高中数学必修第一册人教A版（2019）3.1.1《函数的概念》教学设计（表格式）

《函数的概念》教学设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
新课引入 回顾初中学习的函数概念，分析教材第60页问题1，思考：有人说“根据对应关系，这趟列车加速到350 km/h后，运行1h就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗？ 师：提出问题： （1）初中学过的函数概念是什么？ （2）学过哪几类函数？ （3）思考：“根据对应关系，这趟列车加速到350 km/h后，运行1h就前进了350 km.”你认为这个说法正确吗？ 生：思考，回忆初中学习的函数概念及类型，回答教师的问题. 师生：不能判断列车以350 km/h运行半小时后的情况，因为没有关注到的变化范围. 通过回顾初中学习的函数概念，结合问题1的思考题，引起学生的学习兴趣，同时给学生一种潜意识：函数问题首先要考虑自变量的取值范围（即定义域），为下面进一步认识函数的概念做铺垫.
合作探究 教材第60页问题1 某“复兴号”高速列车加速到350km/h后保持匀速运行半小时.这段时间内，列车行进的路程（单位：km）与运行时间（单位：h）的关系可以表示为什么？ 教材第61页问题2 某电气维修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元，而且每周付一次工资，那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资？一个工人的工资（单位：元）是他工作天数的函数吗？ 教材第61～62页问题3和问题4. 师：问题1中和的变化范围是什么？你能用集合表示出来吗？ 生：的变化范围是数集 ，的变化范围是数集. 师：与之间满足什么关系？ 生：. 师：你能用集合与对应的语言来表示问题1中与的对应关系吗？ 生：思考、尝试回答. 师生：列车行进的路程与运行时间的对应关系是：①. 其中，的变化范围是数集，的变化范围是数集.对于数集中的任意时刻，按照对应关系①，在数集中都有唯一确定的路程和它对应. 师：分析问题2，引导学生用集合和对应的语言来描述和之间的依赖关系. 生：工资与一周工作天数的对应关系是：.② 其中，的变化范围是数集 ，的变化范围是数集.对于数集中的任一个工作天数，按照对应关系②，在数集中都有唯一确定的工资和它对应. 师：问题1和问题2中的函数有什么异同点？ 生：相同的对应关系，但两个变量的范围不一样. 师：你认为它们是同一个函数吗？为什么？ 生：不是，因为相应的变量的范围不一样. 师：布置任务：仿照问题1、2，描述问题3、4中两变量间的关系. 生：学生探讨交流，教师巡查、指导. 师：提出问题：通过对4个问题的分析，你能说出它们有什么不同点与共同点吗？ 师生：学生认真思考并口答教师提出的问题，在教师的启发、点拨下，学生一般能归纳出以下一些特点： 不同点：问题1.2是用解析式刻画两变量之间的对应关系，问题3是用图象刻画变量之间的对应关系，问题4是用表格刻画变量之间的对应关系. 共同点：①都有两个非空的实数集：②两个实数集之间都有一种确定的对应关系. 教师板书学生提出的这两条共同点，指出解析式、图象、表格都是一种对应关系. 通过具体数学实例，提高学生的参与程度，着重向学生渗透集合与对应的观点，启发学生用集合和对应的语言描述两个变量之间的依赖关系，突破难点，提升学生数学抽象素养.
概念形成 函数的概念： 设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数，按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从集合到集合的一个函数，记作 ，. 其中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域.显然值域是集合的子集. 师：通过对前面4个问题的分析，鼓励学生自己概括出函数的定义. 生：认真体会4个问题的共同点，然后归纳概括出函数的定义并在全班进行交流. 师：（1）板书函数的定义； （2）强调：①对的理解：作为一个整体，它是一种符号，它可以是解析式（如问题1、2），也可以是图象（如问题3），也可以是表格（如问题4）.②定义中，是非空的实数集.③对于的每一个值，按照某种确定的对应关系，都有唯一的值和它对应. 利用前面的分析，进行必要的抽象概括，得到函数的定义，培养学生的归纳、概括能力，提升数学抽象素养.同时剖析概念，使学生抓住概念本质，便于理解记忆.
应用举例 1.一次函数的定义域为，值域也为，对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数. 2.二次函数的定义域为，值域是.当时，；当时， .对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数. 3.反比例函数的定义域为，值域为，对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数. 4.例 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的，它反映了两个量之间的对应关系，可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律. 试构造一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述. 解：把看成二次函数，那么它的定义域是，值域是.对应关系把中的任意一个数，对应到中唯一确定的数. 师：想一想，初中我们学过了哪些函数？ 生：一次函数、二次函数和反比例函数. 师：你能说一说，这三个函数的定义域、值域和对应关系分别是什么吗？ 生：思考，回答，其他同学补充. 师：试构造一个问题情境，使其中的变量关系可以用解析式来描述.如果再对的取值范围作出限制，比如呢？ 生：尝试构建一些问题情境，然后相互交流、讨论. 师：针对学生的回答进行点评. 引导学生用函数的定义去理解学过的一次函数、二次函数和反比例函数，比较描述性定义与对应语言刻画的定义，加深对函数概念的理解. 引导学生探讨从具体问题情境中抽象出数学模型，以及通过函数解析式去构建问题情境，加深对函数概念的理解.提升学生数学抽象及数学建模素养.
归纳小结 1.函数的概念. 2.三要素. 学生思考、回答，其他同学补充，教师记录、点评.
布置作业 1.教材第63页练习：第1题. 2.教材第64页练习：第4题.
板书设计
第1课时 函数的概念 1.函数的概念 2.函数三要素 定义域 对应关系 值域 问题1 问题2 问题3 问题4 例 小结 1.函数的概念 2.三要素 作业
教学研讨
教材通过集合语言和对应关系刻画函数概念，并建立完整的函数概念，为什么要强调函数是非零实数集合之间的对应关系呢？这个问题有没有必要跟学生解释清楚呢？如果有必要，那什么时候解析比较恰当呢？这些都是值得课后继续探讨的问题.