数学教学设计
2.1 正数与负数
教学目标
1．通过生活实例感受生活中的正数和负数；
2．会用正数、负数表示意义相反的量；
3．了解整数和分数分类．
教学重点
1．理解正数与负数的意义.
2．用正数、负数表示意义相反的量.
教学难点
理解负数的意义．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
生活中的正数与负数
议一议：
在小学里，我们学过正数、负数、零．你知道右边图片中各数的意义吗？
分别说出8844.43、－154、－117.3、－0.102%的意义．
从生活中的例子出发，让学生感受到生活中存在正数和负数.它们都可以表示生活中的各种意义的量．
正数与负数的意义
像8848.43、100、357、78这样的数叫做正数；像－154、－38.87、－117.3、
－0.102%这样的数叫做负数．
0既不是正数也不是负数.
“＋”读作“正”，如“＋”读作“正三分之二”，正号通常省略不写；“－”读作“负”，如“－117.3”读作“负一百一十七点三”．
例1 指出下列各数中的正数、负数：＋7，－9，，－4.5，，，．
8848.43、100、357、78是正数．
－154、－38.87、－117.3、－0.102%是负数．
＋7，，是正数，
－9，－4.5，是负数．
理解正数、负数的意义，0既不是正数也不是负数.0不再表示没有，是正数与负数的分界.
会根据正数、负数的意义找到正数与负数．
用正数、负数表示相反意义的量
C以上的温度用正数表示，C以下的温度用负数表示．日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．
例2 （1）如果向北走8km记作＋8km，那么向南走5km记作什么？
（2）如果粮库运进粮食3t记作＋3t，那么－4t表示什么？
你还能用正数和负数表示生活中其他意义相反的量吗？
解：（1）向南走5km记作km．
（2）－4t表示运出粮食4t．
举例说明用正数、负数表示生活中的具有相反意义的量．
通过生活中的实例，让学生感受到用正数、负数可以表示相反意义的量．
整数和分数
正整数、负整数、零统称为整数．
正分数、负分数统称为分数．
例3 把下列各数填入相应的集合内：，6，，0，，，，0.01，＋67，，，2009，．
整数集合{…}；分数集合{…}；
正数集合{…}；负数集合{…}．
整数分为正整数、零和负整数；分数分为正分数和负分数．
解：整数集合{6，0，，＋67，2009， …}；
分数集合{，，，，0.01，， …}；
正数集合{6，，0.01，＋67，，2009 …}；
负数集合{，，，，， …}．
引导学生感受分类思想，拓展他们对数的认识．
课堂练习：
1．把下列各数填入相应的集合内：
正数集合{…}；负数集合{…}．
2．填空：
（1）如果买入200kg大米记为＋200kg，那么卖出120kg大米可记作__________；
（2）如果－50元表示支出50元，那么
＋40元表示___________；
（3）太平洋最深处的马里亚纳海沟低于海平面11 034m，它的海拔高度可表示为____________．
3．用正数或负数表示下列问题中的数：
（1）从同一港口出发，甲船向东航行142 km，乙船向西航行142km；
（2）从同一车站出发，A车向北行驶50km，B车向南行驶40km；
（3）拖拉机加油50L，用去油30L．
独立完成，课堂交流．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
数学教学设计
2.2 有理数与无理数
教学目标
1．理解有理数的意义和会对有理数进行分类；
2．了解无理数的意义.
教学重点
1．有理数的意义和分类；
2．无理数的意义．
教学难点
有理数的分类，区分有理数和无理数.
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
有理数
我们学过整数（正整数、负整数、零）和分数（正分数、负分数）．实际上，所有整数都可以写成分母为1的分数的形式．如
我们把能写成分数形式（m、n是整数，n≠0）的数叫做有理数．
想一想：
小学里学过的有限小数和无限循环小数是有理数吗？
根据有理数的定义，有理数可以进行如下的分类：
，或
结合体会整数可化成分母为1的分数形式．
，，，．
有限小数和无限循环小数都可以化为分数，它们都是有理数．
引入有理数的定义，并按照定义说明整数、分数是有理数．通过将有限小数和无限循环小数转化为分数，说明有限小数和无限循环小数也是有理数,为有理数的分类做好铺垫．
无理数
议一议：是不是所有的数都是有理数呢？
将两个边长为1的小正方形，沿图中红线剪开，重新拼成一个大正方形，它的面积为2．
如果大正方形的边长为a，那么a2＝2．a是有理数吗？
事实上，a不能写成分数形式（m、n是整数，n≠0），a是无限不循环小数，它的值是1.414 213 562 373…．
无限不循环小数叫做无理数．
小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值是3.141 592 653 589…，π是无理数．
此外，像0.101 001 000 1…、－0.101 001 000 1…这样的无限不循环小数也是无理数．
通过拼图，探索，让学生感受a不能化为分数的形式，引出a这个无限不循环小数，从而得到无理数的定义．通过π进一步说明无理数的确存在．根据无理数的定义，我们还可以构造像0.101 001 000 1…、－0.101 001 000 1…这样的无理数．
有理数的分类
根据有理数的定义，有理数包括整数和分数，即，或
结合有理数的两种不同分类，体会分类思想．
渗透分类思想，加深对有理数的认识，初步体会数系扩张的过程．
课堂练习：
将下列各数填入相应括号内：，，，，－2π，，．
正数集合：{ …}；
负数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}．
独立完成，课堂交流．
正数集合：{
…}；
负数集合：{ …}；
正有理数集合：{ …}；
负有理数集合：{ …}．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
数学教学设计
2.3 数轴（1）
教学目标
1．会正确画出数轴，知道数轴的三要素；
2．知道有理数和无理数都可以用数轴上的点表示，会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上的点所表示的数；
3．会用数轴比较两个数的大小；
4．初步感受数形结合的思想．
教学重点
1．用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上的点所表示的数；
2．用数轴比较两个数的大小．
教学难点
用数轴上的点表示有理数，用数轴比较两个数的大小．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
试一试：
在小学里，我们会根据直线上的一个点的位置写出合适的数，也会在直线上画出表示一个数的点．
把图中直线上的点所表示的数写在相应的方框里．
在图中，填写适当的数，感受直线上的点和数的对应关系．
回顾小学知识，为引出数轴的概念做好准备．
数轴
做一做：
1．画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，我们把这点称为原点．
2．规定直线上从原点向右为正方向（画箭头表示），向左为负方向．
3．取适当长度（如1cm）为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3……从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1，－2，－3……
像这样规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．
按照要求，同步完成画数轴的过程，如下图：
数轴三要素为：原点、正方向、单位长度．
通过做一做，动手画数轴，体会数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．通过观察，发现数轴（直线）上的点不仅可以表示零和正数，还可以表示负数．初步体会数与点的对应关系．
用数轴上的点表示有理数
在数轴上，用原点右边且到原点的距离是1.5个单位长度的点表示1.5，用原点左边且到原点的距离是2.4个单位长度的点表示－2.4……
例1 分别写出数轴上A、B、C表示的数：
例2 在数轴上画出表示下列各数的点：
有理数都可以用数轴上的点表示．
解：点A表示的数是－2.5；点B表示的数是0；点C表示的数是3.5．
解：如图．
感受数轴上的点可以表示任何有理数．学会如何用数轴上的点表示任何有理数．
用数轴上的点表示无理数
无理数可以用数轴上的点表示吗？
试一试：
面积为2的正方形的边长a是无理数，如何在数轴上画出表示a的点？
1．将边长为a的正方形放在数轴上（如图）；
2．以原点为圆心，a为半径，用圆规画出数轴上的一个点A．
点A就表示无理数a．
做一做：
怎样用数轴上的点表示圆周率π？
1．画一个直径为1的圆片，将圆片上的点A放在原点处；
2．把圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达的位置点A′表示的数就是π．
有理数和无理数都可以用数轴上的点表示；反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数．
按要求画出表示a的点，如图．
按要求画出表示π的点，如图．
感受数轴上的点可以表示无理数．
体会数轴上的点与有理数或无理数的一一对应思想，体会“数”和“点”的相互转化的数形结合思想．
课堂练习：
分别写出数轴上A、B、C、D、E表示的数：
2．在数轴上画出表示下列各数的点：
独立完成，课堂交流．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
数学教学设计
2.3 数轴（2）
教学目标
1．会正确画出数轴，知道数轴的三要素；
2．知道有理数和无理数都可以用数轴上的点表示，会用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上的点所表示的数；
3．会用数轴比较两个数的大小；
4．初步感受数形结合的思想．
教学重点
1．用数轴上的点表示有理数，能说出数轴上的点所表示的数；
2．用数轴比较两个数的大小．
教学难点
用数轴上的点表示有理数，用数轴比较两个数的大小．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
数轴上的点表示的数的大小关系：
试一试：
1．把0℃、5℃、－3℃、－2℃按从低到高的顺序排列．
在数轴上画出表示0、5、、的点，你能比较这几个数的大小吗？
2．任意给出几个数，并在数轴上画出表示这几个数的点，你能比较这几个数的大小吗？
3．数轴上点的位置与它们所表示的数的大小有什么关系？
练一练：比较下列各组数的大小：
（1）5和0； （2）；
（3）2和一3； （4）．
如图，画出数轴，并用数轴上的点表示0、5、、．
－3 ＜ －2 ＜ 0 ＜ 5
归纳得出：
在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大．
正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数．
解：（1）5＞0； （2）；
（3）2＞一3； （4）．
比较温度的高低，得出数轴上的两个点表示的数的大小关系．
利用数轴比较两个数的大小
例3 比较和的大小.
例4 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数按从小到大的顺序连接起来：
解：如图，在数轴上分别画出表示－3.5和－0.5的点A、B．
因为点B在点A的右边，所以．
解：如图，在数轴上画出表示各数的点：
根据各点在数轴上的位置，得
通过例3、例4的学习掌握利用数轴比较两个（或多个）数的大小的方法，进一步体会数形结合思想．
课堂练习：
1．在数轴上画出表示下列各数的点．并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来：
2．在数轴上的点A、B、C表示的3个数中，哪个最大、哪个最小？
3．数轴上的点A和B分别表示与，哪一个点离原点的距离较近？与哪一个数较大？
独立完成，课堂交流．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
数学教学设计
2.4 绝对值与相反数（1）
教学目标
1．能说出一个数的绝对值与相反数的意义；
2．会求已知数的绝对值与相反数；
3．会用绝对值比较两个负数的大小；
4．经历将实际问题数学化的过程，感受数学与生活的关系．
教学重点
1．一个数的绝对值与相反数的意义；
2．求已知数的绝对值与相反数；
3．用绝对值比较两个负数的大小．
教学难点
绝对值与相反数的意义．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
小明家在学校正西方3 km处，小丽家在学校正东方2 km处，他们上学所花的时间与各家到学校的距离有关．
你会用数轴上的点表示学校、小明家、小丽家的位置吗？
尝试用数轴表示问题．
联系实际，引发学生对问题的兴趣．
绝对值
做一做：用数轴上的点表示学校、小明家、小丽家的位置．
1．画数轴，用数轴的原点O表示学校的位置，规定向东为正，数轴上的1个单位长度表示1km；
2．设点A、点B分别表示小明家、小丽家，则点A在原点O左侧且到原点O的距离为3个单位长度，点B在原点O右侧且到原点O的距离为2个单位长度．
数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．
请你结合数轴，根据定义说出－3、2、0的绝对值．
议一议：
你能说出数轴上的点A、B、C、D、E所表示的数的绝对值吗？
按要求画出数轴，并用数轴上的点表示学校、小明家、小丽家的位置，如图：
表示－3的点A与原点的距离是3，
因此－3的绝对值是3；
表示2的点B与原点的距离是2，
因此2的绝对值是2；
表示0的点O与原点的距离是0，
因此0的绝对值是0．
点A表示的数－5的绝对值为5；
点B表示的数－3.5的绝对值为3.5；
点C表示的数1的绝对值为1；
点D表示的数2.5的绝对值为2.5；
点E表示的数5的绝对值为5．
画数轴，并用数轴上的点表示学校、小明家、小丽家的位置，将实际问题数学化，为引入绝对值的概念做好准备．
结合实例，给出绝对值的定义，再通过说出－3、2、0的绝对值，加深对绝对值意义的理解．
利用数轴求一个数的绝对值
例1 求4、的绝对值．
绝对值的表示方法
通常，我们将数的绝对值记为.这样例1的结论可以写成＝4，＝3.5．
例2 已知一个数的绝对值是，求这个数．
解：如图，在数轴上分别画出表示4、－3.5的点A、点B．
因为点A与原点的距离是4，所以4的绝对值是4；
因为点B与原点的距离是3.5，所以－3.5的绝对值是3.5.
掌握绝对值的表示方法．
解：如图，数轴上到原点的距离是的点有两个，它们是点A和点B，分别表示、．
绝对值是的数有两个，它们是或．
例l直接用绝对值的定义，即用数轴上表示有理数的点与原点的距离求出4与的绝对值．
例2是通过画数轴的方法，求出绝对值是的数有2个．
课堂练习：
练一练：
1．用数轴上的点表示下列各数，并说出这些数的绝对值：
2．已知一个数的绝对值是2，求这个数.
独立完成，课堂交流．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
数学教学设计
2.4 绝对值与相反数（2）
教学目标
1．能说出一个数的绝对值与相反数的意义；
2．会求已知数的绝对值与相反数；
3．会用绝对值比较两个负数的大小；
4．经历将实际问题数学化的过程，感受数学与生活的关系．
教学重点
1．一个数的绝对值与相反数的意义；
2．求已知数的绝对值与相反数；
3．用绝对值比较两个负数的大小．
教学难点
绝对值与相反数的意义．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
相反数的意义
议一议：
1．如图，观察数轴上点A、点B的位置及它们到原点的距离，你有什么发现？
2．观察下列各对有理数，你发现了什么？请与同学交流.
