3.2.2 奇偶性 同步练习（含答案）

高中数学人教A版2019必修1
3.2.2函数的奇偶性
单选题
1.定义在R上的奇函数f（x）满足f（1+x）＝f（1﹣x），若当0≤x≤1时，f（x）＝x2﹣2x+9，则f（2023）＝（　　）
A．﹣6 B．6 C．﹣8 D．8
2．已知f（x），g（x）是定义在R上的函数，则“y＝f（x）+g（x）是R上的偶函数”是“f（x），g（x）都是R上的偶函数”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.已知f（x）是定义在R上的奇函数，且x≤0时，f（x）＝3x2﹣2x+m，则f（x）在[1，2]上的最大值为（　　）
A．1 B．8 C．﹣5 D．﹣16
4.已知f（x）是偶函数，g（x）是奇函数，定义域均为[﹣1，1]，二者在[0，1]上的图象如图所示，则关于x的不等式f（x）g（x）＜0的解集为（　　）
A． B．
C． D．
5.如果f(x)是定义在R 上的奇函数,那么下列函数中,一定为偶函数的是 （ ）
A. y=x +f(x) B.y=xf(x) C.y=x2 +f(x) D. y=x2f(x)
6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上单调递增,则（ ）
A.f(-1) C.f(3) 7.定义在[-2,2]上的偶函数f(x)在区间[0,2]上单调递减,若f(1-m)A. B. C. D.
8.设函数 则下列函数中为奇函数的是（ ）
A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x +1) +1
二、多选题
9.对于定义在R上的函数 f(x),下述结论正确的是
A.若f(x)是奇函数,则f(x-1)的图象关于点 A(1,0)对称
B.若f(x+1)=f(x-1),则f(x)的图象关于直线x=1对称
C.若函数f(x-1)的图象关于直线x =1 对称,则f(x)为偶函数
D.函数y=f(1 +x)与函数y=f(1-x)的图象关于直线x=1对称
10.定义一种运算:.设f(x)=(5+2x-x2) |x-1|,则下面结论中正确的有 ( )
A.函数f(x)的图象关于直线x=1对称
B.函数f(x)的图象与直线y=5有三个公共点
C.函数f(x)的单调递减区间是(-∞，-1]和[1,3]
D.函数f(x)的最小值是2
11.已知f(x)为偶函数,当恒成立，若对任意的x∈R,都有f(2ax)A. B.-1 C.1 D.
12.下列对函数的奇偶性判断正确的是( )
A.是偶函数
B.
C.是非奇非偶函数
D.是奇函数
三、填空题
13. 已知y=f(x)是偶函数,y=g(x)是奇函数,它们的定义域都是[-3,3],且它们在[0,3]上的图象如图所示 则不等式 的解集是 。
14.(1)若函数 f(x) = ax + bx + 3a +b 是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=___,b=____.
(2)若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数,则实数a= 。
(3)已知函数为奇函数，则a= 。
15. 设函数的最大值为 M,最小值为
m,则M+m= 。
16.设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数使
得对于任意,有x+∈D,且f(x+)≥f(x),则称f(x)为 M上的高调函数.
(1)若定义域是[-1，+∞)的函数f(x) =x2为[-1,+∞)上的m高调
函数,那么实数m的取值范围是 .
如果定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0 时,f(x) =lx-a2l-a2,且f(x)为R上的4高调函数,那么实数a的取值范围是 .
解答题
17.若函数f(x)为奇函数,当x≥0 时,f(x) =2x2 -4x.
(1)求函数f(x)的表达式,补全函数f(x)的图象,并求不等式xf(x) >0的解集;
(2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递减,求实数a的取值范围.
18.已知函数f（x）＝．
（1）若g（x）＝f（x）﹣2，判断g（x）的奇偶性并加以证明；
（2）当a＝时，先用定义法证明函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，再求函数f（x）在[1，+∞）上的最小值；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
19.已知定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x) 满足: ① x,y ∈(-∞,0)U(O,+∞),f(xy) =f(x) +f(y);②当x>1 时, f(x) >0,且f(2) =1.
(1)判断函数f(x)的奇偶性;
(2)判断函数f(x)在(0,+∞)上的单调性;
(3)求函数f(x)在区间[-4,0)∪(0,4]上的最大值;
(4)求不等式f(3x-2)+f(x) ≥4 的解集
20.函数是定义在（﹣3，3）上的奇函数，且．
（1）确定f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣3，3）上的单调性；
（3）解关于t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．
21.定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:
①对任意x,y∈(-1,1),都有f(x)+f(y)=f();②f(x)在( -1,1)上是减函数，
（1）求f（0）的值
(2)求证:f(x)为奇函数;
(3)解不等式f(2x-1)<1.
22.已知__,且函数g(x)=
①函数f(x) =x2+(2-a)x+4在定义域[b-1,b+1]上为偶函数;
②函数f(x) =ax+b(a>0)在[1,2]上的值域为[2,4].
