2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（ ）
A．4cm B．3 cm C．2 cm D．2 cm
【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连结OA，如图，
∵∠ACD=22.5°，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，
∴AE= OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE= ，
∴AB=2AE=3 （cm）．
故答案为：B．
【分析】连结OA，如图，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOD=2∠ACD=45°，根据垂径定理得出AE=BE，进而得出△OAE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，由AE= OA，得出AE的长，从而得出AB的长。
2．（北师大版数学九年级下册第三章第四节《圆周角和圆心角的关系》同步练习）如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】解答：∵∠ABC= ∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴ ∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
故选：C．
分析：先根据圆周角定理得到∠ABC= ∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以 ∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA cos45°= ×1= ，
∴BD=OB﹣OD=1﹣ ，
∴AB= = ，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，AC=2，
∴sinC= ．
故答案为：B．
【分析】 过点A作AD⊥OB于点D，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由OD=AD=OA cos45°算出OD，AD的长度，再根据勾股定理算出AB的长度，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=90°，再根据正弦函数的定义即可得出答案。
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是 上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在⊙O中，AB是直径，
∴∠C=90°，
∵AB=5，BC=3，
∴AC= =4，
∵点P是 上任意一点．
∴4≤AP≤5．
故答案为：A．
【分析】 连接AC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠C=90°，然后根据勾股定理算出AC的长，根据直径是圆中最长的弦，及弦越靠近圆心越长即可得出AP的取值范围。
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，已知A，B，C在⊙O上， 为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C
【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．
故答案为：A．
【分析】 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出答案。
6．（2016·深圳模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
【答案】D
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B= ∠AOC=55°．
故选：D．
【分析】连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
7．（2017·义乌模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴ = ，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
【分析】利用垂径定理得出 = ，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
8．（2016九上·顺义期末）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径是AB，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=2，弦AC=1，
∴sin∠CBA= ，
∴∠CBA=30°，
∴∠A=∠D=60°，
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠A=∠D，要求∠D的度数，在Rt△ABC中，利用三角函数的定义及特殊角的三角函数值求出∠A的度数即可。
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为 ．
【答案】80°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为80°
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出答案。
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．
【答案】60
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接DO并延长，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ADC，
∴∠B=2∠ADC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=∠AOC=120°，
∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，
∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．
故答案为：60．
【分析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．
11．（2017·姑苏模拟）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 度．
【答案】50
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∠ACB= ∠AOB= ×100°=50°．
故答案是：50．
【分析】同弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半.
12．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 （写出一个即可）
【答案】70°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直径，DC⊥AB，
∴∠AOC= ∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数．
故答案为：70°
【分析】连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠OAB=∠AOB=60°，∠AOC= ∠AOB=30°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠ADC=15°，根据三角形的内角和得出∠DAB=75°，从而得出∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，即∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数，进而得出答案。
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 ．
【答案】70°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AC⊥BO，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，
∴∠BOC=2∠A=70°．
故答案为：70°．
【分析】 根据三角形的内角和得出∠A的度数，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出 ∠BOC的度数 。
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 ．
【答案】28°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案为：28°
【分析】 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出 ∠AOB与∠C的关系 ，再代入 ∠AOB+∠ACB=84° 即可求出 ∠ACB的大小 。
三、解答题
15．（2017九上·鄞州月考）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长.
【答案】（1）解：∵AB是半圆的直径，∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠OEA=∠C=90°，∠AOD=∠B=70°，
∵OA=0D，
∴∠D=∠OAD= ，
∴在Rt△ADE中，∠DAC=90°-55°=35°.
（2）解：∵∠OEA=90°，∴OE⊥AC，∴AE= AC=1.5，∵AB=4，∴AO=OD=2，
∴在Rt△AEO中，OE= ，
∴DE=OD-OE= .
