合的方法得出平行四边形的性质。
平行四边形的性质:平行四边形的对边相等,平行四边形的对角相等。
用几何语言叙述: 四边形ABCD是平行四边形 =〉 BC = AD , AB = CD
四边形ABCD是平行四边形 =〉 ∠B = ∠D ,∠A =∠C
研究对象 研究结果 几何表示
对边
邻边
对角
邻角
对角线
3、学生证明性质。
4、学生归纳性质(表):
3、 巩固练习:
巩固(一):
实际问1:生物实验室有一块平行四边形的玻璃片,在做生物实验时,小华一不小心碰碎了一部分(如图所示,两边完整),同学们!有没有办法把原来的平行四边形碰碎的角测出来呢?周长呢?
问题2 :在平行四边形ABCD中,已知∠A =32。,求其余三个角的度数。
问题3 :已知在平行四边形ABCD中,AB=6cm,BC=4cm,求ABCD的周长。
巩固(二):练习1、2、3
巩固(三):1、如下图,在平行四边形ABCD中,已知∠A=50°,AB = 9,周长等于28,①求其他各个内角的度数;
②求其余三条边的长。
选做题:2、如右图,从等腰三角形底边上任一点,
分别作两腰的平行线,所成的平行四边形周长
与它的腰长之间的关系如何?说说你的理由。
四、课堂小结,感悟与收获
1、 这节课我们学习了什么内容呢?
2、 用什么方法来探索平行四边形的概念和特征?
五、布置作业:课本 P99 1、2
六.板书设计
19.1.1 平行四边形的性质(1)
1.平行四边形的定义
(1) 四边形的对边、对角、对角线
(2) 平行四边形的定义
2.平行四边形的性质
对边相等;对边平行;对角相等
3.课堂练习
4.小结
第2课时 19.1.1 平行四边形的性质(2)
三维目标
1、 知识与技能
1、能正确说出平行四边形的对角线互相平分的性质;知道平行四边形面积的计算方法。
2.会用平行四边形的对角线互相平分的性质,进行有关的论证和计算。
2、 过程与方法
1、经历探究平行四边形的性质,在此活动中发展学生的合作、创新意识。
2、探索并掌握平行四边形对角线互相平分的性质;掌握平行线之间的距离处处相等的结论并会简单的应用。
3、 情感态度与价值观
1、在探究活动中,引导学生学会独立思考、自主探索、合作交流的科学探究方法。
3、 解决平行四边形问题的基本思路是化四边形为三角形来处理,渗透转化的思想。
教学重点:
平行四边形的对角线互相平分的性质。
教学难点:
运用平行四边形的性质解决有关图形的计算(或证明)问题。
教学设计
教学过程:
一.提出问题
1.提问:平行四边形是一个特殊的图形,它的边、角各有什么性质?
(对边平行且相等,对角相等、邻角互补)
2.问题:平行四边形除了边、角的性质外?还有没有其他的性质?
二.探究新知
1、 个人实验
按课本第94页的“探究”方法进行操作,并画出这两个平行四边形的对角线,实验后思考:
(1) 从这个实验中你是否发现平行四边形的边、角之间的关系?这与前面的结论一致吗?
(2) 线段OA与OC,OB与OD有什么关系(如下图)?
由此你能发现平行四边形的对角线有什么性质?
2、 讨论、猜想:
这个环节让学生把自己的想法与同学交流、讨论,再把这种猜想归纳成文字表述:平行四边形的对角线互相平分。
3、 证明:让学生独立尝试进行,再进行合作交流,最后教师讲评,给出板书。讲评突出以下几方面:
(1) 用什么方法证明两条线段相等?
(2) 在证明三角形全等时,运用了平行四边形的哪些性质?
(3) 学生书写方面或思维方面的问题。
4、 最后给出结论
指出:平行四边形ABCD绕它的中心O旋转180度后与自身重合,这时我们我是中心对称图形。
三.应用新知
1、 例题:如图,四边形ABCD是平行四边形,AB=10,AD=8,AC⊥BC,
试求:BC、CD、CA、OA的长
处理方法:其中求BC、CD的长采用口答的方式完成,求AC、OA的长采用启发的方式完成,并给出板书。
启发:(1)根据题目中的条件,能否直接求出线段AC的长?你用什么方法?
(2)求出线段AC的长后,能否求出线段OA的长?根据什么?
(3)平行四边形的面积公式是怎样的?根据这些条件能求平行四边形ABCD的面积吗?
