高二数学下学期期末考试分类汇编：统计（含解析）

统计
一、单选题
1．（2021·辽宁大连·高二期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
2．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高二期末（理））某工厂的每月各项开支与毛利润（单位：万元）之间有如下关系，与的线性回归方程是，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2021·内蒙古·集宁二中高一期末）对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是( )
A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
4．（2021·湖北·通城县第二高级中学高二期末）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，如表为某小型工厂2~5月份生产的口罩数（单位：万）
x 2 3 4 5
y 2.2 3.8 5.5 m
若y与x线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数m的值为（ ）
A．6.5 B．6.9 C．7.1 D．7.6
5．（2021·陕西·榆林市第十中学高二期末（理））下列说法错误的是（ ）
A．当相关系数时，表明两个变量正相关
B．用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于1，相关性越强
C．所有的样本点必然都落在回归直线上
D．回归直线过样本点的中心
6．（2021·陕西渭南·高二期末（文））党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化.若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（）（单位：万亿元）关于年份代号的回归方程为，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（ ）
A．14.04 B．202.16 C．13.58 D．14.50
7．（2021·湖北·应城市第一高级中学高二期末）已知x与y之间的一组数据如下表：
x 3 4 5 6
y 30 40 60 50
若y与x线性相关，根据上表求得y与x的线性回归方程，中的为8，据此模型预报时y的值为（ ）A．70 B．63 C．65 D．66
二、多选题
8．（2021·福建·莆田二中高三期末）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8
B．若回归方程为，则变量y与x负相关
C．若随机变量X服从正态分布，，则
D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
9．（2021·山东德州·高二期末）19世纪中期，英国著名的统计学家弗朗西斯·高尔顿搜集了1078对夫妇及其儿子的身高数据，发现这些数据的散点图大致呈直线状态，即儿子的身高y（单位：cm）与父母平均身高x（单位：cm）具有线性相关关系，通过样本数据（），求得回归直线方程 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．回归直线至少过中的一个点
B．若，，则回归直线过点
C．若父母平均身高增加1cm，则儿子身高估计增加0.516cm
D．若样本数据（）所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数
三、填空题
10．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期末（理））给出下列说法：
①回归直线恒过样本点的中心；
②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；
④在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是_____________.
11．（2021·江苏南京·高二期末）已知变量y与x线性相关，若，，且与的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是______．
12．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高二期末（文））为了了解家庭月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出与之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为__________千元.
四、解答题
13．（2021·湖北省武昌实验中学高二期末）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式．
参考数据：，．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
提升练
一、多选题
1．（2021·重庆·高二期末）下列说法错误的是（ ）
A．回归直线必过样本中心点
B．相关系数的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性越强
C．残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越差
D．在独立性检验中，统计变量越大，说明两个变量的关系就越弱
2．（2021·湖南·长沙一中高二期末）下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定
B．若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，
二、填空题
3．（2021·江苏省天一中学高二期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有__________人.
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
，.
参考答案：
一、单选题
1．（2021·辽宁大连·高二期末）对四组数据进行统计，获得以下散点图，将四组数据相应的相关系数进行比较，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据散点图可得正负相关关系，并根据散点图的集中程度确定大小关系.
【详解】
由散点图可知：图和图是正相关，相关系数大于；图和图是负相关，相关系数小于；
图中的点比图中的点更加集中，；图中的点比图中的点更加集中，；
.
故选：A.
2．（2021·吉林·汪清县汪清第四中学高二期末（理））某工厂的每月各项开支与毛利润（单位：万元）之间有如下关系，与的线性回归方程是，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可求得的值.
【详解】
由表格中的数据可得，，
则样本中心点的坐标为，
将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得，解得.
故选：A.
3．（2021·内蒙古·集宁二中高一期末）对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，对两个变量进行线性相关检验，得线性相关系数，则下列判断正确的是( )
A．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C．变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D．变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
【答案】C
【解析】
【分析】
由线性相关系数的正负判断两变量的正负相关性，由线性相关系数的绝对值大小判断两变量相关性强弱.
【详解】
由线性相关系数知与正相关，
由线性相关系数知与负相关，
又，所以，变量与的线性相关性比与的线性相关性强，
故选：C
4．（2021·湖北·通城县第二高级中学高二期末）2020年2月，受新冠肺炎的影响，医卫市场上出现了“一罩难求”的现象.在政府部门的牵头下，部分工厂转业生产口罩，如表为某小型工厂2~5月份生产的口罩数（单位：万）
x 2 3 4 5
y 2.2 3.8 5.5 m
若y与x线性相关，且回归直线方程为，则表格中实数m的值为（ ）
A．6.5 B．6.9 C．7.1 D．7.6
【答案】C
【解析】
【分析】
利用回归直线经过样本中心可求的值.