5与，2.5与，与，π与－π.
符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数．例如5与－5互为相反数，其中5是－5的相反数，－5是5的相反数，π的相反数是－π.
0的相反数是0.
例3 求3、－4.5、的相反数．
1．（1）点A、B在原点两侧，分别表示－5和5；
（2）点A、B与原点的距离都是5．
2．（1）各组数的符号不同；
（2）各组数的绝对值相同．
解：3的相反数是－3，－4.5的相反数是4.5，的相反数是－．
通过观察数轴上的点的位置，感知两个数的符号不同，绝对值相等，为引出相反数的概念铺垫．
再通过观察一些数组，体会这些数组中的两个数符号不同，绝对值相等，使得相反数的概念水到渠成．
利用相反数的意义化简一个数的符号
表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“－”号．如－5的相反数可以表示为－（－5），而我们知道－5的相反数是5，所以－（－5）＝5．
一般的，a的相反数是－a，－a的相反数是a，即
－（－a）＝a．
例4 化简：－（＋2），－（＋2.7），－（－3），
－（－）．
解：因为＋2的相反数是－2，所以－（＋2）＝－2．
类似地，－（＋2.7）＝－2.7．
因为－3的相反数是3，所以－（－3）＝3．
类似地，－（－）＝．
根据相反数的意义，我们可以化简一个数的多重符号．
把一个数的多重符号化成单一符号，化简的结果是正还是负，由该数前面的“－”号的个数决定．
练一练：
1．写出下列各数的相反数：
0，58，－4，3.14，－．
2．在数轴上画出表示下列各数以及它们的相反数的点：
－4，0.5，3，－2．
3．填空：
(1)是__________的相反数，＝__________；
(2)是________的相反数，＝________．
4．化简：
独立完成，课堂交流．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
数学教学设计
2.4 绝对值与相反数（3）
教学目标
1．能说出一个数的绝对值与相反数的意义；
2．会求已知数的绝对值与相反数；
3．会用绝对值比较两个负数的大小；
4．经历将实际问题数学化的过程，感受数学与生活的关系．
教学重点
1．一个数的绝对值与相反数的意义；
2．求已知数的绝对值与相反数；
3．用绝对值比较两个负数的大小．
教学难点
绝对值与相反数的意义．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
试一试：
根据绝对值与相反数的意义填空：
（1）_______，_________,_________；
（2）_______，的相反数是_______，
_________，的相反数是_______，
_________， 的相反数是________；
（3）_______．
议一议：一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数有什么关系？
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．
通过填空将绝对值与相反数的关系具体化．通过不完全归纳法，探索绝对值的代数意义．
例题教学：
例5 求下列各数的绝对值：
求一个数的绝对值，首先要分清这个数是正数、负数、还是0，然后才能正确地写出它的绝对值．
当a是正数时，a的绝对值是它本身，即当a＞0时，；
当a是0时，a的绝对值是0，即当a＝0时，；
当a是负数时，a的绝对值是它的相反数，即当a＜0时，．
解：， 正数的绝对值是它本身
，
， 负数的绝对值是它的相反数
，
0的绝对值是0
即
求一个数的绝对值，首先要分清绝对值符号内的数：是正数、是负数还是0？然后再根据绝对值的意义求出结果．
探索活动：
议一议 两个正数中，绝对值大的那个数一定大吗？两个负数呢？
数轴上表示两个正数的点都在原点的右边，并且表示绝对值较大的正数的点在另一个点的右边；数轴上表示两个负数的点都在原点的左边，并且表示绝对值较大的负数的点在另一个点的左边．
通过探究得出结论：
两个正数，绝对值大的正数大；
两个负数，绝对值大的负数小.
结合数轴，体会利用绝对值可以比较同号的两个数的大小．
例题教学：
例6 比较与的大小．
解：因为 ，且，
所以．
两个负数，绝对值大的负数小．
掌握如何利用绝对值比较两个负数的大小．
练一练
1．填空：
(1)的符号是______，绝对值是______；
(2)10.5的符号是______，绝对值是______；
(3)符号是“＋”号，绝对值是的数是______；
(4)符号是“－”号，绝对值是9的数是______；
(5)符号是“－”号，绝对值是0.37的数是______．
2．用“＜”或“＞”填空：
(1) ； (2) ；
(3)} ； (4) ．
独立完成，课堂交流．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
数学教学设计
2.5 有理数的加法与减法（1）
教学目标
1．了解有理数加法的意义，理解有理数加法法则的合理性；
2．能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算；
3．经历探索有理数加法法则的过程，感受数学学习的方法；
4．通过积极参与探究性的数学活动，体验数学来源于实践并为实践服务的思想，激发学生的学习兴趣，同时培养学生探究性学习的能力．
教学重点
能运用有理数加法法则，正确进行有理数加法运算．
教学难点
经历探索有理数加法法则的过程，感受数学学习的方法．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、创设情境
小学里，我们学过加法和减法运算，引进负数后，怎样进行有理数的加法和减法运算呢？
1．试一试
甲、乙两队进行足球比赛．如果甲队在主场赢了3球，在客场输了2球，那么两场比赛后甲队净胜1球．
你能把上面比赛的过程及结果用有理数的算式表示出来吗？
做一做：比赛中胜负难料，两场比赛的结果还可能有哪些情况呢？动动手填表：
赢球数
净胜球
算式
主场
客场
3
2
3
2
3
0
0
2．我们知道，求两次输赢的总结果，可以用加法来解答，请同学们先个人研究，后小组交流．
你还能举出一些应用有理数加法的实际例子吗？
全班交流，研究结果进行整理．
如果把赢3球记作“＋3”，输2球记作“－2”，那么计算甲队在两场比赛中的净胜球数，就只要把（＋3）与（－2）合起来，即把（＋3）与（－2）相加，列出算式（＋3）＋（－2）．
我们已经知道，甲队在两场比赛中净胜1球，于是：（＋3）＋（－2）＝＋1．
赢球数
净胜球
算式
主场
客场
3
1
2
3
2
5
3
0
3
0
用学生熟悉的生活实例引入．
二、探究归纳
1．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“”的位置上．
用数轴和算式可以将以上过程及结果分别表示为：
算式：________________________
2．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向右移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时笔尖停在“1”的位置上．
用数轴和算式可以将以上过程及结果分别表示为：
算式：________________________
3．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数？
请用数轴和算式分别表示以上过程及结果：
算式：________________________
仿照上面的做法，请在数轴上呈现下面的算式所表示的笔尖运动的过程和结果．
4．观察、思考、讨论、交流并得出有理数加法法则．
讨论：两个有理数相加时，和的符号及绝对值怎样确定？你能找到有理数相加的一般方法吗？
请同学们先个人研究，用铅笔在数轴上模拟，后小组交流．
算式：．
算式：．
设置“数学实验室”的目的是让学生从“形”上感受有理数的加法运算法则．采用人人都可以动手操作的笔尖在数轴上两次移动的方法，直观感受两次连续运动中，点的运动方向与移动的距离对实际移动效果产生的影响，通过“形与数”的转换，加深学生对有理数加法运算法则的理解．
两个有理数相加，和的符号怎样确定？和的绝对值怎样确定？
有理数加法法则：
（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
（2）异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
（3）一个数与0相加，仍得这个数．
三、实践应用
例1 计算并注明相应的运算法则：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
请同学们先个人研究，后小组交流，将研究结果进行整理．
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
学生应能熟练进行有理数的加法运算，但运算难度要以《标准》要求为准．教师在补充例题、习题时，不宜在数字运算上设置障碍，当学生熟练掌握运算法则后，随着知识的积累、技能的提高、数感的增强、计算器的引入，学生处理繁难运算的能力也会逐渐增强．
四、随堂练习
课本P32的练一练第1、2题．
根据有理数加法法则，要求一边做，一边想法则，可以直接写出结果．
总结：
通过这节课你学到了什么？
尝试对知识方法进行归纳、提炼、总结，形成理性的认识，内化数学的方法和经验.
试对所学知识进行反思、归纳和总结．会对知识进行提炼，体会数学的思想和应用，将感性的认识升华为理性的认识．
课后作业：
课本P39习题2.5的第1题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）：
通过实验的方法得到加法法则，让同学们在探索中获得新知识，以提高他们学习知识的兴趣，让他们了解知识得到的前因后果，也方便他们理解掌握有理数加法法则．
改进设想：有条件的班级可以当堂搞加法速算比赛！
数学教学设计
2.5 有理数的加法与减法（2）
教学目标
1．进一步掌握有理数的加法运算法则，理解加法运算律在有理数范围内推广的合理性；
2．学会把知识运用于实践，灵活、合理地运用加法运算律简化运算；
3．经历有理数加法中运算律的探索，概括出有理数加法仍满足加法交换律和结合律；
4．通过学生主动参与探索有理数加法运算律的数学活动，体会观察、实验、归纳、推理等活动在数学学习中的作用．
教学重点
学会把知识运用于实践，灵活、合理地运用加法运算律简化运算．
教学难点
有理数加法中运算律的探索，概括有理数加法交换律和结合律．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、创设情境
请同学们回顾小学里学习的加法交换律和结合律，猜想这些运算律对于有理数是否同样适用？
这是小学曾经学过的知识点，关键是对照学习！但是，又要找到和小学的不同，是小学知识的升华！
二、探究归纳
1．试一试：
（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，并比较两个运算结果：
□＋○和○＋□
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和◇内，并且比较两个运算的结果：
（□＋○）＋◇和□＋（○＋◇）
2．你能发现什么？请评判自己的猜想．
3．概括：
通过实例说明加法的交换律和结合律对于有理数同样适用．
对于交换律和结合律不仅要会用文字表示，也要会用字母表示：
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
说明：(1)上面式中字母a、b、c分别表示任意的一个有理数，
在同一个式子中，相同字母只能表示同一个数；
(2)加法的运算律可以推广到三个以上有理数相加的情况．
根据有理数加法的运算律，在进行有理数的加法运算时，可以
交换加数的位置，也可以先把其中几个数相加．
□＋○＝
○＋□＝
（□＋○）＋◇＝
□＋（○＋◇）＝
让学生口述运算律的文字表示．
加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变．
加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
采用在几何图形中填数字的验证方法，直观性强且易于操作．通过心算、观察、比较及更改数字等活动，学生很容易认同加法“交换律”和“结合律”的合理性．这种验证方法也适用于乘法对于加法的分配律．
三、实践应用
1．例2 计算：
分析 由学生独立思考而后交流解法，板演在每一步骤中要求口述相应的运算律或运算法则．
2．随堂练习
课本P34的练一练第（1）－（6）题．
3．例题 10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：
2，－4，2.5，3，－0.5，1.5，3，－1，0，－2.5．
问这10筐苹果总共重多少千克？
说明：（1）教学方法可让学生独立先算，然后选取两种不同的计算方法，请同学板书，教师在讲评时通过对不同方法的比较，训练学生思维的灵活性，并让学生养成选择最佳解题方法的良好学习习惯；
（2）此例的实际算法有多种，如把同号的数结合起来分别相加，但这里把相加等于0的数结合起来相加，计算较为简便．
让学生独立先算，然后选取两种不同的计算方法，请同学板书．
先不要求“用运算律进行计算”，再讲解“用运算律进行计算”，让学生感受“这样计算简便”，让学生感受有时可以用运算律简化运算！
让学生体验另一种简便运算方法．
四、交流反思
1．本节课重点学习了加法运算律的应用．
2．你能灵活、合理地使用运算律简化运算吗？你已经掌握了哪些技巧？学生思考后交流．
五、布置作业
课本P39的习题2.5第3题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）：
这是小学曾经学过的知识点，关键是对照学习！但是，又要找到和小学的不同，是小学知识的升华！
数学教学设计
2.5 有理数的加法与减法（3）
教学目标
1．掌握有理数的减法法则，熟练地进行有理数的减法运算；
2．了解加与减两种运算的对立统一的关系，初步掌握数学学习中转化的思想方法；
3．通过积极参与探索有理数的减法法则及其应用的数学活动，体会相应的数学思想、数学与现实生活的紧密联系，增强应用意
识．
教学重点
经历探索有理数的减法法则的过程，在具体情境中，体会有理数减法的意义．
教学难点
探索有理数的减法法则及其应用的数学活动．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、创设情境
一天中的最高气温和最低气温的差叫做日温差．
如果某天最高气温是5℃，最低气温是－3℃，那么这天的日温差记作[5－（－3）]℃，怎样计算[5－（－3）]呢？
学生列出算式后，提出问题：怎么进行这里的减法运算呢？有理数的减法法则是什么？由问题的给出，激发学生探索解决问题方法的兴趣．
二、探究归纳
1．我们这样看问题：
求5－（－3），也就是求一个数，使它与（－3）的和等于．
根据有理数的加法运算，有，所以．①
2．这样做减法太繁了，让我们再想一想有其他方法吗？
①
②
比较①、②两式，我们发现：－8“减去－3”与“加上＋3”结果是相等的，即．
3．概括．
全班交流：从上述结果我们可以发现规律：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
这就是有理数减法法则．
字母表示：a－b＝a＋(－b)．
由此可见，有理数的减法运算可以转化为加法运算．
得出．
从上往下看，
5℃到℃温度下降了（℃）②
让学生口述．
减法转化成了加法．
化归到加法法则．
加法运算与减法运算的对立统一的辩证关系．
试一试：
口答．
三、实践应用
例3 计算：
； ；
；
例4 根据天气预报的画面，计算当天各城市的日温差．
；
；
；
．
解：北京的日温差：8－0＝8(℃)；
呼和浩特的日温差：4－(－4) ＝4＋4＝8(℃)；
天津的日温差：9－(－2)＝9＋2＝11(℃)；
沈阳的日温差：2－(－7)＝2＋7＝9(℃)；
长春的日温差：1－(－10)＝1＋10＝11(℃)；
哈尔滨的日温差：－5－(－14) ＝－5＋14＝9(℃)．
让学生独立先算，然后选取两种不同的计算方法，请同学板书．
练习 1．口答：?
