高二数学下学期期末考试分类汇编：期末测试（含解析）

期末测试
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的.）
1．已知平面α的法向量为，，则直线AB与平面α的位置关系为（ ）
A．AB∥α B．AB α C．AB与α相交 D．AB α或AB∥α
2．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．设随机变量的分布列如下表，则实数的值为（ ）
X -1 0 1
P
A． B． C． D．
4．已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（ ）
A．α⊥β B．α∥β
C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对
5．变量X与Y相对应的一组数据为，，，，；变量U与V相对应的一组数据为，，，，.表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则（ ）.
A． B．
C． D．
6．空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A． B．或
C． D．或
7．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为．记，当程序运行一次时，的概率为（ ）．
A． B． C． D．
8．如图,在正方体中,点是线段上的动点,则下列判断：
①三棱锥的体积是定值与点位置无关；
②若异面直线与所成的角为,则的最大值为；
③无论点在线段的什么位置,都有；
④当点与线段的中点重合时,与异面．
其中正确的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0
C．常数项为20 D．二项式系数最大的项为第4项
10．记考试成绩的均值为，方差为，若满足，则认为考试试卷设置合理.在某次考试后，从20000名考生中随机抽取1000名考生的成绩进行统计，得到成绩的均值为66，方差为196，将数据分成7组，得到如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列说法正确的是（ ）
A．本次考试成绩不低于80分的考生约为4000人
B．本次考试成绩的25%分位数约为47.5
C．
D．本次考试试卷设置合理
11．在正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．是平面的一个法向量 B．是平面的一个法向量
C． D．
12．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”，“日落云里走，雨在半夜后”，……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：
日落云里走 夜晚天气
下雨 不下雨
出现 25 5
不出现 25 45
临界值表
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
并计算得到，下列小明对A地区天气判断正确的是（ ）A．夜晚下雨的概率约为
B．在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为
C．样本中出现“日落云里走”且夜晚下雨的频率是不出现“日落云里走”且夜晚下雨的频率的2.5倍
D．认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知样本，，…，的平均数为5，方差为3，则样本，，…，的平均数与方差的和是_____．
14．如图，圆锥的轴截面ABC为正三角形，其面积为，D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC，DE所成的角的大小为______．
15．下列说法正确的是______.
①独立性检验中，为了调查变量与变量的关系，经过计算得到，表示的意义是有99%的把握认为变量与变量有关系；
②在处取极值，则；③是成立的充要条件.
16．如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是___________（填入正确结论对应的序号）.
①设向量旋转后的向量为，则
②点的轨迹是以为半径的圆
③设①中的在平面上的投影向量为，则的取值范围是
④直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知具有相关关系的两个变量，之间的几组数据如下表所示：
2 3 4 5 6
4 5 7 10 9
(1)求，；
(2)根据上表中的数据，求出关于的线性回归方程；并估计当时的值.
附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的.最小二乘估计公式分别为：，.注：根据上表所给数据可算出.
18．如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，，是的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角.
19．“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：
周末体育锻炼时间
频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1
(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在内的人数为X，求X的分布列以及数学期望.
20．如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，.
(1)求异面直线PC与AD所成角的余弦；
(2)求点A到平面PCD的距离.
21．科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化，主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”．为了解市民对“碳达峰”和“碳中和”的知晓程度，某机构随机选取了100名市民进行问卷调查，他们年龄的分布频数及对“碳达峰”和“碳中和”的知晓人数如下表：
年龄（单位：岁）
频数 10 20 30 20 10 10
知晓人数 10 20 25 19 4 2
(1)若以“年龄45岁”为分界点，根据以上数据完成下面列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关．
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
知晓
不知晓
合计
(2)若从年龄在和的知晓人中按照分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰’和“碳中和”讲解员，求2人年龄都在的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
22．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．
参考答案：
一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题意要求的.）
1．已知平面α的法向量为，，则直线AB与平面α的位置关系为（ ）
A．AB∥α B．AB α C．AB与α相交 D．AB α或AB∥α
【答案】C
【解析】
【分析】
由题可得，进而即得.
【详解】
∵，，
∴，
∴，
∴直线AB与平面α的位置关系为相交．
故选：C．
2．口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1，2，3，4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
从4个球中随机抽取两个球，共有种抽法，其中满足两球编号之和大于5的情况有共2种抽法，从而利用古典概型概率计算公式即可求解.
【详解】
解：从4个球中随机抽取两个球，共有种抽法，其中满足两球编号之和大于5的情况有2种抽法，
所以取出的两个球的编号之和大于5的概率为.
故选：C.
3．设随机变量的分布列如下表，则实数的值为（ ）
X -1 0 1
P
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据概率之和为求得的值.
