高二数学下学期期末考试分类汇编：空间向量与立体几何（含解析）

空间向量与立体几何
基础练
一、单选题
1．（2021·天津南开·高二期末）直线的的方向向量为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·浙江·高二期末）在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（ ）
A． B． C．5 D．7
3．（2021·山东济南·高二期末）已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·江苏连云港·高二期末）已知空间三点，，，向量，且向量分别与，垂直，则（ ）．
A．4 B． C．2 D．
5．（2021·安徽蚌埠·高二期末（理））已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2021·江苏扬州·高二期末）若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（ ）
A．10 B． C． D．
二、多选题
7．（2021·天津南开·高二期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
8．（2021·山东临沂·高二期末）若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B．17 C．1 D．
9．（2021·湖南省平江县第一中学高二期末）已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
三、填空题
10．（2021·广东广州·高二期末）在长方体中，，则点到平面的距离为________．
11．（2021·广东珠海·高二期末）如图，在一个直二面角的棱上有两点，，，分别是这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则__________．
12．（2021·湖南张家界·高二期末）在三棱锥中，是的重心．设，以为基向量表示，则_________
四、解答题
13．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期末（理））如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
14．（2021·广东广州·高二期末）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD的中点，试用向量法解决下面的问题．
（1）求证：；
（2）若，求线段BP的长．
提升练
一、单选题
1．（2021·浙江绍兴·高二期末）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·山东聊城·高二期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
3．（2021·浙江·高一期末）如图，已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，点P在侧面上运动，当平面与平面，平面所成的角相等时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2021·广西玉林·高二期末（理））在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
5．（2021·广东广州·高一期末）在正方体中，，E，F分别为的中点，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．平面截正方体所得截面面积为
6．（2021·江苏南通·高二期末）在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点使得异面直线与所成角为
B．存在点使得二面角为的二面角
C．直线与平面所成角正弦值的最大值为
D．当时，平面截正方体所得的截面面积为
7．（2021·江苏省南通中学高二期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ）
A．与EF相交 B．平面DEF
C．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为
三、填空题
8．（2021·福建龙岩·高二期末）已知，，.若平面，则的最小值为___________.
9．（2021·湖北十堰·高二期末）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，，，两两互相垂直，且，若球的表面积为，则球心到平面的距离为__________.
四、解答题
10．（2021·安徽合肥·高二期末（理））如图， 三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点
(1)求证：平面：
(2)求二面角的余弦值；
11．（2021·浙江台州·高二期末）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．
(1)若PB的中点为E，求证：平面PCD；
(2)若PB与底面ABCD所成的角为60°，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值．
12．（2021·湖南·长沙一中高二期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，为中点，，，已知．
(1)若，证明：；
(2)若，求二面角的平面角的余弦值．
参考答案：
基础练
一、单选题
1．（2021·天津南开·高二期末）直线的的方向向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先求出斜率，进而得出方向向量.
【详解】
直线的斜率为，则直线的的方向向量为
故选：B
2．（2021·浙江·高二期末）在空间直角坐标系内，平面经过三点，向量是平面的一个法向量，则（ ）
A． B． C．5 D．7
【答案】D
【解析】
求出，，利用与数量积为0，求解即可.
【详解】
，
可得，，
故选：D
3．（2021·山东济南·高二期末）已知向量，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
利用空间向量加法运算的坐标表示计算，再用空间向量的模长公式计算模长.
【详解】
故
故选：C
4．（2021·江苏连云港·高二期末）已知空间三点，，，向量，且向量分别与，垂直，则（ ）．
A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【解析】
根据空间向量互相垂直的坐标表示公式，结合空间向量模的坐标表示公式进行求解即可.
【详解】
因为，，向量分别与，垂直，
所以，
因此.
故选：D
5．（2021·安徽蚌埠·高二期末（理））已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，下列条件中能确定点M，A，B，C共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
根据点与点共面，可得，验证选项，即可得到答案.
【详解】
设，若点与点共面，则，
只有选项D满足.
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点与点共面时，
且，则是解答的关键.
6．（2021·江苏扬州·高二期末）若平面，的法向量分别为，，并且，则x的值为（ ）
A．10 B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据两个法向量共线可得的值.
【详解】
因为，共线，故，故，
故选：C.
二、多选题
7．（2021·天津南开·高二期末）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
逐项判断各选项的向量是否不共面，从而可得正确的选项.
