第3章勾股定理单元测试卷

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第3章勾股定理单元测试卷
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（　　）
A．3cm，5cm，5cm B．4cm，8cm，5cm
C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm
2．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，BC＝5，AB＝3，则DE的长是（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
4．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
5．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”，大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长3尺，BC长8尺，则绳索AC的长度是（　　）尺．
A． B． C． D．
6．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（　　）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
7．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（　　）
A．3﹣ B． C．3+ D．2
8．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
9．在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
10．我们知道，三个正整数a、b、c满足a2+b2＝c2，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即m＝x2+y2，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：
①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数．
其中正确的结论是（　　）
A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤
二．填空题（共6小题）
11．在△ABC中，BC＝6，BC边上的高AD＝4，且BD＝2，则△ACD的面积为　 　．
12．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是 　 　．
13．如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE
时，AD＝1米，则BE＝　 　米．
14．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 　 　km．
15．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是 　 　．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 　 　时，能使DE＝CD？
三．解答题（共7小题）
17．△ABC的三边长分别为6，x+2，x+4，若该三角形是以x+4为斜边的直角三角形，求x的值．
18．一棵高12m的大树被折断，折断处A距地面的距离AC＝4.5m（点B为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离CD为6.5m，点D在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD．
19．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，AD垂直AB交BC的延长线于D．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）求线段AD的长．
20．如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C、D均在网格格点上．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）∠BCD是直角吗？为什么？
21．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AC、BC边上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝60°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
22．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
23．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，∠CFE与∠CEF的数量关系为 　 　．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E．探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，边AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于E．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．下列长度的三根线段，能构成直角三角形的是（　　）
A．3cm，5cm，5cm B．4cm，8cm，5cm
C．5cm，13cm，12cm D．2cm，7cm，4cm
解：A、∵32+52＝34，52＝25，
∴32+52≠52，
∴不能构成直角三角形，
故A不符合题意；
B、∵42+52＝41，82＝64，
∴42+52≠82，
∴不能构成直角三角形，
故B不符合题意；
C、∵122+52＝169，132＝169，
∴122+52＝132，
∴能构成直角三角形，
故C符合题意；
D、∵2+4＝6＜7，
∴不能构成三角形，
故D不符合题意；
故选：C．
2．如图，将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上，固定两端A和B，然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D，则橡皮筋被拉长了（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．6cm
解：Rt△ACD中，AC＝AB＝4cm，CD＝3cm；
根据勾股定理，得：AD＝＝5（cm）；
∴AD+BD﹣AB＝2AD﹣AB＝10﹣8＝2（cm）；
故橡皮筋被拉长了2cm．
故选：A．
3．如图，在△ABC中，∠A＝90°，BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC于点D，BC＝5，AB＝3，则DE的长是（　　）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．3
解：∵在△ABC中，∠A＝90°，
∴AE⊥AB．
又BE是△ABC的角平分线，ED⊥BC，
∴AE＝DE．
设DE＝AE＝x，
∴ AB AC＝ AB AE+ AC ED，即×3×4＝×3x+×5x．
解得x＝．
即DE＝1.5．
故选：A．
4．如图，在△ABC中，点O是角平分线AD、BE的交点，若AB＝AC＝10，BC＝12，则的值为（　　）
A． B．2 C． D．
解：如图：作OF⊥AB于F，
∵AB＝AC，AD平分∠BAC．
∴∠ODB＝90°．BD＝CD＝6．
∴AD＝＝8．
∵BE平分∠ABC．
