人教版数学九年级上册 第二十二章 二次函数小结第1课时 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
22.4 二次函数小结
九年级上册 RJ
初中数学
第1课时
一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a ≠0，a，b，c是常数)的函数，叫做二次函数．
二次函数的概念
注意：
(1)等号两边都是整式；
(2)自变量的最高次数是2；
(3)只含有一个未知数.
知识梳理
一般式：y＝ax2＋bx＋c(a ≠0，a，b，c是常数)，已知图象上三点的坐标，通常设一般式.
二次函数的解析式
知识梳理
顶点式：y=a(x-h)2+k (a ≠0，h，k是常数)，顶点坐标(h,k)，
已知图象的顶点坐标或对称轴，通常设顶点式.
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a ≠0,（x1,0 ）,（x2,0）为抛物线与x轴的交点)．已知图象与x轴的交点坐标，通常设交点式.
二次函数图象及性质
函数解析式
图象特征
函数性质
开口
顶点
向　上
最值
增减性
（a＞0）
（a＞0）
（a＞0）
向　上
向　上
对称轴
最低点（0，0）
最低点（h，k）
直线 x=0（ y 轴）
直线 x=h
直线 x=
x=0 时，
当x<0 时，y 随 x 的增大而减小．
x= h 时，
时，
当x>0 时，y 随 x 的增大而增大．
当x当x>h 时，y 随 x 的增大而增大．
当x< 时，y 随 x 的增大而减小 ．
当x> 时，y 随 x 的增大而增大 ．
最低点( ， )
二次函数图象及性质
函数解析式
图象特征
函数性质
开口
顶点
向　下
最值
增减性
（a<0）
（a<0）
（a<0）
向　下
向　下
对称轴
最高点（0，0）
最高点（h，k）
直线 x=0（ y 轴）
直线 x=h
直线 x=
x=0 时,
当x<0 时，y 随 x 的增大而增大．
x= h 时，
时，
当x>0 时，y 随 x 的增大而减小．
当x当x>h 时，y 随 x 的增大而减小．
当x< 时，y 随 x 的增大而增大 ．
当x> 时，y 随 x 的增大而减小 ．
最高点( ， )
抛物线的平移规律
一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)，已知图象上三点的坐标，通常设一般式
左加右减自变量，上加下减常数项
用待定系数法求二次函数的解析式
顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0)，已知图象的顶点坐标或对称轴方程，通常设顶点式
交点式：y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)，已知图象与x轴的交点坐标，通常设交点式
1 已知抛物线y=-x2+6x+1，
(1) 求抛物线的开口方向，对称轴和顶点；
开口方向----------
a的符号
对称轴和顶点------
重难剖析
1 已知抛物线y=-x2+6x+1，
(1) 求抛物线的开口方向，对称轴和顶点；
解： a = -1，b = 6，c = 1．
∵a = -1<0 ，
∴抛物线开口向下．
∵ ，
∴对称轴是直线 x = 3．
配方得
∵ ，
∴顶点（3，10）.
解：当 x = 0 时,y=0+0+1=1．
∴抛物线与 y 轴的公共点是(0，1)．
1 已知抛物线y=-x2+6x+1，
(2) 求出抛物线与坐标轴的公共点；
分析：
坐标轴
x 轴
y 轴
( x = 0 )
( y = 0 )
当 y=0 时，-x2+6x+1=0.
解得 ， ．
∴抛物线与x轴的公共点是
1 已知抛物线y=-x2+6x+1，
(3)抛物线y=-x2+6x+1可以看成抛物线y=-x2怎样平移得到的？
分析：
平移
配方
抛物线y=-x2+6x+1可以看成抛物线y=-x2向上平移10个
单位长度后，再向右平移3个单位长度得到的．
平移
配方
2.二次函数 y＝－x2＋bx＋c的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1A. y1≤y2 B. y1C. y1≥y2 D. y1>y2
解：由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，
当x＜1时，y随x的增大而增大，
∵x1B
3.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　)
A.1 　B.2 　 C.3　 D.4
解：由图象开口向下可得a＜0，由对称
轴在y轴左侧可得b＜0，由图象与y轴交
于正半轴可得c＞0，则abc＞0，故①正确；
由对称轴－1由图象上横坐标为 x＝－2的点在第三象限，可得4a－2b＋c＜0，故③正确；
3.已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是(　　)
A.1 　B.2 　 C.3　 D.4
由图象上横坐标为x=1的点在第四象限
得出a＋b＋c＜0，
由图象上横坐标为x=-1的点在第二象限
得出a－b＋c＞0，
则(a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，即(a＋c)2－b2＜0，
可得(a＋c)2＜b2，故④正确．故选D.
D
4.已知关于x的二次函数，当x=－1时，函数值为10，当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为7，求这个二次函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y＝ax2+bx＋c， 由题意得
解得a=2，b=－3，c=5.
∴ 所求的二次函数为y＝2x2－3x＋5.
a-b+c=10,
a+b+c=4,
4a+2b+c=7.
1.(1) 对于y＝2(x－3)2＋2的图象下列叙述正确的是(　　)
A．顶点坐标为(－3，2)
B．对称轴为y＝3
C．当x≥3时，y随x的增大而增大
D．当x≥3时，y随x的增大而减小
C

D
能力提升
2.已知二次函数 y=－x2＋2bx＋c，当x＞1时，y随x的增大而减小，则实数b的取值范围是( )
A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1

D
3.若抛物线 y=－7(x+4)2－1平移得到 y=－7x2，则可能( )
A.先向左平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
B.先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度
C.先向左平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度
D.先向右平移1个单位长度，再向下平移4个单位长度
B
4．如下图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与
y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点．
(1)求此抛物线的解析式；
解：(1)设y＝a(x－1)2＋4，
把(0，3)代入得a(0－1)2＋4＝3，
∴a＝－1 ,
∴此抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4，
即y＝－x2＋2x＋3．
4．如下图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与
y轴交于点B(0，3)，与x轴交于C，D两点，点P是x轴上的一个动点． (2)当PA＋PB的值最小时，求点P的坐标.
(2)B(0，3)关于x轴对称的点B′的坐标为(0，－3)，
B′
连接AB′交x轴于点P，则PA＋PB的值最小．
设直线AB′的解析式为y＝kx＋b，把A(1,4)，
B′(0,－3)分别代入得 　 解得　
∴y＝7x－3，当y＝0时，7x－3＝0，
解得x＝ ，∴P( ,0).
P