【详解】
对于A，因为，故，，共面；
对于B，因为，故，，共面；
对于D，因为，故，，共面；
对于C，若，，共面，则存在实数，使得：，
，故共面，
这与构成空间的一个基底矛盾，
故选：ABD
8．（2021·山东临沂·高二期末）若，，与的夹角为120°，则的值为（ ）
A． B．17 C．1 D．
【答案】BD
【解析】
【分析】
由空间向量夹角的坐标表示求解
【详解】
由题意得
解得或
故选：BD
9．（2021·湖南省平江县第一中学高二期末）已知点P是平行四边形所在的平面外一点，如果，下列结论正确的有（ ）
A． B．
C．是平面的一个法向量 D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由，可判定A正确；由，可判定B正确；由且，可判定C正确；由是平面的一个法向量，得到，可判定D不正确.
【详解】
由题意，向量，
对于A中，由，可得，所以A正确；
对于B中，由，所以，所以B正确；
对于C中，由且，可得向量是平面的一个法向量，所以C正确；
对于D中，由是平面的一个法向量，可得，所以D不正确.
故选：ABC
三、填空题
10．（2021·广东广州·高二期末）在长方体中，，则点到平面的距离为________．
【答案】##
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面的法向量，再代入点到直线的距离公式计算.
【详解】
建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，设平面的一个法向量为，则，，则点到平面的距离为.
故答案为：
11．（2021·广东珠海·高二期末）如图，在一个直二面角的棱上有两点，，，分别是这个二面角的两个面内垂直于的线段，且，，，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】
求的长转为求，而，按照向量的模长求法，即可求解.
【详解】
由已知，可得，，，
，
，
．
故答案为．
12．（2021·湖南张家界·高二期末）在三棱锥中，是的重心．设，以为基向量表示，则_________
【答案】
【解析】
连接并延长交于点，根据重心性质有，再根据向量的减法运算以及中点公式的向量形式即可求出．
【详解】
如图所示，连接并延长交于点，所以， 即，
所以，又，所以．
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查三角形重心性质的应用，以及空间向量的线性运算，属于基础题．
四、解答题
13．（2021·黑龙江·哈尔滨市第三十二中学校高二期末（理））如图，在正方体中，O是AC与BD的交点，M是的中点．求证：平面MBD．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用向量法来证得平面.
【详解】
建立如图所示空间直角坐标系，
设正方体的边长为，则，
，，
由于，所以平面.
14．（2021·广东广州·高二期末）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD的中点，试用向量法解决下面的问题．
（1）求证：；
（2）若，求线段BP的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】
【分析】
由题设已知可构建底面中心O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向的空间直角坐标系，确定坐标，（1）应用向量的数量积坐标公式有，即可证；（2）用坐标表示，求模即为线段BP的长；
【详解】
连接BD，交AC于点O，由题意知平面ABCD．以O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．
（1）设底面边长为a，则高，于是，，，所以，，
所以，故，即．
（2）因为，所以，，.
由中点坐标公式，可得，所以，
所以，即线段BP的长为．
【点睛】
本题考查了应用空间向量证明垂直及求线段长度，根据几何体的性质构建合适的空间坐标系，并得到点坐标，应用向量垂直的坐标公式证垂直，由向量的模求线段长度.
提升练
一、单选题
1．（2021·浙江绍兴·高二期末）如图，在正方体中，M为线段的中点，N为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
以为原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，由得，利用可得答案.
【详解】
以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则，，，，
若(0 ≤ λ ≤ 1)得：，
，
，
由，
∴，则.
故选：C.
2．（2021·山东聊城·高二期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，且，，，，分别为，上的点，且，，（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据给定条件选定基底向量，并表示出，再利用向量运算即可得解.
【详解】
在四棱锥中，底面为平行四边形，连接AC，如图，，，
则
，
又，，，
则，，
因此，
.
故选：B
3．（2021·浙江·高一期末）如图，已知正方体的棱长为4，E为棱的中点，点P在侧面上运动，当平面与平面，平面所成的角相等时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，利用空间向量即可求解.
【详解】
如图，建立空间直角坐标系，
则,. 设
则 易知平面和平面的一个法向量分别为
.设平面的法向量为，
则 即
取，可得
所以 为平面的一个法向量.
由题意,平面与平面，平面所成的角相等，
所以.
或
在平面上，直线过点和的中点，
在平面上，直线只过点，即点，
取为的中点,连接，则点在上运动或点在点处，
由等面积法可得的最小值为.
故选：B.
【点睛】
对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.
