2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.4.2 圆周角和圆心角的关系
一、选择题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于D，交BC于E，连接AE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE⊥BC B．BE=EC C．ED=EC D．∠BAC=∠EDC
【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，∠BAE=∠CAE，
∴ = ，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠B，
答案为：D．
【分析】利用直径的性质可得AE⊥BC，由等腰三角形的性质可得∠EDC=∠B，进而选出正确答案.
2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
答案为：D．
【分析】由圆周角定理及其推论得∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，进而∠ACD+∠BAD=90°.
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，
故答案为：B．
【分析】出现直径时，连接直径端点和圆周上一点，即连AC，可得∠ACB=90°，转化 ∠AED=∠ACD=20°，进而BCD=∠ACB+∠ACD=110°.
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
答案为：C．
【分析】出现直径时，可连接直径端点和圆周上一点，即连BD，构成90度圆周角，进而∠BAD=90°﹣∠ABD=60°.
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（ ）
A．48° B．42° C．45° D．24°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=42°，
∴∠DCA=∠ABD=42°．
答案为：B．
【分析】利用直径的性质可得∠ACB=90，利用圆周定理可转化∠BAD=∠BCD，进而∠DCA=90°﹣∠BCD.
6．如图，BD是⊙O的直径，∠A=60°，则∠DBC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．25°
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠A=60°，
∴∠DBC=90°﹣∠D=30°．
答案为：A．
【分析】利用圆周角定理及其推论，可转化∠D=∠A，∠DBC=90°﹣∠D=30°.
7．（2017·宾县模拟）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示．
∵点D是弧AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD．
∵∠ABC=50°，AB是半圆的直径，
∴∠ABD= ∠ABC=25°，∠ADB=90°，
∴∠DAB=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=65°．
故选B．
【分析】连接BD，由点D是弧AC的中点结合∠ABC的度数即可得出∠ABD的度数，根据AB是半圆的直径即可得出∠ADB=90°，再利用三角形内角和定理即可求出∠DAB的度数．
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B=3∠BAC，则∠ADC等于（ ）
A．100° B．112.5° C．120° D．135°
【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠B=3∠BAC，
∴∠B=67.5，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°﹣∠B=112.5°，
答案为：B．
【分析】利用直径所对的90度圆周角，可求出∠B=3∠BAC，再由四边形ABCD性质，可求出ADC=180°﹣∠B=112.5°.
9．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE= AD=1，∠ODE= ∠ADB=30°，
∴OD= = ．
答案为：D．
【分析】通过连半径，作弦心距，构造出直角三角形，利用三角函数、圆内接四边形性质，求出半径.
10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠GBC=∠ADC=50°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°﹣50°=40°，
延长AE交⊙O于点M，
∵AO⊥CD，
∴ ，
∴∠DBC=2∠EAD=80°．
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理，可得弧CM=弧DM，进而∠DBC=2∠EAD，再由圆内接四边形性质可得∠GBC=∠ADC，∠EAD=90°﹣50°=40°.
二、填空题
11．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数是 ．
【答案】32°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=32°，
∴∠BCD=32°，
故答案为：32°．
【分析】利用圆周角定理可转化∠A=∠BCD，再由直径所对的90度圆周角性质，可求出答案.
12．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点， = ．若∠CAB=40°，则∠CAD= ．
【答案】25°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BC，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=50°，
∵ = ，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=25°，
∴∠CAD=∠CBD=25°．
故答案为：25°．
【分析】利用直径的性质，需连接BC,BD,再利用等弧所对的圆周角相等，可求出∠CAD=∠CBD=25°.
13．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5 ，则BC的长为 ．
【答案】8
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5 ．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB= = =10．
∵AC=6，
∴BC= = =8．
故答案为：8．
【分析】出现直径时，连接直径的端点和圆周上一点，构成90度圆周角，再由“ACB的角平分线交⊙O于D可得∠ACD=∠BCD=45°，进而△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出BC .
14．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是 ．
【答案】60°或120°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=OB=BC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．
故答案为：60°或120°．
【分析】利用菱形性质需连接OB,构造等边三角形，求出圆心角∠AOC=120°,由于点D没有标出，因此需分类在劣AC上或优弧AmC上，求出∠ADC=60°或120°.
