第3章勾股定理单元测试卷

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名称 第3章勾股定理单元测试卷
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文件大小 750.7KB
资源类型 试卷
版本资源 苏科版
科目 数学
更新时间 2022-11-02 13:34:44

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第3章勾股定理单元测试卷
一.选择题(共10小题)
1.下列长度的三根线段,能构成直角三角形的是(  )
A.3cm,5cm,5cm B.4cm,8cm,5cm
C.5cm,13cm,12cm D.2cm,7cm,4cm
2.如图,将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D,则橡皮筋被拉长了(  )
A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
3.如图,在△ABC中,∠A=90°,BE是△ABC的角平分线,ED⊥BC于点D,BC=5,AB=3,则DE的长是(  )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
4.如图,在△ABC中,点O是角平分线AD、BE的交点,若AB=AC=10,BC=12,则的值为(  )
A. B.2 C. D.
5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?”,大意是:如图,木柱AB⊥BC,绳索AC比木柱AB长3尺,BC长8尺,则绳索AC的长度是(  )尺.
A. B. C. D.
6.如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵大树在折断前的高度为(  )
A.10米 B.15米 C.25米 D.30米
7.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5.将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置,图中阴影部分面积为4,则平移的距离为(  )
A.3﹣ B. C.3+ D.2
8.若△ABC的三边a、b、c满足(a﹣b)2+|a2+b2﹣c2|=0,则△ABC是(  )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
9.在△ABC中,AB=3cm、AC=4cm、BC=5cm,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画的条数为(  )
A.3 B.4 C.5 D.7
10.我们知道,三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2,那么,a、b、c成为一组勾股数;如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和,即m=x2+y2,那么称m为广义勾股数,则下面的结论:
①7是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;
④两个广义勾股数的积是广义勾股数;⑤若x=m2﹣n2,y=2mn,z=m2+n2,其中x,y,z,m,n是正整数,则x,y,z是一组勾股数.
其中正确的结论是(  )
A.①③④⑤ B.②④ C.②③⑤ D.②④⑤
二.填空题(共6小题)
11.在△ABC中,BC=6,BC边上的高AD=4,且BD=2,则△ACD的面积为   .
12.在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若AB=10,AC=6,BD=5,则点D到AB的距离是    .
13.如图,一架梯子AB长5米,底端离墙的距离BC为3米,当梯子下滑到DE
时,AD=1米,则BE=   米.
14.如图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离,在学校附近选一点C,利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC=1km.据此,可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于    km.
15.如图,在一个高为5m,长为13m的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少是    .
16.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=16,D是AC上的一点,CD=3,点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.过点D作DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中,当t为    时,能使DE=CD?
三.解答题(共7小题)
17.△ABC的三边长分别为6,x+2,x+4,若该三角形是以x+4为斜边的直角三角形,求x的值.
18.一棵高12m的大树被折断,折断处A距地面的距离AC=4.5m(点B为大树顶端着地处).在大树倒下的方向停着一辆小轿车,小轿车距大树底部C的距离CD为6.5m,点D在CB的延长线上,求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD.
19.如图,在△ABC中,AB=10,BC=8,AC=6,AD垂直AB交BC的延长线于D.
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)求线段AD的长.
20.如图,每个小正方形的边长都为1,A、B、C、D均在网格格点上.
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)∠BCD是直角吗?为什么?
21.Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是AC、BC边上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图1所示,且∠α=60°,求∠1+∠2的度数;
(2)若点P在线段AB上运动,如图2所示,则∠α、∠1、∠2之间的数量关系.
22.台风是一种自然灾害,它在以台风中心为圆心,一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动,已知点C为一海港,且点C与A,B两点的距离分别为300km、400km,且∠ACB=90°,过点C作CE⊥AB于点E,以台风中心为圆心,半径为260km的圆形区域内为受影响区域,台风的速度为25km/h.
(1)求监测点A与监测点B之间的距离;
(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响,若受影响,则台风影响该海港多长时间?若不受影响,请说明理由.
23.(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE、CD相交于点F,∠CFE与∠CEF的数量关系为    .
