人教A版必修4 第二章 平面向量单元测试卷

人教A版必修4 第二章 平面向量单元测试卷
一、单选题
1．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 ，则四边形ABCD是（　　）
A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形
3．（2020高一上·百色期末）已知 ， 是不共线的向量， ， 若 三点共线，则实数 满足（　　）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 或
B．若 、 为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若 、 是两个单位向量，则
6．（2020高一上·钦州期末）已知向量 ，若 ，则实数 的值为（　　）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
7．（2020高一上·百色期末）若平面向量 与 满足： 则 与 的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
8．（2020高三上·厦门期中）设 为 所在平面内一点，满足 ，则 的面积与 的面积的比值为（　　）
A．6 B． C． D．4
二、多选题
9．（2020高三上·启东期中）对于任意向量 ， ， ，下列命题正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ，则
10．（2020高三上·青岛期末）已知向量 ， ， ，设 ， 所成的角为 ，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2020高三上·德州期末）已知向量 ，则（　　）
A．
B．
C．向量 在向量 上的投影是
D．向量 的单位向量是
12．（2020高三上·连云港期中）已知 是边长为2的等边三角形， 是边 上的点，且 ， 是 的中点， 与 交于点 ，那么（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．（2020高二上·浦东期末）若 与 平行，则实数m=　 　.
14．（2020高三上·芜湖期末）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 　 　．
15．（2020高三上·嘉兴期末）已知平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，且满足 ，则 　 　.
16．（2020高一上·如皋期末）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 .已知 ， ， ，且 是 的中点，若 ，则 的值为　 　.
四、解答题
17．（2020高一上·如皋期末）在直角坐标系中，O为坐标原点， ， ， .
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
（2）若 ，求点C的坐标.
18．（2020高一上·百色期末）已知平面向量 ， 且 与 共线.
（1）求 的值；
（2） 与 垂直，求实数 的值.
19．（2020高二上·内蒙古期中）已知平面内两个不共线的向量 ， .
（1）求 ；
（2）求 与 的夹角.
20．（2020高二上·玉溪期中）已知向量 ，设函数 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求使 的 的取值构成的集合.
21．（2020高二上·遵义期中）已知向量 ， ，且函数 .
（1）求 的解析式及单调递增区间；
（2）若 为锐角，且 ，求 的值.
22．（2020高三上·淮安期中）已知 =(bsinx，acosx)， =(cosx，﹣cosx)， ，其中a，b，x R.且满足 ， .
（1）求a和b的值；
（2）若关于x的方程 在区间[0， ]上总有实数解，求实数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。
2．【答案】B
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由已知得 ，即 是相等向量，因此 的模相等，方向相同，
即四边形ABCD是平行四边形.故答案为：B.
【分析】由相等向量的定义结合平行四边形的定义即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；三点共线
【解析】【解答】由 点共线，得 ，
而 ，于是有 ，
即 ， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三点共线的判断方法，再结合平面向量基本定理，进而利用两向量相等得出，再解方程组推出实数 的关系式。
4．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设第四个顶点为 ．当点 的坐标为 时， ， ， ，
．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A错误，符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，B正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，C正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。
5．【答案】B
【知识点】零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】对A，若 ，只能表示 和 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 、 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】向量 ，
若 ，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】直接由可得解。
7．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】
，解得 ， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，再结合数量积的定义，进而求出两向量 与 的夹角 。
8．【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】作 ， ， ，如图，
∵ ，∴ 是 的重心，则 ，设 ，
设 ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，同理 ， ，
，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】作 ， ， ，由已知可得 是 的重心，由重心性质可得所求面积比．
9．【答案】C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】A. 当 时，满足 ， ，但 不一定共线，故错误；
B. 因为 ，所以 ，所以 ，故错误；
C. 因为 ， ，所以 ，故正确；
D. 因为 ，所以 ，即 ，故正确；
故答案为：CD
【分析】利用向量的共线以及向量的数量积的运算法则，向量的模，判断选项即可。
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】向量 ，
由 ，可得
即 ，解得 ，所以A符合题意.
，所以
又 ，所以 ，所以D符合题意,C不正确.
,则 ，B符合题意.
故答案为：ABD
【分析】 根据题意由数量积的运算公式结合题意代入数值求出夹角的余弦值，由角的取值范围即可求出角的大小由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,B
【知识点】单位向量；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量的投影向量
【解析】【解答】 ，
对于A: ，A符合题意；
对于B: ，B符合题意；
对于C: 向量 在向量 上的投影是 ，C不符合题意；
对于D: 向量 的单位向量是 和 ，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直；再利用数量积求向量的模的公式，进而求出向量的模；再利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而求出向量 在向量 上的投影，再利用单位向量的定义，进而求出向量的单位向量，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,C
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】建立平面直角坐标系如下图所示：取 中点 ，连接 ，
因为 为 中点，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以易知 ，所以 为 中点，
A．因为 为 中点，所以 成立，故正确；
B．因为 为 中点，所以 ，所以 ，故错误；
C．因为 ，所以 ，
所以 ，故正确；
D．因为 ，所以 ，所以 ，故错误，
故答案为：AC.
