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5.2.1 三角函数的概念
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 三角函数的概念
1.单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2.利用单位圆定义任意角的三角函数
如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sin x；余弦函数y＝cos x；正切函数y＝tan x．
注意点：
(1)三角函数值是比值，是一个实数．
(2)三角函数值的大小只与角的大小有关．
(3)推广：已知终边上任意一点可求三角函数值的大小，若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
知识点二 正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
注意点：
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．如果不是单位圆上的点则要先求求r＝，再根据题意求sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．
知识点四 诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：
sin α＋k·2π ＝sin α，cos α＋k·2π ＝cos α，tan α＋k·2π ＝tan α，其中k∈Z.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.若角α的终边经过点P(x，－3)且cos α＝－，则x的值为( )
A.－ B.±1 C.－1 D.1
答案：C
解析：|OP|＝，∵cos α＝＝＝－，解得x2＝1，又x<0，∴x＝－1.
题后反思：利用三角函数的定义求一个角的三角函数值有以下几种情况：①若已知角，则只需确定出该角的终边与单位圆的交点坐标，即可求出各三角函数值．②若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)是单位圆上一点，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝.③若已知角α终边上一点P(x，y)(x≠0)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝.(4)若已知角α终边上的点的坐标含参数，则需进行分类讨论．
2.已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：设交点坐标为P(x，y)，则y＝sin α＝，x＝cos α＝－，故点P.
3.若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案：C
解析：由sin αtan α<0可知sin α，tan α异号，从而α是第二或第三象限角．由<0可知cos α，tan α异号，从而α是第三或第四象限角．综上可知，α是第三象限角．
题后反思：判断三角函数值符号的两个步骤：①确定角α所在的象限．②利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．
4.当α为第二象限角时，－的值是( )
A.1 B.0 C.2 D.－2
答案：C
解析：∵α为第二象限角，∴sin α>0，cos α<0，∴－＝－＝2.
5.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( )
A. B．－ C．－ D.
答案：A
解析：∵2sin 30°＝1，－2cos 30°＝－，∴r＝2，∴cos α＝.
6.设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则2sin α＋cos α的值为( )
A. B.或－ C.－ D.与a有关
答案：C
解析：∵a<0，∴r＝＝5|a|＝－5a，∴cos α＝＝，sin α＝＝－，∴2sin α＋cos α＝－.
7.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：∵sin ＝，cos ＝－.∴角α的终边在第四象限，且tan α＝＝－，
∴角α的最小正角为2π－＝.
8.式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为( )
A.正 B.负 C.零 D.不能确定
答案：B
解析：∵1,2,4分别为第一、二、三象限角，∴sin 1>0，cos 2<0，tan 4>0，∴sin 1·cos 2·tan 4<0.
题后反思：解决此类问题将π≈3.14，=1.57，以此内推，进而确定各个角所在的象限，以此判断三角函数值的符号.
9.(多选)已知函数y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角θ的终边经过点P，则( )
A.P(4，－12) B.sin θ＝－ C.cos θ＝－ D.tan θ＝－
答案：BD
解析：因为y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)，令x－4＝1，即x＝5，所以y＝loga1－12＝
－12，即P(5，－12)，sin θ＝＝－，cos θ＝＝，tan θ＝－.
题后反思：函数是高中学习的一条主线，在学习的过程中要把学过的知识连贯起来，函数y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)恒过定点(5，－12)是解决此题的关键.
10.函数y＝＋－的值域是( )
A.{－4,0} B.{0,2} C.{－4,0,2} D.{－4,2}
答案：C
解析：由sin x≠0，cos x≠0知x的终边不能落在坐标轴上，当x为第一象限角时，sin x>0，cos x>0，sin xcos x>0，y＝0；当x为第二象限角时，sin x>0，cos x<0，sin xcos x<0，y＝2；当x为第三象限角时，sin x<0，cos x<0，sin xcos x>0，y＝－4；当x为第四象限角时，sin x<0，cos x>0，sin xcos x<0，y＝2，故函数y＝＋－的值域为{－4,0,2}．
二、填空题
11.若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角．
答案：四
解析：∵sin θ<0，∴θ是第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上的角，又tan θ<0，∴θ是第四象限的角．
12.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α＝ .
答案：－
解析：∵cos α＝＝，∴＝5，∴y2＝16，∵y<0，∴y＝－4，∴tan α＝－.
13.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 ．
答案：(－2,3]
解析：由cos α≤0，sin α>0，可知解得－2
14.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．
答案：一或二
解析：要使原式有意义，必须cos αtan α>0，即需cos α，tan α同号，所以α是第一或第二象限角．
15.已知α是第一象限角，则下列结论中：①sin 2α>0；②cos 2α>0；；③cos >0；④tan >0．正确的序号是 ．
答案：①④
解析：由α是第一象限角，2kπ<α<＋2kπ，k∈Z，得4kπ<2α<π＋4kπ，k∈Z,2α的终边在x轴上方，则sin 2α>0，cos 2α的正负不确定；又因为kπ<<＋kπ，k∈Z，所以是第一或第三象限角，则tan >0，cos 的正负不确定．
三、解答题
16. (1)已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；
(2)已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值．
解：(1)r＝＝5|a|.
若a>0，则r＝5a，α是第二象限角，
则sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，tan α＝＝＝－，
若a<0，则r＝－5a，α是第四象限角，
则sin α＝－，cos α＝，tan α＝－.
(2)因为角α的终边在直线y＝x上，
所以可设P(a，a)(a≠0)为角α终边上任意一点．则r＝＝2|a|(a≠0)．
若a>0，则α为第一象限角，r＝2a，
则sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝.