∴OF＝OD，BF＝BD＝6，AF＝10﹣6＝4．
设OD＝OF＝x，则AO＝8﹣x，
在Rt△AOF中，根据勾股定理得：
（8﹣x）2＝x2+42．
∴x＝3．
∴OD＝3．
∴．
故选：A．
5．在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”，大意是：如图，木柱AB⊥BC，绳索AC比木柱AB长3尺，BC长8尺，则绳索AC的长度是（　　）尺．
A． B． C． D．
解：设AC＝x尺，则AB＝（x﹣3）尺，
∵AB⊥BC，
∴△ABC是直角三角形，
由勾股定理得：AB2+BC2＝AC2，
即（x﹣3）2+82＝x2，
解得x＝（尺），
即：绳索AC的长度是尺．
故选：B．
6．如图，一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（　　）
A．10米 B．15米 C．25米 D．30米
解：∵∠BAC＝30°，∠BCA＝90°，BC＝5米，
∴AB＝2CB＝10米，
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC＝15米．
故选：B．
7．如图，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5．将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，图中阴影部分面积为4，则平移的距离为（　　）
A．3﹣ B． C．3+ D．2
解：∵AB＝4，AC＝3，BC＝5，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴△ABC是直角三角形，∠A＝90°，
∵将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置，
∴△DEF的面积＝△ABC的面积＝＝6，DF＝AC＝3，
∵图中阴影部分面积为4，
∴＝，
∴＝，
解得：DC＝，
即平移的距离是CF＝AC﹣DC＝3﹣，
故选：A．
8．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（　　）
A．等腰三角形
B．直角三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形
解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，
解得：a＝b，a2+b2＝c2，
∴△ABC的形状为等腰直角三角形；
故选：C．
9．在△ABC中，AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画的条数为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．7
解：如图所示：AB＝3cm、AC＝4cm、BC＝5cm，
∵32+42＝52，
∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°．
当CC1＝AC＝4，AC＝CC2，AB＝AC3＝3，BA＝BC4＝3，C5A＝C5B，C6B＝C6C，C7A＝AB都能得到符合题意的等腰三角形．
故这样的直线最多可画的条数为7．
故选：D．
10．我们知道，三个正整数a、b、c满足a2+b2＝c2，那么，a、b、c成为一组勾股数；如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和，即m＝x2+y2，那么称m为广义勾股数，则下面的结论：
①7是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；
④两个广义勾股数的积是广义勾股数；⑤若x＝m2﹣n2，y＝2mn，z＝m2+n2，其中x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数．
其中正确的结论是（　　）
A．①③④⑤ B．②④ C．②③⑤ D．②④⑤
解：①∵7不能表示为两个正整数的平方和，
∴7不是广义勾股数，故①结论错误；
②∵13＝22+32，
∴13是广义勾股数，故②结论正确；
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数，如5和10是广义勾股数，但是它们的和不是广义勾股数，故③结论错误；
④∵5＝12+22，13＝22+32，65＝5×13，65是广义勾股数，两个广义勾股数的积是广义勾股数，
如2和2都是广义勾股数，但2×2＝4，4不是广义勾股数，故④结论正确；
⑤∵x2+y2＝（m2﹣n2）2+（2mn）2＝m4+2m2n2+n4，
z2＝（m2+n2）2＝m4+2m2n2+n4，
∴x2+y2＝z2，
又知x，y，z，m，n是正整数，则x，y，z是一组勾股数．
故⑤结论正确；
∴依次正确的是②④⑤．
故选：D．
二．填空题（共6小题）
11．在△ABC中，BC＝6，BC边上的高AD＝4，且BD＝2，则△ACD的面积为　8或16　．
解：根据题意，分以下两种情况：
①如图：
∵BC＝6，AD＝4，BD＝2，
∴CD＝BC﹣BD＝6﹣2＝4，
∴S△ACD＝CD AD＝＝8，
②如图：
∵BC＝6，AD＝4，BD＝2，
∴CD＝BD+BC＝8，
∴S△ACD＝CD AD＝8×4＝16，
故答案为：8或16．
12．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D．若AB＝10，AC＝6，BD＝5，则点D到AB的距离是 　3　．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝8，
∵BD＝5，
∴CD＝3，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD平分∠BAC，
∴CD＝DE＝3，
∴点D到AB的距离是3，
故答案为：3．
13．如图，一架梯子AB长5米，底端离墙的距离BC为3米，当梯子下滑到DE
时，AD＝1米，则BE＝　1　米．
解：在Rt△ABC中，根据勾股定理，可得：AC＝＝＝4（米），
∴DC＝AC﹣AD＝4﹣1＝3（米），
在Rt△DCE中，CE＝＝＝4（米），
∴BE＝CE﹣BC＝4﹣3＝1（米），
故答案为：1．
14．如图，某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离，在学校附近选一点C，利用测量仪器测得∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km．据此，可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于 　2　km．
解：∵∠A＝60°，∠C＝90°，AC＝1km，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC＝2（km）．
故答案为：2．
15．如图，在一个高为5m，长为13m的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少是 　17m　．
解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度＝＝12，
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
地毯的长度至少是12+5＝17米．
故答案为：17m．
16．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为 　5或11　时，能使DE＝CD？
解：①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：
则∠AED＝∠PED＝90°，
∴∠PED＝∠ACB＝90°，
∴PD平分∠APC，
∴∠EPD＝∠CPD，
又∵PD＝PD，
∴△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，