【详解】
依题意.
故选：B
4．已知平面α和平面β的法向量分别为，，则（ ）
A．α⊥β B．α∥β
C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
由法向量的坐标可判断法向量的关系，进而确定平面α和平面β的位置关系.
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴
故选：B.
5．变量X与Y相对应的一组数据为，，，，；变量U与V相对应的一组数据为，，，，.表示变量Y与X之间的线性相关系数，表示变量V与U之间的线性相关系数，则（ ）.
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据变量对应数据可确定与之间正相关，与之间负相关，由此可得相关系数的大小关系.
【详解】
由变量与相对应的一组数据为，，，，，可得变量与之间正相关，
；
由变量与相对应的一组数据为，，，，，可知变量与之间负相关，
；
综上所述：与的大小关系是．
故选：C.
6．空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知条件，先求出，从而即可求解.
【详解】
解：因为，所以，
所以与向量同向共线的单位向量，
故选：C.
7．计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数，其中A的各位数字中，，出现0的概率为，出现1的概率为．记，当程序运行一次时，的概率为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先分析的条件，再利用独立重复试验的概率公式进行求解.
【详解】
已知，要使，只需后四位中出现2个1和2个0．
所以．
故选：C
8．如图,在正方体中,点是线段上的动点,则下列判断：
①三棱锥的体积是定值与点位置无关；
②若异面直线与所成的角为,则的最大值为；
③无论点在线段的什么位置,都有；
④当点与线段的中点重合时,与异面．
其中正确的个数是(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平面,所以，由此即可判断①是否正确；建立空间直角坐标系，利用空间向量即可判断②和③是否正确；点与线段的中点重合时,即可判断与的关系，进而判断④是否正确.
【详解】
因为平面,所以点到平面的距离为,
设正方体的棱长为,则,即无论点在线段 的什么位置,三棱锥的体积为定值,故①正确；
建立如图所示的直角坐标系,
设正方体棱长为,则,
设, ,则,
又,设异面直线与 所成角为,
则 ,
当时,有最大值,此时点是线段 的中点,故②正确,
又，所以,所以,故③正确；
当点与线段的中点重合时,,显然与均在平面 ,故④错误,所以①②③正确.
故选：C.
二、多项选择题：（本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．在的展开式中，下列说法正确的有（ ）
A．所有项的二项式系数和为64 B．所有项的系数和为0
C．常数项为20 D．二项式系数最大的项为第4项
【答案】ABD
【解析】
【分析】
由二项式系数可判断A；令可判断B；由二项式定理以及二项式系数的性质可判断CD.
【详解】
对于A，所有项的二项式系数和为，故A正确；
对于B，令，得所有项的系数和为，故B正确；
对于C，常数项为，故C错误；
对于D，展开式有7项，二项式系数最大为第4项，故D正确．
故选：ABD．
10．记考试成绩的均值为，方差为，若满足，则认为考试试卷设置合理.在某次考试后，从20000名考生中随机抽取1000名考生的成绩进行统计，得到成绩的均值为66，方差为196，将数据分成7组，得到如图所示的频率分布直方图.用样本估计总体，下列说法正确的是（ ）
A．本次考试成绩不低于80分的考生约为4000人
B．本次考试成绩的25%分位数约为47.5
C．
D．本次考试试卷设置合理
【答案】AC
【解析】
【分析】
对A：由频率分布直方图求出考试成绩不低于80分的频率即可求解；
对B：由频率分布直方图，根据百分位数的计算公式即可求解；
对C：由所有矩形面积和为1即可求解；
对D：由题意，，，由频率分布直方图求出即可判断.
【详解】
解：对A：由频率分布直方图可得考试成绩不低于80分的频率为，
所以本次考试成绩不低于80分的考生约为人，故选项A正确；
对B：由频率分布直方图可知，考试成绩在的频率为，
考试成绩在的频率为，
所以本次考试成绩的25%分位数为，故选项B错误；
对C：由可得，故选项C正确；
对D：由题意，，，所以，，
所以，故选项D错误.
故选：AC.
11．在正方体中，下列结论正确的有（ ）
A．是平面的一个法向量 B．是平面的一个法向量
C． D．
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据正方体的结构特征及线面位置关系求解即可.
【详解】
如图，
由正方体中的线面位置关系，可知平面，平面，
平面，所以ABD正确，
因为与所成的角为60°，所以C不正确，
故选：ABD
12．千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”，“日落云里走，雨在半夜后”，……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了A地区的100天日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表：
日落云里走 夜晚天气
下雨 不下雨
出现 25 5
不出现 25 45
临界值表
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
并计算得到，下列小明对A地区天气判断正确的是（ ）A．夜晚下雨的概率约为
B．在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为
C．样本中出现“日落云里走”且夜晚下雨的频率是不出现“日落云里走”且夜晚下雨的频率的2.5倍
D．认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据表格中的数据计算出各个选项所求的数据，然后判断即可.