在①,②两个条件中,选择一个条件,将上面的题目补充完整,先求出 a, b的值,并解答本题
(1)判断g(x)的奇偶性,并证明你的结论;
(2)设h(x)=-x-2c,对任意的x1∈R,总存在x ∈[-2,2],使得
g(x1)=h(x2)成立,求实数c的取值范围.
高中数学人教A版2019必修1
3.2.2函数的奇偶性答案
单选题1～5 CBCAB 6～8 DCB
多选题9 AC 10 ACD 11 BC 12 BD
填空题 13. {x|-214. (1) b=0 (2)a=4 (3)a=-1
15. 2 16.(1） (2) [-1,1]
四、解答题
17.【解答】解：
(1)当x<0时,-x>0,f(-x)=2x +4x.
由f(x)是奇函数,得f(x)=-f(-x)=-2x2-4x
所以
根据奇函数的图象关于原点对称这一性质即可补全函数f(x)的图象，如图所示
不等式xf(x)>0,当x>0时，f(x)>0,则x>2;
当x<0时,f(x)<0,则x<-2.
综上,不等式的解集为(-∞，-2)U(2,+ ∞ ).
(2)由图象可知，函数f(x)的单调递减区间是[-1，1]要使f(x)在[-1，a-2]上单调递减，
则解得118.【解答】解：（1）g（x）为奇函数．
证明：，
函数g（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，
g（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣（x+）＝﹣g（x），
所以g（x）是奇函数．
（2）当时，f（x）＝x++2，
x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，
所以，
所以函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以函数f（x）在[1，+∞）上的最小值为．
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，
则
所以问题转化为a大于函数φ（x）＝﹣（x2+2x）在[1，+∞）上的最大值，
又函数φ（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以φ（x）最大值为φ（1）＝﹣3，
所以实数a的取值范围是（﹣3，+∞）．
19.【解答】解：.(1)函数f(x)的定义域关于原点对称
令y=1,则f(x) =f(x) +f(1), ∴(1) =0.
令x=y=-1,则f(1)=f(-1)+f(-1),得f(-1)=0.
令y=-1,则f(-x) =f(x) +f(-1)=f(x),∴函数f(x)为偶函数.
(2)任取x∈(0,+∞),且x11.
当x>1 时f(x) >0,∴f() >0.
而f(x2) =f(x1·) =f(x1)+f() >f(x1),
∴函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.
(3)因为f(4)=f(2x2) =f(2) +f(2),且f(2) =1,∴f(4) =2.
又由(1)(2)知函数f(x)是偶函数且在(0,4]上单调递增，∴函数f(x)在区间[-4,0)U(0,4]上的最大值为f(4)= f(-4)=2.
(4)因为f(3x-2)+f(x) =f[x(3x-2)],4=2 +2 =f(4) + f(4)=f(16),∴原不等式等价于f[x(3x-2)]≥f(16),
又函数f(x)为偶函数,且函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，
∴原不等式又等价于
即x(3x-2)≥16或x(3x-2)≤-16,
解得x≤-2或x≥，∴不等式f(3x-2) +f(x) ≥4 的解集为|xlx≤-2或x≥}.
20.【解答】解:(1)因为函数是定义在(-3,3)上的奇函数所以f(0)=.解得b=0.
经检验，当b=0时，是(-3,3)上的奇函数，满足题意
又解得a=1.所以,x∈(-3,3).
(2)f(x)在(-3.3)上为增函数.证明如下:
在(-3.3)内任取x1,x2且x1则
因为x2-x1>0，9+x1x2>0，9-x12>0，9-x22>0，所以f(x2)-f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)。所以f(x)在(-3,3)上为增函数.
21.【解答】解:(1)令x=y=0,得2f(0)=f(0),所以f(0)=0.
(2)令y=-x，得f(x)+f(-x)=f(0)=0,又x∈(-1,1),所以f(x)为奇
函数.
(3)因为,(x)为奇函数,所以八,
所以不等式f(2x-1)<1等价于f(2x-1)<,
又f(x)在(-1,1)上是减函数，
所以2x-1>，即x>.
又函数f(x)的定义域为(-1,1),所以-1<2x-1<1,即022.【解答】解:选择①.
由f(x)=x2+(2-a)x+4在[b-1,b+1]上是偶函数，
得2-a=0，且(b-1)+(b+1)=0，所以a=2，b=0.
所以
选择②.
当a>0时，f(x)=ax+b在[1,2]上单调递增，则
所以,g(x)为奇函数.
证明如下:g(x)的定义域为R
因为g(-x)=，所以g(x)为奇函数
【小问2详解】
当x>0,，因为当具仅当,即x=1时等号成立,所以,
当x<0时，因为g(x)为奇函数，所以
当x=0时，g(0)=0,所以g(x)的值域为.
因为h(x)=-x-2c在[-2,2]上单调递减，所以函数h(x)的值域是[-2-2c,2-2c]
因为对任意的x1∈R，总存在x2∈[-2,2]，使得g(x1)=h(x2)成立，
所以, 所以
实数c的取值范围是