【详解】
，故，故，
故，
故选：C.
5．（2021·陕西·榆林市第十中学高二期末（理））下列说法错误的是（ ）
A．当相关系数时，表明两个变量正相关
B．用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，越接近于1，相关性越强
C．所有的样本点必然都落在回归直线上
D．回归直线过样本点的中心
【答案】C
【解析】
【分析】
根据相关系数、相关系数的概念以及回归直线方程的特点进行分析和判断.
【详解】
由相关系数的意义知：当相关系数时，表明变量x和y正相关，故A正确；
用相关系数r来衡量两个变量之间线性关系的强弱时，接近于1，相关性越强，故B正确；
所有的样本点都可能落在回归直线上，但也可能一个都不落在回归直线上，所以C不正确；
回归直线过样本点的中心，故D正确.
故选：C.
6．（2021·陕西渭南·高二期末（文））党的十九大报告中指出：从2020年到2035年，在全面建成小康社会的基础上，再奋斗15年，基本实现社会主义现代化.若到2035年底我国人口数量增长至14.4亿，由2013年到2019年的统计数据可得国内生产总值（）（单位：万亿元）关于年份代号的回归方程为，由回归方程预测我国在2035年底人均国内生产总值（单位：万元）约为（ ）
A．14.04 B．202.16 C．13.58 D．14.50
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出2035年对应的年份代号的值代入回归方程可得2035年底国内生产总值，再除以人口数量14.4亿即可求解.
【详解】
根据题意可得2035年底对应的，
将代入可得：万亿元，
所以我国在2035年底人均国内生产总值约为万元，
故选：A.
7．（2021·湖北·应城市第一高级中学高二期末）已知x与y之间的一组数据如下表：
x 3 4 5 6
y 30 40 60 50
若y与x线性相关，根据上表求得y与x的线性回归方程，中的为8，据此模型预报时y的值为（ ）A．70 B．63 C．65 D．66
【答案】C
【解析】
根据表中数据，求得，代入公式，即可求得，进而可得线性回归方程，令代入方程，即可求得答案.
【详解】
由表中数据可知：，
所以，所以，
令，，
故选：C
二、多选题
8．（2021·福建·莆田二中高三期末）下列命题中，真命题的是（ ）
A．若样本数据的方差为2，则数据的方差为8
B．若回归方程为，则变量y与x负相关
C．若随机变量X服从正态分布，，则
D．在线性回归分析中相关指数用来刻画回归的效果，若值越小，则模型的拟合效果越好
【答案】AB
【解析】
【分析】
结合新样本数据的方差公式可判断A正确；由前系数可判断B正确；结合正态分布对称性可求的值；相关指数越大，模拟效果越好.
【详解】
若样本数据的方差为2，则数据的方差为，A项正确；
，，则变量y与x负相关，B项正确；
因为X服从正态分布，，
则，故C项错误；
在线性回归分析中相关指数越大，则模型的拟合效果越好，故D项错误.
故选：AB
9．（2021·山东德州·高二期末）19世纪中期，英国著名的统计学家弗朗西斯·高尔顿搜集了1078对夫妇及其儿子的身高数据，发现这些数据的散点图大致呈直线状态，即儿子的身高y（单位：cm）与父母平均身高x（单位：cm）具有线性相关关系，通过样本数据（），求得回归直线方程 ，则下列结论中正确的是（ ）
A．回归直线至少过中的一个点
B．若，，则回归直线过点
C．若父母平均身高增加1cm，则儿子身高估计增加0.516cm
D．若样本数据（）所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数
【答案】BCD
【解析】
【分析】
利用回归方程的性质判断各选项.
【详解】
对于A选项，回归直线不一定经过中的一个点，故A选项错误.对于B选项，回归直线过点，故B选项正确.对于C选项，由于，所以若父母平均身高增加1cm，则儿子身高估计增加0.516cm，故C选项正确.对于D选项，若样本数据（）所构成的点都在回归直线上，则线性相关系数，故D选项正确，
故选：BCD.
三、填空题
10．（2021·西藏·拉萨那曲高级中学高二期末（理））给出下列说法：
①回归直线恒过样本点的中心；
②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，此时这8个数的方差不变；
④在回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位.
其中说法正确的是_____________.
【答案】①②④.
【解析】
【分析】
①回归直线恒过样本点的中心；
②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，平均值不变，方差改变；
④回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位是平均减少，或者估计减少.
【详解】
①回归直线恒过样本点的中心，正确；
②两个变量相关性越强，则相关系数就越接近1，正确；
③某7个数的平均数为4，方差为2，现加入一个新数据4，平均值不变，方差改变，故错误；
④回归直线方程中，当变量x增加一个单位时，平均减少0.5个单位是平均减少，或者估计减少，故正确.
