2.3 距离公式及其应用 同步练习（含解析）

距离公式及其应用
在中，点为内切圆上任一点，则点到顶点，，的距离的平方和的最小值为 ( )
A. B. C. D.
若动点，分别在直线：和：上，则的中点到坐标原点的距离的最小值为 ( )
A. B. C. D.
已知点，和直线：，若在坐标平面内存在一点，使，且点到直线的距离为，则点的坐标为( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
如图，直线，相交于点，点是平面内的任意一点，若，分别表示点到，的距离，则称为点的“距离坐标”下列说法正确的是 ( )
A. 距离坐标为的点有一个
B. 距离坐标为的点有两个
C. 距离坐标为的点有四个
D. 距离坐标为的点在一条直线上
已知直线：和：，若直线到直线的距离与到直线的距离之比为，则直线的方程为 ( )
A. B.
C. D.
已知直线过点，点，到的距离相等，则的方程可能是．( )
A. B.
C. D.
已知，为实数，代数式的最小值是 ．
已知三条直线，，，如果，那么两条平行直线与之间的距离是 ．
已知三条直线：，且与间的距离是
求的值；
能否找到一点，使同时满足下列三个条件：
点在第一象限；点到的距离是点到的距离的；点到的距离与点到的距离之比是 若能，求点的坐标；若不能，说明理由．
已知平行四边形，，，求：
点的坐标及点到直线的距离
平行四边形的面积．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点间距离公式应用，考查圆的方程应用，属中档题．
依题意，建立平面直角坐标系，求得内切圆方程，点到顶点，，的距离的平方和，根据求得答案．
【解答】
解：以为原点，以，为，轴建立平面直角坐标系，
则，，又得内切圆半径为，
内切圆方程，即，
设，点到顶点，，的距离的平方和为 ，
又，得，
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查动点轨迹的应用及点到直线的距离，考查数形结合的思想的应用，基本的运算能力，关键是的轨迹是平行、的直线．
【解答】
解：：和：是平行直线，
所以点在直线，之间且与两直线距离相等的直线上，
直线：和：
两平行直线与的距离为，又原点到直线的距离为，
的中点到原点的距离的最小值为．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查点到直线距离公式的应用，考查计算能力，属于中档题．
根据已知条件，先求出直线的垂直平分线，再结合点到直线的距离公式，即可求解．
【解答】
解：设点的坐标为，
点，，
线段的中点的坐标为，
而直线的斜率为，
线段的垂直平分线方程为，即，
点在直线上，
，
点到直线的距离为，
，即，
联立可得，或，
故点的坐标为或

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到直线的距离，难度较大．
根据距离坐标的定义，逐一判断即可．
【解答】
解：对于选项，距离坐标为的点既在上也在上，所以该点是，的交点，只有一个，故A正确；对于选项，距离坐标为的点在上，且与的距离为，易知满足的点有两个，故B正确；对于选项，距离坐标为的点与的距离为，与的距离为，距离为的直线有两条，距离为的直线有两条，四条直线共四个交点，故C正确；对于选项，距离坐标为的点在与所成锐角的角平分线上，也在与所成钝角的角平分线上，有两条直线满足，故D错误．故选ABC．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两平行线间的距离公式，难度一般．
根据距离公式，列出方程即可解出，从而得到直线方程．
【解答】
解：设直线的方程为，且，直线到直线的距离与到直线的距离分别为，，由题知，，，因为，所以，即，解得或，所以直线的方程为或故选BD．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，考查点到直线的距离公式的应用，分类讨论思想，属于中档题．
由题可知直线的斜率存在，所以设直线的方程为，然后利用点到直线的距离公式列方程，可求出直线的斜率，从而可得直线方程．
【解答】
解：当直线的斜率不存在时，显然不满足题意．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即．
由已知得，所以或，
所以直线的方程为： 或．
故选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两点间的距离公式，属中档题．
先由代数式的结构构造点，，，，结合图形分析可求得答案
【解答】
解：如图所示，由代数式的结构构造点，，，
则，
分别作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，
则，当且仅当，为与坐标轴的交点时等号成立，
所以最小值为
故答案为：．

8.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查平面中两条直线垂直的判定和两条平行线间的距离，属于中档题．
利用两条直线垂直求出，再利用平行线间距离求解即可．
【解答】
解：，
，
解得或．
当时，，，
与平行，
，此时，
两条平行直线与之间的距离是．
当时，，，
与平行，
，此时，即，
两条平行直线与之间的距离是．
故答案为或．

9.【答案】解：直线：，
：，且与的距离是，
，解得．
设点的坐标为，，，
若点满足条件，
则点在与、平行的直线：上，
，
解得或，
故有或．
若点满足条件，
由题意及点到直线的距离公式可得，
，
化简可得，
故有或．
即或舍去．
联立和，解得，应舍去．
联立和，解得
故点的坐标为，
故能找到一点同时满足这三个条件．
【解析】本题主要考查点到直线的距离公式，以及两条平行线间的距离，属于中档题．
把两直线的方程的一次项系数化为相同的，再利用条件以及两平行线间的距离公式求得的值．
设点的坐标为，，，由点到直线距离公式，依据条件建立方程组求得和的值，即可得到满足条件的点的坐标．从而得出结论．
10.【答案】解：设，
由平行四边形可得，
，
解方程组可得，即，
则的斜率为，
的方程为，
即，
故由点到直线的距离公式可得点到的距离；
可得，
平行四边形的面积．
【解析】本题考查直线方程、点到直线的距离，两点间距离是应用，属于中档题．
设，由平行四边形可得，由向量的相等得，得点的坐标，由点斜式得直线方程；由点到直线的距离公式可得点到的距离；
由两点间距离得，平行四边形的面积，即可求解．