【详解】
对于A，样本容量为100，夜晚出现下雨的频数为50，概率约为 ，故正确；
对于B，未出现“日落云里走”的天数为25+45=70，
夜晚下雨的概率为 ，故正确；
对于C，出现“日落云里走”且夜晚下雨的天数为25，不出现“日落云里走”且夜晚下雨的天数也为25，
其概率分别为 ，故错误；
对于D，出现“日落云里走”时，由于 ，
由 把握认为夜晚会下雨，故正确；
故选：ABD.
三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知样本，，…，的平均数为5，方差为3，则样本，，…，的平均数与方差的和是_____．
【答案】23
【解析】
【分析】
利用期望、方差的性质，根据已知数据的期望和方差求新数据的期望和方差.
【详解】
由题设，，，
所以，.
故平均数与方差的和是23.
故答案为：23.
14．如图，圆锥的轴截面ABC为正三角形，其面积为，D为弧AB的中点，E为母线BC的中点，则异面直线AC，DE所成的角的大小为______．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据轴截面面积计算，然后建立空间直角坐标系，算出，最后根据空间向量夹角公式计算即可.
【详解】
因为圆锥的轴截面ABC为正三角形，其面积为，所以．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
则异面直线AC，DE所成的角的大小为．
故答案为：
15．下列说法正确的是______.
①独立性检验中，为了调查变量与变量的关系，经过计算得到，表示的意义是有99%的把握认为变量与变量有关系；
②在处取极值，则；③是成立的充要条件.
【答案】①②
【解析】
【分析】
①根据的意义作出判断即可；②分析导函数，根据求解出的值后再进行验证；③根据与互相推出的情况作出判断.
【详解】
解：①因为变量与变量没有关系的概率为，所以有99%的把握认为变量与变量有关系，故正确；
②由题意知且，所以，所以，
所以，令，所以，
当时，，当时，，所以在取极值，故正确；
③当时不一定有，如；当时，则有，
所以是成立的必要不充分条件，故错误，
故答案为：①②.
16．如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则以下结论正确的是___________（填入正确结论对应的序号）.
①设向量旋转后的向量为，则
②点的轨迹是以为半径的圆
③设①中的在平面上的投影向量为，则的取值范围是
④直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是
【答案】①②③
【解析】
【分析】
利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断①②，利用投影向量的概念可得，可判断③，利用夹角公式可判断④.
【详解】
如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，①正确；
设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，②正确；
由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量，，③正确；
设直线在平面内的投影与直线所成的角为，
则，④错误.
故答案为：①②③.
四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知具有相关关系的两个变量，之间的几组数据如下表所示：
2 3 4 5 6
4 5 7 10 9
(1)求，；
(2)根据上表中的数据，求出关于的线性回归方程；并估计当时的值.
附：对于一组数据，其回归方程的斜率和截距的.最小二乘估计公式分别为：，.注：根据上表所给数据可算出.
【答案】(1)，；
(2)，16
【解析】
【分析】
（1）代入求平均数公式中进行计算；（2）代入公式求出，，确定关于的线性回归方程；并代入，求出答案.
(1)
，
(2)
，
，
所以关于的线性回归方程为，
当时，.
18．如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，，是的中点，.
(1)求证：平面；
(2)求平面与平面的夹角.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据条件证明出平面，进而证明出，利用勾股定理得到，从而证明出结论；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量求出面面角.
(1)
证明：因为底面和侧面都是矩形，所以，，又因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，又由题知，，，所以，又，所以平面.
(2)
设为的中点，以为原点， 所在直线分别为轴 轴 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则得点，，，，，设平面的一个法向量为，又，，则，令，则取，设平面的一个法向量为，又，，则，令，则取，设平面与平面的夹角为，则，所以，即得平面与平面的夹角为.
19．“双减”政策实施后，为了解某地中小学生周末体育锻炼的时间，某研究人员随机调查了600名学生，得到的数据统计如下表所示：
周末体育锻炼时间
频率 0.1 0.2 0.3 0.15 0.15 0.1
(1)估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(2)在这600人中，用分层抽样的方法，从周末体育锻炼时间在内的学生中抽取15人，再从这15人中随机抽取3人，记这3人中周末体育锻炼时间在内的人数为X，求X的分布列以及数学期望.
【答案】(1)；
(2)分布列答案见解析，数学期望：.
【解析】
【分析】
(1)根据平均数的定义，等于频率乘以每一组数据的中点值之和；
(2)根据题意，X的可能取值是0，1，2，3，再根据古典概型计算方法分别计算概率即可.