4．（2021·广西玉林·高二期末（理））在三棱锥中，，，两两垂直，为棱上一动点，，.当与平面所成角最大时，与平面所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
首先利用线面角的定义，可知当为的中点时，取得最小值，此时与平面所成角最大，再以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量坐标法求线面角的正弦值.
【详解】
，且，
平面，
易证平面，则与平面所成角为，
，
当取得最小值时，取得最大值
在等腰中，
当为的中点时，取得最小值.
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的法向量为，则，
即
令，得.
因为，所以与平面所成角的正弦值为.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题重点考查线面角，既考查了几何法求线面角，又考查向量法求线面角，本题关键是确定点的位置，首先利用线面角的定义确定点的位置，再利用向量法求线面角.
二、多选题
5．（2021·广东广州·高一期末）在正方体中，，E，F分别为的中点，则下列正确的是（ ）
A． B．
C． D．平面截正方体所得截面面积为
【答案】ABC
【解析】
【分析】
以点D为原点，向量的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积
可判断A，B；求出点E到平面的距离再求体积可判断C；作出截面并求其面积判断D作答.
【详解】
在正方体中，以点D为原点，向量的方向为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系，如图，
，
对于A，棱DC中点，棱中点，，
，则，即，A正确；
对于B，，，则，即，B正确；
对于C，平面，，
，设平面的一个法向量，
于是得，令，得，则点E到平面的距离d为：
，而，，
，，C正确；
对于D，取中点G，连，则，，点E不在直线上，
则，又，从而有等腰梯形是平面截正方体的截面，
等腰梯形的高，其面积，D不正确.
故选：ABC
6．（2021·江苏南通·高二期末）在棱长为1的正方体中，是线段上一个动点，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点使得异面直线与所成角为
B．存在点使得二面角为的二面角
C．直线与平面所成角正弦值的最大值为
D．当时，平面截正方体所得的截面面积为
【答案】AC
【解析】
转化为异面直线与所成的角为直线与所成角，考虑与重合和为的中点时，直线与所成的角范围可判断A；求出二面角的平面角最大时即与重合可判断B；等体积转换求出点到平面的距离，设直线与平面所成的角为，利用，考虑最小时可判断C；
作出平面截正方体所得的截面，为等腰梯形，求出梯形的面积可判断D.
【详解】
对于A，
连接，在正方体中，
为等边三角形，且，
所以异面直线与所成的角可转化为直线与所成角，
当与重合时，直线与所成的角最小，为，
当为的中点时，，直线与所成的角最大，为，
所以A正确；
对于B，
当与重合时，二面角的平面角最大，
设交于点，所以，
连接，
因为正方体的棱长为1，所以，
所以，所以为二面角的平面角，且，
，，
由余弦定理得，
所以，所以B错误；
对于C，
因为，所以，
，设点到平面的距离为，
所以，解得，设直线与平面所成的角为，则，所以当最小时，最大，最大，
所以当即为的中点时最小，此时时，
所以，所以C正确；
对于D，
过作，交于，交于点，因为，
所以分别是、的中点，又，所以，
四边形即为平面截正方体所得的截面，因为，
且，
所以四边形是等腰梯形，作交于点，
所以，，
所以梯形的面积为，所以D错误.
故选：AC.
【点睛】
本题考查了线线角、线面角、面面角的求法，综合性较强，对于角的求法，一般是先作出角，再证明，最后计算，考查了学生的空间想象力和计算能力.
7．（2021·江苏省南通中学高二期末）如图，在直三棱柱中，，，D，E，F分别为AC，，AB的中点．则下列结论正确的是（ ）
A．与EF相交 B．平面DEF
C．EF与所成的角为 D．点到平面DEF的距离为
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断．
【详解】
对选项A，由图知平面，平面，且由异面直线的定义可知与EF异面，故A错误；
对于选项B，在直三棱柱中， ．
，F分别是AC，AB的中点，
， ．
又平面DEF，平面DEF，
平面故B正确；
对于选项C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系，
则0，，0，，2，，0，，2，，0，，0，，0，，1，．
1，，0，．
，，．
与所成的角为，故C正确；
对于选项D，设向量y，是平面DEF的一个法向量．
0，，1，，
由，即，得
取，则，0，，
设点到平面DEF的距离为d．
又2，，
，
点到平面DEF的距离为，故D正确．
故选：BCD
【点睛】
本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属难题．
三、填空题
8．（2021·福建龙岩·高二期末）已知，，.若平面，则的最小值为___________.