故答案为：①②④.
11．（2021·江苏南京·高二期末）已知变量y与x线性相关，若，，且与的线性回归直线的斜率为6.5，则线性回归方程是______．
【答案】．
【解析】
【分析】
设线性回归方程为，把已知数据代入求得，则线性回归方程可求．
【详解】
解：设线性回归方程为，
，，与的线性回归直线的斜率为6.5，
．
关于的线性回归方程为．
故答案为：．
12．（2021·西藏·林芝市第二高级中学高二期末（文））为了了解家庭月收入（单位：千元）与月储蓄（单位：千元）的关系，从某居民区随机抽取10个家庭，根据测量数据的散点图可以看出与之间具有线性相关关系，其回归直线方程为，若该居民区某家庭月收入为7千元，据此估计该家庭的月储蓄为__________千元.
【答案】
【解析】
【分析】
直接代入即得答案.
【详解】
由于，代入，于是得到，故答案为1.7.
【点睛】
本题主要考查线性回归方程的理解，难度很小.
四、解答题
13．（2021·湖北省武昌实验中学高二期末）根据统计，某蔬菜基地西红柿亩产量的增加量y（百千克）与某种液体肥料每亩使用量x（千克）之间的对应数据的散点图，如图所示．
（1）依据数据的散点图可以看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请计算相关系数r并加以说明（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）；
（2）求y关于x的回归方程，并预测当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为多少？
附：相关系数公式．
参考数据：，．
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
【答案】（1）0.95；答案见解析；（2）；610千克.
【解析】
（1）根据散点图中的数据分别求得可得，，，，，进而求得相关系数，再与0.75比较下结论.
（2）结合（1）中的数据，分别求得，，写出回归方程，然后将代入求解.
【详解】
（1）由已知数据可得，，
所以，
，
，
所以相关系数．
因为，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系．
（2），，
所以回归方程为．
当时，，
即当液体肥料每亩使用量为12千克时，西红柿亩产量的增加量约为610千克．
提升练
一、多选题
1．（2021·重庆·高二期末）下列说法错误的是（ ）
A．回归直线必过样本中心点
B．相关系数的绝对值越接近1，说明两个变量的线性相关性越强
C．残差的平方和越小，说明模型的拟合效果越差
D．在独立性检验中，统计变量越大，说明两个变量的关系就越弱
【答案】CD
【解析】
【分析】
根据回归直线的求法即可知样本中心在回归直线上即知A的正误，由相关系数、残差的含义判断B、C，根据独立性检验思想判断D.
【详解】
A：根据最小二乘法(回归直线的求法)知：样本中心在回归直线上，正确；
B：由相关系数的实际意义：其绝对值越接近1，变量间的相关性越强，正确；
C：由残差的含义：残差的平方和越小，拟合效果越好，错误；
D：由独立性检验思想知：统计变量越大，两个变量的相关可能性越高，错误.
故选：CD
2．（2021·湖南·长沙一中高二期末）下列四个命题中正确的命题是（ ）
A．在回归模型中，预报变量的值不能由解释变量唯一确定
B．若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关
C．在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高
D．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，
【答案】ACD
【解析】
【分析】
由已知结合归回方程的相关概念，不难确定A、C正确，选项B中，变量，，三者之间的关系，可根据给出的变量，满足的关系来判断；选项D中，可根据给到的回归方程，通过两边取指数，对比对应项的系数完成求解.
【详解】
选项A：在回归模型中，预报变量的值有解释变量和随机误差共同确定，即只能解释部分的变化，故该选项正确；
选项B：若变量，满足关系，且变量与正相关，则与也正相关；应该是负相关．故错误；
选项C：在残差图中,残差点比较均匀地落在水平的带状区域内,说明选用的模型比较合适. 相关指数来刻画回归的效果, 值越大,说明模型的拟合效果越好。比较两个模型的拟合效果,可以比较残差平方和的大小,残差平方和越小的模型,拟合效果越好，故该选项正确；
选项D：以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，．故正确．
故选：ACD．
二、填空题
3．（2021·江苏省天一中学高二期末）针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否有关”作了一次调查，其中女生人数是男生人数的，男生追星的人数占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有的把握认为中学生追星与性别有关，则男生至少有__________人.
参考数据及公式如下：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
，.
【答案】30
【解析】
【分析】
设男生人数为，依题意可得列联表；根据表格中的数据，代入求观测值的公式，求出观测值同临界值进行比较，列不等式即可得出结论.
【详解】
设男生人数为，依题意可得列联表如下：
喜欢追星 不喜欢追星 总计
男生
女生
总计
若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则，
由，解得，
由题知应为6的整数倍，
若在犯错误的概率不超过的前提下认为是否喜欢追星和性别有关，
则男生至少有30人，
故答案为：30.