高二数学下学期期末考试分类汇编：压轴题（含解析）

压轴题
一、单选题
(2021·上海市市辖区·期末考试)定义域为集合上的函数满足：
；
；
、、成等比数列；
这样的不同函数的个数为
A. B. C. D.
(2022·全国·期末考试)为了研究某校男生的脚长单位；和身高单位：的关系，从该校随机抽取名男生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系．设关于的经验回归方程为已知，，，该校某男生的脚长为，据此估计其身高为．
A. B. C. D.

(2021·甘肃省武威市·期末考试)从一口袋中有放回地每次摸出个球，摸出一个白球的概率为，摸出一个黑球的概率为，若摸球次，则恰好有次摸出白球的概率为
A. B. C. D.
(2021·全国·期末考试)已知正三棱锥的侧面上动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，若点到底面的距离为，且，点为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
(2021·全国·期末考试)如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是
A.
B.
C.
D.
(2020·安徽省蚌埠市·月考试卷)已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为 ．
A. B. C. D.
(2021·安徽省滁州市·期末考试)已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则下列选项正确的是
A.
B. 直线与平面所成角的大小为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 二面角的正弦值为
(2021·北京市市辖区·期末考试)如图，在正方体中，，点在平面内，，则点到距离的最小值为
A. B. C. D.
(2021·山东省聊城市·期末考试)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，
A. B. C. D.
(2021·浙江省·期末考试)在矩形中，，，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内不含边界，设二面角的大小为，直线，与平面所成的角分别为，，则
A. B. C. D.
二、多选题
(2021·湖北省武汉市·期末考试)下列说法中正确的是
A. 已知事件，，且，，如果与互斥，那么，；
B. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为；
C. 一批产品的合格率为，检验员抽检时出错率为，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率为；
D. 已知随机变量，若使的值最大，则等于或．
(2021·湖北省·期末考试)已知的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的有
A. B. 展开式中二项式系数之和为
C. 展开式中系数最大的项为第项 D. 展开式中的系数为
(2021·山东省·模拟题)关于及其展开式，下列说法正确的是
A. 该二项展开式中二项式系数和是
B. 该二项展开式中第七项为
C. 该二项展开式中不含有理项
D. 当时，除以的余数是
(2022·湖北省·单元测试)在正方体中，点为线段上一动点，则
A. 对任意的点，都有
B. 三棱锥的体积为定值
C. 当为中点时，异面直线与所成的角最小
D. 当为中点时，直线与平面所成的角最大
(2021·浙江省金华市·期末考试)已知棱长为的正方体，点、分别是棱、上的动点，满足，则
A. 四棱锥的体积为定值
B. 四面体表面积为定值
C. 异面直线和所成角为
D. 二面角始终小于
(2021·全国·期末试卷)如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点不含端点，则下列结论正确的是
A. 直线与所成的角可能是
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
三、填空题
(2021·全国·期末考试)组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求和的展开式中的系数．前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为因为，则两个展开式中的系数也相等，即．
请用“算两次”的方法化简下列式子： ．
(2021·安徽省淮北市·期末考试)如图，在正方体中，棱长为，点为线段上的动点包含线段端点，则下列结论正确的是_________．
当时，平面；
当时，平面；
的最小值为；
的最大值为．
(2021·全国·期末考试)在中，，，，是斜边上一点，以为棱折成二面角，则线段最小值为 ．
(2021·江苏省南京市·期末考试)如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点，设是线段上的动点，则当与所成角取得最小值时，线段的长度为 ．
四、解答题
(2021·湖南省长沙市·期末考试)国家发改委、城乡住房建设部于年联合发布了城市生活垃圾分类制度实施方案，规定某个大中城市在年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的类社区全市共个中随机抽取了个进行调查，统计这个社区某天产生的垃圾量单位：吨，得到如下频数分布表第一行是垃圾量，第二行是频数，并将这一天垃圾数量超过吨的社区定为“超标”社区．
估计该市类社区这一天垃圾量的平均值；
若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为个样本社区的平均值精确到吨，估计该市类社区中“超标”社区的个数；
根据原始样本数据，在抽取的个社区中，这一天共有个“超标”社区，市政府决定从这个“超标”社区中任选个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于吨的社区个数为，求的分布列和数学期望．
附：若服从正态分布，则；；．
(2021·山东省济南市·期末考试)为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的有名客户．
完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；
若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该社区中任选名客户，则在业务服务协议终止时至少有名客户流失的概率为多少？
附：
，其中．
(2021·福建省泉州市·期末考试)某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间天数与销售单价元的一组数据，且做了一定的数据处理如表，并作出了散点图如图．
表中，．
Ⅰ根据散点图判断，与哪一个更适宜作价格关于时间的回归方程类型？不必说明理由
Ⅱ根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
Ⅲ若该产品的日销售量件与时间的函数关系为，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？
附：对于一组数据，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
(2021·河南省信阳市·期末考试)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分．现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：
等级 不合格 合格
得分
频数
Ⅰ若测试的同学中，分数段、、、内女生的人数分别为人、人、人、人，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？
Ⅱ用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；
Ⅲ某评估机构以指标，其中表示的方差来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在Ⅱ的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
附表及公式：．
是否合格
性别
不合格
合格
总计
男生
女生
总计
(2021·全国·期末试卷)如图，在中，，，分别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图，连结，．
求证：平面平面；
线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(2021·北京市市辖区·期末考试)在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的大小；