【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.
13．【答案】4
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：4
【分析】利用向量平行的性质直接求解即可。
14．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为向量 与 的夹角为 ，且 ， ，
所以 ，
，
所以
故答案为：
【分析】利用向量的数量积运算性质即可求解。
15．【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，
所以 ，所以
因为 ，即 ，即
所以 ，解得
所以 ，所以
故答案为：
【分析】由条件算出，，然后可得答案。
16．【答案】-3
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；余弦定理
【解析】【解答】如图， 四点共圆， 为圆的直径.
设 ，所以 ，由相交弦定理得 ，
在直角△ 中，由勾股定理得 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
又 ,所以 ，
所以 ，
故答案为：-3。
【分析】 四点共圆， 为圆的直径，设 ，所以 ，由相交弦定理，得 ，在直角△ 中，由勾股定理得 的值，在△ 中，由余弦定理得CD的长，因为 ，再利用数量积的定义结合已知条件和余弦函数的定义，从而求出t的值，再利用数量积的定义结合诱导公式，从而求出数量积 的值 。
17．【答案】（1）解：由题意知， ，
.
因为A，B，C三点共线，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以 解得
所以点C的坐标为 .
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【分析】（1）利用向量的三角形法则结合已知条件求出向量 和的坐标，再利用A，B，C三点共线，推出向量共线，即 ， 再利用向量共线的坐标表示，从而求出a,b的关系。
（2）利用已知条件结合共线向量的坐标表示，从而求出a,b的值，进而求出点C的坐标。
18．【答案】（1）解：由题意得： ，
因为 与 共线
所以 ，
解得
（2）解：由（1）可知 ，于是 ，
而 ，
由于 ，
从而 ，
解得：
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出共线向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出m的值。
（2） 由（1）可知 ， 再利用向量的坐标运算，进而求出垂直向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而求出实数 的值 。
19．【答案】（1）解： ， ， ，
，且 ， 解得 ；
（2）解： ， ，
，且 ，
.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据条件对 的两边平方即可得出关于 的方程，然后根据题意知 ，从而解出 ；（2）进行数量积的运算可求出 和 的值，然后即可求出 的值，从而可求出 和 的夹角.
20．【答案】（1）解：由于 ，所以 .
.
（2）解：
，
由 得 ，
所以 ，
， ，
所以不等式 的解集为 .
【知识点】向量在几何中的应用；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件列方程，求得的值，由此求得 的值；
（2）化简 的解析式，解三角不等式求得不等 式 的解集 。
21．【答案】（1）解：
，
令 ， ，
得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）解：因为 为锐角，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得 ， 令 ， ，解出即可得出 单调递增区间 ；
（2）由题意得 ，则可求得 ，再由 即可求出 的值 。
22．【答案】（1）解：由题意，函数
，
由 得， ，
因为 ，又 ，所以 ，所以 .
（2）解：由（1）得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又因为方程 在区间 上总有实数解，
所以 在区间 上成立，
所以 ， ，
所以 ，所以实数 的取值范围为 .
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积结合二倍角公式化简函数的解析式，利用 得， ， 结合函数的导数值转化求解即可；
（2）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过的范围求解相位的范围，求出函数的值域，已知条件转化为 在区间 上成立，然后转化求解 的取值范围即可。
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人教A版必修4 第二章 平面向量单元测试卷
一、单选题
1．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，则 （　　）
A． B． C． D．
2．设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且 ,则四边形ABCD是(　　)
A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形
3．（2020高一上·百色期末）已知 ， 是不共线的向量， ， 若 三点共线，则实数 满足（　　）
A． B． C． D．
4．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 或
B．若 、 为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若 、 是两个单位向量，则
6．（2020高一上·钦州期末）已知向量 ，若 ，则实数 的值为（　　）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
7．（2020高一上·百色期末）若平面向量 与 满足： 则 与 的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
8．（2020高三上·厦门期中）设 为 所在平面内一点，满足 ，则 的面积与 的面积的比值为（　　）
A．6 B． C． D．4
二、多选题
9．（2020高三上·启东期中）对于任意向量 ， ， ，下列命题正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ，则
10．（2020高三上·青岛期末）已知向量 ， ， ，设 ， 所成的角为 ，则（　　）
A． B．
C． D．
11．（2020高三上·德州期末）已知向量 ，则（　　）
A．
B．
C．向量 在向量 上的投影是
D．向量 的单位向量是
12．（2020高三上·连云港期中）已知 是边长为2的等边三角形， 是边 上的点，且 ， 是 的中点， 与 交于点 ，那么（　　）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．若 与 平行，则实数m=　 　.
