人教版九年级上册 24.1.4 圆周角课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.4 圆周角
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理.
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理解
决简单的几何问题.（重点、难点）
3.理解掌握圆周角定理的推论及其证明过程和运用. （难点）
学习目标
视频引入
导入新课
C
A
E
D
B
思考： 图中过球门A、E两点画圆，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B、C、D有关（张开的角度大小）、仅从数学的角度考虑，球员应选择从哪一点的位置射门更有利？
圆周角的定义
一.
问题1 什么叫圆心角？指出图中的圆心角？
合作探究
问题2 ∠ABE的顶点和边有哪些特点
∠ABE的顶点在☉O上，角的两边分别交☉O于A、E两点.
顶点在圆心的角叫圆心角，如∠AOE .
顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.
（两个条件必须同时具备，缺一不可）
讲授新课
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判一判：下列各图中的∠BAC是否为圆周角并简述理由.
（2）
（1）
（3）
（5）
（6）
顶点不在圆上
边AC没有和圆相交
√
√
√
（4）
顶点不在圆上
如图，连接BO,CO,得圆心角∠BOC.试猜想∠BAC与∠BOC存在怎样的数量关系.
圆周角定理及其推论
二.
测量与猜测
圆心O 在∠BAC的 内部
圆心O在∠BAC的一边上
圆心O在∠BAC
的外部
推导与论证
圆心O在∠BAC的一边上（特殊情形）
OA=OC
∠A= ∠C
∠BOC= ∠ A+ ∠C
圆心O在∠BAC的内部
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
O
A
C
D
O
A
B
D
圆心O在∠BAC的外部
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
圆周角定理：
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆周角定理
要点归纳
问题1 如图，OB，OC都是⊙O的半径，点A ，D 是⊙O上任意两点，连接AB，AC，BD，CD.∠BAC与∠BDC相等吗？请说明理由.
D
互动探究
∴∠BAC=∠BDC.
解：相等.理由如下：
D
A
B
O
C
E
F
问题2 如图，若 ∠A与∠B相等吗？
想一想：反过来，若∠A=∠B，那么 成立吗？
解：相等.理由如下：
圆周角定理的推论1
同弧或等弧所对的圆周角相等.
知识要点
A1
A2
A3
想一想
如图，线段AB是☉O的直径，点C是☉O上的任意一点（除点A、B外），那么∠ACB就是直径AB所对的圆周角.想一想，∠ACB会是怎样的角？
·
O
A
C
B
解：∵AB是直径，点O是圆心，
∴∠AOB=180°.
∵∠ACB是直径AB所对的圆周角，
∴∠ACB= ∠AOB=90°.
能不能直接运用圆周角定理解答？
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
知识要点
圆周角定理的推论2
例1 如图，分别求出图中∠x的大小.
60°
x
30°
20°
x
解：(1)∵同弧所对圆周角相等，∴∠x=60°.
A
D
B
E
C
(2)连接BF，
F
∵同弧所对圆周角相等，
∴∠ABF=∠D=20°，∠FBC=∠E=30°.
∴∠x=∠ABF+∠FBC=50°.
例2 如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，∠ACD=60°，∠ADC=70°.求∠APC的度数.
.
O
A
D
C
P
B
解：连接BC，则∠ACB=90°.
∴∠DCB＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°=30°.
∴∠BAD=∠DCB=30°.
∴∠APC=∠BAD＋∠ADC＝30°＋70°＝100°.
例3 如图，⊙O的直径AB为10 cm，弦AC为6 cm．
∠ACB的平分线交⊙O于点D, 求BC，AD，BD的长．
解：如图，连接OD．
在Rt△ABC中，
D
C
B
A
O
∴ ∠ACB=∠ADB=90°.
∵AB是直径，
又在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2，
∵CD平分∠ACB，
解答圆周角有关问题时，若题中出现“直径”这个条件，则考虑构造直角三角形来求解.
归纳
D
C
B
A
O
∴AD=BD.
∴ ∠AOD=∠BOD.
∴∠ACD=∠BCD.
如果一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形
三.
如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，⊙O为四边形ABCD的外接圆.
探究性质
猜想：∠A与∠C, ∠B与∠D之间
的关系为：
∠A+ ∠C=180 ，
∠B+ ∠D=180 .
想一想：
如何证明你的猜想呢？
∵ ∠A所对的圆心角是∠β，∠C所对的圆心角是∠α，
则 又
同理
证明猜想
归纳总结
性质：圆的内接四边形的对角互补.
连接OB，OD．
α β
∴
1．四边形ABCD是⊙O的内接四边形，且∠A=110°，∠B=80°，则∠C= ，∠D= .
2．⊙O的内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 ，则∠D= .
70
100
90
练一练
例4 如图，AB为⊙O的直径，CF⊥AB于E，交⊙O于D，AF交⊙O于G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵四边形ACDG内接于⊙O，∴∠FGD＝∠ACD.
又∵AB为⊙O的直径，CF⊥AB，∴AB垂直平分CD.
∴AC＝AD.∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠FGD＝∠ADC.
方法总结：圆内接四边形的性质是推导角相等关系的重要依据．
1.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BOD＝120°，那么∠BCD是(　　)
A．120° B．100°
C．80° D．60°
A
2.如图，△ABC的三个顶点在⊙O上，∠BAC=50°，∠ABC=47°，则∠AOB= ．
B
A
C
O
166°
当堂练习
3.如图，已知BD是⊙O的直径，⊙O的弦AC⊥BD于点E.若∠AOD=60°，则∠DBC的度数为_____.
【规律方法】解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后灵活运用圆周角定理.
30°
A
O
B
C
证明：
4. 如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC．
求证：∠ACB=2∠BAC．
5.船在航行过程中，船长通过测定角度来确定是否遇到暗礁，如图，A、B表示灯塔，暗礁分布在经过A、B两点的一个圆形区域内，优弧AB上任一点C都是有触礁危险的临界点，∠ACB就是“危险角”，当船位于安全区域时，∠α与“危险角”有怎样的大小关系？
解：当船位于安全区域时，即船位于暗礁区域外(即⊙O外) ，与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”.
拓展提升：如图，在△ABC中，AB=AC,以AB为直径的圆交BC于D，交AC于E.
(1)BD与CD的大小有什么关系 为什么
(2)求证： .
A
B
C
D
E
∵AB是圆的直径，点D在圆上，
∴∠ADB=90°.
∴AD⊥BC.
∵AB=AC，∴BD=CD.
（2）证明：在△ABC中，∵AB=AC，AD⊥BC，
∴AD平分顶角∠BAC，即∠BAD=∠CAD.
.
（1）解:BD=CD．理由如下：连接AD.
圆心角
类比
圆周角
圆周角定义
圆周角定理
圆内接四边形的性质
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆内接四边形的对角互补.
1.顶点在圆上，
2.两边都与圆相交的角（二者必须同时具备）
圆周角定理
的推论
同弧或等弧所对的圆周角相等.
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
课堂小结