课件14张PPT。2.4 弦切角的性质目标：
1.了解弦切角性质的证明过程
2.理解弦切角的性质并会应用弦切角性质
解决几何问题在图（１）中，根据圆内接四边形性质，
有∠ＢＣＥ＝∠Ａ．在图（２）中，ＤＥ是切线时，
∠ＢＣＥ＝∠Ａ仍成立吗？ＤＡＢＣＥ（１）（２）ＡＢＥＤ（Ｃ）△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE= ∠ A.OＡＢＥCOＡＢＥCOＡＢＥC(1)圆心O在△ ABC的边BC上证明:即△ABC为直角三角形ABOCE∵CE为切线，∴ ∠BCE＝90 °又∵∠A是半圆上的圆周角，∴ ∠A＝90 °∴ ∠BCE＝∠A(2)圆心o在△ABC的内部作⊙o的直径CP,则OＡＢＥCP∠PCE= ∠PAC= 90 °∵∠BCE= ∠PCE-∠PCB
= 90°-∠PCB.∠BAC= ∠PAC-∠PAB
= 90°-∠PAB.而∠PAB= ∠PCB∴∠BCE= ∠BAC(3)圆心0在△ABC的外部,作⊙O的直径CP,那么 OＡＢＥCP∠PCE= ∠PAC= 90 °∵∠BCE= ∠PCE+∠PCB
= 90°+∠PCB.∠BAC= ∠PAC+∠PAB
= 90°+∠PAB.而∠PAB= ∠PCB∴∠BCE= ∠BACAAABBBCCC下面五个图中的∠BAC是不是弦切角？××√1.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆相切的角叫做弦切角。几何语言: BA切⊙O于A
AC是圆O的弦2.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。∠BAC= ∠ADC例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦, 直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D. 求证:AC平分∠BAD.O
ABCDE12思路一:思路二: 连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得∠1=∠2O
ABCDE3121.弦切角:顶点在圆上，一边与圆相交，
另一边与圆相切的角。 2.弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.小结：检测：P34习题2.41.如图，经过圆上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。
求证：∠ATC=∠TBCACTB2.如图，⊙O和⊙O′都经过A,B两点，AC是⊙O′的切线，交⊙O于点C,AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D,求证：AB2=BC·BD作业：.2013高考试题15题
如图AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC=CD，过C做圆O的切线交AD于E，若AB=6，ED=2，则BC=_______ABCDOE课件14张PPT。授课日期：2013年5月24
班级：高二（1），（2）思考：从这几个定理的结论里大家能发现什么共同点？1.结论都为乘积式;2.几条线段都是从同一点出发;3.都是通过三角形相似来证明（都隐含着三角形相似）.另外，从全等角度可以得到：练习3.如图,A是⊙O上一点,过A切线交直径CB的延长线于点P,AD⊥BC，D为垂足.求证：PB :PD=PO:PC.分析：要证明PB ：PD=PO ：PC ,很明显PB、PD、PO、PC在同一直线上无法直接用相似证明，且在圆里的比例线段通常化为乘积式来证明,所以可以通过证明PB ? PC=PD ? PO,而由切割线定理有PA2=PB ? PC,只需再证PA2=PD ? PO，而PA为切线,所以连接OA,由射影定理 得到. 例2.E是圆内的两条弦AB,CD的交点,直线EF//CB,交AD的延长线于F,FG切圆于G. 求证:(1)△DFE∽△EFA; (2)EF=FG ABCOED321△DFE∽△EFAEF2=FA?FD又GF2=FA?FDGF2= EF2EF=FG例2 如图,E是圆内两弦AB和CD的交点，直线EF//CB,交AD的延长线于点F，FG切圆于点G.求证：(1) △DFE∽△EFA; (2)EF=FG.证明： (1)∵EF//CB, ∴∠DEF=∠DCB.∵∠DCB和∠DAB都是 上的圆周角.∴∠DAB =∠DCB=∠DEF.∵∠DFE=∠EFA（公共角）, ∴ △DFE∽△EFA.(2)由(1)知 ∴ △DFE∽△EFA，∴EF2 =FA?FD.又∵FG是圆的切线，∴FG2 =FA?FD.∴EF2 =FG2 ,即FG=EF. 例3.如图,两圆相交于A,B两点,P是两圆公共弦AB上的任一点,从P引两圆的切线PC,PD. 求证:PC=PDPABDC析：PC2=PA?PB又PD2=PA?PBPC2= PD2PC=PD例4.如图,AB是⊙O的直径,过A,B引两条弦AD和BE,相交于点C,求证:AC?AD+BC?BE=AB2.F分析:A,F,C.E四点共圆BC?BE=BF?BA.F,B,D,C四点共圆AC?AD=AF?AB.AC?AD+BC?BE=AF?AB+BF?BA