14．（2020高三上·芜湖期末）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 　 　．
15．（2020高三上·嘉兴期末）已知平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，且满足 ，则 　 　.
16．（2020高一上·如皋期末）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 .已知 ， ， ，且 是 的中点，若 ，则 的值为　 　.
四、解答题
17．（2020高一上·如皋期末）在直角坐标系中，O为坐标原点， ， ， .
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
（2）若 ，求点C的坐标.
18．（2020高一上·百色期末）已知平面向量 ， 且 与 共线.
（1）求 的值；
（2） 与 垂直，求实数 的值.
19．（2020高二上·内蒙古期中）已知平面内两个不共线的向量 ， .
（1）求 ；
（2）求 与 的夹角.
20．（2020高二上·玉溪期中）已知向量 ，设函数 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求使 的 的取值构成的集合.
21．（2020高二上·遵义期中）已知向量 ， ，且函数 .
（1）求 的解析式及单调递增区间；
（2）若 为锐角，且 ，求 的值.
22．（2020高三上·淮安期中）已知 =(bsinx，acosx)， =(cosx，﹣cosx)， ，其中a，b，x R.且满足 ， .
（1）求a和b的值；
（2）若关于x的方程 在区间[0， ]上总有实数解，求实数k的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。
2．【答案】B
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由已知得 ,即 是相等向量,因此 的模相等,方向相同,
即四边形ABCD是平行四边形.故答案为：B.
【分析】由相等向量的定义结合平行四边形的定义即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；三点共线
【解析】【解答】由 点共线，得 ，
而 ，于是有 ，
即 ， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三点共线的判断方法，再结合平面向量基本定理，进而利用两向量相等得出，再解方程组推出实数 的关系式。
4．【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设第四个顶点为 ．当点 的坐标为 时， ， ， ，
．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A错误，符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，B正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，C正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。
5．【答案】B
【知识点】零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】对A，若 ，只能表示 和 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 、 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
6．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】向量 ，
若 ，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】直接由可得解。
7．【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】
，解得 ， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，再结合数量积的定义，进而求出两向量 与 的夹角 。
8．【答案】A
【知识点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】作 ， ， ，如图，
∵ ，∴ 是 的重心，则 ，设 ，
设 ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，同理 ， ，
，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】作 ， ， ，由已知可得 是 的重心，由重心性质可得所求面积比．
9．【答案】C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】A. 当 时，满足 ， ，但 不一定共线，故错误；
B. 因为 ，所以 ，所以 ，故错误；
C. 因为 ， ，所以 ，故正确；
D. 因为 ，所以 ，即 ，故正确；
故答案为：CD
【分析】利用向量的共线以及向量的数量积的运算法则，向量的模，判断选项即可。
10．【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】向量 ，
由 ，可得
即 ，解得 ，所以A符合题意.
，所以
又 ，所以 ，所以D符合题意,C不正确.
,则 ，B符合题意.
故答案为：ABD
【分析】 根据题意由数量积的运算公式结合题意代入数值求出夹角的余弦值，由角的取值范围即可求出角的大小由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．【答案】A,B
【知识点】单位向量；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的投影
【解析】【解答】 ，
对于A: ，A符合题意；
对于B: ，B符合题意；
对于C: 向量 在向量 上的投影是 ，C不符合题意；
对于D: 向量 的单位向量是 和 ，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直；再利用数量积求向量的模的公式，进而求出向量的模；再利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而求出向量 在向量 上的投影，再利用单位向量的定义，进而求出向量的单位向量，进而找出正确的选项。
12．【答案】A,C
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】建立平面直角坐标系如下图所示：取 中点 ，连接 ，
因为 为 中点，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以易知 ，所以 为 中点，
A．因为 为 中点，所以 成立，故正确；
B．因为 为 中点，所以 ，所以 ，故错误；
C．因为 ，所以 ，
所以 ，故正确；
D．因为 ，所以 ，所以 ，故错误，
故答案为：AC.
【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.
13．【答案】4
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：4
【分析】利用向量平行的性质直接求解即可。
14．【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为向量 与 的夹角为 ，且 ， ，
所以 ，
，
所以
故答案为：
【分析】利用向量的数量积运算性质即可求解。
15．【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，
所以 ，所以
因为 ，即 ，即
所以 ，解得
所以 ，所以
故答案为：
【分析】由条件算出，，然后可得答案。
16．【答案】-3
【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义；余弦定理
【解析】【解答】如图， 四点共圆， 为圆的直径.