Ⅲ在棱上是否存在一点，使得异面直线与所成角的余弦值为，求的长．
(2021·全国·期末考试)图是直角梯形，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图．
求证：平面平面；
已知点为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
(2021·浙江省·期末考试)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．
求证：为的中点；
求二面角的大小；
求直线与平面所成角的正弦值．
参考答案：
一、单选题
(2021·上海市市辖区·期末考试)定义域为集合上的函数满足：
；
；
、、成等比数列；
这样的不同函数的个数为
A. B. C. D.
【答案】
A
【知识点】排列、组合的综合应用
【解析】解：根据题意，的取值的最大值为，最小值为，并且成以为公差的等差数列，
故的可能的取值为，，，，，．
的取值为，，，，，，，，，，，，
所以能使中的、、成等比数列时，、、的取值只有两种情况：
、、；、、．
，，或者，即得到后项时，把前项加或者把前项减．
当、、时；将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从变化到，第二步：从变化的．
从变化到时有次变化，函数值从变化到，故应从次中选择步加，剩余的两次减对应的方法数为种．
从变化到时有次变化，函数值从变化到，故应从次变化中选择次增加，剩余两次减少，对应的方法数为种．
根据分步乘法原理，共有种方法．
当、、时，将要构造满足条件的等比数列分为两步，第一步：从变化到，第二步：从变化的．
从变化到时有次变化，函数值从变化到，故应从次中选择步加，剩余的次减对应的方法数为种．
从变化到时有次变化，函数值从变化到，故应从次变化中选择次增加，对应的方法数为种．
根据分步乘法原理，共有种方法．
综上，满足条件的共有：种；
故选：．
根据题意，分析出的所有可能的取值，得到使中、、成等比数列时对应的项，再运用计数原理求出这样的不同函数的个数即可．
本题考查排列组合的应用，本题的难点在于发现的取值规律，属于难题．
(2022·全国·期末考试)为了研究某校男生的脚长单位；和身高单位：的关系，从该校随机抽取名男生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系．设关于的经验回归方程为已知，，，该校某男生的脚长为，据此估计其身高为．
A. B. C. D.
【答案】
C
【知识点】回归直线方程
【解析】
【分析】
本题考查线性回归方程的求解和预测．
利用回归直线过样本中心点求出，再把代入回归方程计算．
【解答】
解：根据题意可得，
则，解得．
所以回归方程为，当时，．
故选：．

(2021·甘肃省武威市·期末考试)从一口袋中有放回地每次摸出个球，摸出一个白球的概率为，摸出一个黑球的概率为，若摸球次，则恰好有次摸出白球的概率为
A. B. C. D.
【答案】
C
【知识点】n次独立重复试验与二项分布
【解析】
【分析】
本题考查独立重复实验和二项分布，属基础题，难度不大．
【解答】
解：从一口袋中有放回地每次摸出个球，摸出一个白球的概率为，
则摸出白球的次数服从二项分布，
摸球次，则恰好有次摸出白球的概率为．
故选C．
(2021·全国·期末考试)已知正三棱锥的侧面上动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，若点到底面的距离为，且，点为棱的中点，则直线与所成角的余弦值为
A. B. C. D.
【答案】
C
【知识点】直线与直线所成角的向量求法、与抛物线有关的轨迹问题、空间向量的数量积运算、二面角、点面、线面、面面距离（几何法）
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量求解异面直线所成的角，属于较难题．
建立空间坐标系，利用空间向量夹角公式即可取出结果．
【解答】
解：以的中心为原点，则，为轴正半轴，为轴正半轴，过点作的
平行线为轴建立坐标系，不妨设正三棱锥底面边长为，
则，，，
过作底面的垂线，交底面于点，
过作直线的垂线，交直线于点，
动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，
，
到底面的距离为，
，
在中，，
，
，
则侧面与底面所成二面角为，
设，，
，
，
，
，
，
，．
故选：．
(2021·全国·期末考试)如图，在三棱锥中，平面平面，，，，点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是
A.
B.
C.
D.