(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E.探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由;
(3)如图3,在△ABC中,边AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,∠BAC的平分线AE交CD于点F,交BC于E.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M.请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系.
参考答案
一.选择题(共10小题)
1.下列长度的三根线段,能构成直角三角形的是(  )
A.3cm,5cm,5cm B.4cm,8cm,5cm
C.5cm,13cm,12cm D.2cm,7cm,4cm
解:A、∵32+52=34,52=25,
∴32+52≠52,
∴不能构成直角三角形,
故A不符合题意;
B、∵42+52=41,82=64,
∴42+52≠82,
∴不能构成直角三角形,
故B不符合题意;
C、∵122+52=169,132=169,
∴122+52=132,
∴能构成直角三角形,
故C符合题意;
D、∵2+4=6<7,
∴不能构成三角形,
故D不符合题意;
故选:C.
2.如图,将长为8cm的橡皮筋放置在水平面上,固定两端A和B,然后把中点C垂直向上拉升3cm至点D,则橡皮筋被拉长了(  )
A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm
解:Rt△ACD中,AC=AB=4cm,CD=3cm;
根据勾股定理,得:AD==5(cm);
∴AD+BD﹣AB=2AD﹣AB=10﹣8=2(cm);
故橡皮筋被拉长了2cm.
故选:A.
3.如图,在△ABC中,∠A=90°,BE是△ABC的角平分线,ED⊥BC于点D,BC=5,AB=3,则DE的长是(  )
A.1.5 B.2 C.2.5 D.3
解:∵在△ABC中,∠A=90°,
∴AE⊥AB.
又BE是△ABC的角平分线,ED⊥BC,
∴AE=DE.
设DE=AE=x,
∴ AB AC= AB AE+ AC ED,即×3×4=×3x+×5x.
解得x=.
即DE=1.5.
故选:A.
4.如图,在△ABC中,点O是角平分线AD、BE的交点,若AB=AC=10,BC=12,则的值为(  )
A. B.2 C. D.
解:如图:作OF⊥AB于F,
∵AB=AC,AD平分∠BAC.
∴∠ODB=90°.BD=CD=6.
∴AD==8.
∵BE平分∠ABC.
∴OF=OD,BF=BD=6,AF=10﹣6=4.
设OD=OF=x,则AO=8﹣x,
在Rt△AOF中,根据勾股定理得:
(8﹣x)2=x2+42.
∴x=3.
∴OD=3.
∴.
故选:A.
5.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了这样一个问题:“今有立木,系索其末,委地三尺,引索却行,去本八尺而索尽,问索长几何?”,大意是:如图,木柱AB⊥BC,绳索AC比木柱AB长3尺,BC长8尺,则绳索AC的长度是(  )尺.
A. B. C. D.
解:设AC=x尺,则AB=(x﹣3)尺,
∵AB⊥BC,
∴△ABC是直角三角形,
由勾股定理得:AB2+BC2=AC2,
即(x﹣3)2+82=x2,
解得x=(尺),
即:绳索AC的长度是尺.
故选:B.
6.如图,一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下,倒下部分与地面成30°夹角,这棵大树在折断前的高度为(  )
A.10米 B.15米 C.25米 D.30米
解:∵∠BAC=30°,∠BCA=90°,BC=5米,
∴AB=2CB=10米,
∴这棵大树在折断前的高度为AB+BC=15米.
故选:B.
7.如图,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5.将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置,图中阴影部分面积为4,则平移的距离为(  )
A.3﹣ B. C.3+ D.2
解:∵AB=4,AC=3,BC=5,
∴AB2+AC2=BC2,
∴△ABC是直角三角形,∠A=90°,
∵将△ABC沿着点A到点C的方向平移到△DEF的位置,
∴△DEF的面积=△ABC的面积==6,DF=AC=3,
∵图中阴影部分面积为4,
∴=,
∴=,
解得:DC=,
即平移的距离是CF=AC﹣DC=3﹣,
故选:A.