设 ，所以 ，由相交弦定理得 ，
在直角△ 中，由勾股定理得 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
又 ,所以 ，
所以 ，
故答案为：-3。
【分析】 四点共圆， 为圆的直径，设 ，所以 ，由相交弦定理，得 ，在直角△ 中，由勾股定理得 的值，在△ 中，由余弦定理得CD的长，因为 ，再利用数量积的定义结合已知条件和余弦函数的定义，从而求出t的值，再利用数量积的定义结合诱导公式，从而求出数量积 的值 。
17．【答案】（1）解：由题意知， ，
.
因为A，B，C三点共线，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以 解得
所以点C的坐标为 .
【知识点】向量的三角形法则；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【分析】（1）利用向量的三角形法则结合已知条件求出向量 和的坐标，再利用A，B，C三点共线，推出向量共线，即 ， 再利用向量共线的坐标表示，从而求出a,b的关系。
（2）利用已知条件结合共线向量的坐标表示，从而求出a,b的值，进而求出点C的坐标。
18．【答案】（1）解：由题意得： ，
因为 与 共线
所以 ，
解得
（2）解：由（1）可知 ，于是 ，
而 ，
由于 ，
从而 ，
解得：
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出共线向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出m的值。
（2） 由（1）可知 ， 再利用向量的坐标运算，进而求出垂直向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而求出实数 的值 。
19．【答案】（1）解： ， ， ，
，且 ， 解得 ；
（2）解： ， ，
，且 ，
.
【知识点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据条件对 的两边平方即可得出关于 的方程，然后根据题意知 ，从而解出 ；（2）进行数量积的运算可求出 和 的值，然后即可求出 的值，从而可求出 和 的夹角.
20．【答案】（1）解：由于 ，所以 .
.
（2）解：
，
由 得 ，
所以 ，
， ，
所以不等式 的解集为 .
【知识点】向量在几何中的应用；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件列方程，求得的值，由此求得 的值；
（2）化简 的解析式，解三角不等式求得不等 式 的解集 。
21．【答案】（1）解：
，
令 ， ，
得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）解：因为 为锐角，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得 ， 令 ， ，解出即可得出 单调递增区间 ；
（2）由题意得 ，则可求得 ，再由 即可求出 的值 。
22．【答案】（1）解：由题意，函数
，
由 得， ，
因为 ，又 ，所以 ，所以 .
（2）解：由（1）得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又因为方程 在区间 上总有实数解，
所以 在区间 上成立，
所以 ， ，
所以 ，所以实数 的取值范围为 .
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积结合二倍角公式化简函数的解析式，利用 得， ， 结合函数的导数值转化求解即可；
（2）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过的范围求解相位的范围，求出函数的值域，已知条件转化为 在区间 上成立，然后转化求解 的取值范围即可。
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1人教A版必修4 第二章 平面向量单元测试卷
一、单选题
1．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。
2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且 ，则四边形ABCD是（　　）
A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形
【答案】B
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由已知得 ，即 是相等向量，因此 的模相等，方向相同，
即四边形ABCD是平行四边形.故答案为：B.
【分析】由相等向量的定义结合平行四边形的定义即可得出答案。
3．（2020高一上·百色期末）已知 ， 是不共线的向量， ， 若 三点共线，则实数 满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理；三点共线
【解析】【解答】由 点共线，得 ，
而 ，于是有 ，
即 ， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三点共线的判断方法，再结合平面向量基本定理，进而利用两向量相等得出，再解方程组推出实数 的关系式。
4．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设第四个顶点为 ．当点 的坐标为 时， ， ， ，
．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A错误，符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，B正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，C正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。
5．下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 或
B．若 、 为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若 、 是两个单位向量，则
【答案】B
【知识点】零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】对A，若 ，只能表示 和 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 、 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
6．（2020高一上·钦州期末）已知向量 ，若 ，则实数 的值为（　　）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】向量 ，
若 ，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】直接由可得解。
7．（2020高一上·百色期末）若平面向量 与 满足： 则 与 的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】
，解得 ， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，再结合数量积的定义，进而求出两向量 与 的夹角 。
8．（2020高三上·厦门期中）设 为 所在平面内一点，满足 ，则 的面积与 的面积的比值为（　　）
A．6 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理；三角形中的几何计算
【解析】【解答】作 ， ， ，如图，
∵ ，∴ 是 的重心，则 ，设 ，
设 ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，同理 ， ，
，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】作 ， ， ，由已知可得 是 的重心，由重心性质可得所求面积比．
二、多选题
9．（2020高三上·启东期中）对于任意向量 ， ， ，下列命题正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ，则
【答案】C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【解答】A. 当 时，满足 ， ，但 不一定共线，故错误；
B. 因为 ，所以 ，所以 ，故错误；
C. 因为 ， ，所以 ，故正确；
D. 因为 ，所以 ，即 ，故正确；
故答案为：CD
【分析】利用向量的共线以及向量的数量积的运算法则，向量的模，判断选项即可。
10．（2020高三上·青岛期末）已知向量 ， ， ，设 ， 所成的角为 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】向量 ，
由 ，可得
即 ，解得 ，所以A符合题意.