【答案】
C
【知识点】直线与直线所成角的向量求法、空间向量平行(共线)的坐标表示、空间向量长度与夹角的坐标表示
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量求解空间角，考查数学转化思想，考查运算求解能力，属于中档题．
以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段长的取值范围，设，，利用异面直线所成角结合数量积列式可得与的关系，再由的范围求得的范围，则答案可求．
【解答】
解：由题意：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
设，
时，与重合，不满足直线与异面，
则，
，
异面直线与成的角，
，
，
，，
即，解得，
又，，
可得，
故答案选：．
(2020·安徽省蚌埠市·月考试卷)已知直四棱柱，其底面是平行四边形，外接球体积为，若，则其外接球被平面截得图形面积的最小值为 ．
A. B. C. D.
【答案】
A
【知识点】线面垂直的判定、点面、线面、面面距离的向量求法、由基本不等式求最值或取值范围、线面垂直的性质、球的切、接问题、球的体积、空间几何体的截面问题（截面形状、面积）
【解析】
【分析】
本题主要考查简单多面体棱柱、棱锥、棱台及其结构特征以及几何体中的截面问题，涉及球的表面积和体积、空间中直线与直线的位置关系、空间中直线与平面的位置关系、线面垂直的判定，线面垂直的性质，利用空间向量求点、线、面之间的距离以及利用基本不等式求最值，属于难题
由题意，得到直四棱柱的外接球球心的位置，及半径，根据直线与直线的位置关系，线面垂直的判定以及线面垂直的性质，先证得四边形为正方形；根据题设条件得到，利用向量法得到点截面平面的距离，应用基本不等式求得点到平面距离的最大值，进而可求直四棱柱外接球被平面所截图形面积最小值．
【解答】
解：设直四棱柱的外接球球半径为，
则其体积为，即得，
由题意，平面，平面，
所以，
又，，、平面，
所以平面，又平面，
所以，
因为四边形是平行四边形，即得四边形是菱形，
由于非正方形的菱形没有外接圆，而直四棱柱存在外接球，
于是菱形有外接圆，故四边形为正方形，作出图形如下所示：
由上分析易知该四棱柱的外接球球心位于对角线的中点，
设，，正方形的中心为，则，，
且，
即得，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
于是，，，
设平面的一个法向量，
由，得
令，得，
所以点到平面的距离为
，
由得，
所以
，
当且仅当，即时，等号成立，
所以点到平面的距离最大值为，
此时直四棱柱外接球被平面截得图形面积取得最小值，
易知所截图形为圆，该圆的半径为，
所以直四棱柱外接球被平面所截图形面积最小值为．
故选A．
(2021·安徽省滁州市·期末考试)已知三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形，若为底面的中心，则下列选项正确的是
A.
B. 直线与平面所成角的大小为
C. 异面直线与所成角的余弦值为
D. 二面角的正弦值为
【答案】
D
【知识点】直线与直线所成角的向量求法、平面与平面所成角的向量求法、平面的法向量、棱柱的体积、直线与平面所成角的向量求法
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的体积，考查利用空间向量研究空间角，属于拔高题．
已知三棱柱的侧棱与底面垂直，根据体积为求得，排除，建立空间坐标系，利用空间向量研究空间角可判断，进而可得结论．
【解答】
解：如图所示，连接，并延长交于点，
根据题意，可知：点为的中点，
底面，
，
，
解得，故A错误；
延长到，使得，连接，则，
分别以，，为，，轴建立空间坐标系，如图，
则，，，，
，，．
，，，．
为正三角形，为底面的中心，
，
侧棱与底面垂直，底面，
，
又，B、平面，
平面，故为平面的一个法向量，
故直线与平面所成角的正弦值为；
故直线与平面所成角为，故B错误；
异面直线与所成角的余弦为，故C错误；
设平面的法向量为，
，
令，得，
设平面的法向量为，
，
令，得，
则
，
则二面角的正弦值为，故D正确．
故选D．
(2021·北京市市辖区·期末考试)如图，在正方体中，，点在平面内，，则点到距离的最小值为
A. B. C. D.
【答案】
B
【知识点】二次函数的最值、点线、线线距离的向量求法
【解析】
【分析】
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间向量的应用，考查运算求解能力，是拔高题．
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，设出点坐标，求出的坐标，借助于向量求解点到距离的最小值．