2．计算：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6) ；
(7) ； (8) ．
3．填空：
（1）温度3℃比－8℃高______；
（2）温度－9℃比－1℃低______；
（3）海拔－20m比－30m高______；
（4）从海拔22m到－10m，下降了______．
四、随堂练习
课本P36的练一练第1、2题．
五、交流反思
1．相互交流上面练习完成情况及其正误．
2．通过上面的练习，你能总结出有理数减法与小学里学过的减法的不同点吗？
（1）被减数可以小于减数．如：1－5；
（2）差可以大于被减数，如：（＋3）－（－2）；
（3）有理数相减，差仍为有理数；
（4）大数减小数，差为正数；小数减大数，差为负数．
如（－7）－（－8）＝1；（－9）－（－4）＝－5．
六、布置作业
课本P39习题2.5第4、5题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）：
由加法到减法，是学生学习的转折点．所以，用了数学的“转化思想”来解决这个问题：由减法自然地变成了加法．知识有了连贯性，学生的思维也有了连贯意识，这对逐步培养学生的数学的“转化思想”起了一定的作用．
数学教学设计
2.5 有理数的加法与减法（4）
教学目标
1．掌握有理数的加法、减法法则，熟练地进行有理数的加法、减法运算；
2．了解加与减两种运算的对立统一关系，初步掌握数学学习中转化的思想方法；
3．通过积极参与探索有理数的减法法则及其应用的数学活动，体会相应的数学思想、数学与现实生活的紧密联系，增强应用意
识．
教学重点
经历探索有理数的加法、减法法则的过程，在具体情境中，体会有理数加法、减法的运算．
教学难点
探索有理数的加与减两种运算的对立统一的关系，初步掌握数学学习中转化的思想方法．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、创设情境
先看一个例子：
（－8）－（－10）＋（－6）－（＋4），
这是一道有理数的加减混合运算题，你会做吗？请同学们思考练习．
学生列出算式后，提出问题：怎么进行这里的减法运算呢？有理数的减法法则是什么？
由问题的给出，激发学生探索解决问题方法的兴趣．
二、探究归纳
全班交流：老师适时引导、指导、边讨论边总结如下：
（1）上题可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算；
（2）上题通常也可以用有理数减法法则，把它改写：
（－8）＋（＋10）＋（－6）＋（－4），
统一为只有加法运算的和式，把加减法统一写成加法的式子，有时也叫做代数和．
三、实践应用
根据有理数减法的法则，一切加法和减法的运算，都可以统一成加法运算．
；
.
例5 计算：
在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号，省略不写．如（－8）＋（＋10）＋（－6）＋（－4）可写成省略加号的和的形式：－8＋10－6－4 .
像这样的式子仍看作和式，读作“负8、正10、负6、负4的和”，按运算意义也可读作“负8加10减6减4”，在这里把除第一个数外的数字前面的符号都可看作为运算符号，又可看作性质符号，这样，性质符号与运算符号既有区别，又有联系，有时可以互相转化．
例6 计算
例7 巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护．他从住地出发，先向东走了7 km，休息之后又向东走了3 km，然后折返向西走了11.5km．此时他在住地的什么方向？与住地的距离是多少？
（1） （2）
说出算式表示哪几个数字的和．让学生独立先算，然后选取两种不同的计算方法，请同学板书．
解：如果把铁路看成数轴，巡道员的住地看成原点，规定向东为正，那么根据题意，可得
7＋3＋(－11.5)＝10－11.5＝－1.5．
答：此时巡道员在住地的西边，离住地1.5 km．
展示了处理有理数混合运算的基本思路与方法——转化，将式中的“减”转化为“加”，然后根据加法法则求出结果．
将实际问题数学化，用数学方法研究实际问题．
四、交流反思
1．小组交流上面练习完成情况，评判正误；
2．通过上面探索有理数加减法统一成加法及应用过程的数学活动，你有什么体会吗？请哪一位同学来交流一下．
一个含有加减混合运算的式子，通常先把加减运算统一成加法，然后写成省略括号的和的形式，可以按“和”的意义或“运算”的意义来读，并且能按“和”的意义来求出结果．
五、巩固练习
课本P38练一练．
六、布置作业
课本P39-40习题2.5第6、7题.
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）：
由加法到减法，是学生学习的转折点，所以用了数学的“转化思想”来解决这个问题：由减法自然地变成了加法，知识有了连贯性，学生的思维也有了连贯意识，这对逐步培养学生的数学的“转化思想”起了一定的作用．
数学教学设计
2.5 有理数的加法与减法（5）
教学目标
1．在正确理解省略括号和的形式基础上，熟练地进行加减混合运算；
2．在加减混合运算中，能灵活运用运算律简化运算，提高学生的运算能力；
3．通过学生参与探索运算律在加减混合运算中作用的数学活动，体会有理数运算中分析和转化的思想方法．
教学重点
熟练地进行加减混合运算；能灵活运用运算律简化运算，提高学生的运算能力．
教学难点
探索运算律在加减混合运算中作用的数学活动，体会有理数运算中分析和转化的思想方法．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、创设情境
1．练习 把（－8）－（＋4）＋（－6）－（－1）写成省略加号的和的形式并说出它们的两种读法：
解：（－8）－（＋4）＋（－6）－（－1）
＝（－8）＋（－4）＋（－6）＋（＋1）
＝－8－4－6＋1．
读作“负8、负4、负6、正1的和”，也可读作“－8减4减6加1”．
2．省略加号的加法算式如－8－4－6＋1，怎样可使计算简化呢？请同学们独立思考后交流．
学生列出算式后，提出问题：怎么进行这里的减法运算呢？有理数的减法法则是什么？
由问题的给出，激发学生探索解决问题方法的兴趣．
二、探究归纳
1．全班交流：运用加法运算律，先把负数加在一起，而后做一次异号两数相加．如：
??????? －8－4－6＋1
＝－18＋1……－8、－4、－6的和为－18；
＝－17 ……异号两数相加的结果．
联想：在有理数加法运算中，通常适当应用加法运算律可使计算简化，有理数的加减混合运算统一成加法后，一般也应注意运算的合理性．
三、实践应用
例8 计算：
?解 (1)－24＋3.2－16－3.5＋0.3
???? ＝(－24－16)＋(3.2＋0.3)－3.5 (加法交换律、结合律)
???? ＝－40＋(3.5－3.5)????????? (加法法则)
???? ＝－40＋0
???? ＝－40 .????????????????? (加法法则).
在交换加数的位置时，你知道应该注意些什么吗？要连同它前面的符号一起交换位置．
让学生独立先算，然后选取两种不同的计算方法，请同学板书．
会熟练地进行简便运算．
练习1 （口答） 下列交换加数位置的变形是否正确？
；
；
；
.
练习2 计算：
;
;
四、交流反思
1．全班交流上面练习完成情况、评判正误；
2．通过上面练习你能总结出，在进行有理数加减法混合运算时使运算简便的一些规律吗？
在将减法转化为加法后，有理数加减混合运算就转化为加法运算了，然后按加法运算律，一般把互为相反数的两数相加，或同号相加，或同分母的分数相加，这样可使运算简便．
五、巩固练习
课堂检测试卷．
六、布置作业
课本P40习题2.5第8－11题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）：
利用数学的“转化思想”，将有理数加减混合运算转化为加法运算．利用“分类思想”，将情况分类，能简便运算！让学生能初步意识到“分类思想”．
数学教学设计
2.6 有理数的乘法与除法（1）
教学目标
1．了解有理数乘法的实际意义，理解有理数的乘法法则；
2．能熟练地进行有理数的乘法运算；
3．在积极参与探索有理数乘法法则的数学活动中，体会有理数乘法的实际意义，发展应用数学知识的意识与能力．
教学重点
理解有理数的乘法法则，能熟练地进行有理数的乘法运算．
教学难点
探索有理数乘法法则的数学活动中，体会有理数乘法的实际意义，发展应用数学知识的意识与能力．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、创设情境
做一做 在水文观测中，常遇到水位上升与下降的问题．请根据日常生活经验．回答下列问题：
（1）如果水位每天上升4cm，
那么3天后的水位比今天____（填“高”或者“低”）____cm；
3天前的水位比今天____（填“高”或者“低”）____cm．
（2）如果水位每天下降4 cm，那么3天后的水位比今天__________cm；3天前的水位比今天__________cm．
我们用有理数的运算来研究上面的问题．
我们把水位上升记为正，水位下降记为负；几天后记为正，几天前记为负．
（1）按上面的规定，水位上升4cm记作“＋4”，3天后记作“＋3”，3天后的水位变化是（＋4）×（＋3）．
我们已经知道，3天后的水位比
今天高12 cm，所以
（＋4）×（＋3）＝＋12．
类似地，
（＋4）×（－3）＝－12，
即3天前的水位比今天低12cm．
（2）如果水位下降4cm记作“－4”，3天后记作“＋3”，那么3天后的水位变化是（－4）×（＋3）．
我们已经知道，3天后的水位比今天低12cm，所以
（－4）×（＋3）＝－12．
类似地，
（－4）×（－3）＝＋12．
即3天前的水位比今天高12 cm．
学生分小组讨论．
展示水位连续上涨、下降的场景或动画，唤起学生对生活经历或经验的回顾，激发研究兴趣．
用水位连续上涨过程中，上涨前后的水位变化状况，建立“正数乘正数”和“正数乘负数”的数学模型；用水位连续下降过程中，下降前后的水位变化状况，建立“负数乘正数”和“负数乘负数”的数学模型．
试一试 仿照上面的过程，试写出表示1天后、2天后、1天前、2天前的水位变化的数学式子．
填写下表：
二、探究归纳
1．我们来比较上面两个算式，你有什么发现？
当我们把“4×3＝12”中的一个因数“3”换成它的相反数
“－3”时，所得的积是原来的积“12”的相反数“－12”，一般地，我们有：把一个因数换成它的相反数，所得积是原来的积的相反数．
2．试一试：
（1）3×（－2）＝？
把上式与3×2相比较，则3×（－2）＝－6.
（2）（－3）×（－2）＝？
把上式与（－3）×2＝－6相比较，则（－3）×（－2）＝6．
若把上式与3×（－2）＝－6相比较，能得出同样结果吗？
3．我们知道，一个数与零相乘，结果仍为0.
如 5×0＝0； 0×（－3）＝0.
让学生独立先算，然后选取两种不同的计算方法，请同学板书．
在讨论4个等式含义的基础上，再次借助生活经验，得出“试一试”中几个问题的结论并让学生填表，既是模仿练习又为探索规律积累了素材，既动手又动脑．最后，按“两个有理数同号、异号及其中一个为0”等3种情况，归纳有理数乘法法则．
概括：
综合上面式子：
（1）3×2＝6；?????? （2）（－3）×2＝－6；
（3）3×（－2）＝－6；?（4）（－3）×（－2）＝6.
（5）任何数与零相乘，都得零．
请同学们观察（1）——（4）四个式子，思考并回答下列问题：
（1）积的符号与因数的符号有什么关系？
（2）积的绝对值与因数绝对值有什么关系？
在学生交流后，归纳总结出有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．
任何数与零相乘，都得零．
请学生阅读课本内容后，总结出如何正确运用有理数乘法法则.