【答案】
【解析】
利用平面，得到两个向量垂直，从而利用坐标运算得到，，之间的关系，然后再利用模的坐标表示求解最值即可．
【详解】
因为平面，都在平面内，
所以，
所以，
又因为，，，
所以，
解得，
所以，
所以
，
所以的最小值为．
故答案为：
【点睛】
方法点睛：解答立体几何中的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将立体几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用配方法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法求解.
9．（2021·湖北十堰·高二期末）已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，，，两两互相垂直，且，若球的表面积为，则球心到平面的距离为__________.
【答案】
【解析】
根据题中条件，可将该三棱锥看作一个长方体的一部分，此长方体内接于球O，长方体的体对角线为球的直径，球心O为长方体对角线的中点，由球的表面积，得出球的半径，求出的长，以点为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，空间向量的方法，即可求出点到面的距离.
【详解】
因为在三棱锥中，，两两互相垂直，所以可把该三棱锥看作一个长方体的一部分，将该三棱锥补形，得到长方体，
此长方体内接于球，长方体的体对角线为球的直径，球心为长方体对角线的中点，
设球的半径为，球的表面积，则，
设，则，解得，即，所以，
以点为坐标原点，分别以，，方向为轴，轴，轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面ABC的一个法向量为，
则，即，则，
令，得.
设球心到平面的距离为，则.
故答案为：.
【点睛】
方法点睛：
求解空间中点到面的距离的常用方法：
（1）等体积法：先设所求点到面的距离，根据几何体中的垂直关系，由同一几何体的不同的侧面（或底面）当作底，利用体积公式列出方程，即可求解；
（2）空间向量法：先建立适当的空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，以及平面的一条斜线所对应的向量，则点到面的距离即为.
四、解答题
10．（2021·安徽合肥·高二期末（理））如图， 三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点
(1)求证：平面：
(2)求二面角的余弦值；
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作出辅助线，利用余弦定理求出，利用勾股定理逆定理得到，进而证明线面垂直；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量进行求解二面角的余弦值.
(1)
连接
∵，，，
∴由余弦定理得：，
∴，∴，
又侧面，平面，∴，
又，，面，∴平面；
(2)
由题意及（1）中的垂直关系，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，，
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，得，，所以
设平面的一个法向量为，
则，即，
令，求得
，
∴由图知二面角为锐角，故其余弦值为
11．（2021·浙江台州·高二期末）在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为直角梯形，，，侧面底面ABCD，，．
(1)若PB的中点为E，求证：平面PCD；
(2)若PB与底面ABCD所成的角为60°，求平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取PC的中点F，连接EF，DF，推导出四边形ADFE是平行四边形，，由此能证明平面PCD；
（2）△为等边三角形，是中点，作，以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．
(1)
如图，取PC的中点F，连接EF，DF，
，F分别为PB，PC的中点，
，，
且，
且，
四边形ADFE是平行四边形，
，
平面PCD，平面PCD，
平面PCD．
(2)
若是中点，作，由底面ABCD为直角梯形且，，，
由侧面底面ABCD，面面，面，
∴在面ABCD的投影在直线上，又PB与底面ABCD所成的角为60°，
∴PB与底面ABCD所成角的平面角，则△为等边三角形.
∴以为原点，、、为x、y、z轴建空间直角坐标系，如下图示：
∴、、、，则，，，
设平面BDP的法向量，则，取，得，
设平面PCD的法向量，则，取，得，
设平面PCD与平面PBD的夹角为，则，
平面PCD与平面PBD的夹角的余弦值为．
12．（2021·湖南·长沙一中高二期末）如图，在底面是菱形的四棱锥中，为中点，，，已知．
(1)若，证明：；
(2)若，求二面角的平面角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）证明，再由勾股定理证明，从而证明平面，即可证明；（2）取的中点，连接，证明面，从而建立空间直角坐标系，写出对应的坐标，以及向量的坐标，求解平面的法向量为，又因为平面的法向量为，代入向量的夹角公式计算.
(1)
连结，由于为中点，且，故
又有，而，
故可知，则，又
所以平面，而平面，故．
(2)
取的中点，连接，
在中，，，为中点，所以，．
在中，，，所以．
又∵，．∴．
又∵，，平面，平面，∴面．
所以以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，则．
设平面的一个法向量为，则，
所以．易知为平面的一个法向量，
，由图可知，二面角的平面角为锐角，
所以二面角的平面角的余弦值为．
【点睛】
对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.