【解答】
解；建立如图所示空间直角坐标系，
则平面 的方程为，
又点在平面内，且，则的轨迹满足：
．
设，则，
，
点到距离
，
，，
，设，则，
则，
当时，．
此时，即．
故选：．
(2021·山东省聊城市·期末考试)如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，
A. B. C. D.
【答案】
B
【知识点】空间向量的线性运算、空间向量的数量积运算
【解析】
【分析】
利用平面向量基本定理将向量用向量表示，然后求解，向量的模和夹角均已知，利用数量积的定义进行求解即可．
本题考查了空间向量的应用，主要考查了平面向量基本定理的应用，解题的关键是将要求解的向量转化为已知的向量表示，属于拔高题．
【解答】
解：因为，所以为的中点，
则，
同理，
因为，，
所以
，
故
，
因为，，，
所以上式，
所以．
故选：．
(2021·浙江省·期末考试)在矩形中，，，为边上的一点，，现将沿直线折成，使得点在平面上的射影在四边形内不含边界，设二面角的大小为，直线，与平面所成的角分别为，，则
A. B. C. D.
【答案】
A
【知识点】直线与平面所成的角、二面角
【解析】
【分析】
本题以折叠问题为背景，考查二面角、线面角大小比较，本质考查角的定义和正切函数的定义，考查空间想象能力和运算能力，属于中档题．
由折叠前后图象的对比得点在平面内的射影在线段上，利用二面角，线面角的定义，求出，，的表达式，再进行大小比较．
【解答】
解：如图所示，在矩形中，过作交于点，将沿直线折成，
则点在平面内的射影在线段上，
设点到平面上的距离为，则，
由二面角，线面角的定义得，
，，，
由题意得，，最大，最大，
当与重合时，，，
，，
，．
．
故选：．
二、多选题
(2021·湖北省武汉市·期末考试)下列说法中正确的是
A. 已知事件，，且，，如果与互斥，那么，；
B. 设两个独立事件和都不发生的概率为，发生且不发生的概率与发生且不发生的概率相同，则事件发生的概率为；
C. 一批产品的合格率为，检验员抽检时出错率为，则检验员抽取一件产品，检验为合格品的概率为；
D. 已知随机变量，若使的值最大，则等于或．
【答案】
AB
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式、对立事件的概率公式、n次独立重复试验及其概率计算、互斥事件的概率加法公式(P(A∪B))【人教A、北师】
【解析】
【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于较难题．
选项A根据与互斥，结合条件可求出，从而可判断；选项B由题意，解出可判断；选项C检验为合格品分为：产品为合格品，检验员抽检时不出错和产品为不合格品，检验员抽检时出现错误，求出概率可判断选项 D由条件，从而可得判断．
【解答】
解：选项A．与互斥，则
又，，则，故选项A正确．
选项B由题意，即
解得
，故选项B正确．
选项C检验为合格品分为：产品为合格品，检验员抽检时不出错和产品为不合格品，检验员抽检时出现错误．
则检验为合格品的概率为，故选项C 不正确．
选项D由随机变量，则
由，即
解得或，故选项D不正确．
故选：．
(2021·湖北省·期末考试)已知的展开式中各项系数的和为，则下列结论正确的有
A. B. 展开式中二项式系数之和为
C. 展开式中系数最大的项为第项 D. 展开式中的系数为
【答案】
AC
【知识点】二项式系数或系数最大（小）的项、指定项的系数与二项式系数、二项展开式项的系数和与二项式系数的和
【解析】
【分析】
本题主要考查了求二项式展开式的各项系数和及二项式定理的应用，属于中档题．
可令求得，可判断；由二项式系数之和为判断；根据展开式系数的判断；再利用二项式展开式的通项公式求出通项，判断．
【解答】
解：令二项式中的为得到展开式的各项系数和为，，则，故A正确
展开式中二项式系数之和，为，故B错误
由，结合为正整数，
可得，
展开式中系数最大的项为第项，故 C正确；
展开式的通项为，令，得，
展开式中的系数为，故D错误．
故选AC．
(2021·山东省·模拟题)关于及其展开式，下列说法正确的是
A. 该二项展开式中二项式系数和是
B. 该二项展开式中第七项为
C. 该二项展开式中不含有理项
D. 当时，除以的余数是
【答案】
BD
【知识点】与二项式定理有关的问题、指定项的系数与二项式系数、二项展开式项的系数和与二项式系数的和
【解析】
【分析】
本题主要考查二项式定理及其应用，属于中档题．
由二项式系数和为，即可判断选项A；由二项展开式的通项公式求得第七项即可判断选项B；求出二项展开式的通项公式即可判断选项C；由二项式定理求得，即可判断选项D．
【解答】
解：二项式的展开式中二项式系数和为，故A错误；
展开式中第七项为，故B正确；
该二项展开式的通项公式为，
当，，，，时，为有理项，故C错误；
当时，的通项公式为，
所以
，
所以除以的余数是，故D正确．
故选：．
(2022·湖北省·单元测试)在正方体中，点为线段上一动点，则
A. 对任意的点，都有
B. 三棱锥的体积为定值
C. 当为中点时，异面直线与所成的角最小
D. 当为中点时，直线与平面所成的角最大
【答案】
ABD
【知识点】直线与直线所成角的向量求法、棱锥的体积、直线与平面所成角的向量求法、线面垂直的性质
【解析】
【分析】
本题考查了正方体的结构特征，棱锥的体积， 线面垂直的性质，异面直线所成角，直线与平面所成角，属于较难题．
