4.1~4.2指数、指数函数同步练习
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、若实数a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．＝
2、已知y1＝x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为( )
3、（2022·丰台区模拟）已知函数f(x)＝2x，下列说法正确的是( )
A．f(mn)＝f(m)f(n) B．f(mn)＝f(m)＋f(n)
C．f(m＋n)＝f(m)＋f(n) D．f(m)f(n)＝f(m＋n)
4、(2022·淮北调研)已知x<0，y>0，化简得( )
A．－x2y B．x2y C．－3x2y D．3x2y
5、(2022·宿州模拟)函数f(x)＝的大致图象为 ( )
6、(2022·安徽阜阳联考)设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为( )
A．a
C．c7、若2 x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是( )
A． B．
C． D．[2，＋∞)
8、(2022·浙江五校联考)若对任意的t∈[－2，2]，不等式a·2t－2－t＋1≥0(a为常数)恒成立，则实数a的取值范围是( )
A． B．
C． D．[12，＋∞)
多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9、若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( )
A．a>1 B．0C．b>0 D．b<0
10、若函数f(x)＝2x－2－x，则下列说法不正确的是( )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)在R上是减函数
C．f(x)无极值 D．f(－1)＝
11、下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( )
A.y＝x2 B.y＝
C.y＝2x D.y＝3x－1
12、(2022·淄博模拟)已知2a＝3b＝6，则下列关系式正确的是( )
A．a＋b＝ab B．a＋b＞4
C．(a－1)2＋(b－1)2＜2 D．a2＋b2＞8
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13、(2022·重庆月考)计算：－×＋8×－＝________.
14、函数f(x)＝的单调递减区间为________．
15、(2021·沈阳期末)函数y＝－＋1在区间[－3，2]上的值域是________.
16、若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、化简下列各式：
(1)8－＋＋[(－2)6]；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).
18、已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
19、已知定义在R上的函数f(x)＝2x－．
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
20、对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；
(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；
21、已知f(x)＝x.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)证明：f(x)>0.
22、已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2).
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．4.1~4.2指数、指数函数同步练习（答案）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1、若实数a>0，则下列等式成立的是( D )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝
C．(－2)0＝－1 D．＝
2、已知y1＝x，y2＝3x，y3＝10－x，y4＝10x，则在同一平面直角坐标系内，它们的图象大致为( A )
3、（2022·丰台区模拟）已知函数f(x)＝2x，下列说法正确的是( D )
A．f(mn)＝f(m)f(n) B．f(mn)＝f(m)＋f(n)
C．f(m＋n)＝f(m)＋f(n) D．f(m)f(n)＝f(m＋n)
4、(2022·淮北调研)已知x<0，y>0，化简得( B )
A．－x2y B．x2y C．－3x2y D．3x2y
5、(2022·宿州模拟)函数f(x)＝的大致图象为 ( D )
6、(2022·安徽阜阳联考)设a＝0.60.4，b＝0.40.6，c＝0.40.4，则a，b，c的大小关系为( B )
A．aC．c7、若2 x2＋1≤x－2，则函数y＝2x的值域是( B )
A． B．
C． D．[2，＋∞)
8、(2022·浙江五校联考)若对任意的t∈[－2，2]，不等式a·2t－2－t＋1≥0(a为常数)恒成立，则实数a的取值范围是( D )
A． B．
C． D．[12，＋∞)
多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9、若函数y＝ax＋b－1(a>0，且a≠1)的图象经过第一、三、四象限，则下列选项中正确的有( AD )
A．a>1 B．0C．b>0 D．b<0
10、若函数f(x)＝2x－2－x，则下列说法不正确的是( ABD )
A．f(x)是偶函数 B．f(x)在R上是减函数
C．f(x)无极值 D．f(－1)＝
11、下列函数中，值域为(0，＋∞)的是( CD )
A.y＝x2 B.y＝
C.y＝2x D.y＝3x－1
12、(2022·淄博模拟)已知2a＝3b＝6，则下列关系式正确的是( ABD )
A．a＋b＝ab B．a＋b＞4
C．(a－1)2＋(b－1)2＜2 D．a2＋b2＞8
三、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上．
13、(2022·重庆月考)计算：－×＋8×－＝_____2___.
14、函数f(x)＝的单调递减区间为__(－∞，1]______．
15、(2021·沈阳期末)函数y＝－＋1在区间[－3，2]上的值域是________.
16、若关于x的方程|ax－1|＝2a(a＞0，且a≠1)有两个不等实根，则a的取值范围是________.
