高中数学必修第一册人教A版（2019）3.1《函数的概念及其表示》课时1 教学设计

《函数的概念及其表示》教学设计
课时1函数的概念
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.函数的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 数学建模 【考查内容】 高考对本节的考查不会有大的变化,仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主,综合考查不等式与函数的性质 【考查题型】 选择题、填空题
2.区间的概念与应用 数学运算 数学建模
3.函数的表示法 数学建模 直观想象
4.分段函数 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节的主要内容是函数及分段函数的概念,表示方法及应用.通过本节的学习,学生能够运用集合思想与对应的语言刻画函数的概念.
函数内容是高中数学学习的一条主线,属于考查的热点.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.函数的概念 2.区间的概念与应用 3.函数的表示法 4.分段函数 数学抽象 数学运算 数学建模 逻辑推理 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
学生在初中阶段已经具备了一定的知识和一定的分析能力、逻辑推理核心素养,但用两个集合间的对应关系来描述函数的概念是一个抽象的过程,要求学生的抽象、分析、概括的能力比较高,学生学起来有一定难度.
学情补充:____________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.函数的概念
2.区间的概念与应用
3.函数的表示法
4.分段函数
【教学目标设计】
1.通过具体实例,运用集合思想与对应的语言刻画函数的概念.
2.能够指出现实情境问题中函数的定义域和值域.
3.给出一个函数解析式,能够举出它所对应的问题情境.
4.能够熟练求简单函数的定义域和值域,掌握判断同一函数的标准.
5.了解函数的三种表示法的各自优点,了解简单的分段函数,掌握用三种不同表示法表示函数的方法.
6.能够根据简单的实际情境列出函数表达式并画出对应图象.
【教学策略设计】
由于学生可能不容易认识到函数概念的整体性,教学时,应多列举一些对应关系相同但定义域不同的函数,或定义域、值域相同但对应关系不同的函数,让学生在比较判断中体会,提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、核心素养.
【教学方法建议】
探究教学法,启发教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念,在此过程中培养数学抽象素养.
难点:
1.从不同的问题情境中提炼出函数要素,并由此抽象出函数的概念.
2.理解函数的对应关系f.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在初中我们接触过函数知识,在上新课之前,请同学们回忆一下:初中学过的函数概念是什么 学过哪几类函数
【学生回忆初中学习的函数和类型,回答问题】
师:这节我们将进一步学习函数的概念及其表示.
【设计意图】
通过回顾初中接触到的函数知识,提出疑问,激发学生兴趣,引出课题.
教学精讲
探究1 函数的概念
师:请同学们阅读下题.
【情景设置】
探究等量关系
某“复兴号”高速列车加速到后保持匀速运行半小时.这段时间内,列车行进的路程(单位:)与运行时间(单位:h)有什么关系
【设情境,巧激趣】
学生阅读教材,独立学习,通过教师提问、引导,探究情境中的等量关系,为学习函数概念作铺垫,增强学生的学习兴趣.
师:有人说“根据对应关系,这趟列车加速到后,运行就前进了.”你认为这个说法正确吗
生:不正确,因为不能判断列车以运行半小时后的情况,因为没有关注到的变化范围.
师:你知道问题中和的变化范围吗 怎样用集合表示
生:的变化范围是的变化范围是.
师:你能用集合与对应的语言来表示上述问题中与的对应关系吗
【学生独立思考,教师组织学生分小组讨论,讨论后每个小组选出一位同学代表本组宣布讨论结果:】
生:其中,的变化范围是数集的变化范围是数集.对于数集中的任意时刻,按照,在数集中都有唯一确定的路程和它对应.
【情景设置】
探究等量关系
某电气维修公司要求工人每周工作至少1天,至多不超过6天.如果公司确定的工资标准是每人每天350元.而且每周付一次工资,那么你认为该怎样确定一个工人每周的工资 一个工人的工资(单位:元)是他工作天数的函数吗
【情境学习】
教师引导学生用集合的语言描述问题情境中的等量关系,在情境中,为函数的概念引入作铺垫.