连接，， 利用正方体的结构特征得平面， 再利用线面垂直的性质对进行判断，利用正方体的结构特征，结合棱锥的体积公式对进行判断，以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求线线的夹角，结合特例对进行判断；利用空间向量求线面的夹角，对进行判断，从而得结论．
【解答】
解：对于如图：
连接，．
因为在正方体中， 平面，
而点为线段上一动点，所以平面，
因此，所以 A正确
对于如中图．
因为在正方体中，平面平面，
且平面与平面的距离为正方体棱长，
而，
所以三棱锥的体积，为定值，
因此B正确
对于以为坐标原点，直线，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系如下图：
设正方体的棱长为， ，
则， ， ，
因此， ，
所以若异面直线与所成的角为，
则．
又因为当，即与重合时， ，
当，即为中点时， ，
而，
所以当为中点时，异面直线与所成的角大于与重合时，异面直线与所成的角，因此不正确
对于由知：，
而是平面的一个法向量，
因此若直线与平面所成的角为，
则，
所以当时，取得最大值，而，
因此取得最大值，
即当为中点时，直线与平面所成的角最大，所以D正确．
故选ABD．
(2021·浙江省金华市·期末考试)已知棱长为的正方体，点、分别是棱、上的动点，满足，则
A. 四棱锥的体积为定值
B. 四面体表面积为定值
C. 异面直线和所成角为
D. 二面角始终小于
【答案】
ABC
【知识点】棱锥的体积、直线与平面所成的角、异面直线所成角、由基本不等式求最值或取值范围、棱锥的侧面积和表面积
【解析】
【分析】
本题考查棱锥的表面积、棱锥的体积、异面直线所成角、直线与平面所成的角、由基本不等式求取值范围、线面垂直的判定与性质，属于较难题．
利用求出四边形的面积，求出四棱锥的体积即可判断；过作，连接，则，设，求出四面体的表面积即可判断；利用三角形全等和线面垂直的判定与性质定理即可判断；由选项B判定即为二面角的平面角，解三角形结合基本不等式求出的取值范围即可判断．
【解答】
解：对于，因为四边形的面积
，
所以四棱锥的体积，
所以四棱锥的体积为定值，故A正确．
对于，过点作，垂足为，连接，则，
设，则，所以，
所以
，
所以四面体表面积为，
所以四面体表面积为定值，故B正确．
对于，因为点、分别是棱、上的动点，所以，
又，，所以≌，所以，
又平面，平面，所以，
又，、平面，所以平面，
又平面，所以，故C正确．
对于，由选项知，，所以即为二面角的平面角，
在中，，
因为，，所以，当且仅当时等号成立，
所以，故D错误．
故选：．
(2021·全国·期末试卷)如图，棱长为的正方体中，为线段上的动点不含端点，则下列结论正确的是
A. 直线与所成的角可能是
B. 平面平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 平面截正方体所得的截面可能是直角三角形
【答案】
BC
【知识点】几何体中的截面问题、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、棱柱、棱锥、棱台的侧面积、表面积和体积、异面直线所成角、面面垂直的判定
【解析】
【分析】
本题考查考查空间中线线、线面、面面间的位置关系、棱锥的体积，动点截面等基础知识，是较难题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面、线线关系和体积公式计算即可得到答案．
【解答】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
可得，设，
所以，
则，
若直线与所成的角是，则，
解得，不满足题意，故A错误；
在中，正方体中，，，
，
平面，
平面，平面平面，故B正确；
在中，，到平面的距离，
三棱锥的体积：为定值，故C正确；
在中，延长交正方形的边于点，当点位于之间时，截面为梯形，
当点与重合时，截面为等边三角形，
当点位于之间时，截面为等腰三角形，
此时，不妨设，
，
所以，，
则等腰三角形的顶角为锐角，
所以截面不可能为直角三角形，故D错误．
故答案为：．
三、填空题
(2021·全国·期末考试)组合恒等式，可以利用“算两次”的方法来证明：分别求和的展开式中的系数．前者的展开式中的系数为；后者的展开式中的系数为因为，则两个展开式中的系数也相等，即．
请用“算两次”的方法化简下列式子： ．
【答案】
【知识点】与二项式定理有关的问题、组合与组合数公式
【解析】
【分析】
本题考查了二项式定理的应用，精准理解题目所给信息是解题的关键，侧重考查数学抽象和数学建模的核心素养，属于中档题．
利用两的系数相等以及可得．
【解答】
解：利用两的系数相等可得，
在中的系数为，
在中的系数为：，
所以．
故答案为：．
(2021·安徽省淮北市·期末考试)如图，在正方体中，棱长为，点为线段上的动点包含线段端点，则下列结论正确的是_________．
当时，平面；
当时，平面；
的最小值为；
的最大值为．
【答案】
【知识点】空间向量的数量积及运算律、利用空间向量判定线面的垂直、平行关系
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的应用，属于较难题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量等逐一判断即可．
【解答】
解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
当时，
则，，，
，，，
，则，
设平面的法向量为，
由，令，
可得，