2、 补充例题:已知:如上图,平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O。E、F分别是OA、OC的中点。
求证:△OBE≌△ODF
处理方法:在学生独立思考后,让学生来讲解,然后教师进行一些矫正或补充,最后把叙述过程板书示范。鼓励学生用不同的方法解决。
4、 学生练习:
见课本第95页练习第1、2题。
五.课堂小结:本节课我们学习了什么?
六.板书设计
19.1.2平行四边形的性质(2)
1、平行四边形的性质
平行四边形的对角线互相平分。
2.应用举例
补充例题
3.随堂练习
4.小结
第3课时 19.1.2 平行四边形的判定(1)
三维目标
1. 知识与技能
1.掌握平行四边形的判定方法1与判定方法2。
2.会用平行四边形的两个判定方法解决简单的实际问题。
2. 过程与方法
1.经历平行四边形判别条件的探索过程,使学生逐步掌握说理的基本方法。
2.通过类比和逆推的方法探索并掌握平行四边形的判别条件;两组对边分别相等的四边形是平行四边形;对角线互相平分的四边形是平行四边形。
3. 情感态度与价值观
1.在探究活动中,发展学生的合情推理意识与主动探究的习惯。
2.通过探索式证明法开拓思路,发展学生的思维能力。
教学重点
掌握平行四边形的判别条件。
教学难点
灵活应用平行四边形的判别条件。
教具准备
教学过程:
一、复习提问
1、 平行四边形的性质定理:
边:两组对边分别平行;两组对边分别相等;
角:两组对角分别相等;对角线:两条对角线互相平分。
2、提出问题,解决问题:
小花猫有一块平行四边形纸片,被小黑狗扯去了一些。巧的是刚好从A这个顶点撕开,另一边剩下一小段线段,你只有两把直尺,你能帮它补好吗?(目的是激发学生的创造,探索欲望)
方法1:过A点作BC的平行线交 CM的延长线于D。
依据:平行四边形的定义。
方法2:延长CM,使CD=AB,连接AD。
提示:目前证明四边形是平行四边形,只能根据什么?此题中已有什么条件?还需证明什么?
判定1:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
判定2:对角线互相平分的四边形是平行四边形。
二.应用新知:
1. 已知:如图,平行四边形ABCD中,E、F分别是边AB,CD的中点。求证:EF=BC
提示 (变换:求证DE=BF)
归纳:证明两线段相等除了以前常用的全等三角形,等腰三角形等,现在可以利用平行四边形的性质。
2、例3:平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O,E、F是AC上两点,并且AE=CF。求证:四边形BFDE是平行四边形。
3.猜测论证:
(1)一组对边平行,另一组对边相等;(2)一组对边相等,另一组对边也相等。
答:1错,如等腰梯形;
2对,并请一学生口答证明。
4、归纳三种判定平行四边形的方法:
(1)根据定义;
(2)平行四边形的判定定理1;
(3)平行四边形的判定定理2;
三.巩固练习
练习1:在同一平面内,把两个全等的三角形(如图)拼在一起,并使一组对应边互相重合,所得的图形是否一定是平行四边形?
练习2:在平行四边形ABCD中,点E、F分别在BC、AD上,且3AF=AD, 3CE=BC,AE与BF交于点G,CF与DE交于H。(1)求证:EF和GH互相平分(2)怎样才能保证EF和GH总是互相平分?为什么?
四.课堂小结
(1)学会了补平行四边形;
(2)知道了判定平行四边形的三个方法:
a、根据定义;b、平行四边形判定定理1; c、平行四边形判定定理2;
(3)会运用平行四边形的性质定理,判定定理解决有关的问题。
五.布置作业 :课本P100 4、5题
六.板书设计
19.1.2平行四边形的判定(1)
1.平行四边形的判定方法。
两组对边分别平行的四边形是平行四边形。(定义)
两组对边分别相等的四边形是平行四边形。(判定定理1)
两组对角分别相等的四边形是平行四边形。(推论)
对角线互相平分的四边形是平行四边形。(判定定理2)
2.应用举例
例:证法一 证法二
3.随堂练习
4.小结
第4课时 19.1.2平行四边形的判定(2)
三维目标
一.知识与技能
1.掌握平行四边形的判定方法。
2.应用平行四边形的判定方法解决简单的实际问题。
二.过程与方法
1.经历平行四边形判别条件的探索过程,逐步熟悉说理和合理的逻辑推证方法。
2.探索并掌握:“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法。
三.情感态度与价值观
1.在探究活动中,发展学生的合情推理意识与主动探究的习惯。
2.在探索平行四边形的判定方法的过程中,开拓学生思路,发展思维能力。
3.在解决平行四边形问题的过程中,不断渗透转化思想。
教学重点
掌握平行四边形的判别条件。
教学难点
灵活应用平行四边形的判别条件解决实际问题。
教具准备
教学过程
一、复习提问,引入新课
1. 平行四边形有什么性质
2. 我们学习了哪些平行四边形的判定定理?