【教师分析,引导学生用集合和对应的语言来描述和之间的关系,教师给予肯定或补充】
生:工资与一周工作天数的对应关系是.
生:的变化范围是数集的变化范围是数集,.
师:数集中的任一个工作天数,按照对应关系,在数集中都有唯一确定的工资和它对应.
师:上述两个问题中的函数有什么异同点
生:对应关系相同,但两个变量的范围不一样.
师:你认为它们是同一函数吗 为什么
生:不是,因为相应的变量的范围不一样.
【概括理解能力】
在问题情境中,教师引导学生发现变量的不同导致两个函数的不相同,并由此描述其他问题情境中的两个函数的关系,提升学生的概括理解能力.
师:仿照这两个问题描述下面两个问题中两变量间的关系.
【情景设置】
探究等量关系
1.下图是北京市2016年11月23日的空气质量指数(Air Quality Index.简称变化图.如何根据该图确定这一天内任一时刻的空气质量(AQI)的值 你认为这里的是的函数吗
2.国际上常用恩格尔系数反映一个地区人民生活质量的高低.恩格尔系数越低,生活质量越高,下表是我国某省城镇居民恩格尔系数变化情况,从中可以看出该省城镇居民的生活质量越来越高.
你认为按上面给出的对应关系,恩格尔系数是年份的函数吗 如果是,你会用怎样的语言来刻画这个函数
【观察记忆能力】
观察统计图、统计表的数据,得出等量关系,培养学生的观察记忆能力.
【学生独立思考,小组合作,教师提示,讨论后每个小组选出一位同学代表本组回答问题】
师:通过对上述4个问题的分析,你能说出它们有哪些共同特征吗
生:(1)都有两个非空数集,用来表示;(2)两个实数集之间都有一个对应关系.(3)对于数集中的任意一个数,按照对应关系,在数集中都有唯一确定的数和它对应.
师:你能概括出函数的概念吗
【学生认真体会这3个共同特征,然后归纳概括函数的定义】
【概括理解能力】
根据前面的分析,进行必要的抽象概括,得到函数的概念,培养学生的归纳、概括理解能力.
【要点知识】
函数的概念
一般地,设是非空的实数集.如果对于集合中的任意一个数,按照某种确定的对应关系,在集合中都有唯一确定的数和它对应.那么就称为从集合到集合的一个函数(function),记作.
其中,叫做自变量,的取值范围叫做函数的定义域(domain);与的值相对应的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域(range)为函数的三要素.
师:通常一个函数的定义域和对应关系确定后,值域也就确定了,所以有时也称定义域和对应关系为函数的二要素.这里,我们要注意值域,即函数定义中集合中的数可能不属于值域,也就是说,值域是集合的子集.
师:作为一个整体,它是一种符号,它可以是解析式.也可以是图象,还可以是表格,如何理解对应关系呢
师:想一想,初中我们学过了哪些函数
生:一次函数、二次函数和反比例函数.
师:对应关系是函数的本质特征,就像计算机中的某个“程序”,当在“”的括号内输入一个值时,在此“程序”作用下便可输出某个数据,即函数值.在中,是自变量,代表对应关系,自变量并不一定要用表示,只是一个较为常用的符号,也可以用、等表示自变量.
【意义学习】
引导学生用函数的定义去理解学过的一次函数、二次函数和反比例函数,加深对函数概念的理解.
【要点知识】
函数的特性
(1)非空性.(2)任意性.(3)唯一性.(4)方向性.
师:你能说一说一次函数、二次函数和反比例函数这三个函数的定义域、对应关系和值域分别是什么吗
【学生思考、回答,其他同学补充,教师给予肯定或补充】
生:一次函数的定义域是,值域也是,对应关系把中的任意一个数,对应到中唯一确定的数.
生:二次函数定义域是,值域是.当时,,当时,.对应关系把中的任意一个数,对应到中唯一确定的数.
师:其中,时,是函数的最小值,时,是函数的最大值.
生:反比例函数的定义域为,值域为,对应关系把中的任意一个数,对应到中唯一确定的一个数.
师:请看下面的例题.