则，平面，故正确．
对于，当时，
设平面的法向量为，
则，即，取，
则，，
则，故A平面，故正确；
对于，连结，，则，，
又的最小值为，
的最小值为，故正确；
对于点于点重合时取最大值底为三角形面积为；故最大值为；
故错．
(2021·全国·期末考试)在中，，，，是斜边上一点，以为棱折成二面角，则线段最小值为 ．
【答案】
【知识点】空间向量的线性运算、求正弦型函数的值域或最值、空间向量的数量积运算、二面角
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的模、夹角与距离求解问题，涉及二面角，三角函数的最值，考查运算化简的能力，属于中档题．
由题意，设，则，过点作交或延长线于点，过点作交或延长线于点，则向量与所成角的大小即为二面角的大小，根据，计算模，再求最值可得结论．
【解答】
解：如图，
由题意，设，，则，
过点作交或延长线于点，
过点作交或延长线于点，
则向量与所成角的大小即为二面角的大小，
，，
，，，
，，
，
，
，
，，
当，即时，取最小值为，
故，即线段最小值为．
故答案为．
(2021·江苏省南京市·期末考试)如图，在中，，，，将绕边翻转至，使面面，是的中点，设是线段上的动点，则当与所成角取得最小值时，线段的长度为 ．
【答案】
【知识点】直线与直线所成角的向量求法、利用导数求函数的最值（不含参）
【解析】
【分析】
本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．
过点作平面，交延长线于点，连结，以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角取得最小值时，线段的长．
【解答】
解：过点作平面，交延长线于点，连结，
以为坐标原点，以所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
在中，，，，
将绕边翻转至，
使平面平面，是的中点，设是线段上的动点，
则，，，，，
设，，，
即，，
，，，
，
令，，
，
由，，得，
时，，时，，
当时，取最大值，此时与所成角取得最小值，
．
故答案为：．
四、解答题
(2021·湖南省长沙市·期末考试)国家发改委、城乡住房建设部于年联合发布了城市生活垃圾分类制度实施方案，规定某个大中城市在年底实施生活垃圾强制分类，并且垃圾回收、利用率要达标．某市在实施垃圾分类的过程中，从本市人口数量在两万人左右的类社区全市共个中随机抽取了个进行调查，统计这个社区某天产生的垃圾量单位：吨，得到如下频数分布表第一行是垃圾量，第二行是频数，并将这一天垃圾数量超过吨的社区定为“超标”社区．
估计该市类社区这一天垃圾量的平均值；
若该市类社区这一天的垃圾量大致服从正态分布，其中近似为个样本社区的平均值精确到吨，估计该市类社区中“超标”社区的个数；
根据原始样本数据，在抽取的个社区中，这一天共有个“超标”社区，市政府决定从这个“超标”社区中任选个跟踪调查其垃圾来源．设这一天垃圾量不小于吨的社区个数为，求的分布列和数学期望．
附：若服从正态分布，则；；．
【答案】
解：样本数据各组的中点值分别为，，，，，，，则
．
估计该市类社区这一天垃圾量的平均值约为吨．
据题意，，，即，则．
因为，估计该市类社区中“超标”社区约个．
由频数分布表知，个社区中这一天的垃圾量不小于吨的“超标”社区有个，则垃圾量在内的“超标”社区也有个，则的可能取值为，，，．
，，，．
则的分布列为：
所以．
【知识点】利用超几何分布求分布列、正态分布的概率、均值、方差、超几何分布的均值、方差或标准差、平均数、中位数、众数
【解析】本题考查求平均值，考查正态分布，考查超几何分布的分布列和数学期望．
样本数据各组的中点值分别乘以各组的频数求和后再除以样本容量可得答案；
由．
进而可以求出这个社区中超标社区的个数；
算出的可能取值及对应的概率列出分布列计算出变量的期望即可．
(2021·山东省济南市·期末考试)为了进一步提升广电网络质量，某市广电运营商从该市某社区随机抽取名客户，对广电网络业务水平和服务水平的满意程度进行调查，其中业务水平的满意率为，服务水平的满意率为，对业务水平和服务水平都满意的有名客户．
完成下面列联表，并分析是否有的把握认为业务水平与服务水平有关；
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
为进一步提高服务质量，在选出的对服务水平不满意的客户中，抽取名征求改进意见，用表示对业务水平不满意的人数，求的分布列与期望；
若用频率代替概率，假定在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失率为，只对其中一项不满意的客户流失率为，对两项都不满意的客户流失率为，从该社区中任选名客户，则在业务服务协议终止时至少有名客户流失的概率为多少？
附：
，其中．
【答案】
解：由题意知，对业务水平满意的为人，对服务水平满意的为人，
补充完整的列联表如下所示：
对服务水平满意人数 对服务水平不满意人数 合计
对业务水平满意人数
对业务水平不满意人数
合计
，
故有的把握认为业务水平与服务水平有关．
随机变量的所有可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为


数学期望．
在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意的客户流失的概率为，
只对其中一项不满意的客户流失的概率为，
对两项都不满意的客户流失的概率为，