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠C=90°，再根据OD∥BC，证出∠AOD=∠B=70°及∠OEA=90°，再求出∠D的度数，根据三角形的内角和定理即可求出∠DAC的度数。
（2）由（1）的证明过程可知OE⊥AC，先根据垂径定理得出AE的长，再在Rt△AEO中，利用勾股定理求出OE的长，然后根据DE=OD-OE，求出结果。
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
【答案】（1）解：如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC= = =8．
∵AD平分∠CAB，
∴ = ，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5 ；
（2）解：如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB= ∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠CAB=∠BDC=90°，在直角△CAB中 ，利用勾股定理算出AC的长，根据同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得出 = ， 根据等弧所对的弦相等得出 CD=BD，然后在直角△BDC中 ，利用勾股定理即可算出BD，CD的长；
（2） 如图②，连接OB，OD，根据角平分线定义得出 ∠DAB= ∠CAB=30°， 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠DOB=2∠DAB=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△OBD是等边三角形， 根据等边三角形的三边相等得出 BD=OB=OD，从而得出答案。
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD= ，求⊙O的直径．
【答案】（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴ = ，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD= ，
即 = ，
∵BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直径是5．
【知识点】平行线的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠D=∠1 ，根据垂径定理得出 = ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠1=∠BCD， 故 ∠D=∠BCD， 根据内错角相等，两直线平行得出 CB∥PD；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ACB=90°，根据垂径定理得出 = ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠BPD=∠CAB， 根据等角的同名三角函数值相等得出 sin∠CAB=sin∠BPD= ， 最后根据三角函数的定义即可算出AB的长。
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
【答案】（1）解：如右图所示，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中点，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．
（3）解：如图，连接AD、OD，
∵DF=FG，
∴∠DGF=∠FDG，
∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF=GF，
∴S△ADG=2S△DGF=9，
∵△BCG∽△ADG，
∴ = ，
∵△ADG的面积为9，且DG=3，GC=4，
∴S△BCG=16．
答：△BCG的面积是16．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ACB=90°， 根据直角三角形两锐角互余得出 ∠CAB+∠ABC=90°， 又 ∠MAC=∠ABC， 故 ∠CAB+∠MAC=90°， 即∠MAB=90°， 根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线得出结论： MN是半圆的切线 ；
（2）根据等角的余角相等得出 ∠EDB=∠BGC， 又 ∠DGF=∠BGC， 故 ∠EDB=∠DGF， 根据等角对等边即可得出DF=FG；
（3） 如图，连接AD、OD， 根据等角的余角相等得出 ∠DAF=∠ADF， 根据等角对等边得出AF=DF=GF， 根据同高三角形的面积的关系得出 S△ADG=2S△DGF=9， 然后很容易证出 △BCG∽△ADG， 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出 S△BCG=16．
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
【答案】解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵BE=CE，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAC=40°，
∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】 连接AE， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠AEB=90°， 根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AB=AC， 根据等腰三角形的三线合一及三角形的内角和得出 ∠BAC=2∠CAE=40°，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出答案。
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．
【答案】（1）解：∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，
∴∠C=80°﹣50°=30°，
∴∠ABD=∠C=30°；
（2）解：过点O作OE⊥BD于点E，则BD=2BE，
∵∠ABD=30°，OB=5cm，
∴BE=OB cos30°=5× = cm，
∴BD=2BE=5 cm．
【知识点】三角形的外角性质；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角的和，由∠C=∠APD-∠CAB即可算出∠C的度数，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ABD的度数；
（2） 过点O作OE⊥BD于点E，根据垂径定理得出BD=2BE， 根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 BE=OB cos30° 即可算出BE的长，进而得出答案。
1 / 12018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习
一、选择题
1．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（ ）
A．4cm B．3 cm C．2 cm D．2 cm
2．（北师大版数学九年级下册第三章第四节《圆周角和圆心角的关系》同步练习）如图，△ABC的顶点A.B.C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．70°
3．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是 上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A．3 B．4 C． D．5
5．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，已知A，B，C在⊙O上， 为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C
6．（2016·深圳模拟）如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．55°
7．（2017·义乌模拟）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．160° B．150° C．140° D．120°
8．（2016九上·顺义期末）如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．75°
二、填空题
9．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为 ．
10．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．
11．（2017·姑苏模拟）如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 度．
12．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 （写出一个即可）
13．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 ．
14．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 ．
三、解答题
15．（2017九上·鄞州月考）如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E.
