小练1
姓名： 时间：30分钟
1、若椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实数根分别是，，则点到原点的距离为( ).
A.2 B. C. D.
答案：B
解析：由题意知，①,
②，由①② 解得，故 到 原点的距离为.
2、已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：由题意可知点，，，则直线AP的方程为.由为等腰三角形，，得，则点，代入直线AP的方程，整理得，则椭圆C的离心率.
3、（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于点A，B，则( )
A.椭圆C的离心率为
B.存在m，使为直角三角形
C.存在m，使的周长最大
D.当时，四边形FBEA的面积最大
答案：BD
解析：本题考查椭圆的几何性质以及直线与椭圆的位置关系.如图，对于A，由椭圆方程可得，，，则，椭圆C的离心率为，故A错误；对于B，当时，可以得出，当时，得，根据椭圆的对称性可知存在m，使为直角三角形，故B正确；对于C，由椭圆的定义得，的周长，，，当AB过点E时取等号，，即直线过椭圆的右焦点E时，的周长最大，此时直线AB的方程为，但是，故不存在m，使的周长最大，故C错误；对于D，为定值2，根据椭圆的对称性可知，当时，最大，则四边形FBEA面积最大，故D正确.故选BD.
4、椭圆的左、右顶点分别为为椭圆上任意一点，则直线和直线的斜率之积等于_________.
答案：
解析：椭圆的左、右顶点分别为，
由
故答案为：.
5、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴是短轴的3倍且经过点；
(2)过点，且与椭圆有相同焦点.
答案：(1)若椭圆焦点在x轴上，设所求椭圆的标准方程为
∵长轴是短轴的3倍
又∵椭圆经过点
，得到
，所以
若椭圆焦点在y轴上，设所求椭圆的标准方程为
∵长轴是短轴的3倍，
又∵椭圆经过点
，得到，
所以椭圆的标准方程为或.
(2）椭圆的焦点为
设该椭圆方程为，因此①
∵椭圆过，②
联立①②式，解得.因此该椭圆方程为.
小练2
姓名： 时间：30分钟
1、设是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（ ）
A.14 B.13 C.12 D.10
答案：A
解析：由椭圆的定义，知，，
所以的周长为，
所以当最小时，最大.
又当时，最小，此时，
所以的最大值为.
2、已知椭圆C的两个焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，且，那么椭圆C的短轴长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
答案：C
解析：设椭圆C的标准方程为.
依题意得，，，又，
，即，
因此椭圆的短轴长是，故选C.
3、（多选）11、已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（ ）
A.的周长为8 B.的最大面积为
C.存在点使得 D.的最大值为5
解析：对A，由椭圆，可得的周长为：，故A正确；
对B，当P为椭圆短轴顶点时，的面积最大，且最大面积为：，故B正确；
对C，当P为椭圆短轴顶点时，为最大，此时，即为锐角，所以不存在点P使得，故C错误；
对D，由椭圆，所以，又，所以，所以，故D错误.
故选：AB.
4、已知椭圆的左、右焦点分別为，，长轴长为4，点在椭圆内部，则椭圆C的离心率的取值范围是______________.
答案：
解析：由题意可知，，所以椭圆的标准方程为，因为点在椭圆内部，所以，可得，又，所以，所以，所以椭圆C的离心率的取值范围是.
5、求与椭圆有相同的焦距,且离心率为的椭圆的标准方程.
答案：椭圆的方程为，或.
解析：把方程写成，
则其焦距，，又，
，，故所求椭圆的方程为，或.
小练3
姓名： 时间：30分钟
1、已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，，为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，则面积的最大值为( ).
A.9 B.12 C.15 D.20
答案：B
解析：由题意可知，，即，因为，所以，即，.
当P为椭圆C的短轴的端点时，的面积取最大值，面积为
2、已知方程表示椭圆，则k的取值范围为( )
A.且 B.且
C. D.
答案：B
解析：依题意得故选B.
3、（多选）已知P是椭圆上一点，为其左右焦点，且的面积为3，则下列说法正确的是( )
A．P点纵坐标为3 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
答案：CD
解析：由已知，不妨设，则，故A错；
由，得P，，，
，
，
，
，故B错；
由椭圆定义，的周长为，故C正确；
设的内切圆半径为r，，.故D正确；故选CD.
4、椭圆的焦点为、，点在该椭圆上，若，则的大小为______．
答案：
解析：过点 作 轴垂线交于 ，
设 ，则 ，
则 ，
即 ，
解得 : ，
由佘弦定理可知 :,
5、已知是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且求面积.
答案：.
解析：由题得，
解得
，
解得，
.
小练4
姓名： 时间：30分钟
1、已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A. 或 B. C. D. 或
答案：D
解析：方程表示焦点在x轴上的椭圆,则∴或.
