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2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：6.4 多边形的内角和与外角和
一、知识点1多边形的内角和
1．一般地,从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线,它们将n边形分为 个三角形,因此n边形的内角和是 个三角形的内角的和,即n边形的内角和等于 .
【答案】(n-2)；(n-2)；(n-2)×180°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：一般地,从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为个（n-2）个三角形，因此n边形的内角和是（n-2）个三角形的内角的和,即n边形的内角和等于(n-2)×180°。
故答案为:(n-2);(n-2);(n-2)×180°.
【分析】根据多边形的内角和定理推导得出答案。
2．六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．360°
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（6-2）×180°=720°
故答案为：B
【分析】根据n边形的内角和公式（n-2）×180°，计算即可得出答案。
3．一个多边形的内角和是1 260°，它的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2）×180°=1260°
n-2=7
∴n=9
故答案为：C
【分析】根据n边形的内角和公式（n-2）×180°，建立方程求解即可。
4．（2016·凉山）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2） 180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
故选：D．
【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
5．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：A、将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，这两个三角形的内角和为：180°+180°=360°，因此A不符合题意；
B、将矩形从一个顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°，因此B不符合题意；
C、将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，这两个多边形的内角和为：360°+360°=720°，因此C不符合题意；
D、符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意列出可能的结果，再分别根据多边形的内角和定理计算即可。
二、知识点2正多边形的内角和
6．正多边形的每个内角都 ;若一个正多边形的一个内角是108°,则这个多边形的边数是 .
【答案】相等；5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正多边形的每个内角都相等；
设这个多边形的边数为n，则
（n-2）×180=108n
解之：n=5
故答案为：相等；5.
【分析】根据正多边形的每一个内角相等，及正多边形的内角和公式，建立方程求解即可得出这个多边形的边数。
7．（2016八上·汕头期中）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：外角是：180°﹣150°=30°，
360°÷30°=12．
则这个正多边形是正十二边形．
故选：C．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
8．（2016八上·汕头期中）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7 B．10 C．35 D．70
【答案】C
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是： = =35．
故选C．
【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入 中即可得出结论．
9．在四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°.
（1）如图①,若∠B=∠C,试求出∠C的度数;
（2）如图②,若∠ABC的平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,试求出∠C的度数;
（3）如图③,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数.
【答案】（1）解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠B=∠C,
∴∠B=∠C=(360°-∠A-∠D)÷2=70°
（2）解:∵BE∥AD,∴∠BEC=∠D=80°,∠ABE+∠A=180°.
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°.
又∵BE平分∠ABC,
∴∠EBC=∠ABE=40°.
∴∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60° （2）
（3）解:∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°,
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°.
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,
∴∠EBC= ∠ABC,∠BCE= ∠BCD.
∴∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD）=×140°=70°，
∴∠E=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-70°=110°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和为360°结合已知∠B=∠C，就可求出∠C的度数。
（2）根据平行线的性质得出∠BEC=∠D=80°,∠ABE+∠A=180°，就可求出∠ABE的度数，再根据角平分线的定义就可求出∠EBC的度数，然后根据三角形的内角和定理就可求出∠C的度数。
（3）根据四边形ABCD中已知∠A和∠D的度数，就可求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线定义求出∠EBC和∠BCE的和，然后根据三角形的内角和定理就可求出∠BEC的度数。
10．如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
【答案】解:如图,连接BF.
∵∠A+∠G+∠AOG=180°,∠1+∠2+∠BOF=180°,∠AOG=∠BOF,
∴∠A+∠G=∠1+∠2.
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G=∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠BFE=(5-2)×180°=540°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用三角形内角和定理把∠A+∠G转化为∠1+∠2，再利用多边形内角和定理的计算公式可求得结果。
11．如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点.若图中
∠1，∠2，∠3，∠4的角度和为220°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，延长BC交OD于点M
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=360°-220°=140°，
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=180°-140°=40°
故答案为：A
【分析】延长BC交OD于点M，根据多边形的外角和为360°，求出∠OBC+∠MCD+∠CDM的度数，再根据四边形的内角和为360°及∠OBC+∠MCD+∠CDM的度数，就可求出∠BOD的度数。
12．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°.
（1）求此多边形的边数;
（2）此多边形必有一内角为多少度
【答案】（1）解:设此多边形的边数为n,这个外角为x度,则0根据题意得(n-2)·180+x=1 350,∴n=9+ .
∵n为正整数,∴90-x必为180的倍数.
又∵0∴x=90.则n=9,即此多边形的边数为9
（2）解:由(1)知此多边形必有一内角为180°-90°=90°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用多边形的外角与内角的关系可求得多边形的边数，先求出1 350°是多边形的内角和与哪一个角的和，再根据邻补角求得该内角即可。
13．如图
（1）如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图②，已知在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，∠1+∠2= ；
（3）根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ；
（4）如图③，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图所示的形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由.