交流后指出：有理数的乘法关键在于确定积的符号，当积的符号确定后，有理数的乘法，实质就转化为小学的乘法运算了．
三、实践应用
1．口答：确定下列两数的积的符号．
2．例题计算：
； ； ．
注意：教学中应强调先确定积的符号，再把绝对值相乘．
学生独立运算．
解 ：；
；
．
练一练：
1．计算：
2．计算：
学生独立运算．
3．计算：
4．计算：
学生独立运算．
延伸与提高：
1．已知两个有理数的和与积都是负数，你能说出这两个有理数的有关信息吗？
2．a、b是什么有理数时，等式ab＝|ab|成立．
学生思考后回答．
四、交流反思
1．做完第2题，你能发现什么规律吗？一个数与（－1）相乘，积与它有什么关系？一个数与1相乘呢？
2．由上面的练习，你能总结出有理数乘法运算的步骤吗？
五、布置作业
课本P48习题2.6第1题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）：
本课时的重点是感受有理数乘法法则的合理性，能用法则进行有理数的乘法运算，所以例题都以简单的整数运算为主，不在数字运算上增设障碍．例1分别安排了正数乘负数、负数乘正数、负数乘正数、负数乘负数等3个小题．
数学教学设计
2.6 有理数的乘法与除法（2）
教学目标
1．进一步掌握有理数的乘法运算法则，理解乘法运算律在有理数范围内推广的合理性；
2．学会把知识运用于实践，灵活、合理地运用乘法运算律简化运算；
3．经历有理数乘法中运算律的探索，概括出有理数乘法仍满足乘法交换律、结合律和分配律；
4．通过学生主动参与探索有理数乘法运算律的数学活动，体会观察、实验、归纳、推理等活动在数学学习中的作用．
教学重点
学会把知识运用于实践，灵活、合理地运用乘法运算律简化运算．
教学难点
有理数乘法中运算律的探索，概括有理数乘法交换律、结合律和分配律．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、创设情境
请同学们回顾小学里学习的乘法交换律、结合律和分配律，猜
想这些运算律对于有理数是否同样适用？
二、探究归纳
1．试一试：
（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列
△和○内，并比较两个运算结果：
△×○和○×△
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列
△、○和□内，并且比较两个运算的结果：
（△×○）×□和△×（○×□）
（3）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列
△、○和□内，并且比较两个运算的结果：
（○＋□）×△和○×△＋□×△
2．你能发现什么？请评判自己的猜想．
3．概括：
事实上，小学里学过的乘法交换律、结合律和分配律在有理数
范围内同样适用．
对于交换律、结合律和分配律不仅要会用文字表示，也要会用字母表示：
说明：上面式中字母a、b、c分别表示任意的一个有理数，在
同一个式子中，相同字母只能表示同一个数．
让学生口述运算律的文字表示．
借助简单教具，感受引进负数后，乘法交换律仍成立，然后脱离教具演示，直接用具体数字运算的方式，认识引进负数后，乘法结合律和乘法分配律也成立．
三、实践应用
例1 计算：．
分析 由学生独立思考后交流解法，板演并在每一步骤中要求口述
相应的运算律或运算法则．
例2 计算：
乘积为1的两个数互为倒数，其中一个是另一个的倒数．
随堂练习：课本P44的练一练第1、2题．
例1示范了用乘法分配律简化运算，与对加法运算律的要求一样，只要求学生知道运算律可以简化某些运算即可，不必刻意追求．
例2给出有理数的倒数的概念，自然且易于被学生接受，同时也是为探讨有理数除法法则做了准备．
四、交流反思
1．本节课重点学习了加法运算律的应用．
2．你能灵活、合理地使用运算律简化运算吗？你已经掌握了哪
些技巧？学生思考后交流．
五、布置作业
课本P48的练习第2、3题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）：
这是小学曾经学过的知识点，关键是对照学习！但是，又要找到和小学的不同，是小学知识的升华！让学生通过自己独立思考后发现规
律，教师只需总结．
数学教学设计
2.6 有理数的乘法与除法（3）
教学目标
1．知道除法是乘法的逆运算；
2．理解有理数除法的法则，会进行有理数的除法运算；
3．会求有理数的倒数.
教学重点
1．理解有理数除法的法则；
2．会进行有理数的除法运算．
教学难点
会进行有理数的除法运算.
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
一、创设情境
某地某周每天上午8时的气温记录如下：
这周每天上午8时的平均气温为：
[(－3)＋(－3)＋(－2)＋(－3)＋0＋(－2)＋(－1)]÷7，
即(－14)÷7，
如何计算(－14)÷7？
引导学生尝试练习，并探索规律.
学生分小组讨论
情境引入，激发求知欲和学习积极性．
知道除法是乘法的逆运算．
二、新知讲解：
分组合作讨论并交流P45议一议，试一试．
如何计算(－14)÷7？
(－14)÷7＝(－14)×
尝试计算P46例4，并讨论结果．
（1）36÷(－9)；
（2）(－48)÷(－6)；
（3）(－)÷(－).
知识储备：
乘积是1的两个数互为倒数．
如果ab＝1，那么a和b互为倒数．例如，5的倒数是；－10的倒数是－；－8和－互为倒数.
0没有倒数．
解：
（1）36÷(－9)＝－4；
（2）(－48)÷(－6)＝8；
（3）(－)÷(－)
＝(－)×(－)
＝×
＝．
对有理数除法，一般有有理数除法法则：
除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.
注意：0不能作除数.
因为除法可化为乘法，所以有理数的除法有与乘法类似的法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．
0除以任何一个不等于0的数，都得0．
除法法则：
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0.
例5 计算：
（1）(－32)÷4×(－8)；
（2）17×(－6)÷(－5)；
（3）(－81)÷×÷(－16).
解：
（1）(－32)÷4×(－8)
＝(－32)××(－8)
＝(－8)×(－8)
＝64；
（2）17×(－6)÷(－5)
＝17×(－6)×(－)
＝(－102)×(－)
＝；
（3）(－81)÷×÷(－16)
＝(－81)××÷(－16)
＝－36××(－)
＝－16×(－)
＝1．
尝试计算例6，并讨论结果．
例6 计算(－)÷1÷．
解 (－)÷1÷
＝(－)××10
＝－．
让学生分小组交流，然后选取两种不同的计算方法，请同学板书．
指出蕴含在探索活动过程中的“分类”、“化归”、“数形结合”等思想方法，体会实际问题数学化的过程，感受体现在有理数运算中的对立统一规律．
练习? 计算：
1．2×(－)÷(－2)；
2．－1×(1－)÷1；
3．[12－4×(3－10)]÷4．
4.（1）－8－32÷(－4)；
（2）－9×(－2)－15÷(－3)；
（3）2－2÷×2；
（4）－3.5÷×(－)；
（5）(－6)÷÷．
同上．
三、交流反思
总结：通过这节课你学到了什么？
学生自己小结．
让学生尝试对所学知识进行反思，归纳和总结.学会对知识进行提炼，学会从众多信息中发现并获取有效的信息.
四、布置作业
课本P48习题2.6第4、5题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）．
通过分组合作讨论的方式，增强团队意识．教师着重讲解混合运算的注意点及同学出现的错误点．
数学教学设计
2.7 有理数的乘方（1）
教学目标
1．知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算；
2．知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂；
3．会用科学记数法表示较大的数．
教学重点
1．有理数乘方的意义，求有理数的正整数指数幂；
2．用科学记数法表示较大的数．
教学难点
有理数乘方结果（幂）的符号的确定．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题引入
手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后便成了许多细细的面条．你能算出拉扣6次后共有多少根面条吗？
积极思考、解决问题：
1根面条拉扣1次成2根，拉扣2次就成2×2根……每拉扣1次，面条数就增加1倍，拉扣6次．共有面条
2×2×2×2×2×2＝64根．
引入乘方运算的方法很多，用“拉面”引入，一是有趣，易接受；二是引导学生用“数学的眼光”观察分析生活中的实际问题．
乘方的有关概念
试一试：
将一张报纸对折再对折……直到无法对折为止．你对折了多少次？请用算式表示你对折出来的报纸的层数．
你还能举出类似的实例吗？
2×2×2×2×2×2记作26，读作“2的6次方”；
7×7×7可记作73；读作“7的3次方”．
一般地，记作an，读作“a的n次方”．
求相同因数的积的运算叫做乘方．乘方运算的结果叫幂．
26、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，分别读作“2的6次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数，6、3叫做指数．
思考：
1．(－4)3的底数是什么？指数是什么？幂是多少？
2．23和32的意义相同吗？
3．(－2)3、－23、－(－2)3分别表示什么意义？
4．(－)4、－分别表示什么意义？
操作，记录对折的次数以及报纸的层数，并用算式表示它们的关系．
思考并举例．
形成并理解乘方、幂、指数、底数的概念，理解乘方运算和乘法运算的关系．
学生解答：
1．(－4)3的底数是－4，指数是3，幂是－64；
2．23和32的意义不同，23表示3个2相乘的积，32表示2个3相乘的积；
3．(－2)3、－23、－(－2)3分别表示的意义为：3个－2相乘的积、3个2相乘的积的相反数、3个－2相乘的积的相反数；
4．(－)4、－分别表示的意义为：4个－相乘的积、4个2相乘的积的的相反数．
运用几个具有相同特征的算式，引出乘方的概念，同时揭示乘方和乘法的关系．
类似于乘法是求几个相同加数的和的运算，乘法是比加法高一级的运算，乘方是求几个相同因数的积的运算，乘方是比乘法高一级的运算．
及时巩固对乘方有关概念的理解，同时引导学生理解乘方不具有交换律，当底数是分数和负数时，底数应放在括号内．
例题讲解
例1 计算：
（1）①37；②73；③(－3)4；④(－4)3．
（2）①()5；②()3；③(－)4．
例2 计算并思考幂的符号如何确定：
（1）52、0.23、()4；
（2）(－4)3、(－)5、(－1)7；
（3）(－1)4、(－3)2、(－)6．
根据乘法的意义计算：
例1解答：
（1）①2187；②343；③81；④－64．
（2）①；②；③．
例2解答：
（1）52＝25、0.23＝0.008、()4＝；
（2）(－4)3＝－64、(－)5＝－、(－1)7＝－1；
（3）(－1)4＝1、(－3)2＝9、(－)6＝．
思考，概括出有理数的幂的符号法则：
正数的任何次幂都是正数；
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数．
通过例1的教学，让学生熟练掌握有理数乘方的计算，进一步理解乘方和乘法的关系．
例2化无序为有序，有利于学生的探究．学生通过计算、观察、归纳很快可以总结出有理数乘方的符号法则．这样的设计可以避免学生总结出“任何数的偶次幂是正数”、“0的任何次幂是0”的科学性错误．
在此基础上，引导学生归纳，有理数乘方运算一般先确定符号，再确定绝对值．
课堂练习．
1．计算．
（1）(－5)3； （2）(－)5； （3）(－)4；
（4）－53； （5）0.14； （6）18．
2．如果你第1个月存2元．从第2个月起每个月的存款都是上个月的2倍．那么第6个月要存多少钱？第12个月呢？
3．观察下列各式，然后填空：
10＝101；
100＝10×10＝102；
1 000＝10×10×10＝103；
10 000＝10×10×10×10＝104；
＝ ＝105；
＝ ＝106；
＝ ＝107；
＝ ＝108．
独立完成，课堂交流．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
数学教学设计
2.7 有理数的乘方（2）
教学目标
1．知道乘方运算与乘法运算的关系，会进行有理数的乘方运算；
2．知道底数、指数和幂的概念，会求有理数的正整数指数幂；
3．会用科学记数法表示较大的数．
教学重点
1．有理数乘方的意义，求有理数的正整数指数幂；
2．用科学记数法表示较大的数．
教学难点
有理数乘方结果（幂）的符号的确定．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题情境
“先见闪电，后闻雷声”，那是因为光的传播速度大约为300 000 000 m/s，而在常温下，声音的传播速度大约为340 m/s，光的传播速度远远大于声音的传播速度．
我们一起来学习一种表示像300 000 000等这样的“天文数字”的新的记数方法——科学记数法．
激发求知欲，为学习新知识做好心理准备．
让学生感知“天文数字”300000000，书写起来进行比较．
科学记数法
做一做
1．人体中大约有25 000 000 000 000个红细胞．先将25 000 000 000 000输入计算器，再按“＝”键，计算器上是如何显示这个数的？
2．用计算器计算8 000 000×600 000 000，计算器上是如何显示计算结果的？
像这些较大的数可以用如下的方法简明地表示：
25 000 000 000 000＝2.5×10 000 000 000 000＝2.5×1013；
8 000 000600 000 000=4 800 000 000 000 000=4.8×1 000 000 000 000 000＝4.8×1015．
一般地，一个大于10的数可以写成的形式，其中，n是正整数．这种记数法称为科学记数法．
例1 用科学记数法表示下列各数：
（1）3500；（2）423500；（3）325.05；（4）－1240000．
实际操作，感知计算器中大数的表示方法，探究计算器中的表示方法与原数的关系：
大数A都表示为a×10n，其中1≤a＜10，n是比A的整数位数小1的正整数．
解答：（1）3500＝3.5×103；
（2）423500＝4.235×105；
（3）325.05＝3.2505×102；
（4）－1240000＝－1.24×106．
体会科学记数法的必要性和优越性，通过计算器的操作、分析、归纳，探究计算器中的表示方法与原数的关系．
通过例1，学会用科学记数法表示大数．同时指出，小于－10的数也可用科学记数法表示．
例题讲解
例2 判断题：
（1）240000用科学记数法表示为24×104（ ）；
（2）3.245×104＝32450000（ ）；
（3）－2.785×105＝－278500（ ）．
例3（1）2007年10月24日我国成功发射“嫦娥1号”探月卫星．经绕地调相轨道、地月转移轨道飞行后，“嫦娥1号”于11月7日顺利进入绕月工作轨道，共飞行326h，行程约1 800 000km，其中在地月转移轨道飞行了436 600km．试用科学记数法表示这两个行程．