2、已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且是直角三角形，则的面积为( )
A. B. C.或8 D.或8
答案：B
解析：由题意得，，
，
设椭圆的上顶点为B，由得，
，
因此或.
当时，，
，
，同理，当时，.
3、（多选）以下说法正确的是（ ）
A.椭圆的长轴长为4，短轴长为
B.离心率为的椭圆较离心率为的椭圆来得扁
C.椭圆的焦点在轴上且焦距为2
D.椭圆的离心率为
答案：ABD
解析：对于A：椭圆中，，
故长轴长为4，短轴长为，故A正确；
对于B：因为椭圆的离心率越大，该椭圆越扁，
所以离心率为的椭圆较离心率为的椭圆来得扁，故B正确；
对于C：椭圆的焦点在轴上，故C错误；
对于D：椭圆中，，
故离心率为；
4、若椭圆的离心率是，则_____________.
答案：或6
解析：①当椭圆的焦点在x轴上时，则有，，由题意得，解得.
②当椭圆的焦点在y轴上时，则有，，
由题意得，解得.
综上，或.
5、求适合下列条件的标准方程：
（1）焦点在x轴上，与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，离心率的双曲线标准方程
答案：（1）设所求椭圆方程为，
由题意可得离心率为，
且，
解得,
即有椭圆的标准方程为；
（2）设双曲线的方程为，
由题意可得，即，，可得，
则双曲线的标准方程为小练 1
姓名： 时间：30分钟
x2 y2
1、若椭圆 2 2 1(a b 0)
1
的离心率 e ，右焦点为 F (c,0)，方程 ax2 2bx c 0
a b 2
的两个实数根分别是 x1， x2，则点 P(x1, x2 )到原点的距离为( ).
2 7 7A.2 B. C. D.
2 4
2 F F C : x
2 y2
、已知 1， 2是椭圆 2 2 1(a b 0)的左、右焦点，A是 C的左顶点，点 P在过a b
A 3且斜率为 的直线上，△PF1F2为等腰三角形， F1F2P 120 ，则 C的离心率为( )6
A. 2 B. 1 C. 1 D. 1
3 2 3 4
3 C : x
2 y2
、（多选）已知椭圆 1的左、右焦点分别为 F，E，直线 x m( 1 m 1)与椭圆
4 3
相交于点 A，B，则( )
A. 3椭圆 C的离心率为
2
B.存在 m，使△FAB为直角三角形
C.存在 m，使△FAB的周长最大
D.当m 0时，四边形 FBEA的面积最大
2 2
4 x y、椭圆 1的左、右顶点分别为 A、B、P为椭圆上任意一点，则直线 PA和直线 PB
16 9
的斜率之积等于_________.
5、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴是短轴的 3倍且经过点 A(3, 0)；
2 2
(2)过点 ( 3 y x， 5)，且与椭圆 1有相同焦点.
25 9
小练 2
姓名： 时间：30分钟
x2 y21、设 F1,F2 是椭圆 1的左，右焦点，过 F1的直线 l 交椭圆于 A，B两点，则16 4
AF2 BF2 的最大值为（ ）
A.14 B.13 C.12 D.10
2、已知椭圆C的两个焦点分别为 F1( 3,0)，F2 (3,0)，点P为椭圆C上一点，且 PF1 PF2 10，
那么椭圆 C的短轴长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
2 2
3、（多选）11、已知椭圆C : x y 1的左、右两个焦点分别为 F1，F2，P 为椭圆9 8
上一动点，M 1,1 ，则下列结论正确的有（ ）
A.△PF1F2的周长为 8 B.△PF1F2的最大面积为 2 2
C. 存在点 P 使得 PF1 PF 0 D. PM PF1 的最大值为 52
x2 y24、已知椭圆C : 2 2 1(a b 0)的左、右焦点分別为 F1，F2 ，长轴长为 4，点 P( 2,1)a b
在椭圆内部，则椭圆 C的离心率的取值范围是______________.
答案： 0,
2
2
5、求与椭圆 4x2 9y2 36有相同的焦距, 5且离心率为 的椭圆的标准方程.
5
小练 3
姓名： 时间：30分钟
1 4、已知椭圆 C的短轴长为 6，离心率为 ， F1 ， F2 为椭圆 C的左、右焦点，P为椭圆 C5
上的动点，则△PF1F2面积的最大值为( ).