二.讲授新课
1、平行四边形的判定定理3:两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
已知:如图1,四边形ABCD中。
求证:四边形ABCD是平行四边形。
图1
分析:四边形的内角和是,又知道对角相等,容易由同旁内角互补来证明两组对边分别平行。
平行四边形的判定定理4:对角线互相平分的四边形是平行四边形。
已知:如图2,四边形ABCD中,对角线AC、BD 交于O点,且,。
求证:四边形ABCD是平行四边形。
图2
三.例题讲解
例1 已知:如图3,E、F是平行四边形ABCD对角线AC上两点,且AE=CF。
求证:四边形BFDE是平行四边形。
图3
证明:连结BD交AC于O。
这道题,还可以利用用对边相等或平行来判定平行四边形,相比之下使用对角线较简便。
例2 已知:如图4,
求证:四边形ABCD是平行四边形。
图4
分析:1. 由于,所以AD//BC,只要再证AD=BC即可。
2. 由于DE平行且等于BF,可证DB与EF互相平分,但要使DB与AC互相平分,还需证AE=CF。
证明:
四.巩固练习
1. 如图5,四边形AECF是平行四边形,。
求证:四边形ABCD是平行四边形。
图5
证明:
2. 如图6,平行四边形ABCD中,BE=DF,AG=CH。
求证:四边形GEHF是平行四边形。
图6
证法(一):
连结EF交AC于O点。
证法(二):
五.课堂小结
我们学行四边形的定义,性质、判定、画法。平行四边形的性质和判定尤为重要,同学们要掌握好。
六.布置作业
习题19.1 4、5、6题
七.板书设计
19.1.2平行四边形的判定(2)
1.平行四边形的判定方法。
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
2.应用举例
3.随堂练习1、2
4.小结:平行四边形的判定。
第6课时 19.1.2 平行四边形的判定(三)
――练习课
教学目的:
1、掌握平行四边形的判定定理3,会用这些定理进行有关的论证和计算;
2、培养学生的观察能力、动手能力自学能力、计算能力、逻辑思维能力;
3、在教学中渗透事物总是相互联系又相互区别的辨证唯物主义观点。
教学重点:平行四边形的判定定理3。
教学难点:判定定理的证明方法及运用。
教学过程:
1、 复习创情导入
1、复习:
2、平行四边形的性质定理3的逆命题是否是真命题?
二、综合概括
1、提出问题:
1、平行四边形的性质定理3的逆命题是否是真命题?根据题设和结论写出已知求证;
2、如何证明性质定理3的逆命题?
3、有几种方法可以证明?
4、例2的证明中,运用了哪些性质及判定?是否有其他方法?
5、例3的证明中,运用了哪些性质及判定?是否有其他方法?
2、反馈应用:
已知:如图:在四边形ABCD中,,AC、BD相交于O,OA=OC, OB=OD。
求证:四边形ABCD是平行四边形。
证明:依据:(三种方法)
两组对边分别相等(课本);
两组对角分别相等;
平行四边形的定义:两组对边分别平行。(用简单的)
例2,已知:E、F是平行四边形ABCD对角线AC上的两点,并且A E=CF,如图,求证:四边形BFDE是平行四边形。
证明方法:(对角线互相平分)课本;两组对边分别平行)。
例3,延长三角形ABC的中线BD至E,使DE=BD,连结AE、CE,如图,求证:∠BAE=∠BCE。
证明方法:∠BAE=∠BCE-----平行四边形ABCD,------对角线互相平分。
3、深化创新:
目前,我们研究平行四边形的哪些性质和判定:
平行四边形的性质:对边平行;对边相等;对角线互相平分;夹在平行线间的平行线段相等;对角相等;邻角互补;
平行四边形的判定:两组对边平行;两组对边相等;两组对角相等;对角线互相平分的四边形;
三.课后练习
1. 已知:AC是平行四边形ABCD的对角线,于N。求证:四边形BMND是平行四边形。
2. 已知:如图8,平行四边形ABCD中,。
求证:MN//EF。
图8
3. 已知:如图9,AB//DC,,AE=CF,BE=DF。求证:EF与AC互相平分。
第7课时 19.1.2平行四边形的判定(4)
三维目标
一.知识与技能
应用平行四边形的性质与判定得出三角形中位线定理。
二.过程与方法
1.总结平行四边形的性质与判定方法。
2.经历探究三角形中位线定理的过程,体会转化思想在数学中的重要性
3.掌握三角形与平行四边形的相互转化,学会基本的添辅助线法。
三.情感态度与价值观
1.在探究活动中,培养学生的自主思考习惯,提高合情的推理意识。
2.在解决实际问题的过程中,不断渗透转化思想,发展推理能力。
教学重点
应用平行四边形的性质和判定得出三角形中位线定理。
教学难点
1.合理添加辅助线。
2.三角形与平行四边形之间的合理转化。
教学方法:采用“讲授法”教学
教具准备
教学过程
一、回顾交流,归纳提升
1、教师提问:1.平行四边形的定义是什么?