解得：t＝5；
②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：
同①得：△PDE≌△PDC（AAS），
∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，
∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，
∴AE＝4，
∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，
在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，
解得：t＝11．
综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．
三．解答题（共7小题）
17．△ABC的三边长分别为6，x+2，x+4，若该三角形是以x+4为斜边的直角三角形，求x的值．
解：由勾股定理得：62+（x+2）2＝（x+4）2，
解得：x＝6．
18．一棵高12m的大树被折断，折断处A距地面的距离AC＝4.5m（点B为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部C的距离CD为6.5m，点D在CB的延长线上，求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD．
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，
BC＝＝＝6（m），
∴BD＝CD﹣BC＝0.5（m），
∴大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5米．
19．如图，在△ABC中，AB＝10，BC＝8，AC＝6，AD垂直AB交BC的延长线于D．
（1）求证：△ABC为直角三角形；
（2）求线段AD的长．
（1）证明：∵AB＝10，BC＝8，AC＝6，
∴BC2+AC2＝82+62＝100，AB2＝102＝100，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴△ABC为直角三角形，
∴∠ACB＝90°；
（2）解：设CD＝x，则BD＝BC+CD＝8+x，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD＝180°﹣∠ACB＝90°，
在Rt△ACD中，AD2＝AC2+CD2＝36+x2，
∵AB⊥AD，
∴∠BAD＝90°，
在Rt△BAD中，AD2＝BD2﹣AB2＝（8+x）2﹣100，
∴36+x2＝（8+x）2﹣100，
解得：x＝4.5，
∴AD＝＝＝7.5，
∴AD的长为7.5．
20．如图，每个小正方形的边长都为1，A、B、C、D均在网格格点上．
（1）求四边形ABCD的面积；
（2）∠BCD是直角吗？为什么？
解：（1）四边形ABCD的面积是5×5﹣﹣﹣﹣﹣1×1
＝25﹣2.5﹣2﹣1﹣4﹣1
＝14.5；
（2）∠BCD是直角，
理由是：连接BD，
由勾股定理得：BD2＝32+42＝25，BC2＝22+42＝20，CD2＝12+22＝5，
所以BC2+CD2＝BD2，
即∠BCD是直角．
21．Rt△ABC中，∠C＝90°，点D、E分别是AC、BC边上的点，点P是一动点．令∠PDA＝∠1，∠PEB＝∠2，∠DPE＝∠α．
（1）若点P在线段AB上，如图1所示，且∠α＝60°，求∠1+∠2的度数；
（2）若点P在线段AB上运动，如图2所示，则∠α、∠1、∠2之间的数量关系．
解：（1）∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠α＝60°，
∴∠APD+∠BPE＝180°﹣60°＝120°，
∵∠1＝180°﹣∠APD﹣∠A，∠2＝180°﹣∠B﹣∠BPE，
∴∠1+∠2
＝180°﹣∠APD﹣∠A+180°﹣∠B﹣∠BPE
＝360°﹣（∠APD+∠BPE+∠A+∠B）
＝360°﹣（120°+90°）
＝150°，
∴∠1+∠2＝150°；
（2）∵∠C＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵∠α+∠APD+∠BPE＝180°，
∴∠APD+∠BPE＝180°﹣∠α，
∵∠1＝180°﹣∠APD﹣∠A，∠2＝180°﹣∠B﹣∠BPE，
∴∠1+∠2
＝180°﹣∠APD﹣∠A+180°﹣∠B﹣∠BPE
＝360°﹣（180°﹣∠α+90°）
＝90°+∠α，
∴∠1+∠2＝90°+∠α．
22．台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A，B两点的距离分别为300km、400km，且∠ACB＝90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域，台风的速度为25km/h．
（1）求监测点A与监测点B之间的距离；
（2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，若受影响，则台风影响该海港多长时间？若不受影响，请说明理由．
解：（1）在Rt△ABC中，AC＝300km，BC＝400km，
∴AB＝＝＝500（km），
答：监测点A与监测点B之间的距离为500km；
（2）海港C受台风影响，
理由：∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴S△ABC＝AC BC＝CE AB，
∴300×400＝500CE，
∴CE＝240（km），
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域，
∴海港C会受到此次台风的影响．
以C为圆心，260km长为半径画弧，交AB于D，F，
则DE＝EF＝260km时，正好影响C港口，
在Rt△CDE中，
∵ED＝＝＝100（km），
∴DF＝200km，
∵台风的速度为25千米/小时，
∴200÷25＝8（小时）．
答：海港C会受到此次台风的影响，台风影响该海港8小时．
23．（1）如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AE是角平分线，CD是高，AE、CD相交于点F，∠CFE与∠CEF的数量关系为 　∠CEF＝∠CFE　．
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC边的延长线交于点E．探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由；
（3）如图3，在△ABC中，边AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F，交BC于E．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系．
解：（1）∵∠ACB＝90°，CD是高，
∴∠B+∠CAB＝90°，∠ACD+∠CAB＝90°，
∴∠B＝∠ACD，
∵AE是角平分线，
∴∠CAF＝∠DAF，
∵∠CFE＝∠CAF+∠ACD∠CEF＝∠DAF+∠B，
∴∠CEF＝∠CFE；
故答案为：∠CEF＝∠CFE；
（2）∠CEF＝∠CFE．
理由：∵AF为∠BAG的角平分线，
∴∠GAF＝∠DAF，
∵CD为AB边上的高，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝∠ACE＝90°，
又∵∠CAE＝∠GAF，
∴∠CEF＝∠CFE；
（3）如图：
∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线，
∴∠EAN＝90°，
又∵∠GAN＝∠CAM，
∴∠M+∠CEF＝90°，
∵∠CEF＝∠EAB+∠B，∠CFE＝∠EAC+∠ACD，∠ACD＝∠B，
∴∠CEF＝∠CFE，
∴∠M+∠CFE＝90°．