（2）1光年是光在真空状态下1年走过的路程，已知光在真空状态下的速度为300000000m/s，用科学记数法表示1光年为多少千米．
解答：
（1）错误，应表示为2.4×105；
（2）错误，应等于32450；
（3）正确．
解答：
（1）1800000km＝1.8×106km，436600km＝4.366×105km．
（2）300000000m/s×365×24×60×60s＝9.4608×1015m＝9.4608×1012km．
通过判断题的形式让学生辨析常见错误，进一步加深对科学记数法的认识．
体会科学记数法在现实世界中的应用．
课堂练习：
1．用科学记数法表示下列各数：
（1）地球的半径大约为6 400km；
（2）地球与月球的平均距离大约为384 000km；
（3）地球与太阳的平均距离大约为150 000 000km．
2．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？
（1）1.3×109；（2）9.597×106；
（3）2.0×108；（4）－5.2×104．
独立完成，课堂交流．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
数学教学设计
2.8 有理数的混合运算（1）
教学目标
1．知道有理数混合运算的运算顺序，能正确进行有理数的混合运算；
2．会用计算器进行较繁杂的有理数混合运算．
教学重点
1．有理数的混合运算；
2．运用运算律进行有理数的混合运算的简便计算．
教学难点
运用运算律进行有理数的混合运算的简便计算．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
问题引入
在算式8－23÷(－4)×(－7＋5)＝？中，有几种运算？
小学里，我们在进行含有加、减、乘、除的混合运算时，是按照怎样的顺序进行的？
在上面的算式中，含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算．
小学里，我们在进行含有加、减、乘、除的混合运算时，要按“先乘除，后加减”的顺序运算，算式中有括号时，先进行括号内的运算．
展示一个含有有理数的加、减、乘、除、乘方等多种运算的算式，让学生感受什么是有理数的混合运算．
有理数的混合运算的运算顺序
也就是说，在进行含有加、减、乘、除的混合运算时，应按照运算级别从高到低进行，因为乘方是比乘除高一级的运算，所以像这样的有理数的混合运算，有以下运算顺序：
先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算．
你会根据有理数的运算顺序计算上面的算式吗？
解答：
8－23÷(－4)×(－7＋5)
＝8－23÷(－4)×(－2)
＝8－8÷(－4)×(－2)
＝8－(－2)×(－2)
＝8－4
＝4．
类比加、减、乘、除四则运算顺序，得出有理数混合运算顺序：按照运算级别，从高到低，依次进行．通过解决情境中的运算，初步感受有理数的混合运算．
例题讲解
例1 判断下列计算是否正确．
（1）3－3×＝0×＝0；
（2）－120÷20×＝－120÷10＝－12；
（3）9－4×()3＝9－23＝1；
（4）(－3)2－4×(－2)＝9＋8＝17．
例2 计算：
（1）9＋5×(－3)－(－2)2÷4；
（2）(－5)3×[2－(－6)]－300÷5；
（3）(－)×3÷3×(－)．
解答：
（1）错误，3－3×＝3－＝2；
（2）错误，－120÷20×＝－6×＝－3；
（3）错误，9－4×()3＝9－4×＝8；
（4）正确．
解答：
（1）9＋5×(－3)－(－2)2÷4
＝9＋5×(－3)－4÷4
＝9－15－1
＝－7；
（2）(－5)3×[2－(－6)]－300÷5
＝(－5)3×8－300÷5
＝(－125)×8－300÷5
＝－1000－60
＝－1060；
（3）(－)×3÷3×(－)
＝(－1)××(－)
＝(－)×(－)
＝．
熟练掌握有理数的混合运算，引导学生通过计算归纳：
1.计算一定要按照顺序进行，同级运算，从左到右依次进行；
2.运算中要正确处理符号．
练一练 计算：
（1）18－6÷(－3)×(－2)；
（2）24＋16÷(－2)2÷(－10)；
（3）(－3)3÷(6－32)；
（4）(5＋3÷)÷(－2)＋(－3)2．
独立完成，课堂交流．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
数学教学设计
2.8 有理数的混合运算（2）
教学目标
1．知道有理数混合运算的运算顺序，能正确进行有理数的混合运算；
2．会用计算器进行较繁杂的有理数混合运算．
教学重点
1．有理数的混合运算．
2．运用运算律进行有理数的混合运算的简便计算．
教学难点
运用运算律进行有理数的混合运算的简便计算．
教学过程（教师）
学生活动
设计思路
有理数的运算律
有理数混合运算一般按怎样的顺序进行？
小学里，我们学过哪些运算律？
先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算．
加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律．
激活相关知识，为新课做好必要准备．
运用运算律进行有理数的混合运算
这些运算律在有理数范围内依然成立，合理运用运算律可以简化运算．
例3 计算：
（1）－8－(－2)3÷4×(－7＋5)；
（2）－2－[15＋(1－0.6÷3)×(－52)]．
例4 计算：
（1）(－)÷(－)＋(－2)2×(－14)；
（2）4×(－7)＋(－2)2×5－4÷(－)；
（3）3×(3－7)×÷1．
例5 计算并用计算器检验：
（1）{[2×(－1)3－7]－18}－3×；
（2）(1－－)÷(－)＋(－)×(1－－)．
解答：
（1）－8－(－2)3÷4×(－7＋5)
＝－8－(－8)÷4×(－2)
＝－8－4
＝－12；
（2）－2－[15＋(1－0.6÷3)×(－52)]
＝－2－[15＋(1－0.2)×(－25)]
＝－2－[15＋0.8×(－25)]
＝－2－[15－20]
＝－2－(－5)
＝3．
解答：
（1）(－)÷(－)＋(－2)2×(－14)
＝(－)×(－6)＋4×(－14)
＝×(－6)－×(－6)＋(－56)
＝－3＋2－56
＝－57；
（2）4×(－7)＋(－2)2×5－4÷(－)
＝－4×7＋(－2)2×5＋4×2
＝－4(7－5－2)
＝0；
（3）3×(3－7)×÷1
＝××(－)×
＝1×(×－×)
＝3－7
＝－4．
解答：
（1）{[2×(－1)3－7]－18}－3×
＝×[－2－7]－×18－4
＝－2－7－14－4
＝－27；
（2）(1－－)÷(－)＋(－)×(1－－)
＝(1－－)÷(－)＋(－)÷
＝－×＋×＋×－×
＝－2＋1＋－3
＝－．
在做有理数的混合运算时，除了要注意运算顺序外，运算律的合理运用可以简化运算．有多重括号时，要根据具体情况，从外到内或从内到外去掉括号．乘法对加法和减法具有分配律，但除法对加法或减法不具有分配律．
教会学生利用计算器进行有理数的混合运算，同时说明计算器其实也是按照有理数的运算顺序进行计算的，只是速度比较快．
练一练：
计算：
（1）(－＋＋)÷(－)2；
（2）(－)×(－6)＋(－)2÷(－)3；
（3）－14－[2－(－3)2]；
（4）÷(－2)＋×－÷4．
独立完成，课堂交流．
当堂巩固所学知识．
课堂小结：
谈谈你这一节课有哪些收获．
回顾本节课的教学内容，从知识和方法两个层面进行总结．
归纳知识体系，提炼思想和方法．
课件10张PPT。在小学里，我们学过正数、负数、零． 你知道下面图片中8844.43、－154、－117.3、－0.102%各数的意义？像－154、－38.87、－117.3、－0.102%这样的数叫做负数． 像8848.43、100、357、78这样的数叫做正数；0既不是正数也不是负数. “＋”读作“正”，如“＋ ”读作“正三分之二”，正号通常省略不写；“－”读作“负”，如“－117.3”读作“负一百一十七点三”．例1 指出下列各数中的正数、负数：解： 是正数，
是负数． 0℃以上的温度用正数表示, 0℃以下的温度用负数表示．日常生活中，许多具有相反意义的量都可以用正数、负数来表示．例2 （1）如果向北走8km记作＋8km，那么向南走5km记作什么？
（2）如果粮库运进粮食3t记作＋3t，那么 －4t表示什么？ 解：（1）向南走5km记作 －5km．
（2）－4 t表示粮库运出粮食4t． 你还能用正数和负数表示生活中其他意义相反的量吗？正整数、负整数、零统称为整数．正分数、负分数统称为分数．例3 把下列各数填入相应的集合内：正数集合:{ …}负数集合:{ …}分数集合:{ …} 整数集合:{ …}练一练
1．把下列各数填入相应的集合内：正数集合：｛ …｝；负数集合：｛ …｝．2．填空：
（1）如果买入200 kg大米记为＋200 kg，那么卖出120 kg大米可记作__________；
（2）如果－50元表示支出50元，那么＋40元表示___________；
（3）太平洋最深处的马里亚纳海沟低于海平面
11 034 m，它的海拔高度可表示为__________．3．用正数或负数表示下列问题中的数：
（1）从同一港口出发，甲船向东航行142 km，乙船向西航行142 km；
（2）从同一车站出发，A车向北行驶50 km，B车向南行驶40 km；
（3）拖拉机加油50L，用去油30L． （1）记向东为正，＋142 km，－142 km；
（2）记向北为正，＋50 km，－40 km；
（3）记加油为正，＋50 L，－30 L．课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!课件10张PPT。 我们学过整数（正整数、负整数、零）和分数（正分数、负分数）．所有的整数都可以表示为分母为1的分数，
如： 等． 我们把能写成分数形式
的数叫做有理数．想一想 小学里学过的有限小数和循环小数是有理数吗？ 有限小数和循环小数都可以化为分数，它们都是有理数．正整数零负整数整数正分数负分数分数有理数整数和分数统称为有理数．注意有限小数和无限循环小数属于分数．有理数还可以分为：有理数正有理数零负有理数正整数正分数负整数负分数思考是不是所有的数都是有理数呢？ 将两个边长为1的小正方形，沿图中红线剪开，重新拼成
一个大正方形，它的面积为2．如果设它的边长为 ，那么 ． a是有理数吗？因为 ，所以 是大于1而小于2的数．因为 ，所以 不是 ．因为 ，所以 不是 ．因为 ，所以 不是 ． 事实上， a 不能化为分数的形式，a是一个无限不循环小数，它的值是1.414 213 562 373无限不循环小数叫做无理数．无理数——无限不循环小数 小学学过的圆周率π是无限不循环小数，它的值
是3.141 592 653 589…，π是无理数．练一练将下列各数填入相应的括号内：正数集合：
｛ …｝ 负数集合：｛ …｝
正有理数集合：｛ …｝
负有理数集合：｛ …｝课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!课件11张PPT。 在小学里，我们会根据直线上的一个点的位置写出合适的数，也会在直线上画出表示一个数的点．
把图中直线上的点所表示的数写在相应的方框里． 试一试 1．画一条水平直线，并在这条直线上取一点表示0，我们把这点称为原点．
2．规定直线上从原点向右为正方向(画箭头表示)，向左为负方向．
3．取适当长度(如1cm)为单位长度，在直线上，从原点向右每隔一个单位长度取一点，依次表示1，2，3……从原点向左每隔一个单位长度取一点，依次表示－1，－2，－3……做一做数轴的三要素：原点正方向单位长度三要素缺一不可噢！ 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 解：点A表示的数是－2.5；点B表示的数是0；点C表示的数是3.5．例1分别写出数轴上A、B、C表示的数：典型例题有理数都可以用数轴上的点表示．在数轴上画出表示下列各数的点：例2 面积为2的正方形的边长a是无理数，如何在 数轴上画出表示a的点？ 1．将边长为a的正方形放在数轴上（如图）； 2．以原点为圆心，a为半径，用圆规画出数轴 上的一个点A． 点A就表示无理数a．议一议怎样用数轴上的点表示圆周率π？
1．画一个直径为1的圆片，将圆片上的点A放在原点处；
2．把圆片沿数轴向右滚动一周，点A到达的位置点A′表示的数就是π．做一做 有理数和无理数都可以用数轴上的点表示； 反过来，数轴上的任意一点都表示一个有理数或无理数．1.分别写出数轴上A、B、C、D、E表示的数：练一练2．在数轴上画出表示下列各数的点：课堂小结谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!课件8张PPT。议一议1.把0℃、5℃、－3℃、－2℃按从低到高的顺序排列．在数轴上画出表示0、5、－3、－2的点，你能比较这几个数的大小吗？-3-205－3 ＜ －2 ＜ 0 ＜ 52.任意给出几个数，并在数轴上画出表示这几个数的点，你能比较这几个数的大小吗？思考 数轴上点的位置与它们所表示的数的大小有什么关系？1.在数轴上的两个点中，右边的点表示的数大于左边的点表示的数．2.正数都大于0，负数小于0，正数大于负数．练一练：比较下列每组数的大小5和 0； (2) 和 0；
(3) 2和－3； （4）－3、0、1.5 解： （1）5＞ 0 ； （2） ＜ 0；
（3）2 ＞－3； （4）－3＜0＜1.5．例3比较－3.5和－0.5的大小．－3.5－0.5因为点B在点A的右边，所以－3.5＜－0.5．解：如图，在数轴上分别画出表示－3.5和－0.5的点A、 B．例4 在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”把这些数按从小到大的顺序连接起来：解：如图，在数轴上画出表示各数的点：根据各点在数轴上的位置，得1．在数轴上画出表示下列各数的点，并用“＜”号将这些数按从小到大的顺序连接起来：3．数轴上的点A和B分别表示 与 ，哪一个点离原点的距离较近？ 与 哪一个数较大？2．在数轴上的点A、B、C表示的3个数中，哪个最大？哪个最小？练一练课堂小结谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!课件10张PPT。 小明家在学校正西方3 km处，小丽家在学校正东方2 km处，他们上学所花的时间，与各家到学校的距离有关． 你会用数轴上的点表示学校、小明家、小丽家的位置吗？小明家学校小丽家AOB1．画数轴，用数轴的原点O表示学校的位置，规定向东为正，数轴上的1个单位长度表示1km；
2．设点A、点B分别表示小明家、小丽家，则点A在原点O左侧且到原点O的距离为3个单位长度，点B在原点O右侧且到原点O的距离为2个单位长度．做一做 数轴上表示一个数的点与原点的距离叫做这个数的绝对值． 请你结合数轴，根据定义说出
－3、2、0的绝对值． 你能说出数轴上的点A、B、C、D、E所表示的数的绝对值吗？点A表示的数－5的绝对值为5；
点B表示的数－3.5的绝对值为3.5；
点C表示的数1的绝对值为1；
点D表示的数2.5的绝对值为2.5；
点E表示的数5的绝对值为5．议一议·因为点A与原点的距离是4，所以4的绝对值是4；
因为点B与原点的距离是3.5，所以－3.5的绝对值是3.5．解：在数轴上分别画出表示4、－3.5的点A、点B． 通常，我们将数a的绝对值记为|a| .