=AB(AF+BF)=AB2例4 如图，AB是⊙O的直径，过A、B引两条弦AD和BE，相交于点C．求证：AC·AD+BC·BE=AB2．证明：连接AC、AD，
过C作CF⊥AB,与AB交于F．∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=900.又∵ ∠AFC=900, ∴ A、F、C、E四点共圆. ∴ BC?BE=BF?BA. ………(1)同理可证F、B、D、C四点共圆. ∴ AC?AD=AF?AB. ………(2)(1)+(2)可得 AC?AD+BC?BE= AB(AF+BF)=AB2. 例5.如图,AB,AC是⊙O的切线,ADE是⊙O的割线,连接CD,BD,BE,CE.问题1 由上述条件能推出哪些结论?探究1: ∠ACD= ∠AEC△ADC∽△ ACE ⑴CD?AE=AC?CE ⑵同理 BD?AE=AB?BE ⑶因为AC=AB,由 ⑵⑶可得 BE?CD=BD?CE ⑷图⑴习题2.55.如图, ⊙O与⊙O′相交与点A,B.PQ是⊙O的切线,求证:PN2=NM?NQ6.如图,PA是⊙O的切线, M是PA的中点,
求证:∠MPB=∠MCP∵MA2=MB?MC=PM2∴△MBP∽△PMC∴∠MPB=∠MCP思路：习题2.5课后作业：
课本P41，习题：T7，T8.当堂检测：
课本P40，习题：T6.课件11张PPT。授课日期：2013年5月21
班级：高二（1），（2）二.圆内接四边形的性质与判定定理圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形.这个圆称多边形的外接圆.思考: 任意三角形都有外接圆.那么
任意正方形有外接圆吗?为什么?
任意矩形有外接圆吗?
等腰梯形呢?
一般地, 任意四边形都有外接圆吗?自主学习： 请大家阅读课本P27-P28的内容，回答下面几个问题：
1， 圆内接四边形有什么特点，你能证明它吗？
2，是不是所有的四边形都有外接圆？时间：3分钟如图（1）连接OA,OC.则∠B= . ∠D=性质定理1 圆内接多边形的对角互补将线段AB延长到点E,得到图（2）（1）性质定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。性质定理1 圆内接四边形的对角互补性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. 性质定理的逆命题成立吗？圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. 例1 如图， 都经过A,B两点。经过点A的直线CD与 交于点C,与 交与点经过点B的直线EF与 交于点E,与 交与点F.证明：连接AB∴∠BAD=∠E. ∴∠BAD+∠F=180° ∴∠E+∠F=180° ∴CE//DF . 求证：CE//DF.∵四边形ABEC是 的内接四边形。 ∵四边形ADFB是 的内接四边形。 例2 如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC,
FQ⊥AC.求证：A,B,P,Q四点共圆证明：连接PQ。在四边形QFPC中，∵FP⊥BC FQ⊥AC.∴∠FQA=∠FPC=90o.∴Q,F,P,C四点共圆。∴∠QFC=∠QPC.又∵CF⊥AB ∴∠QFC与∠QFA互余.而∠A与∠QFA也互余.∴∠A=∠QFC.∴∠A=∠QPC.∴A,B,P,Q四点共圆习题2.21.AD,BE是△ABC的两条高，
求证：∠CED=∠ABC.2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。o3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G.
求证： ∠CFG=∠DGF.课后作业：
课本P30，习题：T3.当堂检测：
课本P30，习题：T1.课件11张PPT。授课日期：2013年5月17
班级：高二（1），（2）圆周角定理圆周角定理2、圆周角的定义：1、圆心角的定义：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角。顶点在圆心的角。自主学习： 请大家阅读课本P24-P25的内容，回答下面几个问题：
1， 你能证明圆周角定理吗？
2，圆心角与它所对的弧度有什么关系？时间：3分钟一.圆周角定理圆周角定理 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的
圆心角的一半。分三种情况讨论.圆心角定理 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等.推论2 半 圆(或直径)所对的圆周角是直角;
90o的圆周角所对的弦是直径. 同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等,
所对的圆周角也相等.例1 如图,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径.求证:AB·AC=AE·AD. 证明:连接BE.∴AB·AC=AE·AD.∽例2 如图,AB与CD相交于圆内一点P.