【典型例题】
函数的应用
例1 函数的解析式是舍弃问题的实际背景而抽象出来的,它所反映的两个量之间的对应关系,可以广泛地用于刻画一类事物中的变量关系和规律.例如,正比例函数可以用来刻画匀速运动中路程与时间的关系、一定密度的物体的质量与体积的关系、圆的周长与半径的关系等.试构建一个问题情境,使其中的变量关系可以用解析式来描述.
【情境学习】
设置教学活动,引导学生探讨从具体问题情境中抽象出数学模型,提高学生学习兴趣,培养学生的数学建模核心素养.
【学生尝试构建一些问题情境,然后相互交流、讨论,教师针对学生的回答进行点评】
师:下面我们进行巩固练习.
【多媒体展示】
构建函数关系并求定义域
一枚炮弹发射后,经过落到地面击中目标.炮弹的射高为,且炮弹距地面的高度(单位:)与时间(单位:)的关系为,求①表示的函数的定义域与值域,并用函数的定义描述这个函数.
【学生思考、独立完成此题,教师巡视、指导、点评】
师:当为何值时,达到 怎样计算
生:题中的函数为二次函数,其图象开口向下,在顶点处最大,即在对称轴处函数有最大值,所以当时,.
生:由,可知当时,取得最大值845.
【分析计算能力】
通过对实际问题的演练,一方面巩固新学的知识,一方面培养学生分析计算、运用所学知识解决问题的能力.
探究2 区间的概念与应用
师:研究函数的时候,经常会遇到区间的概念,那么什么是区间呢 请同学们阅读教材64页.
【学生阅读教材,仔细体会,教师总结】
【要点知识】
区间的概念
设是两个实数,而且,规定:
(1)满足不等式的实数的集合叫做闭区间,表示为.
(2)满足不等式的实数的集合叫做开区间,表示为.
(3)满足不等式或的实数的集合叫做半开半闭区间,分别表示为.
这里的实数与都叫做相应区间的端点.
【自主学习】
学生独立阅读教材,自主学习,得出区间的概念,教师总结,让学生进一步体会数学语言的意义.
师:区间是一种数集,表示区间端点的两个实数不能相等,函数的定义域和值域经常用区间来表示.在数轴上表示区间的时候,关注“开”与“闭”,“开”用小括号,“闭”用中括号;用实心点表示包括在区间内的端点,用空心点表示不包括在区间的端点.
【要点知识】
区间的表示(1)
定义 名称 符号 数轴表示
闭区间
开区间
半开半闭区间
半开半闭区间
师:实数集可以用区间表示为“”是一个符号,读作“无穷大”,“-∞”读作“负无穷大”,“+∞”读作“正无穷大”.用“-∞”或“+∞”作为区间端点时,需用开区间符号.
【要点知识】
区间的表示(2)
分别表示为.
定义 区间 数轴表示
无穷间
无穷间
无穷区间
无穷区间
【深度学习】
用数轴法表示区间,有助于学生记忆理解区间的表示方法,同时培养了学生的数形结合思想.
师:接下来我们解决下面的问题.
【典型例题】
函数概念的应用
例2 已知函数.
(1)求函数的定义域.
(2)求的值.
(3)当时,求的值.
【学生思考,教师引导学生分析函数解析式的结构特征,函数的定义域即是解析式有意义的自变量的取值范围】
生1:(1)且,即.
生2:(2)将与分别代入解析式,有.
生(3)∵,所以有意义,.
【教师引导学生分析题型特点,结合函数的定义,阐明确定函数的因素为定义域和对应法则,并明确值域由这两个要素确定】
【少教精教】
教师引导学生分析思路,学生思考后独立解题.教师通过少教精教使学生掌握函数的概念.
【概括理解能力】
通过例题的分析、解答,进一步理解函数的概念,培养学生的概括理解能力.
师:什么是相同函数呢
【学生自主阅读教材,教师展示概念】
【要点知识】
相同的函数
如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,即相同的自变量对应的函数值也相同,那么这两个函数是同一个函数.
师:你能举例说明吗
【学生举例说明,教师点评】
师:下面利用所学判断下列函数是否是相同的函数.
