高中数学必修第一册人教A版（2019）3.1《函数的概念及其表示---函数的概念》名师课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
初中函数定义？
一般的，如果在一个变化过程中有两个变量与，并且对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，那么我们称y是的函数.其中是自变量， 是因变量.
复习引入
复习引入
在初中我们已经接触过函数的概念，知道函数是刻画变量之间对应关系的数学模型和工具.例如，正方形的周长与边长的对应关系是，而且对于每一个确定的都有唯一的与之对应，所以是的函数，这个函数与正比例函数相同吗？又如，你能用已有的函数知识判断与是否相同吗？要解决这些问题，就需要进一步学习函数概念.
人教A版同步教材名师课件
函数的概念及其表示
---函数的概念
学习目标
学 习 目 标 核心素养
结合实例理解函数、函数相等的概念 数学抽象
会求函数的定义域，值域，并会用区间表示 逻辑推理
理解区间的概念及表示 直观想象
课程目标
1.理解函数的定义、函数的定义域、值域及对应法则.
2.掌握判定函数和函数相等的方法.
3.学会求函数的定义域与函数值.
数学学科素养
1.数学抽象：通过教材中四个实例总结函数定义；
2.逻辑推理：相等函数的判断；
3.数学运算：求函数定义域和求函数值；
4.数据分析：运用分离常数法和换元法求值域；
5.数学建模：通过从实际问题中抽象概括出函数概念的活动，培养学生从“特殊到一般”的分析问题的能力，提高学生的抽象概括能力.
学习目标
探究新知
问题1: 某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后保持匀速运行半小时，这段时间内，列车行进的路程S（单位：km）与运行时间t（单位：h）的关系可以表示为.
这里，t和S是两个变量，而且对于t的每一个确定的值，S都有唯一确定的值与之对应，所以S是t的函数.
根据问题1的条件，我们不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，其原因是没有关注到t的变化范围.
列车行进的路程S与运行时间t的对应关系是.①
其中，t的变化范围是数集，S的变化范围是数集.对于数集中的任一时刻t，按照对应关系①，在数集中都有唯一确定的路程S和它对应.
探究新知
问题2：某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资（单位：元）是他工作天数的函数吗？
显然，工资是一周工作天数的函数，其对应关系是
. ②
其中，的变化范围是数集， 的变化范围是数集.对于数集中的任一个工作天数，按照对应关系②，在数集中都有唯一确定的工资与它对应.
探究新知
问题3:下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻h的空气质量指数（AQI）的值？你认为这里的是的函数吗？
从图中的曲线可知，的变化范围是数集，AQI的值都在数集中，对于数集中的任一时刻，按照图中曲线所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的AQI的值与之对应.因此，这里的是的函数.
探究新知
问题4:国际上常用恩格尔系数）反映一个地区人民生活质量的高低，恩格尔系数越低，生活质量越高.下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况，从中可以看出，该省城镇居民的生活质量越来越高.
的取值范围是数集
；根据恩格尔系数的定义可知，的取值范围是数集，对于数集中的任意一个年份，根据上表所给定的对应关系，在数集中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应.所以，是的函数.
恩格尔系数是年份的函数吗？如果是，用怎样的语言来刻画这个函数？
问题1：两个数集
四个问题的共同点1:
探究新知
两个数集
问题2：两个数集
问题3：两个数集
问题4：两个数集
，
四个问题的共同点2:
探究新知
确定的对应关系
问题1对应关系:
问题2对应关系:
问题3对应关系:
图中曲线
问题4对应关系:
图中表格
问题1：在数集中都有唯一确定的路程S和它对应.
四个问题的共同点3:
探究新知
对于集合A中的任意一个数在集合B中都有唯一确定的数和它对应
问题2：在数集中都有唯一确定的工资与它对应.
问题3：在数集中都有唯一确定的AQI的值与之对应
问题4：在数集中都有唯一确定的恩格尔系数与之对应
探究新知
上述问题的共同特征有：
（1）都包含两个非空数集，用来表示；
（2）都有一个对应关系；
（3）尽管对应关系的表示方法不同，但它们都有如下特性：对于数集中的任意一个数，按照对应关系，在数集中都有唯一确定的数和它对应.