求证:AD的度数与BC的度数和的一半等于∠APD的度数.⌒⌒DACBPE证明:过点C作CE//AB交圆于点E,则有又∵∠DCE的度数等于DAE的一半⌒∠ABE=∠BEC例３，如图，BC是半圆的直径,P是半圆上的一点,过 的中点Ａ，作ＡＤ⊥ＢＣ，垂足为Ｄ，ＢＰ交ＡＤ于Ｅ，交ＡＣ于Ｆ，求证：
ＢＥ＝ＡＥ＝ＥＦＡＢＥＤＣＰＦ︵1234习题2.1(P26)1.如图,OA是⊙O的半径,以OA为直径的⊙C 与⊙O的弦AB交于点D,求证:D是AB的中点.2.如图,圆的直径AB=13cm,C为圆上一点,CD⊥AB,垂足D,且CD=6cm.求AD的长.(第1题)(第2题)(第3题)E课后作业：
课本P26，习题：T2，T3.当堂检测：
课本P26，习题：T1.课件15张PPT。授课日期：2013年5月22
班级：高二（1），（2）
自主学习： 请大家阅读课本P27-P28的内容，回答下面几个问题：
1， 圆内接四边形有什么特点，你能证明它吗？
2，是不是所有的四边形都有外接圆？时间：3分钟三. 圆的切线的性质及判定定理圆与直线的位置关系:相交-----有两个公共点相切-----只有一个公共点相离-----没有公共点切线的性质定理:O切线的性质定理逆命题是否成立?M反证法推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.这与线圆相切矛盾.思考:圆的切线垂直于经过切点的半径假设不垂直,作OM⊥因“垂线段最短”,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.A切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AOB.直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于A的点B.连OB.则在Rt△ABO中OB>OA=r故B在圆外判断一条直线是圆的切线，你现在会有多少种方法?切线判定有以下三种方法:
1.利用切线的定义:与圆有唯一公共点的直线是圆的切线。
2.利用d与r的关系作判断:当d＝r时直线是圆的切线。
3.利用切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。想一想例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,
DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD//AC.又∵∠DEC=90o∴∠ODE=90o又∵D在圆周上,∴DE是⊙O是切线..例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.证明:连接OC, ∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD.∵OC=OA.∴ ∠CAO=∠ACO.∴ ∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB.∵CD是⊙O的切线,练习1.如图A是⊙O外的一点，AO的延长线交⊙O于C，直线AB经过⊙O上一点B，且AB＝BC，∠C＝30°. 求证：直线AB是⊙O的切线.证明：连结OB,∵OB=OC,AB=BC,∠C=30°
∴∠OBC=∠C=∠A=30°
∴∠AOB=∠C+∠OBC=60°
∴∠ABO=180°－(∠AOB+∠A)
=180°－(60°+30°)
=90°
∴ AB是⊙O的切线.题目中“半径”已有，
只需证“垂直”,即可
得直线与圆相切.证明：连结OP。
∵AB=AC,∴∠B=∠C。
∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，
∴∠OBP=∠C。
∴OP∥AC。
∵PE⊥AC，
∴∠PEC=90°
∴ ∠OPE=∠PEC=90°
∴PE⊥OP。
∴PE为⊙0的切线。如图,△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，
PE⊥AC于E。
求证:PE是⊙O的切线。练 习OABCEP课堂小结：一 判定一条直线是圆的切线有三种方法1 根据定义直线与圆有唯一的公共点2 根据判定定理3，根据圆心到直线的距离等于半径 二 添辅助线的方法则连接圆心与交点则过圆心作直线的垂线段1，已知直线与圆有交点，2，没有明确的公共点，课后作业：
课本P32，习题：，T2，T3.当堂检测：
课本P34，习题：T1.2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA
上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切
线交OA的延长线于R,.求证:RP=RQBOPARQ∠AQO= ∠APQ3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线.AOBCD1324△COD与COB全等课件10张PPT。2.3 圆的切线的性质