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17、化简下列各式：
(1)8－＋＋[(－2)6]；
(2)a·b－2·(－3a－b－1)÷(4a·b－3).
解 (1)原式＝(23)－1＋|3－π|＋(26)＝4－1＋π－3＋23＝π＋8.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)＝－a－b－3÷(ab－)＝－a－·b－＝－·＝－.
18、已知函数f(x)＝b·ax(其中a，b为常数，且a>0，a≠1)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)．
(1)求f(x)的表达式；
(2)若不等式x＋x－m≥0在x∈(－∞，1]上恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)因为f(x)的图象经过点A(1,6)，B(3,24)，所以
所以a2＝4，又a>0，所以a＝2，b＝3．所以f(x)＝3·2x．
(2)由(1)知a＝2，b＝3，则当x∈(－∞，1]时，x＋x－m≥0恒成立，即m≤x＋x在x∈(－∞，1]上恒成立．又因为y＝x与y＝x均为减函数，所以y＝x＋x也是减函数，所以当x＝1时，y＝x＋x有最小值．则m≤，故m的取值范围是．
19、已知定义在R上的函数f(x)＝2x－．
(1)若f(x)＝，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0对任意t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围．
解：(1)当x<0时，f(x)＝0，故f(x)＝无解；
当x≥0时，f(x)＝2x－，
由2x－＝，得2·22x－3·2x－2＝0，
将上式看成关于2x的一元二次方程，
解得2x＝2或2x＝－，
因为2x>0，所以2x＝2，所以x＝1．
(2)当t∈[1,2]时，2t＋m≥0，
即m(22t－1)≥－(24t－1)，因为22t－1>0，
所以m≥－(22t＋1)，
又y＝－22t－1，t∈[1,2]为减函数，
所以ymax＝－22－1＝－5，故m≥－5．
即m的取值范围是[－5，＋∞)．
20、对于定义域为[0,1]的函数f(x)，如果同时满足以下三个条件：①对任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，都有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)成立，则称函数f(x)为理想函数．
(1)若函数f(x)为理想函数，求f(0)的值；
(2)判断函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])是否为理想函数，并予以证明；
解：(1)若函数f(x)为理想函数，取x1＝x2＝0，由条件③可得f(0)≥f(0)＋f(0)，即f(0)≤0．
由条件①对任意的x∈[0,1]，总有f(0)≥0．
综上所述，f(0)＝0．
(2)函数g(x)＝2x－1(x∈[0,1])为理想函数，证明如下：
函数g(x)＝2x－1在[0,1]上满足g(x)≥0，即满足条件①．
∵g(1)＝21－1＝1，∴g(x)满足条件②．
若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则
g(x1＋x2)－[g(x1)＋g(x2)]
＝2－1－[(2－1)＋(2－1)]
＝2－2－2＋1
＝(2－1)(2－1)≥0，
即满足条件③．
综上所述，g(x)同时满足理想函数的三个条件，故g(x)为理想函数．
21、已知f(x)＝x.
(1)求f(x)的定义域；
(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由；
(3)证明：f(x)>0.
解：(1)由题意可得2x－1≠0，即x≠0，所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}．
(2)f(x)为偶函数．理由如下：
f(x)＝x＝·，f(－x)＝－·＝·＝f(x)，
所以f(x)为偶函数．
(3)证明：由(2)知，f(x)＝·，
当x>0时，2x－1>0，>0，2x＋1>0，则f(x)>0；
当x<0时，2x－1<0，<0，2x＋1>0，则f(x)>0.
综上，f(x)>0.
22、已知函数f(x)＝－＋4(－1≤x≤2).
(1)若λ＝，求函数f(x)的值域；
(2)若方程f(x)＝0有解，求实数λ的取值范围．
解：(1)f(x)＝－＋4
＝－2λ·＋4(－1≤x≤2).
设t＝，得g(t)＝t2－2λt＋4.
当λ＝时，g(t)＝t2－3t＋4＝＋.所以g(t)max＝g＝，
g(t)min＝g＝.
所以f(x)max＝，f(x)min＝，
故函数f(x)的值域为.
(2)方程f(x)＝0有解可转化为
λ＝2·2x＋·(－1≤x≤2).
设φ(x)＝2·2x＋，
当2x＝，即x＝－1时，φ(x)min＝2；
当2x＝4，即x＝2时，φ(x)max＝.
所以函数φ(x)的值域为.
故实数λ的取值范围是.