北师大版数学七年级下册 1.5平方差公式 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
第一章 整式的运算
1.5.1平方差公式
—多种方式融入数学史以渗透德育教育
庄园主巴依老爷与佃户张老汉的故事
一、故事引入
二、平方差公式的证明
问题１ 一个边长为7.9米的正方形的面积是多少？在这个正方形的左下角割去一个边长为2.1米的正方形，你能求出剩余部分的面积吗？
7.9
2.1
7.9
2.1
问题2
在一个边长为a的正方形的左下角割去一个边长为b的正方形，你能表示出剩余部分的面积吗？
二、平方差公式的证明（几何推导）
(a+b)(a b)=a2 b2
两数和与这两数差的积,等于这两数的平方差.
知识要点
平方差公式：
面积割补的证明方法最早是由我国三国时代的数学家赵爽想出来的。对赵爽的生平人们知之甚少，在《〈周髀算经〉注》的前言里，赵爽说自己“负薪余日，聊观《周髀》”。
赵爽：负薪余日，
聊观《周髀》
赵爽励志故事
拓展思考（几何推导）
在一个边长为a的正方形的左上角割去一个边长为b（ｂ公式代数推导
(a+b)(a-b) = a2-b2
相同为a
相反为b
三、平方差公式的特征
特
征
（2)a和b是数，单项式或多项式。
（1）一同一反，积等于同方减反方。
巧识：孙悟空大战二郎神：
两个二郎神（二项乘），一同一反，同方战（减）反方。
(1+x)(1-x)
(-3+a)(-3-a)
(0.3x-1)(1+0.3x)
(1+a)(-1+a)
1、填一填：
a
b
=a2－b2
1
x
－3
a
12－x2
(－3)2－a2
a
1
a2－12
0.3x
1
( 0.3x)2－12
(a+b)(a-b)
四、平方差公式的应用
2、利用平方差公式计算：
(1) (5＋6x )( 5－6x ) ； (2) (－2y+x)(2y+x)；
(3) (n－m)(－m－n) ； (4) 30.2×29.8
解：（1）原式=52－(6x)2=25－36x2；
（2）原式＝x2－(2y)2＝x2 － 4y2；
（3）原式＝(－m)2－n2=m2－n2.
（4）原式=(30+0.2)×（30-0.2)
=302－0.22=900-0.04=899.96
古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中就已经利用几何方法得到上述变形了.
3、利用平方差公式计算：
(1) (2) (ab+8)(ab－8).
解：(1)原式=
(1)原式=(ab)2－82
=a2b2－64.
思考题：
已知两数的和为 20，积为 96，求这两个数。
解法:设两数分别为10+x和10-x,则(10+x)(10-x)=96,即
102-x2 =96，故100-x2 =96，
故x2 =4， x=2.于是，所求两数分别为12和8.
从前，有一个狡猾的庄园主——巴依老爷，巴依老爷又开始数他的金币了：“金币呀，你能否再多点呀” ，今天是张老汉来还钱的日子，我得好好想想。一会，张老汉来了：“巴依老爷，天旱收成不好，你再宽限几天吧。”“那怎么行？”“再宽限几天吧。”“这样吧，把你那块边长为a的正方形地一边增加5米，另一边减少5米，变成长方形继续租给你，租金不变，你也没有吃亏，你看如何？”张老汉一听觉得好像没有吃亏，就答应了. 同学们，你们觉得张老汉吃亏没有，为什么？
结论：两个多边形周长相等时，其面积不一定相等。
练一练
(2)（填空） (2x-3y)( )=9y2 –4x2
-2x-3y
(3)计算： (a－b)(－a－b)
或 解：原式=－(a-b)(a+b)
=－(a2－b2)
=b2－a2
解：原式=(-b+a)(-b－a)
=(-b)2－a2
=b2－a2
D
课堂小结
分享你的收获，交流你的困惑。
通过本节课的学习，你有哪些收获？
（1）说说应用平方差公式的条件，以及注意事项。
（2）你觉得平方差公式的数学历史对你的学习有帮助吗？ 如果有帮助，主要是哪方面的？
（3）本节课你记忆最深刻的是哪个环节，为什么？
我们可不能像佃户张老汉那样被表面现象所迷惑，要开拓自己丢番图式的智慧头脑；像赵爽那样挤一挤，时间总是有的，好好利用时间学习知识，利用所学知识解决一些日常生活中的问题，才能透过现象看本质；做人我们可不能像庄园主那样，要踏踏实实做人，诚实守信…
赠言：
课后作业
1) 位置变化： (a+b) (–b+a) =________.
2) 符号变化： (-a–b) (a–b)=_________.
3) 系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=_________.
4) 指数变化：( a3+b2 )(a3 –b2 )=________.
5) 项数变化： (a+2b+c) (a+2b-c) = .
(1)（一题多变）平方差公式的常见变形：
谢谢！