高中数学必修第一册人教A版（2019）3.1《函数的概念及其表示》课时2 教学设计

《函数的概念及其表示》教学设计
课时2函数的表示法
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.函数的概念 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 数学建模 【考查内容】 高考对本节的考查不会有大的变化,仍将以分段函数、定义域、值域及最值为主,综合考查不等式与函数的性质 【考查题型】 选择题、填空题
2.区间的概念与应用 数学运算 数学建模
3.函数的表示法 数学建模 直观想象
4.分段函数 数学运算 逻辑推理
一、本节内容分析
本节的主要内容是函数及分段函数的概念,表示方法及应用.通过本节的学习,学生能够运用集合思想与对应的语言刻画函数的概念.
函数内容是高中数学学习的一条主线,属于考查的热点.
本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.函数的概念 2.区间的概念与应用 3.函数的表示法 4.分段函数 数学抽象 数学运算 数学建模 逻辑推理 直观想象 核心素养
二、学情整体分析
学生在初中阶段已经具备了一定的知识和一定的分析能力、逻辑推理核心素养,但用两个集合间的对应关系来描述函数的概念是一个抽象的过程,要求学生的抽象、分析、概括的能力比较高,学生学起来有一定难度.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.函数的概念
2.区间的概念与应用
3.函数的表示法
4.分段函数
【教学目标设计】
1.通过具体实例,运用集合思想与对应的语言刻画函数的概念.
2.能够指出现实情境问题中函数的定义域和值域.
3.给出一个函数解析式,能够举出它所对应的问题情境.
4.能够熟练求简单函数的定义域和值域,掌握判断同一函数的标准.
5.了解函数的三种表示法的各自优点,了解简单的分段函数,掌握用三种不同表示法表示函数的方法.
6.能够根据简单的实际情境列出函数表达式并画出对应图象.
【教学策略设计】
由于学生可能不容易认识到函数概念的整体性,教学时,应多列举一些对应关系相同但定义域不同的函数,或定义域、值域相同但对应关系不同的函数,让学生在比较判断中体会,提升数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、核心素养.
【教学方法建议】
探究教学法,启发教学法,还有__________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
建立“对应关系说”观点下用集合语言表述的函数概念,在此过程中培养数学抽象素养.
难点:
1.从不同的问题情境中提炼出函数要素,并由此抽象出函数的概念.
2.理解函数的对应关系f.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学精讲
探究1 函数的表示法
师:初中接触的函数表示方法有哪些
生:解析法、列表法、图象法.
师:同一函数用三种方法表示,它们各自有何特点
【典型例题】
函数的表示方法
例1 某种笔记本的单价是5元,买个笔记本需要元.试用函数的三种表示法表示函数.
生:这个函数的定义域是数集,用解析法可将函数表示为.
生:用列表法将函数表示为
生:用图象法可将函数表示为下图.
师:接下来我们思考这样的问题.
【以学定教】
复习初中学过的函数表示方法,自然地将新、旧知识结合,直奔课题.
【情景设置】
函数的表示方法
1.比较函数的三种表示法.它们各自的优点是什么
2.所有函数都能用解析法表示吗 列表法与图象法呢 请你举出实例加以说明.
生:解析法的优点是:(1)简明、全面地概括了两个变量间的关系.(2)通过解析式能求出任意一个自变量的值所对应的函数值.
生:图象法的优点是能直观形象地表示自变量的变化,及相应的函数值变化的趋势,有利于通过图象来研究函数的某些性质.
生:列表法的优点是不需计算便可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
师:并不是所有函数都能用三种表示法表示,注意,解析法必须注明函数的定义域;列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系;图象法必须清楚函数图象是“点”还是“线”.例如:函数的对应关系是:当为有理数时,函数值等于1,呈为无理数时,函数值等于0,此函数值等于0,此函数就无法用图像法表示.
【自主学习】
教师提问,学生自主学习并回答问题,体会三种函数表示法的优点,加深印象.