15．（2018·深圳模拟）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．
【答案】120°
【知识点】解一元一次方程；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，
∴∠B=3x=60°，
∴∠D=180°﹣60°=120°，
故答案为：120°.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，根据∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x，建立方程4x+5x=180°，求出方程的解，再求出∠B的度数，从而可求得∠D的度数。
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是 的中点，点E是 上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC= 度．
【答案】100
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AE，
∵点D是 的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形ADCE是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，
答案为：100．
【分析】利用圆周角定理，可得∠AEC=2∠CED=80°，再由圆内接四边形对角互补性质，可得∠ADC=180°﹣∠AEC=100°.
三、解答题
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， = ，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE=3，DE= ，求∠ABC的度数．
【答案】解：作BF⊥CE于F，∵∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D．又BC=CD，∴Rt△BCF≌Rt△CDE．∴BF=CE．又∵∠BFE=∠AEF=∠A=90°，∴四边形ABFE是矩形．∴BF=AE．∴AE=CE=3，在Rt△CDE中∵∴∠D=60°∵∠ABC+∠D=180°∴∠ABC=120°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】由弧BC=弧CD ，可得弦BC=CD ,需作BF⊥CE于F，构造全等三角形，Rt△BCF≌Rt△CDE，由三角函数求出tan D，由∠BCF=∠D，再利用圆内接四边形性质，求出∠ABC的度数.
18．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠BAC，AB=20，AD=4 ，DE⊥AB于E．
（1）求DE的长．
（2）求证：AC=2OE．
【答案】（1）解：连接BD．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，BD= =
=4 ，
∵S△ADB= AD BD= AB DE
∴AD BD=AB DE，
∴DE= = =4 ，
即DE=4 ；
（2）解：证明：连接OD，作OF⊥AC于点F．
∵OF⊥AC，
∴AC=2AF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD．
又∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
Rt△OED和Rt△AFO中，
∵
∴△AFO≌△OED（AAS），
∴AF=OE，
∵AC=2AF，
∴AC=2OE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）出现直径时，连接直径的端点和圆周上的一点，构成90度圆周角，利用勾股定理和面积法可以解决；（2）过圆心向弦引垂线，由垂径定理，得平分，构造出AC的一半，再证△AFO≌△OED，可证出结论.
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.4.2 圆周角和圆心角的关系
一、选择题
1．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于D，交BC于E，连接AE，则下列结论中不一定正确的是（ ）
A．AE⊥BC B．BE=EC C．ED=EC D．∠BAC=∠EDC
2．如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（ ）
A．∠ADC B．∠ABD C．∠BAC D．∠BAD
3．如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠AED=20°，则∠BCD的度数为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
4．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ACD=30°，则∠BAD为（ ）
A．30° B．50° C．60° D．70°
5．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，若∠BAD=48°，则∠DCA的大小为（ ）
A．48° B．42° C．45° D．24°
6．如图，BD是⊙O的直径，∠A=60°，则∠DBC的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．25°
7．（2017·宾县模拟）如图，AB是半圆的直径，点D是弧AC的中点，∠ABC=50°，则∠DAB等于（ ）
A．60° B．65° C．70° D．75°
8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB经过圆心，∠B=3∠BAC，则∠ADC等于（ ）
A．100° B．112.5° C．120° D．135°
9．如图，已知⊙O为四边形ABCD的外接圆，O为圆心，若∠BCD=120°，AB=AD=2，则⊙O的半径长为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形．延长AB与DC相交于点G，AO⊥CD，垂足为E，连接BD，∠GBC=50°，则∠DBC的度数为（ ）
A．50° B．60° C．80° D．90°
二、填空题
11．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD的度数是 ．
12．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的点， = ．若∠CAB=40°，则∠CAD= ．
13．如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=90°，∠ACB的角平分线交⊙O于D．若AC=6，BD=5 ，则BC的长为 ．
14．如图，A、B、C是⊙O上的三点，且四边形OABC是菱形．若点D是圆上异于A、B、C的另一点，则∠ADC的度数是 ．
15．（2018·深圳模拟）如图，在圆内接四边形ABCD中，若∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，则∠D的度数是 °．
16．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，点D是 的中点，点E是 上的一点，若∠CED=40°，则∠ADC= 度．
三、解答题
17．如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠BAD=90°， = ，过点C作CE⊥AD，垂足为E，若AE=3，DE= ，求∠ABC的度数．
18．如图，C、D两点在以AB为直径的半圆O上，AD平分∠BAC，AB=20，AD=4 ，DE⊥AB于E．
（1）求DE的长．
（2）求证：AC=2OE．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB为⊙O的直径，
∴AE⊥BC，
∵AB=AC，
∴BE=CE，∠BAE=∠CAE，
∴ = ，
∴ED=EC，
∴∠EDC=∠B，
答案为：D．
【分析】利用直径的性质可得AE⊥BC，由等腰三角形的性质可得∠EDC=∠B，进而选出正确答案.