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长.
16．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（2）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
17．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD= ，求⊙O的直径．
18．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
19．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
20．（2018-2019学年初中数学华师大版九年级下册27.1.3 圆周角 同步练习）如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】垂径定理；圆周角定理；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：连结OA，如图，
∵∠ACD=22.5°，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，
∴AE= OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE= ，
∴AB=2AE=3 （cm）．
故答案为：B．
【分析】连结OA，如图，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得出∠AOD=2∠ACD=45°，根据垂径定理得出AE=BE，进而得出△OAE为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，由AE= OA，得出AE的长，从而得出AB的长。
2．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】解答：∵∠ABC= ∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴ ∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
故选：C．
分析：先根据圆周角定理得到∠ABC= ∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以 ∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
3．【答案】B
【知识点】勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA cos45°= ×1= ，
∴BD=OB﹣OD=1﹣ ，
∴AB= = ，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，AC=2，
∴sinC= ．
故答案为：B．
【分析】 过点A作AD⊥OB于点D，根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由OD=AD=OA cos45°算出OD，AD的长度，再根据勾股定理算出AB的长度，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABC=90°，再根据正弦函数的定义即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】勾股定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接AC，
∵在⊙O中，AB是直径，
∴∠C=90°，
∵AB=5，BC=3，
∴AC= =4，
∵点P是 上任意一点．
∴4≤AP≤5．
故答案为：A．
【分析】 连接AC，根据直径所对的圆周角是直角得出∠C=90°，然后根据勾股定理算出AC的长，根据直径是圆中最长的弦，及弦越靠近圆心越长即可得出AP的取值范围。
5．【答案】A
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．
故答案为：A．
【分析】 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出答案。
6．【答案】D
【知识点】平行线的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B= ∠AOC=55°．
故选：D．
【分析】连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
7．【答案】C
【知识点】垂径定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴ = ，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
【分析】利用垂径定理得出 = ，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵⊙O的直径是AB，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=2，弦AC=1，
∴sin∠CBA= ，
∴∠CBA=30°，
∴∠A=∠D=60°，
故答案为：C．
【分析】根据同弧所对的圆周角相等得出∠A=∠D，要求∠D的度数，在Rt△ABC中，利用三角函数的定义及特殊角的三角函数值求出∠A的度数即可。
9．【答案】80°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为80°
【分析】根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出答案。
10．【答案】60
【知识点】平行四边形的性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接DO并延长，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ADC，
∴∠B=2∠ADC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=∠AOC=120°，
∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，
∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．
故答案为：60．
【分析】由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后由三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．
11．【答案】50
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∠ACB= ∠AOB= ×100°=50°．
故答案是：50．
【分析】同弧所对的圆周角等于其所对圆心角的一半.
12．【答案】70°
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理
【解析】【解答】解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直径，DC⊥AB，
∴∠AOC= ∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数．
故答案为：70°
【分析】连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，根据等边三角形的性质得出∠OAB=∠AOB=60°，∠AOC= ∠AOB=30°，根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出∠ADC=15°，根据三角形的内角和得出∠DAB=75°，从而得出∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，即∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数，进而得出答案。
13．【答案】70°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵AC⊥BO，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，
∴∠BOC=2∠A=70°．
故答案为：70°．
【分析】 根据三角形的内角和得出∠A的度数，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出 ∠BOC的度数 。
14．【答案】28°
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案为：28°
【分析】 根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出 ∠AOB与∠C的关系 ，再代入 ∠AOB+∠ACB=84° 即可求出 ∠ACB的大小 。
15．【答案】（1）解：∵AB是半圆的直径，∴∠C=90°，
∵OD∥BC，
∴∠OEA=∠C=90°，∠AOD=∠B=70°，
∵OA=0D，
∴∠D=∠OAD= ，
∴在Rt△ADE中，∠DAC=90°-55°=35°.
（2）解：∵∠OEA=90°，∴OE⊥AC，∴AE= AC=1.5，∵AB=4，∴AO=OD=2，
∴在Rt△AEO中，OE= ，
∴DE=OD-OE= .