例如：
4的绝对值记为|4|，
－3.5的绝对值记为 |－3.5|．
例2 已知一个数的绝对值是 ，求这个数．
解：数轴上到原点的距离是 的点有2个，它们分别是点A和点B．··因为点A、点B表示的数分别是 、 ，
所以绝对值是 的数有2个，它们是 或 1．（1）在数轴上画出表示下列各数的点：
（2）填空：
2．已知一个数的绝对值是2，求这个数. 50.4052练一练课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!课件8张PPT。1．观察数轴上点A、B的位置及其到原点的距离，你有什么发现？AB（1）点A、B在原点两侧，分别表示－5和5；
（2）点A、B与原点的距离都是5．议一议2．观察下列各对有理数，你发现了什么？
请与同学交流．
5与与2.5与与 符号不同、绝对值相同的两个数互为相反数，其中一个是另一个的相反数．
例如5与－5互为相反数，其中5是－5的相反数，－5是5的相反数，π的相反数是 －π.
0的相反数是0.解：3、 、 的相反数分别是
－3 、4.5 、 ． 表示一个数的相反数，可以在这个数的前面添一个“－”号．如－5 的相反数可以表示为 －（－5），我们知道－5 的相反数是5，所以－ （－5）＝5．即a的相反数是－a，－a的相反数是a．例4 化简：．解：因为＋2的相反数是－2，
所以－（＋2）＝－2．
类似地，－（＋2.7）＝ －2.7．
因为－3的相反数是3，所以－（－3）＝3．
类似地，1．写出下列各数的相反数： 2．用数轴上的点表示下列各数以及它们的相反数：
3．填空：
（1）－（－7）是_____的相反数，－（－7）＝ ____;
（2）－（＋4）是_____的相反数，－（＋4）＝ ____．4．化简：练一练课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!课件10张PPT。根据绝对值与相反数的意义填空：（2） _____，－10.5的相反数是 _____;______，－5的相反数是_______;_______, 的相反数是_______;（3） _______．2.365510.510. 50试一试 一个数的绝对值与这个数本身或它的相反数有什么关系?
正数的绝对值是它本身；
负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0．议一议例5 求下列各数的绝对值：
解：当a是正数时，a的绝对值是它本身， 即当a＞0时，|a|＝a；
当a是0时，a的绝对值是0，
即当a＝0时，|a|＝0 ；
当a是负数时，a的绝对值是它的相反数，
即当a＜0时，|a|＝－a ． 两个正数中，绝对值大的那个数一定大吗?
两个负数呢？两个正数，绝对值大的正数大；
两个负数，绝对值大的负数小．议一议例6 比较－9.5与－1.75的大小.解：因为|－9.5|＝9.5，|－1.75|＝1.75，
且9.5＞1.75，所以－9.5＜－1.75.1．填空：
的符号是______，绝对值是______；
(2)10.5的符号是______，绝对值是______；
(3)符号是“＋”号，绝对值是 的数是______；
(4)符号是“－”号，绝对值是9的数是______；
(5)符号是“－”号，绝对值是0.37的数是______．．“－”“＋”10.5－9－0.37练一练2. 用“＜”或“＞”填空：
＜＜＞＞课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!课件18张PPT。创设情境-问题 甲、乙两队进行足球比赛．如果甲队在主场赢了3球，在客场输了2球，那么两场比赛后甲队净胜1球．
你能把上面比赛的过程及结果用有理数的算式表示出来吗？
如果把赢球记为“＋”，输球记为“－”，可得算式：填写表中净胜球数和相应的算式 通过思考，你能举出一些应用有理数加法的实际例子吗？数学实验室1．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动5个单位长度，再向右移动3个单位长度，这时笔尖停在“－2”的位置上，请用数轴和算式分别表示以上过程及结果．数学实验室2．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向右移动3个单位长度再向左移动2个单位长度，这时笔尖停在“1”的位置上．
请用数轴和算式分别表示以上过程及结果．数学实验室3 ．把笔尖放在数轴的原点，沿数轴先向左移动3个单位长度，再向左移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示什么数，请用数轴和算式分别表示以上过程及结果 ．数学实验室 仿照上面的做法，请在数轴上呈现下面的算式所表示的笔尖运动的过程和结果．探究归纳 任意两个有理数相加，和是多少？你能找到有理数相加的一般方法吗？议一议探究归纳同号相加异号相加一个数与０相加从加数的符号入手，
有理数加法可以分成三种情况．探究归纳 和的符号与两个加数的符号一致，
和的绝对值等于两个加数绝对值之和．从符号与绝对值两方面观察“和”与“两个加数”的联系．同号相加探究归纳 在加数为异号时，和可能为正数、负数或零，观察“和”与“两个加数”在符号、绝对值上的关系． 当两个加数绝对值不等时，和的符号与绝对值较大的加数的符号相同，和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值． 当两个加数绝对值相等时，两个加数互为相反数，和为零．异
号
相
加探究归纳 一个数同零相加，仍得这个数．探索总结 有理数加法法则：
(1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；
(2)异号两数相加，绝对值相等时，和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；
(3)一个数与0相加，仍得这个数 ．请同学们再来试一试，完成下列填空：(＋5)＋(－3)＝( )；
(＋4)＋(－10)＝( )；
(－3)＋(＋8)＝( )；
(－8)＋3 ＝( )． ＋2－6＋5－5实践应用 －160－180－2例1 计算并注明相应的运算法则： 练一练：1. 计算：
（1） （2） （3） （4）练一练：2．规定扑克牌中的黑色数字为正数，红色数字为负数，且J为11，Q为12，K为13，A为l，2张 Joker 均为0．例如，图中的4张牌分别表示＋5、 ＋9、－11、－13．从一副扑克牌中任意抽出2张．请你的同桌说出两数之和，然后请他抽牌,你来回答．
通过这节课你学到了什么？ 谢 谢!课件8张PPT。探究归纳试一试：
（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□和○内，并比较两个运算结果：
□＋○和○＋□
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列□、○和◇内，并且比较两个运算的结果：
（□＋○）＋◇和□＋（○＋◇）创设情境-问题 这两个等式，实际上就是小学里学习的加法交换律和结合律，猜想这些运算律对于有理数是否同样适用？ 探究归纳 加法的交换律和结合律对于有理数同样适用．对于交换律和结合律不仅要会用文字表示，也要会用字母表示：
加法交换律：
两个数相加，交换加数的位置，和不变．
加法结合律：
三个数相加，先把前两个数相加，
或者先把后两个数相加，和不变．实践应用 例2? 计算： 随堂练习：计算：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 实践应用 例题 10筐苹果，以每筐30千克为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数．记录如下：2，－4，2.5，3，－0.5，1.5，3，－1，0，－2.5．问这10筐苹果总共重多少千克？ 通过这节课你学到了什么？ 谢 谢!课件17张PPT。创设情境-问题 一天中的最高气温和最低气温的差叫做日温差．如果某天最高气温是5℃，最低气温是－3℃，那么这天的日温差记作[ 5－（－3）] ℃．怎样计算5－（－3）呢？
探究归纳 我们不妨看一个简单的问题：5 －(－3)＝？
也就是求一个数“？”，使( ？ ) ＋(－3)＝5．
根据有理数的加法运算，有8 ＋(－3)＝ 5，
所以5 －(－3)＝ 8．
探究归纳 这样做减法太繁了，让我们再想一想有其他方法吗？ 从上往下看，
5℃到－3 ℃温度下降了
5＋3＝8（℃）探究归纳试一试
①
② 比较①、②两式，我们发现：－8“减去－3”与“加上＋3”结果是相等的，即探索总结 有理数减法法则：
减去一个数，等于加上这个数的相反数．试一试实践应用例3 计算：实践应用例3 计算：??实践应用例3 计算：??； 例4 根据天气预报的画面，计算当天 各城市的日温差． 练习： 1．口答： 2．计算：练习：3．填空：
(1)温度3℃比－8℃高______；
(2)温度－9℃比－1℃低______；
(3)海拔－20m比－30m高______；
(4)从海拔22m到－10m，下降了______．练习：练一练：1．直接写出结果：
（1）（2）（3）（4）练一练： 2．分别输入－1、－2，按图所示的程序运算(完成一个方框内的运算后，把结果输入下一个方框继续进行运算)，并写出输出的结果． 通过这节课你学到了什么？ 谢 谢!课件10张PPT。创设情境-问题 先看一个例子：
（－8）－（－10）＋（－6）－（＋4），
这是一道有理数的加减混合运算题，你会做吗？请同学们思考练习．探究归纳（1）上题可以按照运算顺序，从左到右逐一加以计算；
?（2）上题通常也可以用有理数减法法则，把它改写：（－8）＋（＋10）＋（－6）＋（－4），
统一为只有加法运算的和式．把加减法统一写成加法的式子，有时也叫做代数和． （－8）－（－10）＋（－6）－（＋4）探究归纳 根据有理数减法的法则，一切加法和减法的运算，都可以统一成加法运算．.探究归纳例5 计算
探究归纳 在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号，省略不写．如（－8）＋（＋10）＋（－6）＋（－4）可写成省略加号的和的形式：－8＋10－6－4 .
像这样的式子仍看作和式，读作“负8、正10、负6、负4的和”，按运算意义也可读作“负8加10减6减4” ．探究归纳例6 计算探究归纳例7 巡道员沿一条东西向的铁路进行巡视维护．
他从住地出发，先向东走了7 km，休息之后又向东走了3 km，然后折返向西走了11.5 km．此时他在住地的什么方向？与住地的距离是多少?练一练计算：
(1)
(2)
(3)
(4) 通过这节课你学到了什么？ 谢 谢!课件8张PPT。创设情境1．把（－8）－（＋4）＋（－6）－（－1）写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法：
解：（－8）－（＋4）＋（－6）－（－1）
＝（－8）＋（－4）＋（－6）＋（＋1）
＝－ 8 － 4－6 ＋1．
读作“负8、负4、负6、正1的和”，也可读作“－8减4减6加1”．
2．省略加号的加法算式如－8－4－6＋1怎样可使计算简化呢？请同学们独立思考后交流．探究归纳 运用加法运算律，先把负数加在一起，而后做一次异号两数相加．如：
?????－8－4－6＋1
＝ －18＋1……－8、－4、－6的和为－18；
＝17 …… 异号两数相加的结果．
联想：
在有理数加法运算中，通常适当应用加法运算律可使计算简化，有理数的加减混合运算统一成加法后，也应注意运算的合理性． 实践应用例8 计算：?解 (1)－24＋3.2－16－3.5＋0.3
????＝(－24－16)＋(3.2＋0.3)－3.5 (加法交换律、结合律)
????＝－40＋(3.5－3.5)???????? (加法法则)
????＝－40＋0
????＝－40．??????????? ???? (加法法则)
在交换加数的位置时，你知道应该注意些什么吗？
要连同它前面的符号一起交换位置．实践应用实践应用练习1 下列交换加数位置的变形是否正确？实践应用练习2 计算：
通过这节课你学到了什么？ 谢 谢!课件20张PPT。创设情境-问题 在水文观测中，常遇到水位上升与下降的问题．请根据日常生活经验．回答下列问题：
（1）如果水位每天上升4 cm，那么3天后的水位比今天___（填“高”或者“低”）___cm；
3天前的水位比今天______cm．
（2）如果水位每天下降4 cm，那么3天后的水位比今天__________cm；
3天前的水位比今天__________cm．分析： 在水文观测中，常遇到水位上升与下降的问题．请根据日常生活经验．回答下列问题：
（1）如果水位每天上升4 cm，那么3天后的水位比今天高还是低？高（或低）多少?水库水位的变化
第一天第二天第三天 类似地，如果水位每天上升4 cm，那么3天前的水位比今天高还是低？高（或低）多少?探究归纳 我们用有理数的运算来研究上面的问题．
我们把水位上升记为正，水位下降记为负；几天后记为正，几天前记为负． （1）按上面的规定，水位上升
4 cm记作“＋4”，3天后记作“＋3”，
3天后的水位变化是
(＋4)×(＋3)＝12．
类似地，
(＋4) ×(－3)＝ － 12．
即3天前的水位比今天低12 cm． 分析： 在水文观测中，常遇到水位上升与下降的问题．请根据日常生活经验．回答下列问题：
（2）如果水位每天下降4 cm，那么3天后的水位比今天高还是低？高(或低)多少? 类似地，如果水位每天下降4 cm，那么3天前的水位比今天高还是低？高(或低)多少?水库水位的变化
第一天 第二天 第三天探究归纳 （2）如果水位下降4cm记作“－ 4”，
3天后记为“＋3”，那么3天后的水位变
化是 (－ 4)×(＋3)＝ － 12．
类似地，
(－ 4)×(－ 3)＝＋12．
即3天前的水位比今天高12 cm．试一试请填写下表： （＋4）×（＋3）＝_____，
（＋4）×（＋2）＝_____，
（＋4）×（＋1）＝_____，（－ 4）×（－3）＝_____，
（－ 4）×（－2）＝_____，
（－4）×（－1）＝______，＋12＋8＋4＋12＋8＋4（ － 4）×0 ＝ ________,0（＋4） × 0 ＝ _____,0（＋4）×（－1）＝_____，
（＋4）×（－2）＝____，
（＋4）×（－3）＝_____．（－ 4）×（＋1）＝____，
（－ 4）×（＋2）＝____，
（－ 4）×（＋3）＝_____．－1－8－12－4－ 8－12探究归纳 我们来比较上面两个算式，你有什么发现？
当我们把“4×3＝12”中的一个因数“3”换成它的相反数“－ 3”时，所得的积是原来的积“12”的相反数“－ 12”， 一般地，我们有：
把一个因数换成它的相反数，所得积是原来的积的相反数． 试一试（1）3×(－ 2)＝？
把上式与3×2相比较，则3×(－ 2)＝ － 6.