8.若△ABC的三边a、b、c满足(a﹣b)2+|a2+b2﹣c2|=0,则△ABC是(  )
A.等腰三角形
B.直角三角形
C.等腰直角三角形
D.等腰三角形或直角三角形
解:∵(a﹣b)2+|a2+b2﹣c2|=0,
∴a﹣b=0,a2+b2﹣c2=0,
解得:a=b,a2+b2=c2,
∴△ABC的形状为等腰直角三角形;
故选:C.
9.在△ABC中,AB=3cm、AC=4cm、BC=5cm,在△ABC所在平面内画一条直线,将△ABC分割成两个三角形,使其中的一个是等腰三角形,则这样的直线最多可画的条数为(  )
A.3 B.4 C.5 D.7
解:如图所示:AB=3cm、AC=4cm、BC=5cm,
∵32+42=52,
∴△ABC是直角三角形,∠BAC=90°.
当CC1=AC=4,AC=CC2,AB=AC3=3,BA=BC4=3,C5A=C5B,C6B=C6C,C7A=AB都能得到符合题意的等腰三角形.
故这样的直线最多可画的条数为7.
故选:D.
10.我们知道,三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2,那么,a、b、c成为一组勾股数;如果一个正整数m能表示成两个非负整数x、y的平方和,即m=x2+y2,那么称m为广义勾股数,则下面的结论:
①7是广义勾股数;②13是广义勾股数;③两个广义勾股数的和是广义勾股数;
④两个广义勾股数的积是广义勾股数;⑤若x=m2﹣n2,y=2mn,z=m2+n2,其中x,y,z,m,n是正整数,则x,y,z是一组勾股数.
其中正确的结论是(  )
A.①③④⑤ B.②④ C.②③⑤ D.②④⑤
解:①∵7不能表示为两个正整数的平方和,
∴7不是广义勾股数,故①结论错误;
②∵13=22+32,
∴13是广义勾股数,故②结论正确;
③两个广义勾股数的和不一定是广义勾股数,如5和10是广义勾股数,但是它们的和不是广义勾股数,故③结论错误;
④∵5=12+22,13=22+32,65=5×13,65是广义勾股数,两个广义勾股数的积是广义勾股数,
如2和2都是广义勾股数,但2×2=4,4不是广义勾股数,故④结论正确;
⑤∵x2+y2=(m2﹣n2)2+(2mn)2=m4+2m2n2+n4,
z2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,
∴x2+y2=z2,
又知x,y,z,m,n是正整数,则x,y,z是一组勾股数.
故⑤结论正确;
∴依次正确的是②④⑤.
故选:D.
二.填空题(共6小题)
11.在△ABC中,BC=6,BC边上的高AD=4,且BD=2,则△ACD的面积为 8或16 .
解:根据题意,分以下两种情况:
①如图:
∵BC=6,AD=4,BD=2,
∴CD=BC﹣BD=6﹣2=4,
∴S△ACD=CD AD==8,
②如图:
∵BC=6,AD=4,BD=2,
∴CD=BD+BC=8,
∴S△ACD=CD AD=8×4=16,
故答案为:8或16.
12.在Rt△ACB中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D.若AB=10,AC=6,BD=5,则点D到AB的距离是  3 .
解:在Rt△ABC中,由勾股定理得,
BC===8,
∵BD=5,
∴CD=3,
过点D作DE⊥AB于E,
∵AD平分∠BAC,
∴CD=DE=3,
∴点D到AB的距离是3,
故答案为:3.
13.如图,一架梯子AB长5米,底端离墙的距离BC为3米,当梯子下滑到DE
时,AD=1米,则BE= 1 米.
解:在Rt△ABC中,根据勾股定理,可得:AC===4(米),
∴DC=AC﹣AD=4﹣1=3(米),
在Rt△DCE中,CE===4(米),
∴BE=CE﹣BC=4﹣3=1(米),
故答案为:1.
14.如图,某研究性学习小组为测量学校A与河对岸水上乐园B之间的距离,在学校附近选一点C,利用测量仪器测得∠A=60°,∠C=90°,AC=1km.据此,可求得学校与水上乐园之间的距离AB等于  2 km.
解:∵∠A=60°,∠C=90°,AC=1km,
∴∠B=30°,
∴AB=2AC=2(km).