从该运营系统中任选一名客户流失的概率为，
在业务服务协议终止时，从社区中任选名客户，至少有名客户流失的概率为．
【知识点】对立事件的概率公式、n次独立重复试验及其概率计算、利用超几何分布求分布列、2×2列联表、超几何分布的均值、方差或标准差、独立性检验
【解析】本题考查独立性检验、超几何分布、独立重复试验以及离散型随机变量的分布列与数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题．
由题意知，对业务水平满意的为人，对服务水平满意的为人，从而补充完整列联表，再根据的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断；
的所有可能取值为，，，由超几何分布求概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率，从而得分布列，再由数学期望的计算公式即可得解；
分别求出在业务服务协议终止时，对业务水平和服务水平两项都满意、只对其中一项不满意以及对两项都不满意的客户流失的概率，从而求得任选一名客户流失的概率，再结合独立重复试验和对立事件的概率即可得解．
(2021·福建省泉州市·期末考试)某种新产品投放市场一段时间后，经过调研获得了时间天数与销售单价元的一组数据，且做了一定的数据处理如表，并作出了散点图如图．
表中，．
Ⅰ根据散点图判断，与哪一个更适宜作价格关于时间的回归方程类型？不必说明理由
Ⅱ根据判断结果和表中数据，建立关于的回归方程；
Ⅲ若该产品的日销售量件与时间的函数关系为，求该产品投放市场第几天的销售额最高？最高为多少元？
附：对于一组数据，，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，．
【答案】
解：Ⅰ由散点图可以判断适合作价格关于时间的回归方程类型；
Ⅱ令，先建立关于的线性回归方程，由于，，
关于的线性方程为，
关于的线性方程为；
Ⅲ日销售额，
时，有最大值元，
即该产品投放市场第天的销售额最高，最高为元．
【知识点】二次函数的最值、非线性回归分析、函数模型的综合应用、散点图
【解析】本题考查了线性回归方程的求解及数值预测，函数的最值，属于中档题．
Ⅰ根据散点图的大体分布是否成直线分布判断；
Ⅱ根据回归系数公式计算关于的线性回归方程，再转化为关于的回归方程；
Ⅲ求出日销售额，利用二次函数的性质求出结论．
(2021·河南省信阳市·期末考试)某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“合格”、“不合格”两个等级，同时对相应等级进行量化：“合格”记分，“不合格”记分．现随机抽取部分学生的成绩，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示：
等级 不合格 合格
得分
频数
Ⅰ若测试的同学中，分数段、、、内女生的人数分别为人、人、人、人，完成列联表，并判断：是否有以上的把握认为性别与安全意识有关？
Ⅱ用分层抽样的方法，从评定等级为“合格”和“不合格”的学生中，共选取人进行座谈，现再从这人中任选人，记所选人的量化总分为，求的分布列及数学期望；
Ⅲ某评估机构以指标，其中表示的方差来评估该校安全教育活动的成效，若，则认定教育活动是有效的；否则认定教育活动无效，应调整安全教育方案．在Ⅱ的条件下，判断该校是否应调整安全教育方案？
附表及公式：．
是否合格
性别
不合格
合格
总计
男生
女生
总计
【答案】
解：Ⅰ由频率分布直方图可知，得分在的频率为，故抽取的学生答卷总数为，，．
性别与合格情况的列联表为：
是否合格
性别
不合格
合格
小计
男生
女生
小计
即在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关．分
Ⅱ“不合格”和“合格”的人数比例为：：，因此抽取的人中“不合格”有人，“合格”有人，所以可能的取值为、、、、，，的分布列为：
所以分
Ⅲ由Ⅱ知：．
故我们认为该校的安全教育活动是有效的，不需要调整安全教育方案．分
【知识点】离散型随机变量的期望与方差、独立性检验、离散型随机变量及其分布列
【解析】Ⅰ求出合格，不合格男生，女生对应的人数，填入列联表，计算出对应的，故在犯错误概率不超过的前提下，不能认为性别与安全测试是否合格有关．
Ⅱ根据总人数为，及合格、不合格的频率，计算出合格，不合格学生数．在根据比例相等抽样，确定人中，有人不合格，人合格．人选人，故取值分别为，，，，再根据超几何分布，求出对应概率，可得．
Ⅲ分别代入期望和方差的公式，计算出对应的值，判断即可．
本题考查了独立性检验，超几何分布，期望，方差等，频率分布直方图等知识，综合性较强，属于难题．
(2021·全国·期末试卷)如图，在中，，，分别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图，连结，．
求证：平面平面；
线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】
证明：因为，分别为，中点，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
解：因为，，，所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意由，，，，
假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为，
设，，
则，
即，
所以，
，，