，所以
又 ，所以 ，所以D符合题意,C不正确.
,则 ，B符合题意.
故答案为：ABD
【分析】 根据题意由数量积的运算公式结合题意代入数值求出夹角的余弦值，由角的取值范围即可求出角的大小由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2020高三上·德州期末）已知向量 ，则（　　）
A．
B．
C．向量 在向量 上的投影是
D．向量 的单位向量是
【答案】A,B
【知识点】单位向量；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系；空间向量的投影向量
【解析】【解答】 ，
对于A: ，A符合题意；
对于B: ，B符合题意；
对于C: 向量 在向量 上的投影是 ，C不符合题意；
对于D: 向量 的单位向量是 和 ，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直；再利用数量积求向量的模的公式，进而求出向量的模；再利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而求出向量 在向量 上的投影，再利用单位向量的定义，进而求出向量的单位向量，进而找出正确的选项。
12．（2020高三上·连云港期中）已知 是边长为2的等边三角形， 是边 上的点，且 ， 是 的中点， 与 交于点 ，那么（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】建立平面直角坐标系如下图所示：取 中点 ，连接 ，
因为 为 中点，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以易知 ，所以 为 中点，
A．因为 为 中点，所以 成立，故正确；
B．因为 为 中点，所以 ，所以 ，故错误；
C．因为 ，所以 ，
所以 ，故正确；
D．因为 ，所以 ，所以 ，故错误，
故答案为：AC.
【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.
三、填空题
13．（2020高二上·浦东期末）若 与 平行，则实数m=　 　.
【答案】4
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：4
【分析】利用向量平行的性质直接求解即可。
14．（2020高三上·芜湖期末）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 　 　．
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】因为向量 与 的夹角为 ，且 ， ，
所以 ，
，
所以
故答案为：
【分析】利用向量的数量积运算性质即可求解。
15．（2020高三上·嘉兴期末）已知平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，且满足 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，
所以 ，所以
因为 ，即 ，即
所以 ，解得
所以 ，所以
故答案为：
【分析】由条件算出，，然后可得答案。
16．（2020高一上·如皋期末）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 .已知 ， ， ，且 是 的中点，若 ，则 的值为　 　.
【答案】-3
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；余弦定理
【解析】【解答】如图， 四点共圆， 为圆的直径.
设 ，所以 ，由相交弦定理得 ，
在直角△ 中，由勾股定理得 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
又 ,所以 ，
所以 ，
故答案为：-3。
【分析】 四点共圆， 为圆的直径，设 ，所以 ，由相交弦定理，得 ，在直角△ 中，由勾股定理得 的值，在△ 中，由余弦定理得CD的长，因为 ，再利用数量积的定义结合已知条件和余弦函数的定义，从而求出t的值，再利用数量积的定义结合诱导公式，从而求出数量积 的值 。
四、解答题
17．（2020高一上·如皋期末）在直角坐标系中，O为坐标原点， ， ， .
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
（2）若 ，求点C的坐标.
【答案】（1）解：由题意知， ，
.
因为A，B，C三点共线，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以 解得
所以点C的坐标为 .
【知识点】向量加法的三角形法则；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【分析】（1）利用向量的三角形法则结合已知条件求出向量 和的坐标，再利用A，B，C三点共线，推出向量共线，即 ， 再利用向量共线的坐标表示，从而求出a,b的关系。
（2）利用已知条件结合共线向量的坐标表示，从而求出a,b的值，进而求出点C的坐标。
18．（2020高一上·百色期末）已知平面向量 ， 且 与 共线.
（1）求 的值；
（2） 与 垂直，求实数 的值.
【答案】（1）解：由题意得： ，
因为 与 共线
所以 ，
解得
（2）解：由（1）可知 ，于是 ，
而 ，
由于 ，
从而 ，
解得：
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示；利用数量积判断平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出共线向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出m的值。
（2） 由（1）可知 ， 再利用向量的坐标运算，进而求出垂直向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而求出实数 的值 。
19．（2020高二上·内蒙古期中）已知平面内两个不共线的向量 ， .