故答案为:2.
15.如图,在一个高为5m,长为13m的楼梯表面铺地毯,则地毯的长度至少是  17m .
解:由勾股定理得:
楼梯的水平宽度==12,
∵地毯铺满楼梯是其长度的和应该是楼梯的水平宽度与垂直高度的和,
地毯的长度至少是12+5=17米.
故答案为:17m.
16.如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=16,D是AC上的一点,CD=3,点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动.设点P的运动时间为t.过点D作DE⊥AP于点E.在点P的运动过程中,当t为  5或11 时,能使DE=CD?
解:①点P在线段BC上时,过点D作DE⊥AP于E,如图1所示:
则∠AED=∠PED=90°,
∴∠PED=∠ACB=90°,
∴PD平分∠APC,
∴∠EPD=∠CPD,
又∵PD=PD,
∴△PDE≌△PDC(AAS),
∴ED=CD=3,PE=PC=16﹣2t,
∴AD=AC﹣CD=8﹣3=5,
∴AE=4,
∴AP=AE+PE=4+16﹣2t=20﹣2t,
在Rt△APC中,由勾股定理得:82+(16﹣2t)2=(20﹣2t)2,
解得:t=5;
②点P在线段BC的延长线上时,过点D作DE⊥AP于E,如图2所示:
同①得:△PDE≌△PDC(AAS),
∴ED=CD=3,PE=PC=2t﹣16,
∴AD=AC﹣CD=8﹣3=5,
∴AE=4,
∴AP=AE+PE=4+2t﹣16=2t﹣12,
在Rt△APC中,由勾股定理得:82+(2t﹣16)2=(2t﹣12)2,
解得:t=11.
综上所述,在点P的运动过程中,当t的值为5或11时,能使DE=CD.
三.解答题(共7小题)
17.△ABC的三边长分别为6,x+2,x+4,若该三角形是以x+4为斜边的直角三角形,求x的值.
解:由勾股定理得:62+(x+2)2=(x+4)2,
解得:x=6.
18.一棵高12m的大树被折断,折断处A距地面的距离AC=4.5m(点B为大树顶端着地处).在大树倒下的方向停着一辆小轿车,小轿车距大树底部C的距离CD为6.5m,点D在CB的延长线上,求大树顶端着地处B到小轿车的距离BD.
解:在Rt△ABC中,由勾股定理得,
BC===6(m),
∴BD=CD﹣BC=0.5(m),
∴大树顶端着地处B到小轿车的距离BD为0.5米.
19.如图,在△ABC中,AB=10,BC=8,AC=6,AD垂直AB交BC的延长线于D.
(1)求证:△ABC为直角三角形;
(2)求线段AD的长.
(1)证明:∵AB=10,BC=8,AC=6,
∴BC2+AC2=82+62=100,AB2=102=100,
∴BC2+AC2=AB2,
∴△ABC为直角三角形,
∴∠ACB=90°;
(2)解:设CD=x,则BD=BC+CD=8+x,
∵∠ACB=90°,
∴∠ACD=180°﹣∠ACB=90°,
在Rt△ACD中,AD2=AC2+CD2=36+x2,
∵AB⊥AD,
∴∠BAD=90°,
在Rt△BAD中,AD2=BD2﹣AB2=(8+x)2﹣100,
∴36+x2=(8+x)2﹣100,
解得:x=4.5,
∴AD===7.5,
∴AD的长为7.5.
20.如图,每个小正方形的边长都为1,A、B、C、D均在网格格点上.
(1)求四边形ABCD的面积;
(2)∠BCD是直角吗?为什么?
解:(1)四边形ABCD的面积是5×5﹣﹣﹣﹣﹣1×1
=25﹣2.5﹣2﹣1﹣4﹣1
=14.5;
(2)∠BCD是直角,
理由是:连接BD,
由勾股定理得:BD2=32+42=25,BC2=22+42=20,CD2=12+22=5,
所以BC2+CD2=BD2,
即∠BCD是直角.
21.Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是AC、BC边上的点,点P是一动点.令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α.