探究2 分段函数
【典型例题】
画分段函数图象
例2 画出函数的图象.
【学生思考,教师提示:要作函数的图象,可先作的图象,然后将轴下方的部分翻折到轴的上方,学生独立完成此题】
生:根据绝对值的概念,有.所以,函数的图象可以表示为
【推测解释能力】
通过对函数表示法的转化和数形结合思想的应用,培养学生推测解释能力.
师:下面是分段函数的概念.
【要点知识】
分段函数的概念
在函数的定义域内,对于自变量的不同取值范围,有着不同的对应法则,这样的函数叫分段函数.分段函数是一个函数而不是几个函数.
师:举例说明分段函数的实例,你能总结函数的图象法与解析法之间是怎样互相转化的吗
【学生思考,合作探究,回答问题,教师给予肯定或补充】
师:你能解决下面的例题吗
【典型例题】
分段函数的应用
例3 给定函数.
(1)在同一直角坐标系中画出函数的图象.
(2),用表示的较大者,记为,.例如,当时,.请用图象法表示函数.
师:表示的较大者.
生:(1)在同一直角坐标系中画出函数的图象为:
生:(2)由上面图象中函数取值的情况,结合的定义,可得函数的图象为:
师:分别计算当时,与的关系.
生:.
师:如何理解函数
【学生思考,小组合作,回答问题,教师总结】
师:你能用其他方法求出的解析式吗
生:令,化简得,解得或,此时,否则.
故的解析式为
【简单问题解决能力】
通过对综合问题的演练,一方面巩固所学知识,另一方面培养学生的分析、推理、计算、解决问题的能力.
【分析计算能力】
通过拓展解题方法,进一步理解所学知识,求解函数M(x)的解析式,提升学生的逻辑推理核心素养,培养分析计算能力.
师:通过这节课你学到了什么
【课堂小结】
函数的表示法
【设计意图】
通过函数的概念及其表示的学习,学生总结归纳本节知识点,掌握解决问题的方法和能力(推测解释、分析计算、简单问题解决),养成数学抽象、直观想象、数学运算、数学建模核心素养.
教学评价
通过学习函数的概念,学生理解和掌握函数的定义、掌握定义域和值域的求解,会判断是否为同一函数,会利用函数的表示方法解决问题.
应用所学知识,完成下题:
有一个半径为的圆的内接等腰梯形,它的下底是圆的直径,上底的端点在圆上,写出这个梯形的周长与腰长之间的函数关系式,并求其定义城.
解析:本题是有关函数的实际问题,求函数的定义域,除了考虑使函数解析式有意义以外,还要着重考虑自变量的实际含义,使实际问题有意义.利用等腰梯形的性质,求出上底与腰长之间的关系,即可表示出周长与腰长之间的函数关系式,再根据实际意义求出定义域.具体解题过程如下:
如图所示,腰长,作于点,连接,因为是的直径,在圆上,所以,所以,即.所以,所以,所以周长与腰长之间的函数关系式为.
因为四边形的各边长都为正数,所以,即解得,所以所求函数的定义域为.
【设计意图】
本题主要考查学生是否理解函数概念及相关性质,进一步强调本节知识重点,有助于培养学生的简单问题解决能力,提升学生的逻辑推理、数学运算核心素养.
教学反思
本课教学内容主要是研究函数的概念,定义域、值域和对应法则,相对比较抽象,特别是对应法则的理解,因此在授课过程中要关注学生的理解程度,随时调节课堂节奏.在研究函数的表示方法和分段函数时,会用代入法、换元法求函数的解析式,容易出错的地方一个是分段函数的定义域和值域问题,另一个是换元法求解析式中前后x的含义不同,取值范围也不同,需要重点关注.
【以学论教】
根据学生实际学习情况和课堂效果总结出在教学过程中要关注学生的理解能力,调节课堂节奏,使学生掌握函数的概念和基本性质.
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