易得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量，
则有
令，则，
若二面角的余弦值为，
则有
，
由，解得．
故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且．
【知识点】线面垂直的判定、平面与平面所成角的向量求法、面面垂直的判定
【解析】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法求二面角的余弦值解决探索性问题，属于拔高题．
推导出，，则可得，，从而平面，由此能证明平面平面；
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且．
(2021·北京市市辖区·期末考试)在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，，，平面平面，且．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的大小；
Ⅲ在棱上是否存在一点，使得异面直线与所成角的余弦值为，求的长．
【答案】
Ⅰ证明：因为平面平面，交于，四边形是正方形，
所以平面，而平面，因此．
又因为，所以．
以为坐标原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，如下图：
因为，，
所以，，，，．
显然是平面的一个法向量，
而，所以．
又因为平面，所以平面．
Ⅱ解：由Ⅰ知，，．
设平面的法向量为，
则，即，令得，，
因此是平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
同理可得，是平面的一个法向量．
若二面角的大小为，
则
，
由题意可知，为钝角，因此，即，
所以二面角的大小为．
Ⅲ解：存在，的长为．
设，
由Ⅰ知，，
若异面直线与所成角为，
则
，
由，解得或舍去，
此时，的长为．
【知识点】利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、二面角、异面直线所成角、利用空间向量判定线面的垂直、平行关系
【解析】本题考查利用空间向量判定线面平行关系，利用空间向量求二面角和异面直线所成角，属于中档题．
Ⅰ以为坐标原点，、、分别为、、轴，建立空间直角坐标系，从而得到各点坐标，由可得平面；
Ⅱ求出平面和平面的法向量，通过数量积求出两个法向量夹角，进而可解；
Ⅲ设，由题意知，解得即可得解．
(2021·全国·期末考试)图是直角梯形，，，，以为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图．
求证：平面平面；
已知点为线段上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】
证明：如图所示，连接与相交于点，过点作交于点．
，，则，．
四边形为矩形，可得，．
．
．是等边三角形．
，，，．
可得：，．
，．
又，平面．
平面．
又平面，
平面平面
解：建立如图所示的空间直角坐标系．
，，， ，，
所以，，，，
设面的法向量为，所以
令，则，，所以
因为点为线段上一点，且，
所以，
所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【知识点】直线与平面所成角的向量求法、面面垂直的判定
【解析】本题考查了面面垂直的判定、直线与平面所成角和利用空间向量求线面的夹角，属于中档题．
连接与相交于点，过点作交于点依题意可得是等边三角形，从而得到，，再利用勾股定理逆定理可得，即可得到平面，从而得证；
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线与平面所成角的正弦值．
(2021·浙江省·期末考试)如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上，平面，，．
求证：为的中点；
求二面角的大小；
求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】
证明：设，
为正方形，为的中点，连接，
平面，平面，平面平面，
，则，
即为的中点；
解：取中点，
，，
平面平面，且平面平面，平面，
平面，
连接，平面，则，
由是的中点，是的中点，可得，又，则．
以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，
由，，得，，，
，，，
，．
设平面的一个法向量为，
则由，得，取，得．
取平面的一个法向量为．
，
由图知二面角是锐二面角，
二面角的大小为；
解：，平面的一个法向量为．
直线与平面所成角的正弦值为
．
【知识点】平面与平面所成角的向量求法、直线与平面所成角的向量求法、线面平行的性质
【解析】本题考查线面角与面面角的求法，考查利用空间向量求线面和面面的夹角，属较难题．
设，则为的中点，连接，利用线面平行的性质证明，再由平行线截线段成比例可得为的中点；
取中点，可得，再由面面垂直的性质可得平面，连接，则，再证明以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系，求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的大小可得二面角的大小；
求出的坐标，由与平面的法向量所成角的余弦值的绝对值可得直线与平面所成角的正弦值．