A.9 B.12 C.15 D.20
x2 22 y、已知方程 1表示椭圆，则 k的取值范围为( )
3 k 2 k
A. k 1 1 3且 k B. 3 k 2且 k
2 2
C. k 2 D. k 3
2 2
3、（多选）已知 P是椭圆 E : x y 1上一点，F1,F2 为其左右焦点，且 F1PF2 的面积为8 4 3，
则下列说法正确的是( )
A．P π点纵坐标为 3 B． F1PF2 2
C． F1PF2 的周长为 4( 2 1) D． F 31PF2 的内切圆半径为 ( 2 1)2
2 2
4、椭圆 x y 1的焦点为 F1、F2，点 P 在该椭圆上，若 PF9 2 1
4，则 F1PF2的大
小为______．
2 2
5、已知 F1,F
x y
2 是椭圆 1的两个焦点,A为椭圆上一点,且 AF1F2 45 求VAFF9 7 1 2 面积.
小练 4
姓名： 时间：30分钟
1 x
2 y2
、已知方程 1表示焦点在 x轴上的椭圆,则 m的取值范围是( )
m2 2 m
A. m 2或m 1 B. m 2 C. 1 m 2 D. m 2 或
2 m 1
2 F x
2 y2
、已知 1， F2 是椭圆 1的两个焦点，P为椭圆上一点，且△F1PF2是直角三角形，10 8
则△F1PF2的面积为( )
A.16 5 B. 8 5 C.16 5 或 8 D. 8 5 或 8
5 5 5 5
3、（多选）以下说法正确的是（ ）
2 2
A.椭圆 x y 1的长轴长为 4，短轴长为
4 3 2 3
B.离心率为 2 的椭圆较离心率为 1 的椭圆来得扁
3 2
2 2
C.椭圆 x y 1的焦点在 x 轴上且焦距为 2
3 4
2 2
D.椭圆 x y 的离心率为 1 1
4 3 2
4 W : x
2 y2
、若椭圆 1 6的离心率是 ，则m _____________.
2 m 3
5、求适合下列条件的标准方程：
x2 y2
（1）焦点在 x 轴上，与椭圆 1具有相同的离心率且过点 (2, 3)的椭圆的标准
4 3
方程；
4
（2）焦点在 y 轴上，焦距是 16，离心率 e 的双曲线标准方程
3小练1
姓名： 时间：30分钟
1、若椭圆的离心率，右焦点为，方程的两个实数根分别是，，则点到原点的距离为( ).
A.2 B. C. D.
2、已知，是椭圆的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
3、（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为F，E，直线与椭圆相交于点A，B，则( )
A.椭圆C的离心率为
B.存在m，使为直角三角形
C.存在m，使的周长最大
D.当时，四边形FBEA的面积最大
4、椭圆的左、右顶点分别为为椭圆上任意一点，则直线和直线的斜率之积等于_________.
5、求满足下列各条件的椭圆的标准方程.
(1)长轴是短轴的3倍且经过点；
(2)过点，且与椭圆有相同焦点.
小练2
姓名： 时间：30分钟
1、设是椭圆的左，右焦点，过的直线交椭圆于两点，则的最大值为（ ）
A.14 B.13 C.12 D.10
2、已知椭圆C的两个焦点分别为，，点P为椭圆C上一点，且，那么椭圆C的短轴长是( )
A.6 B.7 C.8 D.9
3、（多选）11、已知椭圆的左、右两个焦点分别为，，为椭圆上一动点，，则下列结论正确的有（ ）
A.的周长为8 B.的最大面积为
C.存在点使得 D.的最大值为5
4、已知椭圆的左、右焦点分別为，，长轴长为4，点在椭圆内部，则椭圆C的离心率的取值范围是______________.
答案：
5、求与椭圆有相同的焦距,且离心率为的椭圆的标准方程.
小练3
姓名： 时间：30分钟
1、已知椭圆C的短轴长为6，离心率为，，为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上的动点，则面积的最大值为( ).
A.9 B.12 C.15 D.20
2、已知方程表示椭圆，则k的取值范围为( )
A.且 B.且
C. D.
3、（多选）已知P是椭圆上一点，为其左右焦点，且的面积为3，则下列说法正确的是( )
A．P点纵坐标为3 B．
C．的周长为 D．的内切圆半径为
4、椭圆的焦点为、，点在该椭圆上，若，则的大小为______．
5、已知是椭圆的两个焦点,A为椭圆上一点,且求面积.
小练4
姓名： 时间：30分钟
1、已知方程表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围是( )
A. 或 B. C. D. 或
2、已知，是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且是直角三角形，则的面积为( )
A. B. C.或8 D.或8
3、（多选）以下说法正确的是（ ）
A.椭圆的长轴长为4，短轴长为
B.离心率为的椭圆较离心率为的椭圆来得扁
C.椭圆的焦点在轴上且焦距为2
D.椭圆的离心率为
4、若椭圆的离心率是，则_____________.
5、求适合下列条件的标准方程：
（1）焦点在x轴上，与椭圆具有相同的离心率且过点的椭圆的标准方程；
（2）焦点在y轴上，焦距是16，离心率的双曲线标准方程