（2）(－ 3)×(－ 2)＝？
把上式与(－ 3)×2＝ － 6相比较，则(－ 3)×(－ 2)＝6．
若把（2）式与3×（－ 2）＝－ 6相比较，能得
出同样结果吗？探究归纳我们知道，一个数与零相乘，结果仍为0.
??
? 如 5×0＝0； 0×(－ 3)＝0.概括综合上面式子
(1)3×2＝6；?????? (2)(－ 3)×2＝ － 6；
(3)3×(－ 2)＝ － 6； ?(4) (－ 3)×(－ 2)＝6.
(5)任何数与零相乘，都得零．
请同学们观察(1)——(4)四个式子，思考并回答下列问题：
(1)积的符号与因数的符号有什么关系？
(2)积的绝对值与因数绝对值有什么关系？探究归纳有理数乘法法则：
两数相乘，同号得正，异号得负，
并把绝对值相乘．
任何数与零相乘，都得零． 实践应用1．（口答)：确定下列两数的积的符号．实践应用 2. 例题计算：
注意：应先确定积的符号，再把绝对值相乘． 练一练
1.计算：2.计算：练一练：3.计算：练一练：4.计算：
1．已知两个有理数的和与积都是负数，你能说出这两个有理数的有关信息吗？
2．a、b是什么有理数时，等式ab＝|ab|成立．
延伸与提高 通过这节课你学到了什么？ 谢 谢!课件11张PPT。创设情境-问题 请同学们回顾小学里学习的乘法交换律、结合律和分配律，猜想这些运算律对于有理数是否同样适用？ 试一试（1）任意选择两个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列△和○内，并比较两个运算结果：
△ ×○ 和 ○ × △
你能发现什么？请评判自己的猜想． 试一试
（2）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列△ 、 ○ 和□内，并且比较两个运算的结果：
（△×○）×□和△×（○×□）
你能发现什么？请评判自己的猜想． 试一试（3）任意选择三个有理数（至少有一个是负数），分别填入下列△、○和□内，并且比较两个运算的结果：
（○＋□）×△和○×△＋□×△
你能发现什么？请评判自己的猜想． 探究归纳 乘法交换律、结合律和分配律对于有理数同样适用． 交换律：结合律：分配律：实践应用例1? 计算： 例2 计算： 探究归纳 乘积为1的两个数互为倒数，
其中一个是另一个的倒数． 练一练：1.计算：（1）8×（ －2） ×（ － 5）；（2）（ － 5） ×10 ×（ － 2）；（4）3 ×5 －（ －5） ×5＋（－1）×5．练一练：2.说出下列各数的倒数：（1）－3；
（2） ；
（4） 通过这节课你学到了什么？ 谢 谢!课件16张PPT。创设情境-问题某地某周每天上午8时的气温记录如下：这周每天上午8时的平均气温为：
[(－ 3)+(－ 3)+(－ 2)+(－ 3)+0+(－ 2)+(－ 1)]÷7，
即(－ 14)÷7
如何计算(－ 14)÷7 ？探究归纳议一议 小丽和小明的算法正确吗？
比较他们的算法：如何计算(－ 14)÷7 ？如何计算(－ 14)÷7 ？概括有理数除法法则：
除以一个不等于零的数等于乘上这个数的倒数.
注意：0不能作除数.概括有理数的除法有与乘法类似的法则：
两数相除，同号得正，异号得负，
并把绝对值相除.
0除以任何一个不等于0的数，都得0. 例4 计算解：例5
解：实践应用 练习：计算：练习：4.（1）－8－32÷(－4)；（2）－9×(－2)－15÷(－3)；（3）2－2÷ ×2；（4）－3.5÷ ×(－ )；（5）(－6)÷ ÷ ． 通过这节课你学到了什么？ 谢 谢!课件19张PPT。你吃过拉面吗？ 手工拉面是我国的传统面食．制作时，拉面师傅将一团和好的面，揉搓成1根长条后，手握两端用力拉长，然后将长条对折，再拉长，再对折（每次对折称为一扣），如此反复操作，连续拉扣若干次后便成了许多细细的面条．你能算出拉扣6次后共有多少根面条吗？试一试！ 将一张报纸对折再对折……直到无法对折为止．你对折了多少次？请用算式表示你对折出来的报纸的层数．你还能举出类似的实例吗？2×2×2×2×2×2记作26，读作“2的6次方”；
7×7×7可记作73；读作“7的3次方”．
一般地， 记作an，
读作“a的n次方”．有理数乘方的相关概念：求相同因数的积的运算叫做乘方（involution）．乘方运算的结果叫幂（power）． 26、73也可以看做是乘方运算的结果，这时它们表示数，读作“2的6次幂”、“7的3次幂”，其中2、7叫做底数（base number），6、3叫做指数（exponent）． 思考：1. (－4)3的底数是什么？指数是什么？幂是多少？
2. 23和32的意义相同吗？
3. (－2)3 、－23 、 －(－2)3分别表示什么意义？
分别表示什么意义？
分别表示： 4个 相乘的积、
4个2相乘的积的 的相反数．
1. (－4)3的底数是－4，指数是3，幂是－64．2. 23表示3个2相乘的积，32表示2个3相乘的积．3. (－2)3 、－23 、 －(－2)3分别表示：3个－2相乘的积、3个2相乘的积的相反数、3个－2相乘的积的相反数；思考：例1计算：例1解：例1解：例2计算并思考幂的符号如何确定：例2计算并思考幂的符号如何确定：解：例2计算并思考幂的符号如何确定：解：例2计算并思考幂的符号如何确定：解：符号法则：正数的任何次幂都是正数；
负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数． 练一练 1．计算：2．如果你第1个月存2元．从第2个月起每个月的存款都是上个月的2倍．那么第6个月要存多少钱？第12个月呢？ 第6个月要存64元，第12个月存4096元．3．观察下列各式，然后填空：课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!课件13张PPT。感受天文数字 “先见闪电．后闻雷声”，那是因为光的传播速度大约为300 000 000 m／s，而在常温下，声音的传播速度大约为340 m／s，光的传播速度远远大于声音的传播速度．今天我们来学习一种用来表示像300000000
这样的“天文数字”的新的记数方法——科学记数法．做一做1．人体中大约有25 000 000 000 000个红细胞．先将25 000 000 000 000输入计算器，再按“＝”键，计算器上是如何显示这个数的?
2．用计算器计算8 000 000×600 000 000，计算器上是如何显示计算结果的? 像这些较大的数可以用如下的方法简明地表示：
25 000 000 000 000
＝2.5×10 000 000 000 000
＝2.5×1013．
8 000 000 600 000 000
=4 800 000 000 000 000
=4.8×1 000 000 000 000 000
＝4.8 ×1015．科学记数法: 一般地，一个大于10的数可以写成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数．这种记数法称为科学记数法（scientific notation）． 设A用科学记数法表示为 a×10n ，试说明n和A的关系．n是比原数的整数位数小1的正整数．例1用科学记数法表示下列各数：
（1）3500；（2）423500；
（3）325．05；（4）－1240000． 解：
（1）3500＝3.5×103；
（2）423500 ＝4.235×105 ；
（3）325．05 ＝3.2505×102 ；
（4）－1240000 ＝－1.24×106 ． 例2判断题：
（1）240000用科学记数法表示为24×104（ ）；
（2）3.245×104＝32450000（ ）；
（3）－2.785×105＝－278500（ ）．√××例3 （1）2007年10月24日我国成功发射“嫦娥1号”探月卫星．经绕地调相轨道、地月转移轨道飞行后，“嫦娥1号”于11月7日顺利进入绕月工作轨道．共飞行326h，行程约1800000km，其中在地月转移轨道飞行了436600km．试用科学记数法表示这两个行程．（2）1光年是光在真空状态下1年走过的路程，已知光在真空状态下的速度为300000000m/s，使用科学记数法表示1光年为多少千米． 例3（1）2007年10月24日我国成功发射“嫦娥1号”探月卫星．经绕地调相轨道、地月转移轨道飞行后，“嫦娥1号”于11月7日顺利进入绕月工作轨道．共飞行326h，行程约1800000km．其中在地月转移轨道飞行了436600km．试用科学记数法表示这两个行程．解答：（1）
1800000km＝1.8×106km，436600km＝4.366×105km．例3（2）1光年是光在真空状态下1年走过的路程，已知光在真空状态下的速度为300000000m/s，使用科学记数法表示1光年为多少千米． （2） 300000000m/s×365×24×60×60s
＝9.4608×1015 m＝ 9.4608×1012km．解：练一练1．用科学记数法表示下列各数：
（1）地球的半径大约为6 400km；
（2）地球与月球的平均距离大约为384 000km；
（3）地球与太阳的平均距离大约为150 000 000km． （1）6 400km＝ 6.4×103km ；
（2）384 000km＝ 3.84×105km ；
（3）150 000 000km＝ 1.5×108km ． 解：练一练2．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数?解：课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!课件14张PPT。 有理数的混合运算在上面的算式中，有几种运算？ 小学里，我们在进行含有加、减、乘、除的混合运算时，是按照怎样的顺序进行的？有理数混合运算的顺序先乘方，再乘除，最后加减．
如果有括号，先进行括号内的运算．例1判断下列计算是否正确．例1判断下列计算是否正确．错误．例1判断下列计算是否正确．错误．例1判断下列计算是否正确．错误．例1判断下列计算是否正确．例2计算：例2计算：解：例2计算：解：例2计算：解：练一练计算：课堂小结：谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!课件14张PPT。有理数的混合运算有理数混合运算一般按怎样的顺序进行？
小学里，我们学过哪些运算律？先乘方，再乘除，最后加减．如果有括号，先进行括号内的运算．
加法交换律、加法结合律、乘法交换律、
乘法结合律，乘法分配律．这些运算律在有理数范围内依然成立．例3计算：例3解：例3解：例4计算：例4解：例4解：例4解：例5计算并用计算器检验：例5解：例5解：练一练计算：课堂小结谈谈你这一节课有哪些收获．谢 谢!集合
集合是一个无法定义、只能描摹的原始概念．集合论的创始人康托尔（Georg Cantor，1845-1918）指出： “集合是一些确定的、不同的对象的总体，这些对象人们能意识到，而且能判断一个给定的对象是否属于这个总体．”这些对象称为集合的元素．
由全体自然数、整数、有理数、实数等所构成的集合就分别称为自然数集（非负整数集）、整数集、有理数集、实数集等．
海拔高度
以平均海平面为标准的高度称为海拔高度．海拔的起点叫做海拔零点或水准零点．1956年起我国的海拔零点统一为青岛零点．
欧洲将荷兰的阿姆斯特丹附近海面定为海拔零点，美国将伯克兰附近海面定为海拔零点．寻求全球统一的海拔零点是海洋大地测量的重要任务．
1975年我国对世界最高峰——珠穆朗玛峰的高程进行了精确测定，当年7月23日，中国政府授权新华社向全球宣布：我国测绘工作者精确测得世界最高峰——珠穆朗玛峰的海拔高程为8848.13m．
2005年5月我国再次对珠穆朗玛峰的高程进行测量， 2005年10月9日经国务院批准并授权，由国家测绘局公布：珠穆朗玛峰峰顶岩石面海拔高程为8844.43m．
艾丁湖位于我国新疆吐鲁番市东南30km的吐鲁番盆地最低洼处．1978年，国家测绘总局测得艾丁湖底的海拔高程为－154.566m．1981年测绘总局公布了这一测量成果，并建议用－155m作为我国陆上最低点的标高．1992年旅游部门在那里建立了一块永久性纪念碑．
是无理数的证明
若x2＝2，则x不是有理数．因为如果x是有理数，那么x可以写成最简分数（p、q是整数，p与q互质）的形式，于是2= x2= 即p2＝2q2，由于2q2是偶数，所以p也是偶数，不妨设p＝2a，可得4a2＝2q2，即q2＝2a2，而2a2是偶数，所以q应是偶数，这样p、q都是偶数了，它们的公约数是2，与p、q互质矛盾．可见， x不是有理数，而是无理数．人们通常将它记为．（江苏教育出版社《初中生数学学习》、《小议无理数与它的特性》周士藩2003年第6期）
液体温度计
液体温度计的主要部分是一根内径很细的玻璃管，其下端是一个玻璃泡，在玻璃管和玻璃泡里盛适量液体，通过液体的热胀冷缩反映温度变化．
根据液体的不同，液体温度计通常分为水银温度计、酒精温度计、甲苯温度计和煤油温度计等．这些液体及其特性如下：
幻方
“幻方”也称纵横图、魔方、魔阵，是一个相当古老的数学问题．将1， 2， 3，…，个连续整数，填入方格中，使纵横各行及对角线上的数字和等于常数，便构成一个 “幻方”．
公元前2200年的我国商周时代的《易经》上说：为奖励大禹治水的功绩，一只神龟浮出洛河，把图①所示的 “洛书”献给大禹．
图②所示的一个三行三列的数字方阵，称为“三阶幻方”．我国古代又称 “三阶幻方”为“九宫”．
《易经》上又说：一匹龙马跃出黄河，把一张图③所示的 “河图”赠给大禹．显然，“河图”的数学信息的含量更大．
“神龟洛书，龙马河图”是4000多年前中华民族的创造，也是组合数学的最早成果，值得我们自豪，可惜它被后人神化，未能发展成系统的理论．
