24.3　正多边形和圆 课堂同步练(要点梳理+基础过关练+强化提升练+拓展延伸练+答案)

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人教版数学九年级上册课堂同步练
第二十四章　圆
24.3　正多边形和圆
要点梳理
1. 各边相等，　 　相等的多边形是正多边形.
2. 把一个圆n(n≥3)等分，依次连接各分点，就可作出这个圆的　 　.这个圆就是这个　 　的外接圆.
3. 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的　 　，　 叫做正多边形的半径，正多边形　 　所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的　 　.
4. 正n边形的中心角为　 　，正n边形的每个内角为 　.
基础过关练
1. 下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( )
A.正三角形 B.正方形 C.正五边形 D.正六边形
2. 若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( )
A. B.2 C. D.1
3. 周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别为S3、S4、S6，三者之间的大小关系是( )
A.S3＞S4＞S6 B.S6＞S4＞S3 C.S6＞S3＞S4 D.S4＞S6＞S3
4. 半径为2的圆内接正三角形，正四边形，正六边形的边心距之比为　 　.
5. 如图，P、Q分别是☉O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ＝　 　.
6. 如图，要拧开一个边长为a＝6mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为　 　.
7. 如图，已知正三角形ABC的边长为6，求它的中心角、半径和边心距.
强化提升练
8. 以半径为2的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是( )
A. B. C. D.
9. 为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为( )
A.2a2 B.3a2 C.4a2 D.5a2
10. 如图，在平面上将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，则∠3＋∠1－∠2＝　 　.
11. 如图，在边长为2的正八边形中，把其不相邻的四条边均向两边延长相交成一个四边形ABCD，则四边形ABCD的周长是　 　.
12. 如图，正△ABC外切于☉O，正方形DEFG内接于☉O，若正△ABC的边长为6，求正方形DEFG的边长.
13. 如图，六边形ABCDEF为☉O的内接正六边形，AC、AE交BF于M、N两点，求证：
(1)BF∥EC；
(2)点M、N为BF的三等分点.
延伸拓展练
14. 图①是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形———正八边形.
(1)如图②，AE是☉O的直径，用直尺和圆规作☉O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)；
(2)若AE＝4，求出正八边形的面积.
参 考 答 案
要点梳理
1. 各角　2. 内接正n边形　正n边形　3. 中心　外接圆的半径 每一边　边心距　4. 　　
基础过关练
1. A 2. A 3. B
4. 1∶∶　
5. 72°　
6. 6mm　
7. 解：设这个正三角形的中心为O，连接OB、OC，作OH⊥BC于点H，∠BOC＝＝120°，∴∠BOH＝60°，在Rt△BOH中，BH＝BC＝3，∠OBH＝30°，∴OH＝，OB＝2，∴正三角形的中心角为120°，半径为2，边心距为.
强化提升练
8. A 9. A
10. 24°　
11. 8＋8　
12. 解：连接OC，OM(M为切点). ∵⊙O是正△ABC的内切圆，∴CO平分∠ACB，∴∠OCM＝30°，∴OC＝2OM，∴在Rt△OMC中，设OM＝r，得r2＋CM2＝OC2，r2＋CM2＝4r2，3r2＝CM2，又∵BC＝6，∴CM＝3，∴3r2＝9，r＝，∴连接OG，OD后，由正方形DEFG可得∠DOG＝90°，∴DG2＝r2＋r2，∴DG＝r＝·＝.
13. 证明：(1)∵六边形ABCDEF为⊙O的内接正六边形，∴各内角的度数为＝120°，∵AB＝AF，∠BAF＝120°，∴∠ABF＝30°，又∠ABC＝120°，∴∠CBF＝90°，同理可证∠BCE＝90°，∴BF∥CE.
(2)∵∠ACE＝∠CEA＝60°，∴∠AMN＝∠ANM＝60°，∴△AMN是等边三角形，∵∠BAC＝∠ABF，∴MA＝MB，同理AN＝NF，∴BM＝AM＝MN＝AN＝NF，∴点M、N为BF的三等分点.
延伸拓展练
14. 解：(1)如图所示，正八边形ABCDEFGH即为所作的多边形.
(2)过F点作FM⊥OE. ∵圆内接正八边形ABCDEFGH，∴∠FOE＝＝45°. ∴△OMF为等腰直角三角形. 又∵AE＝4，∴OE＝OF＝2.∴MF＝2.∴S△OEF＝OE·MF＝×2×2＝2.∴S正八边形ABCDEFGH＝8S△OEF＝8×2＝16.
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