2．【答案】D
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，
∵∠BCD=∠BAD，
∴∠ACD+∠BAD=90°，
答案为：D．
【分析】由圆周角定理及其推论得∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，进而∠ACD+∠BAD=90°.
3．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠AED=20°，
∴∠ACD=20°，
∴∠BCD=∠ACB+∠ACD=110°，
故答案为：B．
【分析】出现直径时，连接直径端点和圆周上一点，即连AC，可得∠ACB=90°，转化 ∠AED=∠ACD=20°，进而BCD=∠ACB+∠ACD=110°.
4．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵∠ACD=30°，
∴∠ABD=30°，
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠BAD=90°﹣∠ABD=60°．
答案为：C．
【分析】出现直径时，可连接直径端点和圆周上一点，即连BD，构成90度圆周角，进而∠BAD=90°﹣∠ABD=60°.
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ABD=90°﹣∠BAD=42°，
∴∠DCA=∠ABD=42°．
答案为：B．
【分析】利用直径的性质可得∠ACB=90，利用圆周定理可转化∠BAD=∠BCD，进而∠DCA=90°﹣∠BCD.
6．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵BD是⊙O的直径，
∴∠BCD=90°，
∵∠D=∠A=60°，
∴∠DBC=90°﹣∠D=30°．
答案为：A．
【分析】利用圆周角定理及其推论，可转化∠D=∠A，∠DBC=90°﹣∠D=30°.
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接BD，如图所示．
∵点D是弧AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD．
∵∠ABC=50°，AB是半圆的直径，
∴∠ABD= ∠ABC=25°，∠ADB=90°，
∴∠DAB=180°﹣∠ABD﹣∠ADB=65°．
故选B．
【分析】连接BD，由点D是弧AC的中点结合∠ABC的度数即可得出∠ABD的度数，根据AB是半圆的直径即可得出∠ADB=90°，再利用三角形内角和定理即可求出∠DAB的度数．
8．【答案】B
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠B=90°，
∵∠B=3∠BAC，
∴∠B=67.5，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠ADC=180°﹣∠B=112.5°，
答案为：B．
【分析】利用直径所对的90度圆周角，可求出∠B=3∠BAC，再由四边形ABCD性质，可求出ADC=180°﹣∠B=112.5°.
9．【答案】D
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，作OE⊥AD，连接OD，
∵⊙O为四边形ABCD的外接圆，∠BCD=120°，
∴∠BAD=60°．
∵AD=AB=2，
∴△ABD是等边三角形．
∴DE= AD=1，∠ODE= ∠ADB=30°，
∴OD= = ．
答案为：D．
【分析】通过连半径，作弦心距，构造出直角三角形，利用三角函数、圆内接四边形性质，求出半径.
10．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵A、B、D、C四点共圆，
∴∠GBC=∠ADC=50°，
∵AE⊥CD，
∴∠AED=90°，
∴∠EAD=90°﹣50°=40°，
延长AE交⊙O于点M，
∵AO⊥CD，
∴ ，
∴∠DBC=2∠EAD=80°．
故答案为：C．
【分析】利用垂径定理，可得弧CM=弧DM，进而∠DBC=2∠EAD，再由圆内接四边形性质可得∠GBC=∠ADC，∠EAD=90°﹣50°=40°.
11．【答案】32°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵∠ABD=58°，
∴∠A=32°，
∴∠BCD=32°，
故答案为：32°．
【分析】利用圆周角定理可转化∠A=∠BCD，再由直径所对的90度圆周角性质，可求出答案.