(1)
估计这600名学生周末体育锻炼时间的平均数
.
(2)
依题意，周末体育锻炼时间在内的学生抽6人，在内的学生抽9人，
则，，，，
故X的分布列为：
X 0 1 2 3
P
则.
20．如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，.
(1)求异面直线PC与AD所成角的余弦；
(2)求点A到平面PCD的距离.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求解异面直线的夹角；（2）先求出平面PCD的法向量，然后利用点到平面的向量公式进行求解.
(1)
因为平面ABCD，平面ABCD
所以，，，因为，故以A为坐标原点，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为过点C作CE⊥AD于点E，则CE=AB=2，AE=BC=1，因为，所以DE=CE=2，故，，，，，，设异面直线PC与AD所成角为，所以，异面直线PC与AD所成角的余弦值为.
(2)
，，设平面PCD的法向量为，则，即，令，解得：，，故，设点A到平面PCD的距离为，则
21．科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化，主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现“碳达峰”，而后实现“碳中和”．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺：力争在2030年前实现“碳达峰”，努力争取在2060年前实现“碳中和”．为了解市民对“碳达峰”和“碳中和”的知晓程度，某机构随机选取了100名市民进行问卷调查，他们年龄的分布频数及对“碳达峰”和“碳中和”的知晓人数如下表：
年龄（单位：岁）
频数 10 20 30 20 10 10
知晓人数 10 20 25 19 4 2
(1)若以“年龄45岁”为分界点，根据以上数据完成下面列联表，并判断是否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关．
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
知晓
不知晓
合计
(2)若从年龄在和的知晓人中按照分层抽样的方法抽取6人，并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰’和“碳中和”讲解员，求2人年龄都在的概率．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
【答案】(1)列联表:
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
知晓 25 55 80
不知晓 15 5 20
合计 40 60 100
能够在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关.
(2)
【解析】
【分析】
（1）根据题意统计个数填入列联表，根据表格数值计算，与的比较大小即可；
（2）分层抽样计算在和中抽取的人数，并利用超几何分布的概率计算结果即可.
(1)
根据统计数据统计，年龄不低于45岁的人数的人数共有40人，其中知晓“碳达峰”和“碳中和”的有25人，不知晓“碳达峰”和“碳中和”的有15人；年龄低于45岁的人数的人数共有60人，其中知晓“碳达峰”和“碳中和”的有55人，不知晓“碳达峰”和“碳中和”的有5人；
故列联表如下：
年龄不低于45岁的人数 年龄低于45岁的人数 合计
知晓 25 55 80
不知晓 15 5 20
合计 40 60 100
，
因为，且.
所以能够在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为知晓“碳达峰”和“碳中和”与人的年龄有关.
(2)
年龄在中的知晓人有20人，在的中知晓人有4人，
所以分层抽到的年龄在中的知晓人有 （人），
分层抽到的年龄在中的知晓人有 （人），
并从这6人中任意选取2人担任“碳达峰’和“碳中和”讲解员，求2人年龄都在的概率为.
22．如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点．
（1）记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；
（2）设（1）中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足．记直线PQ与平面ABC所成的角为θ，异面直线PQ与EF所成的角为α，二面角E﹣l﹣C的大小为β．求证：sinθ=sinαsinβ．
【答案】（1）l∥平面PAC，见解析 （2）见解析
【解析】
【详解】
【分析】
（1）直线l∥平面PAC，证明如下：
连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EF∥AC，
又EF 平面ABC，且AC 平面ABC，所以EF∥平面ABC．
而EF 平面BEF，且平面BEF∩平面ABC=l，所以EF∥l．
因为l 平面PAC，EF 平面PAC，所以直线l∥平面PAC．
（2）（综合法）如图1，连接BD，
由（1）可知交线l即为直线BD，且l∥AC．
因为AB是⊙O的直径，所以AC⊥BC，于是l⊥BC．
已知PC⊥平面ABC，而l 平面ABC，所以PC⊥l．
而PC∩BC=C，所以l⊥平面PBC．
连接BE，BF，因为BF 平面PBC，所以l⊥BF．
故∠CBF就是二面角E﹣l﹣C的平面角，即∠CBF=β．
由，作DQ∥CP，且．
连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP=2PF，所以DQ=PF，
从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD．
连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，
故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF=θ．
又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF=α，
于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得，
从而．
（2）（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且．
连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（1）可知交线l即为直线BD．
以点C为原点，向量所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设CA=a，CB=b，CP=2c，则有
．
于是，
∴=，从而，
又取平面ABC的一个法向量为，可得，
设平面BEF的一个法向量为，
所以由可得．
于是，从而．
故，即sinθ=sinαsinβ．