（1）求 ；
（2）求 与 的夹角.
【答案】（1）解： ， ， ，
，且 ， 解得 ；
（2）解： ， ，
，且 ，
.
【知识点】平面向量的数量积运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据条件对 的两边平方即可得出关于 的方程，然后根据题意知 ，从而解出 ；（2）进行数量积的运算可求出 和 的值，然后即可求出 的值，从而可求出 和 的夹角.
20．（2020高二上·玉溪期中）已知向量 ，设函数 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求使 的 的取值构成的集合.
【答案】（1）解：由于 ，所以 .
.
（2）解：
，
由 得 ，
所以 ，
， ，
所以不等式 的解集为 .
【知识点】向量在几何中的应用；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件列方程，求得的值，由此求得 的值；
（2）化简 的解析式，解三角不等式求得不等 式 的解集 。
21．（2020高二上·遵义期中）已知向量 ， ，且函数 .
（1）求 的解析式及单调递增区间；
（2）若 为锐角，且 ，求 的值.
【答案】（1）解：
，
令 ， ，
得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）解：因为 为锐角，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；正弦函数的性质
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得 ， 令 ， ，解出即可得出 单调递增区间 ；
（2）由题意得 ，则可求得 ，再由 即可求出 的值 。
22．（2020高三上·淮安期中）已知 =(bsinx，acosx)， =(cosx，﹣cosx)， ，其中a，b，x R.且满足 ， .
（1）求a和b的值；
（2）若关于x的方程 在区间[0， ]上总有实数解，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，函数
，
由 得， ，
因为 ，又 ，所以 ，所以 .
（2）解：由（1）得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又因为方程 在区间 上总有实数解，
所以 在区间 上成立，
所以 ， ，
所以 ，所以实数 的取值范围为 .
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；平面向量的数量积运算；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积结合二倍角公式化简函数的解析式，利用 得， ， 结合函数的导数值转化求解即可；
（2）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过的范围求解相位的范围，求出函数的值域，已知条件转化为 在区间 上成立，然后转化求解 的取值范围即可。
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人教A版必修4 第二章 平面向量单元测试卷
一、单选题
1．（2020高一上·南充期末）已知向量 ，则 （　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量的坐标运算
【解析】【解答】 ， 。
故答案为：A。
【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算，从而求出向量的坐标。
2．设有四边形ABCD,O为空间任意一点,且 ,则四边形ABCD是(　　)
A．空间四边形 B．平行四边形 C．等腰梯形 D．矩形
【答案】B
【知识点】相等向量与相反向量
【解析】【解答】由已知得 ,即 是相等向量,因此 的模相等,方向相同,
即四边形ABCD是平行四边形.故答案为：B.
【分析】由相等向量的定义结合平行四边形的定义即可得出答案。
3．（2020高一上·百色期末）已知 ， 是不共线的向量， ， 若 三点共线，则实数 满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的基本定理及其意义；三点共线
【解析】【解答】由 点共线，得 ，
而 ，于是有 ，
即 ， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合三点共线的判断方法，再结合平面向量基本定理，进而利用两向量相等得出，再解方程组推出实数 的关系式。
4．在平面直角坐标系中，以 ， ， 为顶点构造平行四边形，下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】设第四个顶点为 ．当点 的坐标为 时， ， ， ，
．∵ ， ，∴四边形 不是平行四边形．A错误，符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，B正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，C正确，不符合题意；
当 点坐标为 时，因为 ，即 且 ，
故 是平行四边形，D正确，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】利用平行四边形的定义结合已知条件，再利用两点距离公式和向量相等的判断方法，进而推出线线平行和两线段相等，从而得出不能作为平行四边形第四个顶点坐标的选项。
5．下列说法正确的是（　　）
A．若 ，则 或
B．若 、 为相反向量，则
C．零向量是没有方向的向量
D．若 、 是两个单位向量，则
【答案】B
【知识点】零向量；单位向量；空间向量的概念
【解析】【解答】对A，若 ，只能表示 和 的长度相等，不能说明方向相同或相反，故 A不符合题意；
对B，若 、 为相反向量，则它们的和为零向量，B对；
对C，零向量的方向是任意的，C不符合题意；
对D，两个单位向量只是模都为1，但方向不一定相同，D不符合题意．
故答案为：B
【分析】根据题意由向量的定义结合零向量、相反向量、单位向量以及向量的模的概念对选项逐一判断即可得出答案。
6．（2020高一上·钦州期末）已知向量 ，若 ，则实数 的值为（　　）
A．2 B．-2 C．3 D．-3
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】向量 ，
若 ，则 ，解得 .