(1)若点P在线段AB上,如图1所示,且∠α=60°,求∠1+∠2的度数;
(2)若点P在线段AB上运动,如图2所示,则∠α、∠1、∠2之间的数量关系.
解:(1)∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵∠α=60°,
∴∠APD+∠BPE=180°﹣60°=120°,
∵∠1=180°﹣∠APD﹣∠A,∠2=180°﹣∠B﹣∠BPE,
∴∠1+∠2
=180°﹣∠APD﹣∠A+180°﹣∠B﹣∠BPE
=360°﹣(∠APD+∠BPE+∠A+∠B)
=360°﹣(120°+90°)
=150°,
∴∠1+∠2=150°;
(2)∵∠C=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵∠α+∠APD+∠BPE=180°,
∴∠APD+∠BPE=180°﹣∠α,
∵∠1=180°﹣∠APD﹣∠A,∠2=180°﹣∠B﹣∠BPE,
∴∠1+∠2
=180°﹣∠APD﹣∠A+180°﹣∠B﹣∠BPE
=360°﹣(180°﹣∠α+90°)
=90°+∠α,
∴∠1+∠2=90°+∠α.
22.台风是一种自然灾害,它在以台风中心为圆心,一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候,有极强的破坏力.如图,监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动,已知点C为一海港,且点C与A,B两点的距离分别为300km、400km,且∠ACB=90°,过点C作CE⊥AB于点E,以台风中心为圆心,半径为260km的圆形区域内为受影响区域,台风的速度为25km/h.
(1)求监测点A与监测点B之间的距离;
(2)请判断海港C是否会受此次台风的影响,若受影响,则台风影响该海港多长时间?若不受影响,请说明理由.
解:(1)在Rt△ABC中,AC=300km,BC=400km,
∴AB===500(km),
答:监测点A与监测点B之间的距离为500km;
(2)海港C受台风影响,
理由:∵∠ACB=90°,CE⊥AB,
∴S△ABC=AC BC=CE AB,
∴300×400=500CE,
∴CE=240(km),
∵以台风中心为圆心周围260km以内为受影响区域,
∴海港C会受到此次台风的影响.
以C为圆心,260km长为半径画弧,交AB于D,F,
则DE=EF=260km时,正好影响C港口,
在Rt△CDE中,
∵ED===100(km),
∴DF=200km,
∵台风的速度为25千米/小时,
∴200÷25=8(小时).
答:海港C会受到此次台风的影响,台风影响该海港8小时.
23.(1)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,AE是角平分线,CD是高,AE、CD相交于点F,∠CFE与∠CEF的数量关系为  ∠CEF=∠CFE .
(2)如图2,在△ABC中,∠ACB=90°,CD是AB边上的高,若△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F,其反向延长线与BC边的延长线交于点E.探究∠CFE与∠CEF的数量关系并说明理由;
(3)如图3,在△ABC中,边AB上存在一点D,使得∠ACD=∠B,∠BAC的平分线AE交CD于点F,交BC于E.△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M.请补全图形并直接写出∠M与∠CFE的数量关系.
解:(1)∵∠ACB=90°,CD是高,
∴∠B+∠CAB=90°,∠ACD+∠CAB=90°,
∴∠B=∠ACD,
∵AE是角平分线,
∴∠CAF=∠DAF,
∵∠CFE=∠CAF+∠ACD∠CEF=∠DAF+∠B,
∴∠CEF=∠CFE;
故答案为:∠CEF=∠CFE;
(2)∠CEF=∠CFE.
理由:∵AF为∠BAG的角平分线,
∴∠GAF=∠DAF,
∵CD为AB边上的高,
∴∠ADC=90°,
∴∠ADF=∠ACE=90°,
又∵∠CAE=∠GAF,
∴∠CEF=∠CFE;
(3)如图:
∵C、A、G三点共线 AE、AN为角平分线,
∴∠EAN=90°,
又∵∠GAN=∠CAM,
∴∠M+∠CEF=90°,
∵∠CEF=∠EAB+∠B,∠CFE=∠EAC+∠ACD,∠ACD=∠B,
∴∠CEF=∠CFE,
∴∠M+∠CFE=90°.