【典型例题】
判断相同函数
例3 下列函数中哪个与函数是同一个函数
(1).(2).(3).(4).
师:两个函数如果仅有对应关系相同,但定义域不相同,那么它们不是同一个函数.
生1:(1),这个函数与虽然对应关系相同,但定义域不同,所以这个函数与不是同一个函数.
生2:(2),它与函数不仅对应关系相同,而且定义域也相同,所以这个函数与函数是同一个函数.
生3:(3)它与函数的定义域都是实数集,但是当时,它的对应关系与不相同,所以这个函数与不是同一个函数.
生4:(4),它与函数的对应关系相同但定义域不相同,所以这个函数与函数不是同一个函数.
【分析计算能力】
通过分析题目进行计算,理解相同函数的概念,同时培养学生的分析计算能力.
【整体学习】
通过对函数概念及函数区间概念的学习,使学生对知识有一个整体性学习,加强学生对知识的理解和应用.
师:通过学习,我们对函数有了新的认识,请完成下面的练习.
【巩固练习】
函数的应用
1.求下列函数的定义域:
(1).(2).
2.已知函数.
(1)求的值.
(2)求的值.
3.判断下列各组中的函数是否为同一个函数,并说明理由:
(1)表示炮弹飞行高度与时间关系的函数和二次函数.
(2)和.
【学生独立完成,教师巡视、指导、点评】
生1:第1题
(1)由,得函数的定义域为.
(2)由,且,得函数的定义域为.
师:用区间表示为(1)函数的定义域为;(2)函数定义域为.
生第2题
(1).
(2).
生3:第3题
(1)不是同一个函数.因为前者的定义域为,而后者的定义域为.
(2)不是同一个函数.因为前者的定义域为,而后者的定义域为.
【自主学习】
学生通过独立解决函数的定义域、函数值等问题,进一步理解区间的概念,同时培养学生分析计算、归纳总结的能力.
【推测解释能力】
通过对综合问题的演练,进一步理解函数的相关概念,培养学生的推测、解释能力.
师:通过本节课的学习你掌握了哪些知识
【课堂小结】
函数的概念
【设计意图】
通过函数概念的学习,理解函数的定义,解决相应的问题,提升概括理解能力、观察记忆能力、分析计算能力.通过区间概念的理解和应用,掌握定义域、值域、判断同一函数的方法,通过练习,提升概括理解能力、推测解释能力、分析计算能力.
教学评价
通过学习函数的概念,学生理解和掌握函数的定义、掌握定义域和值域的求解,会判断是否为同一函数,会利用函数的表示方法解决问题.
应用所学知识,完成下题:
有一个半径为的圆的内接等腰梯形,它的下底是圆的直径,上底的端点在圆上,写出这个梯形的周长与腰长之间的函数关系式,并求其定义城.
解析:本题是有关函数的实际问题,求函数的定义域,除了考虑使函数解析式有意义以外,还要着重考虑自变量的实际含义,使实际问题有意义.利用等腰梯形的性质,求出上底与腰长之间的关系,即可表示出周长与腰长之间的函数关系式,再根据实际意义求出定义域.具体解题过程如下:
如图所示,腰长,作于点,连接,因为是的直径,在圆上,所以,所以,即.所以,所以,所以周长与腰长之间的函数关系式为.
因为四边形的各边长都为正数,所以,即解得,所以所求函数的定义域为.
【设计意图】
本题主要考查学生是否理解函数概念及相关性质,进一步强调本节知识重点,有助于培养学生的简单问题解决能力,提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
教学反思
本课教学内容主要是研究函数的概念,定义域、值域和对应法则,相对比较抽象,特别是对应法则的理解,因此在授课过程中要关注学生的理解程度,随时调节课堂节奏.在研究函数的表示方法和分段函数时,会用代入法、换元法求函数的解析式,容易出错的地方一个是分段函数的定义域和值域问题,另一个是换元法求解析式中前后x的含义不同,取值范围也不同,需要重点关注.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出在教学过程中要关注学生的理解能力,调节课堂节奏,使学生掌握函数的概念和基本性质.
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