故答案为：C.
【分析】直接由可得解。
7．（2020高一上·百色期末）若平面向量 与 满足： 则 与 的夹角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【解析】【解答】
，解得 ， 。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合数量积求向量的模的公式，再结合数量积的定义，进而求出两向量 与 的夹角 。
8．（2020高三上·厦门期中）设 为 所在平面内一点，满足 ，则 的面积与 的面积的比值为（　　）
A．6 B． C． D．4
【答案】A
【知识点】向量的共线定理；平面向量的基本定理及其意义；三角形中的几何计算
【解析】【解答】作 ， ， ，如图，
∵ ，∴ 是 的重心，则 ，设 ，
设 ，
∵ ， ， ，
∴ ，即 ，同理 ， ，
，
∴ ．
故答案为：A．
【分析】作 ， ， ，由已知可得 是 的重心，由重心性质可得所求面积比．
二、多选题
9．（2020高三上·启东期中）对于任意向量 ， ， ，下列命题正确的是（　　）
A．若 ， ，则
B．若 ，则
C．若 ， ，则
D．若 ，则
【答案】C,D
【知识点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【解答】A. 当 时，满足 ， ，但 不一定共线，故错误；
B. 因为 ，所以 ，所以 ，故错误；
C. 因为 ， ，所以 ，故正确；
D. 因为 ，所以 ，即 ，故正确；
故答案为：CD
【分析】利用向量的共线以及向量的数量积的运算法则，向量的模，判断选项即可。
10．（2020高三上·青岛期末）已知向量 ， ， ，设 ， 所成的角为 ，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】向量 ，
由 ，可得
即 ，解得 ，所以A符合题意.
，所以
又 ，所以 ，所以D符合题意,C不正确.
,则 ，B符合题意.
故答案为：ABD
【分析】 根据题意由数量积的运算公式结合题意代入数值求出夹角的余弦值，由角的取值范围即可求出角的大小由此对选项逐一判断即可得出答案。
11．（2020高三上·德州期末）已知向量 ，则（　　）
A．
B．
C．向量 在向量 上的投影是
D．向量 的单位向量是
【答案】A,B
【知识点】单位向量；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系；向量的投影
【解析】【解答】 ，
对于A: ，A符合题意；
对于B: ，B符合题意；
对于C: 向量 在向量 上的投影是 ，C不符合题意；
对于D: 向量 的单位向量是 和 ，D不符合题意．
故答案为：AB．
【分析】利用已知条件结合两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而证出两向量垂直；再利用数量积求向量的模的公式，进而求出向量的模；再利用向量投影的定义结合数量积的定义，进而求出向量 在向量 上的投影，再利用单位向量的定义，进而求出向量的单位向量，进而找出正确的选项。
12．（2020高三上·连云港期中）已知 是边长为2的等边三角形， 是边 上的点，且 ， 是 的中点， 与 交于点 ，那么（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】向量在几何中的应用
【解析】【解答】建立平面直角坐标系如下图所示：取 中点 ，连接 ，
因为 为 中点，所以 ，又因为 ，
所以 ，所以易知 ，所以 为 中点，
A．因为 为 中点，所以 成立，故正确；
B．因为 为 中点，所以 ，所以 ，故错误；
C．因为 ，所以 ，
所以 ，故正确；
D．因为 ，所以 ，所以 ，故错误，
故答案为：AC.
【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析.
三、填空题
13．若 与 平行，则实数m=　 　.
【答案】4
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示
【解析】【解答】因为 ，所以 ，解得 .
故答案为：4
【分析】利用向量平行的性质直接求解即可。
14．（2020高三上·芜湖期末）已知向量 与 的夹角为 ，且 ， ，则 　 　．
【答案】
【知识点】向量的模；平面向量数量积的运算
【解析】【解答】因为向量 与 的夹角为 ，且 ， ，
所以 ，
，
所以
故答案为：
【分析】利用向量的数量积运算性质即可求解。
15．（2020高三上·嘉兴期末）已知平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，且满足 ，则 　 　.
【答案】
【知识点】向量的模
【解析】【解答】因为平面向量 与 的夹角为 ， 在 上的投影是 ，
所以 ，所以
因为 ，即 ，即
所以 ，解得
所以 ，所以
故答案为：
【分析】由条件算出，，然后可得答案。
16．（2020高一上·如皋期末）如图，在四边形 中，对角线 与 相交于点 .已知 ， ， ，且 是 的中点，若 ，则 的值为　 　.
【答案】-3
【知识点】平面向量数量积的含义与物理意义；余弦定理
【解析】【解答】如图， 四点共圆， 为圆的直径.