若a<0，则α为第三象限，r＝－2a，
则sin α＝＝－，cos α＝－＝－，tan α＝＝.
题后反思：在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点坐标(a，b)，则对应角的三角函数值分别为sin α＝，cos α＝，tan α＝.
17.判断下列各式的符号：
(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan；(3)(θ为第二象限角)．
解：(1)∵340°是第四象限角，265°是第三象限角，∴sin 340°<0，cos 265°<0，
∴sin 340°cos 265°>0.
(2)∵π<4<，∴4是第三象限角，∵－＝－6π＋，∴－是第一象限角．
∴sin 4<0，tan>0，∴sin 4tan<0.
(3)∵θ为第二象限角，∴0∴sin(cos θ)<0，cos(sin θ)>0，∴<0.
18.计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin＋cos tan 4π.
(3)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (4)sin ＋tan.
解：(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝.
(2)原式＝sin＋costan(4π＋0)＝sin＋cos×0＝.
(3)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)
＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.
(4)原式＝sin＋tan＝sin ＋tan ＝＋1.
题后反思：利用诱导公式一进行化简求值的步骤：①将已知的任意角写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中α∈[0,2π)．②根据诱导公式一，转化为求角α的某个三角函数值．③若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值．
19.已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M ，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
解：(1)由＝－，可知sin α<0，
由lg(cos α)有意义可知cos α>0，
∴角α是第四象限角．
(2)∵|OM|＝1，∴2＋m2＝1，解得m＝±.
又α是第四象限角，故m<0，从而m＝－.
由正弦函数的定义可知sin α＝＝＝－.
题后反思：定义域是函数的灵魂，平时在做题的过程中要时刻谨记函数的定义域.
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高中数学(新RJ·A)必修第一册5.2.1 三角函数的概念 1/1中小学教育资源及组卷应用平台
5.2.1 三角函数的概念
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点一 三角函数的概念
1.单位圆
在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．
2.利用单位圆定义任意角的三角函数
如图，在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：
(1)把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记作sin α，即y＝sin α；
(2)把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记作cos α，即x＝cos α；
(3)把点P的纵坐标与横坐标的比值叫做α的正切，记作tan α，即＝tan α(x≠0)．
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将它们统称为三角函数，通常将它们记为：正弦函数y＝sin x；余弦函数y＝cos x；正切函数y＝tan x．
注意点：
(1)三角函数值是比值，是一个实数．
(2)三角函数值的大小只与角的大小有关．
(3)推广：已知终边上任意一点可求三角函数值的大小，若已知角α终边上一点P(x，y)不是单位圆上一点，则先求r＝，再求sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
知识点二 正弦、余弦、正切函数在弧度制下的定义域
三角函数 定义域
sin α R
cos α R
tan α
注意点：
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．如果不是单位圆上的点则要先求求r＝，再根据题意求sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
知识点三 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号
口诀概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图)．
知识点四 诱导公式一
终边相同的角的同一三角函数的值相等，即：
sin α＋k·2π ＝sin α，cos α＋k·2π ＝cos α，tan α＋k·2π ＝tan α，其中k∈Z.
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.若角α的终边经过点P(x，－3)且cos α＝－，则x的值为( )
A.－ B.±1 C.－1 D.1
2.已知sin α＝，cos α＝－，则角α的终边与单位圆的交点坐标是( )
A. B. C. D.
3.若sin αtan α<0，且<0，则角α是( )
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
4.当α为第二象限角时，－的值是( )
A.1 B.0 C.2 D.－2
5.如果角α的终边过点P(2sin 30°，－2cos 30°)，则cos α的值等于( )
A. B．－ C．－ D.
6.设角α终边上一点P(－4a,3a)(a<0)，则2sin α＋cos α的值为( )
A. B.或－ C.－ D.与a有关
7.已知角α的终边上一点的坐标为，则角α的最小正值为( )
A. B. C. D.
8.式子sin 1·cos 2·tan 4的符号为( )
A.正 B.负 C.零 D.不能确定
9.(多选)已知函数y＝loga(x－4)－12(a＞0且a≠1)的图象过定点P，且角θ的终边经过点P，则( )
A.P(4，－12) B.sin θ＝－ C.cos θ＝－ D.tan θ＝－
10.函数y＝＋－的值域是( )
A.{－4,0} B.{0,2} C.{－4,0,2} D.{－4,2}
二、填空题
11.若sin θ<0且tan θ<0，则θ是第 象限的角．
12.若点P(3，y)是角α终边上的一点，且满足y<0，cos α＝，则tan α＝ .
13.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是 ．
14.使得lg(cos αtan α)有意义的角α是第 象限角．
15.已知α是第一象限角，则下列结论中：①sin 2α>0；②cos 2α>0；；③cos >0；④tan >0．正确的序号是 ．
三、解答题
16. (1)已知角α的终边经过点P(－4a,3a)(a≠0)，求sin α，cos α，tan α的值；
(2)已知角α的终边在直线y＝x上，求sin α，cos α，tan α的值．
17.判断下列各式的符号：
(1)sin 340°cos 265°；(2)sin 4tan；(3)(θ为第二象限角)．
18.计算下列各式的值：
(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°；(2)sin＋cos tan 4π.
(3)tan 405°－sin 450°＋cos 750°； (4)sin ＋tan.
19.已知＝－，且lg(cos α)有意义．
(1)试判断角α所在的象限；
(2)若角α的终边上一点是M ，且|OM|＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值．
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