2.平行四边形具有哪些性质?
3.平行四边形是如何判定的?
2、课堂演练:
如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于O,E、F分别为BO、DO的中点.求证:AF∥CE.(请你用两种方法证明)
思路点拨:方法1:证明△AOF≌△COE,推出∠AFE=∠CEF,从而得证AF∥CE.方法2:连结AE,CF,去证明四边形AECF为平行四边形.
3、师生共识
构图:
二、问题牵引,导入新知
例4 如图,点D,E分别是△ABC的边AB、AC的中点,求证DE∥BC,且DE=BC.
思路点拨:对于证明某条线段是某条线段的一半,常用的几何方法是“加倍法”,“折半法”,通过三角形全等把问题化归到平行四边形问题中去,然后再利用平行四边形的有关概念、性质来解决.本题可以延长DE到F,使EF=DE,通过连结AF、FC、CD把问题转化到ADCF中去,再根据平行四边形性质证明DBCF.
教师板书例4证法:(见课本P98)
2、教师问题:还有没有不同于课本的证法呢?
参考证法:
证法:延长DE到F使得EF=DE,连结FC,证△ADE≌△FEC,得到AD=FC(割补法),再利用BDCF证出DBCF,从而得到DF=BC,推出DE=BC,DE∥BC.
三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.
三角形中位线定理:三角形中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半.
教师提问:一个三角形有几条中位线?中位线和三角形的中线一样吗?
学生回答:有三条中位线,中位线是两边中点连线段;而中线是顶点和对边中点的连线段,因此它们不同.
三、随堂练习,巩固深化
1.课本P99 “练习”1,2,3.
2.课后补充
如图,已知BE、CF分别为△ABC中∠B、∠C的平分线,AM⊥BE于M,AN⊥CF于N,求证:MN∥BC.
(提示:延长AN,AM,证AN=NR,AM=MQ.利用三角形中位线定理可证).
四、课堂总结,发展潜能
1.三角形中位线定理:三角形两边中点的连线是三角形的中位线;三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.三角形的中位线是三角形中一条重要的线段,三角形中位线定理在许多计算及证明中都要用到.
2.把握三角形中位线定理的应用时机:
(1)题目的条件中出现两个或两个以上的线段中点;
(2)题目的条件中虽然只有一个(线段的)中点,但过这点有直线平行于过中点所属线段端点的直线.
3.利用三角形中位线定理,添加辅助线的方法有:
五、布置作业
课本P100~102 习题19.1 7,8,13,14
六.板书设计
19.1.2平行四边形的判定(4)
1.平行四边形的判定方法总结。
2.三角形的中位线
(1)提出问题
(2)议一议
(3)证一证
3.小结
4.随堂练习
第8课时 三角形中位线的练习课
1.已知△ABC中,AB:BC:CA=3:2:4且AB=9cm,D、E、F分别是AB、BC、AC的中点,则△DEF的周长是________.
2.已知△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,F为BC上一点,EF=BC,∠EFC=35°,则
∠EDF=________.
3.顺次连结四边形各边中点所得到的四边形是___________.
4.如图,△ABC中,AD是∠BAC的平分线,CE⊥AD于E,M为BC的中点,AB=14cm,AC=10cm,求ME的长.
5.已知△ABC中,AD⊥BC于D,E、F、G分别是AB、BD、AC的中点,EG=EF,AD+EF=9cm,求△ABC面积.
6.已知:在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,∠AEB=∠CED.F为BC的中点.求证:AF=DF=(BF+CE).
7.如图,在ABCD中,E、F是对角线AC的两个三等分点,求证:四边形BFDE是平行四边形.
8.已知五边形ABCDE中,AC∥ED,交BE于点P,AD∥BC,交BE于点Q,BE∥CD,求证:△BCP≌△QDE.