及判定定理目标：
1.理解圆切线的性质及判定定理
2.会证明圆的切线的性质定理及判定定理圆与直线的位置关系:相交-----有两个公共点相切-----只有一个公共点相离-----没有公共点切线的性质定理:O这与线圆相切矛盾.圆的切线垂直于经过切点的半径假设不垂直,作OM⊥因“垂线段最短”,故OA>OM,即圆心到直线距离小于半径.AM反证法O切线的性质定理逆命题是否成立?推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点.推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.思考:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.AOB直线与圆只有一个公共点,是切线.在直线上任取异于A的点B.连OB.则在Rt△ABO中OB>OA=r故B在圆外例1 如图,AB是⊙O的直径, ⊙O过BC的中点D,DE⊥AC.求证:DE是⊙O是切线.证明:连接OD. ∵BD=CD,OA=OB,∴OD是△ABC的中位线,∴OD//AC.又∵ DE⊥AC
∴∠DEC=90o∴∠ODE=90o又∵D在圆周上,∴DE是⊙O是切线.例2 如图. AB为⊙O的直径,C为⊙O上一点,AD和过C点的切线互相垂直,垂足为D.求证:AC平分∠DAB.证明:连接OC, ∴OC⊥CD.又∵AD⊥CD,∴OC//AD.由此得 ∠ACO=∠CAD.∵OC=OA.∴ ∠CAO=∠ACO.∴ ∠CAD=∠CAO.故AC平分∠DAB.∵CD是⊙O的切线,检测：P32习题2.31.如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点, ⊙O与腰AB相切于点D.求证:AC与⊙O相切.2.已知:OA和OB是⊙O的半径,并且OA⊥OB,P是OA
上任意一点,BP的延长线交⊙O于Q.过Q作⊙O的切
线交OA的延长线于R,.求证:RP=RQBOPARQ3.AB是⊙O的直径,BC是⊙O的切线,切点为B,OC平行于弦AD.求证:DC是⊙O的切线.AOBCD1324课件16张PPT。授课日期：2013年5月23
班级：高二（1），（2）创设情景 以旧探新 圆心角和圆周角∠BAC= ∠BOC 弦切角定义：顶点在圆上,一边与圆相交、另一边与 圆相切的角叫弦切角.(1) 顶点在圆上；(2) 一边和圆相交；(3) 另一边和圆相切。∠BAE的特征：观察在图（１）中，根据圆内接四边形性质，有∠ＢＣＥ＝∠Ａ．在图（２）中，ＤＥ是切线时，
∠ＢＣＥ＝∠Ａ仍成立吗？ＤＤＡＢＣＥ（１）（２）ＡＢＥＤ（Ｃ）猜想：△ABC是⊙O的内接三角形，CE是⊙O的切线，则∠BCE= ∠ A.分析：延用从特殊到一般的思路。先分析△ABC为直角三角形时的情形，再将锐角三角形和钝角三角形的情形化归为直角三角形的情形。OＡＢＥCOＡＢＥCOＡＢＥC(1)圆心O在△ ABC的边BC上证明:即△ABC为直角三角形ABOCE∵CE为切线，∴ ∠BCE＝90 °又∵∠A是半圆上的圆周角，∴ ∠A＝90 °∴ ∠BCE＝∠A(2)圆心0在△ABC的内部作⊙O的直径CP,那么 OＡＢＥCP∠PCE= ∠PAC= 90 °∵∠BCE
= ∠PCE-∠PCB
= 90°-∠PCB. ∠BAC
= ∠PAC-∠PAB
= 90°-∠PAB.而∠PAB= ∠PCB∴∠BCE= ∠BAC(3)圆心0在△ABC的外部,作⊙O的直径CP,那么 OＡＢＥCP∠PCE= ∠PAC= 90 °∵∠BCE
= ∠PCE+∠PCB
= 90°+∠PCB. ∠BAC
= ∠PAC+∠PAB
= 90°+∠PAB.而∠PAB= ∠PCB∴∠BCE= ∠BAC综上所述，
猜想成立。几何语言: BA切⊙O于A
AC是圆O的弦2.弦切角定理弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。∠BAC= ∠ADCm已知AB是⊙O的切线,A为切点，由图填空： ∠1= ；∠2= ；∠3= ；∠4= 。30o70o65o40o例1.如图已知AB是⊙O的直径,AC是弦, 直线CE和⊙O切于点C,AD⊥CE,垂足为D. 求证:AC平分∠BAD.O
ABCDE12思路一:思路二: 连结OC,由切线性质,可得OC∥AD,于是有∠2=∠3,又由于∠1=∠3,可证得∠1=∠2O
ABCDE3121、如图：AB为⊙O的直径,直线 EF
切于⊙O于C,若∠BAC=56°，则
∠ECA =＿ 。2、如图，AB是⊙O 的直径，AC是弦，
直线CE和⊙O 切于点C，AD⊥CE，垂足
为D，若 ∠ACD = 400 ，则∠BAC= 。50o34o习题2.41.如图，经过圆上的点T的切线和弦AB的延长线相交于点C。
求证：∠ATC=∠TBC2.如图，⊙O和⊙O′都经过A,B两点，AC是⊙O′的切线，交⊙O于点C,AD是⊙O的切线，交⊙O′于点D,求证：AB2=BC·BDACTB课后作业：
课本P34，习题：T1,T2.当堂检测：
课本P34，习题：T1.