【答案】（1）C
（2）220°
（3）∠1+∠2=180°+∠A
（4）解：∠1+∠2=2∠A.理由如下：∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF.
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF.
∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF).
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC为直角三角形，
∴∠B+∠C=90°
∴∠1+∠2=360°-90°=270°
（2）∵△ABC中，∠A=40°，
∴∠B+∠C=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2=360°-140°=220°
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C的度数，再利用四边形的内角和定理得出∠B+∠C+∠1+∠2=360°，计算即可求出答案。
（2）先根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C的度数，再利用四边形的内角和定理得出∠B+∠C+∠1+∠2=360°，计算即可求出答案。
（3）根据折叠的性质得出∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，再根据平角的定义求出∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，然后再求出∠1+∠2与∠A的关系即可。
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2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：6.4 多边形的内角和与外角和
一、知识点1多边形的内角和
1．一般地,从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线,它们将n边形分为 个三角形,因此n边形的内角和是 个三角形的内角的和,即n边形的内角和等于 .
2．六边形的内角和是（ ）
A．540° B．720° C．900° D．360°
3．一个多边形的内角和是1 260°，它的边数是（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
4．（2016·凉山）一个多边形切去一个角后，形成的另一个多边形的内角和为1080°，那么原多边形的边数为（ ）
A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9
5．将一长方形纸片沿一条直线剪成两个多边形，那么这两个多边形的内角和之和不可能是（ ）
A．360° B．540° C．720° D．900°
二、知识点2正多边形的内角和
6．正多边形的每个内角都 ;若一个正多边形的一个内角是108°,则这个多边形的边数是 .
7．（2016八上·汕头期中）正多边形的一个内角是150°，则这个正多边形的边数为（ ）
A．10 B．11 C．12 D．13
8．（2016八上·汕头期中）若一个正n边形的每个内角为144°，则这个正n边形的所有对角线的条数是（ ）
A．7 B．10 C．35 D．70
9．在四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°.
（1）如图①,若∠B=∠C,试求出∠C的度数;
（2）如图②,若∠ABC的平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,试求出∠C的度数;
（3）如图③,若∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,试求出∠BEC的度数.
10．如图,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.
11．如图，在七边形ABCDEFG中，AB，ED的延长线相交于O点.若图中
∠1，∠2，∠3，∠4的角度和为220°，则∠BOD的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
12．多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1 350°.
（1）求此多边形的边数;
（2）此多边形必有一内角为多少度
13．如图
（1）如图①，已知△ABC为直角三角形，∠A=90°，若沿图中虚线剪去∠A，则∠1+∠2等于（ ）
A．90° B．135° C．270° D．315°
（2）如图②，已知在△ABC中，∠A=40°，剪去∠A后成四边形，∠1+∠2= ；
（3）根据(1)与(2)的求解过程，请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是 ；
（4）如图③，若没有剪掉∠A，而是把它折成如图所示的形状，试探究∠1+∠2与∠A的关系，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】(n-2)；(n-2)；(n-2)×180°
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：一般地,从n边形的一个顶点出发,可以作(n-3)条对角线，它们将n边形分为个（n-2）个三角形，因此n边形的内角和是（n-2）个三角形的内角的和,即n边形的内角和等于(n-2)×180°。
故答案为:(n-2);(n-2);(n-2)×180°.
【分析】根据多边形的内角和定理推导得出答案。
2．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（6-2）×180°=720°
故答案为：B
【分析】根据n边形的内角和公式（n-2）×180°，计算即可得出答案。
3．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：
（n-2）×180°=1260°
n-2=7
∴n=9
故答案为：C
【分析】根据n边形的内角和公式（n-2）×180°，建立方程求解即可。
4．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设内角和为1080°的多边形的边数是n，则（n﹣2） 180°=1080°，
解得：n=8．
则原多边形的边数为7或8或9．
故选：D．
【分析】首先求得内角和为1080°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
5．【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：A、将矩形沿对角线剪开，得到两个三角形，这两个三角形的内角和为：180°+180°=360°，因此A不符合题意；
B、将矩形从一个顶点剪向对边，得到一个三角形和一个四边形，两个多边形的内角和为：180°+360°=540°，因此B不符合题意；
C、将矩形沿一组对边剪开，得到两个四边形，这两个多边形的内角和为：360°+360°=720°，因此C不符合题意；
D、符合题意；
故答案为：D
【分析】根据题意列出可能的结果，再分别根据多边形的内角和定理计算即可。
6．【答案】相等；5
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：正多边形的每个内角都相等；
设这个多边形的边数为n，则
（n-2）×180=108n
解之：n=5
故答案为：相等；5.