经过世界各国一代代数学家与数学爱好者的努力，幻方及其所蕴含的各种神奇性质逐步得到揭示．如今，它已在组合分析、实验设计、图论、数论、群论、对策论、纺织、工艺美术、程序设计、人工智能等领域得到广泛应用．1977年，“四阶幻方”作为人类的特殊语言被“美国旅行者”1号、2号飞船携入太空，向广袤的宇宙中可能存在的外星人传达人类的文明信息．
气温
气象学上把表示空气冷热程度的物理量称为空气温度，简称气温，国际上标准气温度量单位为摄氏度（℃）．天气预报中的气温，是在植有草皮的观测场离地面1.5m高的百叶箱里温度计的气温，由于有良好的通风并避免阳光直射，所以得到的温度具有较好的代表性．在夏日炎炎的午后，在交通繁忙的水泥路面，在空无遮挡的阳台等地测得的气温要比百叶箱气温高得多．
死海
西亚著名大盐湖，位于约旦同巴勒斯坦之间的西亚裂谷中．南北长80km，东西宽4.8～17. 7km，面积1049km．湖面低于地中海海面392m，平均深300m，最深395m，是世界陆地最低处．
由于湖水含盐量在25％以上，动、植物都难以在水中及湖边生存，所以水里没有鱼虾和植物．水面上看不到水鸟，岸边只有白花花的鹅卵石，一片死气沉沉的凄凉景象．但死海中的水却有治病的奇效，在死海中游泳后，身上被太阳晒出的白粉中含有钾盐和硫磺，能治风湿病、关节炎和哮喘病，因此每年都有不少游客慕名来此“治病”．有趣的是，由于水的含盐量高，浮力大，人在水中就像木头漂浮在水面，只要保持身体平衡，就能自由自在地戏水而不会沉没．
富翁打赌
有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻．贪财好利是他们的共同特点．
一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来．精明的富翁说：“我可以每天给你一万元，只收回你一分钱．”吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说：“你若真的每天给我一万元，别说我给你1分，就是再给你一千我也干！”
“不！”精明的富翁说， “条件只是第一天，你给我一分．”
“难道你第二天还要给我一万？”
“是的”，精明的富翁说：“只是你第二天收了我的一万，要给我二分．第三天……”
没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问：“第三天你再给我一万，我给你……”
“四分！就是说，我每天得到的钱都是前一天的两倍．”
吝啬的富翁心想：这家伙可能神经出了毛病，便问：“每天送我一万，这样下去，你的钱够送多少天呢？”
“我是人人都知道的百万富翁．”精明的富翁说： “我不打算都送给你，只拿出三十万，先送你一个月足够了．但是你给我的钱也一分也不能少！”
嘿，还当真呢！吝啬的富翁说：“你敢签订协议吗？”
“不签协议算什么打赌？”精明的富翁说：“咱们还要找几个公证人呢！”
吝啬的富翁真是喜出望外，于是他们签了协议，找来了几个公证人．协议上写道：甲方每天给乙方一万元，乙方每天给甲方的钱数从一分开始，以后每天都是前一天的两倍．双方持续时间为30天，就这样，把手续办好了．
吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼，生怕对方反悔．不料，天刚亮，对方提着一万元送上门来，按约定他给了对方一分钱．第二天，对方仍然如约送来了一万元．他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有30万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分钱．对方高高兴兴地拿走了2分钱，还叮嘱“别忘了，明天给我4分钱！”
当吝啬的富翁拿到十万元时，精明的富翁只得到十元二角三分钱．但是，他仍高高兴兴地每天如约送来一万．
可是，20 多天以后，吝啬的富翁突然要求终止打赌．对方以及一些证人当然不会同意， 30天的时间已经过去大半了，任何一方都无权不执行协议．到最后，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了．你说，这是为什么呢？
原来吝啬的富翁在一个月内共得到300000元，而他需要付给对方的钱，总数是：
＝1＋2＋4＋8＋16＋32＋…＋536870912＝1073741823(分)＝10737418. 23 (元)．即：一千零七十三万七千四百一十八元二角三分．（选自《奇妙数学大世界》）
棋盘上的粮食
中国、印度、埃及和巴比伦是世界四大文明古国．
传说，古印度有一个人发明了一种游戏棋，棋盘共64格，玩起来十分新奇、有趣．他把这种棋献给了国王，国王玩得十分开心，便下令赏赐献棋人．
臣下问献棋人想要什么．献棋人说：“我只需要粮食，要求大王给点粮食便心满意足了．”问他需要多少粮食，他说只要求在棋盘的第一个格子里放一粒米，在第二个格子放两粒米，第三个格子里放四粒米……总之，后面格子里的米都比它前一格增大一倍，把64格都放满了就行．
国王一听，满口答应．大臣们也都认为：这点米，算得了什么，便领献棋人去领米．岂料，到后来把所有仓库里的存米都付出了，还是不够．你知道这是为什么吗？
米粒数根据制棋人的要求．可列式为：
＝18446744073709551615(粒)．
如果造一个仓库来存放这些米，仓库应是多大呢？有人算过，若仓库高4米，宽10米，那么长应是地球到太阳距离的2倍．这样的长方体仓库在地球上是容不下的，当然这只是个假设．传说，当时计算米粒数宫廷里就整整算了三天！这是中学数学中“等比级数求和”问题．在当时只是凭手工硬乘出来的．国库中当然不可能有那么多的粮食．（选自《奇妙数学大世界》）
1.如图（1），带阴影的长方形面积是
A．9 cm2 B．24 cm2 C．45 cm2 D．51 cm2
2. 三角形各边长度的如下，其中不是直角三角形的是 （ ）
A． 3，4，5 B． 6，8，10 C．5，11，12 D．15，8，17
3. 在0.458，，，，，这几个数中无理数有（ ）个．
A.4 B.3 C.2 D.1
4. 25的平方根是（ ）
A、5 B、-5 C、±5 D、
5. 下列说法错误的是（ ）
A. 1的平方根是±1 B. –1的立方根是－1
C. 是2的平方根 D. –3是的平方根
6. 下列各式中，正确的是（ ）
A． B． C． D．
7.如果一个数的平方根是这个数本身，那么这个数是( )
A、0 、1 B、0、 C、0、 D、0
8. 三角形的三边长为a、b、c满足,则这个三角形是 ( )
A.等边三角形; B.钝角三角形; C.直角三角形; D.锐角三角形.
9. 若，且，则的值为 （ ）
A． B． C． D．
10.要使二次根式有意义，那么X的取值（ ）
A.X>0 B.X≤0 C.X<0 D.X≥0
二、填空题（每题3分，共24分）
11. 在⊿ABC中，∠C=90°，若a=5,b=12,则c =_______.
12. 36的平方根是 ；的立方根是 ； -2的绝对值是 。
13. 已知+=0，那么 ；
科学记数法
把一个数记成的形式，其中a满足1≤∣a∣＜10，n是正整数，像这样的记数法叫做科学记数法．
例：，．
记数法的历史
我们追溯到五千年到八千年前看一看，这时，四大文明古国都早已从母系社会过渡到父系社会了，生产力的发展导致国家雏形的产生，生产规模的扩大则刺激了人们对大数的需要．比如某个原始国家组织了一支部队，国王陛下总不能老是说：“我的这支战无不胜的部队共计有9名士兵！”于是，慢慢地就出现了“十”、“百”、“千”、“万”这些符号．在我国商代的甲骨文上就有“八日辛亥允戈伐二千六百五十六人”的刻文，即在八日辛亥那天消灭敌人共计2656人．在商周的青铜器上也刻有一些大的数字，以后又出现了“亿”、 “兆”这样的大数单位．
而在古罗马，最大的记数单位只有“千”．他们用M表示一千，“三千”则写成“MMM”，“一万”就得写成“MMMMMMMMMM”．真不敢想象，如果他们需要记一千万时怎么办，难道要写上一万个M不成？
总之，人们为了寻找记大数的单位是花了不少脑筋的，传说以前一些私塾先生告诉他的学生道：“最大的数叫‘猴子翻跟斗’”．这位私塾先生可能认为孙悟空一个跟斗翻过去的路程是最最远的，不能再远了，所以完全可以用“猴子翻跟斗”来表示最大的数．在古印度，使用了一系列大数单位后，最后的最大的数的单位叫做“恒河沙”．是呀，恒河中的沙子你数得清吗！
然而，古希腊有一位伟大的学者，他却数清了“充满宇宙的沙子数”，那就是阿基米德．他写了一篇论文，叫做《计沙法》，在这篇文章中，他提出的记数方法，同现代数学中表示大数的方法很类似．他从古希腊的最大数字单位“万”开始，引进新数“万万（亿）”作为第二阶单位，然后是“亿亿”（第三阶单位），“亿亿亿”（第四阶单位），等等，每阶单位都是它前一阶单位的1亿倍．
阿基米德的同时代人、天文学家阿里斯塔克斯曾求出地球到天球面距离10，000，000，000斯塔迪姆（1斯塔迪姆＝188米），这个距离当然比现在我们所认识的宇宙要小得多，这才仅仅是太阳到土星的距离．阿基米德假定这个“宇宙”里充满了沙子．然后开始计算这些沙子的数目．最后他写道：“显然，在阿里斯塔克斯计算出的天球里所能装入的沙子的粒数，不会超过一千万个第八阶单位”.如果要把这个沙子的数目写出来,就是10，000，000×（100， 000，000）7或者就得在1后边写上63个0：1，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000，000， 000， 000，000，000，000，000，000，000，000，000．这个数，我们现在可以把它写得简单一些：即写成1×1063．而这种简单的写法，据说是印度某个不知名的数学家发明的．
现在，我们还可更进一步把这种方法推广到记任何数，例如：32，000，000就可记为3．2×107，而0．0000032则可记为3．2×10－6．这种用在1与10间的一个数乘以10的若干次幂的记数方法就是“科学记数法”．这种记数法既方便，又准确，又简洁，还便于进行计算，所以得到了广泛的使用．
http://www.21cnjy.com/H/3/15910/1072121.shtml
拉面记录
1988年，我国拉面高手在一次烹饪大赛上，拉出了14扣，共16 000多根细面，获得“拉面大王”的称号．
在1998年3月的一次表演中，“拉面大王”用1kg面粉轻松拉出18扣，共262 144根细细的面丝，累计长度达到508 559.36m，并因此成为世界“最细的拉面”第一人．
2000年，他用1kg面粉拉出20扣，细面总数1 048 576根，累计长度达到2 352 897. 28m，相当于珠穆朗玛峰的高度的266倍，可绕地球赤道58圈．面条细如蛛丝，一根针眼中可穿过18根，第3次创出新的吉尼斯纪录．
2000年11月，他的儿子以21扣、细面总数2 097 152根取代父亲，成为当时世界“最细的拉面”第一人．
对折报纸
为什么那么大的一张报纸对折起来竟那么困难？
不妨将对折次数、报纸厚度、报纸面积的变化记录如下：
可见，在对折过程中报纸的面积随着报纸厚度的成倍增加而成倍减小，所以对折到第9次时，报纸已又小又厚，再加上纸本身的拉力，要想对折成功而不撕裂报纸，其困难程度比把256张大报纸对折还要困难得多．
运算、运算顺序及运算律
1．运算
数字运算，就是从给定的数字出发，施行确定的步骤以获得确定的结果．例如：给定两个数3和5，中间放个加号，得8，这就是一种运算——加法；给定两个数3和5，中间放个乘号，得15，这就是另一种运算——乘法．
运算的种类很多，但基本的算术运算只有两种——加法和乘法．减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算．
除了数以外，运算也可以施于其他对象．例如，两个力作用于同一物体，可以说两个力相加，这是向量之间的加法运算；把一个三角形按比例放大，再绕它的外心旋转，可以说是放大与旋转相乘，这是几何变换之间的乘法运算．
通常，可结合又可交换的运算叫做加法；可结合但不一定可交换的运算叫做乘法．
2．运算顺序
常用的运算分三级．加减法是一级运算，乘除法是二级运算，乘方和开方是三级运算．
如果一个算式里有不同级别的运算，那么先进行三级运算，再进行二级运算，最后进行一级运算．这样规定的好处是可以少用括号，否则3×5＋6÷2，就要写成（3×5）＋（6÷2）．
如果一个算式里只有同一级别的运算，那么按自左而右的顺序进行．例如3－2＋1要先算3－2，不能先算2＋1．
3．运算律
两种基本算术运算服从5条基本运算律，即加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法对加法的分配律．
如果甲种运算比乙种运算高一级，那么甲种运算对乙种运算有分配律．例如，乘除法对加减法有分配律，乘方、开方对乘除法有分配律．
差两级运算不具有分配律，例如，乘方和开方对加减法没有分配律，不能把写成．
运算符号的由来
表示计算方法的符号叫做运算符号，如四则计算中的 “＋”、 “—”、 “×”、“÷”等．
加号“＋”是加法符号，表示相加．减号 “—”是减法符号，表示相减．
“＋”与“—”这两个符号是德国数学家威特曼在1489年他的著作《简算与速算》一书中首先使用的．在1514年被荷兰数学家赫克作为代数运算符号，后又经法国数学家韦达的宣传和提倡，开始普及，直到1630年，才获得大家的公认．
乘号“×”是乘法符号，表示相乘．1631年，英国数学家奥特轩特提出用符号“×”表示相乘．乘法是表示增加的另一种方法，所以把“＋”号斜过来．另一个乘法符号“·”是德国数学家莱布尼兹首先使用的．
除号 “÷”是除法符号，表示相除．用这个符号表示除法，首先出现在瑞士学者雷恩于1656年出版的一本代数书中．几年以后，该书被译成英文，才逐渐被人们认识和接受．（选自《跨世纪知识城——谈数学》）