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得出∠C=90°，再根据OD∥BC，证出∠AOD=∠B=70°及∠OEA=90°，再求出∠D的度数，根据三角形的内角和定理即可求出∠DAC的度数。
（2）由（1）的证明过程可知OE⊥AC，先根据垂径定理得出AE的长，再在Rt△AEO中，利用勾股定理求出OE的长，然后根据DE=OD-OE，求出结果。
16．【答案】（1）解：如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC= = =8．
∵AD平分∠CAB，
∴ = ，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5 ；
（2）解：如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB= ∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠CAB=∠BDC=90°，在直角△CAB中 ，利用勾股定理算出AC的长，根据同圆中，相等的圆周角所对的弧相等得出 = ， 根据等弧所对的弦相等得出 CD=BD，然后在直角△BDC中 ，利用勾股定理即可算出BD，CD的长；
（2） 如图②，连接OB，OD，根据角平分线定义得出 ∠DAB= ∠CAB=30°， 根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出 ∠DOB=2∠DAB=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得出△OBD是等边三角形， 根据等边三角形的三边相等得出 BD=OB=OD，从而得出答案。
17．【答案】（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴ = ，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD= ，
即 = ，
∵BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直径是5．
【知识点】平行线的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠D=∠1 ，根据垂径定理得出 = ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠1=∠BCD， 故 ∠D=∠BCD， 根据内错角相等，两直线平行得出 CB∥PD；
（2）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ACB=90°，根据垂径定理得出 = ， 根据等弧所对的圆周角相等得出 ∠BPD=∠CAB， 根据等角的同名三角函数值相等得出 sin∠CAB=sin∠BPD= ， 最后根据三角函数的定义即可算出AB的长。
18．【答案】（1）解：如右图所示，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中点，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．
（3）解：如图，连接AD、OD，
∵DF=FG，
∴∠DGF=∠FDG，
∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF=GF，
∴S△ADG=2S△DGF=9，
∵△BCG∽△ADG，
∴ = ，
∵△ADG的面积为9，且DG=3，GC=4，
∴S△BCG=16．
答：△BCG的面积是16．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】 （1）根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠ACB=90°， 根据直角三角形两锐角互余得出 ∠CAB+∠ABC=90°， 又 ∠MAC=∠ABC， 故 ∠CAB+∠MAC=90°， 即∠MAB=90°， 根据垂直于半径的外端点的直线是圆的切线得出结论： MN是半圆的切线 ；
（2）根据等角的余角相等得出 ∠EDB=∠BGC， 又 ∠DGF=∠BGC， 故 ∠EDB=∠DGF， 根据等角对等边即可得出DF=FG；
（3） 如图，连接AD、OD， 根据等角的余角相等得出 ∠DAF=∠ADF， 根据等角对等边得出AF=DF=GF， 根据同高三角形的面积的关系得出 S△ADG=2S△DGF=9， 然后很容易证出 △BCG∽△ADG， 根据相似三角形面积的比等于相似比的平方即可得出 S△BCG=16．
19．【答案】解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵BE=CE，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAC=40°，
∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°．
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理
【解析】【分析】 连接AE， 根据直径所对的圆周角是直角得出 ∠AEB=90°， 根据线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AB=AC， 根据等腰三角形的三线合一及三角形的内角和得出 ∠BAC=2∠CAE=40°，进而根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍即可得出答案。
20．【答案】（1）解：∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，
∴∠C=80°﹣50°=30°，
∴∠ABD=∠C=30°；
（2）解：过点O作OE⊥BD于点E，则BD=2BE，
∵∠ABD=30°，OB=5cm，
∴BE=OB cos30°=5× = cm，
∴BD=2BE=5 cm．
【知识点】三角形的外角性质；垂径定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据三角形的一个外角等于与其不相邻的两内角的和，由∠C=∠APD-∠CAB即可算出∠C的度数，根据同弧所对的圆周角相等得出 ∠ABD的度数；
（2） 过点O作OE⊥BD于点E，根据垂径定理得出BD=2BE， 根据余弦函数的定义及特殊锐角三角函数值，由 BE=OB cos30° 即可算出BE的长，进而得出答案。
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