【分析】根据正多边形的每一个内角相等，及正多边形的内角和公式，建立方程求解即可得出这个多边形的边数。
7．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：外角是：180°﹣150°=30°，
360°÷30°=12．
则这个正多边形是正十二边形．
故选：C．
【分析】一个正多边形的每个内角都相等，根据内角与外角互为邻补角，因而就可以求出外角的度数．根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
8．【答案】C
【知识点】多边形的对角线；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵一个正n边形的每个内角为144°，
∴144n=180×（n﹣2），解得：n=10．
这个正n边形的所有对角线的条数是： = =35．
故选C．
【分析】由正n边形的每个内角为144°结合多边形内角和公式，即可得出关于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，将其代入 中即可得出结论．
9．【答案】（1）解:∵∠A+∠B+∠C+∠D=360°,∠B=∠C,
∴∠B=∠C=(360°-∠A-∠D)÷2=70°
（2）解:∵BE∥AD,∴∠BEC=∠D=80°,∠ABE+∠A=180°.
∴∠ABE=180°-∠A=180°-140°=40°.
又∵BE平分∠ABC,
∴∠EBC=∠ABE=40°.
∴∠C=180°-∠EBC-∠BEC=180°-40°-80°=60° （2）
（3）解:∵∠A+∠ABC+∠BCD+∠D=360°,
∴∠ABC+∠BCD=360°-∠A-∠D=360°-140°-80°=140°.
∵∠ABC和∠BCD的平分线交于点E,
∴∠EBC= ∠ABC,∠BCE= ∠BCD.
∴∠EBC+∠BCE=（∠ABC+∠BCD）=×140°=70°，
∴∠E=180°-（∠EBC+∠BCE）=180°-70°=110°
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据四边形的内角和为360°结合已知∠B=∠C，就可求出∠C的度数。
（2）根据平行线的性质得出∠BEC=∠D=80°,∠ABE+∠A=180°，就可求出∠ABE的度数，再根据角平分线的定义就可求出∠EBC的度数，然后根据三角形的内角和定理就可求出∠C的度数。
（3）根据四边形ABCD中已知∠A和∠D的度数，就可求出∠ABC+∠BCD的度数，再根据角平分线定义求出∠EBC和∠BCE的和，然后根据三角形的内角和定理就可求出∠BEC的度数。
10．【答案】解:如图,连接BF.
∵∠A+∠G+∠AOG=180°,∠1+∠2+∠BOF=180°,∠AOG=∠BOF,
∴∠A+∠G=∠1+∠2.
∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠E+∠EFG+∠G=∠FBC+∠C+∠D+∠E+∠BFE=(5-2)×180°=540°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用三角形内角和定理把∠A+∠G转化为∠1+∠2，再利用多边形内角和定理的计算公式可求得结果。
11．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：如图，延长BC交OD于点M
∵多边形的外角和为360°，
∴∠OBC+∠MCD+∠CDM=360°-(∠1+∠2+∠3+∠4)=360°-220°=140°，
∵四边形的内角和为360°，
∴∠BOD+∠OBC+180°+∠MCD+∠CDM=360°，
∴∠BOD=180°-140°=40°
故答案为：A
【分析】延长BC交OD于点M，根据多边形的外角和为360°，求出∠OBC+∠MCD+∠CDM的度数，再根据四边形的内角和为360°及∠OBC+∠MCD+∠CDM的度数，就可求出∠BOD的度数。
12．【答案】（1）解:设此多边形的边数为n,这个外角为x度,则0根据题意得(n-2)·180+x=1 350,∴n=9+ .
∵n为正整数,∴90-x必为180的倍数.
又∵0∴x=90.则n=9,即此多边形的边数为9
（2）解:由(1)知此多边形必有一内角为180°-90°=90°.
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】利用多边形的外角与内角的关系可求得多边形的边数，先求出1 350°是多边形的内角和与哪一个角的和，再根据邻补角求得该内角即可。
13．【答案】（1）C
（2）220°
（3）∠1+∠2=180°+∠A
（4）解：∠1+∠2=2∠A.理由如下：∵△EFP是由△EFA折叠得到的，
∴∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF.
∴∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF.
∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF).
又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A，∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：（1）∵△ABC为直角三角形，
∴∠B+∠C=90°
∴∠1+∠2=360°-90°=270°
（2）∵△ABC中，∠A=40°，
∴∠B+∠C=180°-40°=140°，
∴∠1+∠2=360°-140°=220°
【分析】（1）先根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C的度数，再利用四边形的内角和定理得出∠B+∠C+∠1+∠2=360°，计算即可求出答案。
（2）先根据三角形的内角和定理求出∠B+∠C的度数，再利用四边形的内角和定理得出∠B+∠C+∠1+∠2=360°，计算即可求出答案。
（3）根据折叠的性质得出∠AFE=∠PFE，∠AEF=∠PEF，再根据平角的定义求出∠1=180°-2∠AFE，∠2=180°-2∠AEF，然后再求出∠1+∠2与∠A的关系即可。
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