事实上，除解析式、图象、表格外，还有其他表示对应关系的方法，为了表示方便，我们引进符号统一表示对应关系.
探究新知
一般地，设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数（function），
记作.
其中， 叫做自变量， 的取值范围A叫做函数的定义域（domain）；与的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（range）.
函 数
探究新知
我们所熟悉的一次函数的定义域是，值域也是.对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
二次函数的定义域是，值域是.当时，；当时，. 把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数.
典例讲解
例1.下列对应为集合到集合的函数的是
（1）；
（2）；
（3）；
（4）.
（3）集合A中的负整数没有平方根，在集合B中没有对应的元素，故不是集合A到集合B的函数；
解析
（1）A中的元素0在B中没有对应元素，故不是集合A到集合B的函数；
（2）对于集合A中的任意一个整数，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的整数与其对应，故是集合A到集合B的函数；
（4）对于集合A中任意一个实数2，按照对应关系在集合B中都有唯一一个确定的数0和它对应，故是集合A到集合B的函数.
（2） 、（4）
方法归纳
（1）首先观察两个实数集是否非空；
（2）其次验证对应关系下，集合中的任意性，集合中的唯一性，即不能没有数对应数，也不能有多于一个的数对应.
判断所给对应是否为函数的方法
变式训练
1.下列集合A，B及其对应法则，不能构成函数的是 （ ）
A.
B.
C.
D.
B
典例讲解
例2.下列图形中不是函数图象的是 （ ）
解析
A中至少存在一处如，一个横坐标对应两个纵坐标，这相当于集合中至少有一个元素在集合中对应的元素不唯一，故A不是函数图象，其余B、C、D均符合函数定义.
A
方法归纳
根据图形判断对应是否为函数的方法步骤
（1）任取一条垂直于轴的直线；
（2）在定义域内平行移动直线；
（3）若与图形有且只有一个交点，则是函数；若在定义域内没有交点或有两个或两个以上的交点，则不是函数.
变式训练
2.下列四个图象中，是函数图象的是（ ）
A.(1) B.(1) (3)(4) C.(1) (2) (3) D.(3)(4)
根据函数的定义，对于的任意一个值，都有唯一一个确定的值与之对应，体现在函数图象上的特征是图象与平行于轴的直线最多只能有一个交点，从而对照图象可知只有（2）不符合此条件，故选B.
分析
B
典例讲解
例3.函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它所反映的两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如，正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.
试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.
把看成二次函数，那么它的定义域是，值域是.对应关系把中的任意一个数，对应到B中唯一确定的数.
如果对的取值范围作出限制，例如,那么可以构建如下情境： 长方形的周长为20，设一边长为，面积为，那么.
其中， 的取值范围是, ，y的取值范围是，对应关系把每一个长方形的边长，对应到唯一确定的面积.
解析
变式训练
本题答案不唯一.
直角三角形的面积为5，设一条直角边长为，另一条直角边长为，那么.其中，的取值范围是，的取值范围是.对应关系把每一个直角三角形的一条直角边长，对应到唯一确定的另一条直角边长.
3.试构建一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式)来描述.
分析
当堂练习
2.已知集合使中元素和中元素一一对应，对应关系为则的值为 （ ）
A.5 B.4 C.3 D.2
1.对于函数以下说法正确的有( )
①是的函数；②对于不同的值， 值也不同；③函数是一种对应，是多对一或一对一，不是一对多.
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③
由函数的定义知， 是的函数，故①正确；对于不同的值， 值可以不同，例如，当时，均是1，故②错误；由函数的定义知，函数是一种对应，是多对一或一对一，不是一对多，故③正确.所以对于函数，说法正确的有①③.
解析：
B
根据对应关系为，由题意可得所以.
解析：
C
归纳小结
函数的概念 设是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数
函数的记法
定义域 叫做自变量， 的取值范围A叫做函数的定义域
值域 函数值的集合叫做函数的值域
作 业
课本P63练习：1、4