设 ，所以 ，由相交弦定理得 ，
在直角△ 中，由勾股定理得 ，
在△ 中，由余弦定理得 ，
因为 ，
所以 ，
又 ,所以 ，
所以 ，
故答案为：-3。
【分析】 四点共圆， 为圆的直径，设 ，所以 ，由相交弦定理，得 ，在直角△ 中，由勾股定理得 的值，在△ 中，由余弦定理得CD的长，因为 ，再利用数量积的定义结合已知条件和余弦函数的定义，从而求出t的值，再利用数量积的定义结合诱导公式，从而求出数量积 的值 。
四、解答题
17．（2020高一上·如皋期末）在直角坐标系中，O为坐标原点， ， ， .
（1）若A，B，C三点共线，求a，b的关系；
（2）若 ，求点C的坐标.
【答案】（1）解：由题意知， ，
.
因为A，B，C三点共线，所以 ，
所以 ，
所以 .
（2）解：因为 ，
所以 ，
所以 解得
所以点C的坐标为 .
【知识点】向量的三角形法则；平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；三点共线
【解析】【分析】（1）利用向量的三角形法则结合已知条件求出向量 和的坐标，再利用A，B，C三点共线，推出向量共线，即 ， 再利用向量共线的坐标表示，从而求出a,b的关系。
（2）利用已知条件结合共线向量的坐标表示，从而求出a,b的值，进而求出点C的坐标。
18．（2020高一上·百色期末）已知平面向量 ， 且 与 共线.
（1）求 的值；
（2） 与 垂直，求实数 的值.
【答案】（1）解：由题意得： ，
因为 与 共线
所以 ，
解得
（2）解：由（1）可知 ，于是 ，
而 ，
由于 ，
从而 ，
解得：
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积的坐标表达式；数量积判断两个平面向量的垂直关系
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合向量的坐标运算，进而求出共线向量的坐标，再结合两向量共线的坐标表示，进而求出m的值。
（2） 由（1）可知 ， 再利用向量的坐标运算，进而求出垂直向量的坐标，再利用两向量垂直数量积为0，再结合数量积的坐标表示，进而求出实数 的值 。
19．（2020高二上·内蒙古期中）已知平面内两个不共线的向量 ， .
（1）求 ；
（2）求 与 的夹角.
【答案】（1）解： ， ， ，
，且 ， 解得 ；
（2）解： ， ，
，且 ，
.
【知识点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角
【解析】【分析】（1）根据条件对 的两边平方即可得出关于 的方程，然后根据题意知 ，从而解出 ；（2）进行数量积的运算可求出 和 的值，然后即可求出 的值，从而可求出 和 的夹角.
20．（2020高二上·玉溪期中）已知向量 ，设函数 .
（1）当 时，求 的值；
（2）求使 的 的取值构成的集合.
【答案】（1）解：由于 ，所以 .
.
（2）解：
，
由 得 ，
所以 ，
， ，
所以不等式 的解集为 .
【知识点】向量在几何中的应用；三角函数中的恒等变换应用；二倍角的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】（1）利用向量平行的条件列方程，求得的值，由此求得 的值；
（2）化简 的解析式，解三角不等式求得不等 式 的解集 。
21．（2020高二上·遵义期中）已知向量 ， ，且函数 .
（1）求 的解析式及单调递增区间；
（2）若 为锐角，且 ，求 的值.
【答案】（1）解：
，
令 ， ，
得 ， ，
所以函数 的单调递增区间为 .
（2）解：因为 为锐角，所以 ，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 .
【知识点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦公式；正弦函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简可得 ， 令 ， ，解出即可得出 单调递增区间 ；
（2）由题意得 ，则可求得 ，再由 即可求出 的值 。
22．（2020高三上·淮安期中）已知 =(bsinx，acosx)， =(cosx，﹣cosx)， ，其中a，b，x R.且满足 ， .
（1）求a和b的值；
（2）若关于x的方程 在区间[0， ]上总有实数解，求实数k的取值范围.
【答案】（1）解：由题意，函数
，
由 得， ，
因为 ，又 ，所以 ，所以 .
（2）解：由（1）得 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又因为方程 在区间 上总有实数解，
所以 在区间 上成立，
所以 ， ，
所以 ，所以实数 的取值范围为 .
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用
【解析】【分析】（1）利用向量的数量积结合二倍角公式化简函数的解析式，利用 得， ， 结合函数的导数值转化求解即可；
（2）通过两角和与差的三角函数化简函数的解析式，通过的范围求解相位的范围，求出函数的值域，已知条件转化为 在区间 上成立，然后转化求解 的取值范围即可。
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