12．【答案】25°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，连接BC，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵∠CAB=40°，
∴∠ABC=50°，
∵ = ，
∴∠ABD=∠CBD= ∠ABC=25°，
∴∠CAD=∠CBD=25°．
故答案为：25°．
【分析】利用直径的性质，需连接BC,BD,再利用等弧所对的圆周角相等，可求出∠CAD=∠CBD=25°.
13．【答案】8
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AD，
∵∠ACB=90°，
∴AB是⊙O的直径．
∵ACB的角平分线交⊙O于D，
∴∠ACD=∠BCD=45°，
∴AD=BD=5 ．
∵AB是⊙O的直径，
∴△ABD是等腰直角三角形，
∴AB= = =10．
∵AC=6，
∴BC= = =8．
故答案为：8．
【分析】出现直径时，连接直径的端点和圆周上一点，构成90度圆周角，再由“ACB的角平分线交⊙O于D可得∠ACD=∠BCD=45°，进而△ABD是等腰直角三角形，利用勾股定理可求出BC .
14．【答案】60°或120°
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是菱形，
∴AB=OA=OB=BC，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠ADC=60°，∠AD′C=120°．
故答案为：60°或120°．
【分析】利用菱形性质需连接OB,构造等边三角形，求出圆心角∠AOC=120°,由于点D没有标出，因此需分类在劣AC上或优弧AmC上，求出∠ADC=60°或120°.
15．【答案】120°
【知识点】解一元一次方程；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】∵∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，
∴设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x，
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠A+∠C=180°，即4x+5x=180°，解得x=20°，
∴∠B=3x=60°，
∴∠D=180°﹣60°=120°，
故答案为：120°.
【分析】根据圆内接四边形的对角互补，根据∠A，∠B，∠C的度数之比为4：3：5，设∠A=4x，则∠B=3x，∠C=5x，建立方程4x+5x=180°，求出方程的解，再求出∠B的度数，从而可求得∠D的度数。
16．【答案】100
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AE，
∵点D是 的中点，
∴∠AED=∠CED，
∵∠CED=40°，
∴∠AEC=2∠CED=80°，
∵四边形ADCE是圆内接四边形，
∴∠ADC+∠AEC=180°，
∴∠ADC=180°﹣∠AEC=100°，
答案为：100．
【分析】利用圆周角定理，可得∠AEC=2∠CED=80°，再由圆内接四边形对角互补性质，可得∠ADC=180°﹣∠AEC=100°.
17．【答案】解：作BF⊥CE于F，∵∠BCF+∠DCE=90°，∠D+∠DCE=90°，∴∠BCF=∠D．又BC=CD，∴Rt△BCF≌Rt△CDE．∴BF=CE．又∵∠BFE=∠AEF=∠A=90°，∴四边形ABFE是矩形．∴BF=AE．∴AE=CE=3，在Rt△CDE中∵∴∠D=60°∵∠ABC+∠D=180°∴∠ABC=120°．
【知识点】圆内接四边形的性质
【解析】【分析】由弧BC=弧CD ，可得弦BC=CD ,需作BF⊥CE于F，构造全等三角形，Rt△BCF≌Rt△CDE，由三角函数求出tan D，由∠BCF=∠D，再利用圆内接四边形性质，求出∠ABC的度数.
18．【答案】（1）解：连接BD．
∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△ADB中，BD= =
=4 ，
∵S△ADB= AD BD= AB DE
∴AD BD=AB DE，
∴DE= = =4 ，
即DE=4 ；
（2）解：证明：连接OD，作OF⊥AC于点F．
∵OF⊥AC，
∴AC=2AF，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAC=2∠BAD．
又∵∠BOD=2∠BAD，
∴∠BAC=∠BOD，
Rt△OED和Rt△AFO中，
∵
∴△AFO≌△OED（AAS），
∴AF=OE，
∵AC=2AF，
∴AC=2OE．
【知识点】全等三角形的判定与性质；垂径定理的应用
【解析】【分析】（1）出现直径时，连接直径的端点和圆周上的一点，构成90度圆周角，利用勾股定理和面积法可以解决；（2）过圆心向弦引垂线，由垂径定理，得平分，构造出AC的一半，再证△AFO≌△OED，可证出结论.
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