2017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 17.2《勾股定理的逆定理》
一、单选题
1．若△ABC三边长a，b，c满足 +| |+（ ）2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
3．（2016八上·通许期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
4．长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是( )
A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，GH D．AB，CD，EF
6．如图所示方格纸中的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
7．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形( )
A．仍是直角三角形 B．可能是锐角三角形
C．可能是钝角三角形 D．不可能是直角三角形
8．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
9．下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）
A．如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B．如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C．如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°
D．如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
12．下列说法中，正确的个数有（ ）
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为 ；
②直角三角形的最大边长为 ，最短边长为1，则另一边长为 ；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为 ；②直角三角形的最大边长为 ，最短边长为1，则另一边长为 ；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（ ）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．只有②③④
14．下列结论中，错误的有（ ）
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题
15．观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41，…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：
16．如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积= 平方单位．
17．若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为 ．
18．已知|m﹣ |+ +（p﹣ ）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是 三角形．
19．已知x，y，z均为正数，且|x﹣4|+（y﹣3）2+ =0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为 ．
三、解答题
20．一如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？
21．当a、b、c为何值时，代数式 有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积．
22．已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以 ， ， 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
23．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120nmile，乙巡逻艇每小时航行50nmile，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？
24．综合题
（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵△ABC三边长a，b，c满足 +| |+（ ）2=0=0，且 ≥0，| |≥0，（ ）2≥0
∴a+b﹣25=0，b﹣a﹣1=0，c﹣5=0，
∴a=12，b=13，c=5，
∵122+52=132，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：C．
【分析】根据绝对值、平方、二次根式的非负性可求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理可证以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形。
2．【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，点C到距离AB为5，并且在平行于AB的两条直线上．
∴满足条件的C点有：（1，6），（6，6），（11，6），（1，﹣4），（6，﹣4），（11，﹣4）
故选C．
【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个，用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
根据勾股定理可以得到：AC=BC= ，AB= ．
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC=BC的值，再根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，求出∠ABC的度数.
4．【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】根据三角形的三边关系，知能够搭成的三角形有9、12、15；9、36、39；12、36、39；15、36、39；根据勾股定理的逆定理，知能够搭成直角三角形的有9、12、15和15、36、39．故选B．
【分析】首先根据三角形的三边关系找到所有的三角形，再根据勾股定理的逆定理进行分析排除，此题综合考查了三角形的三边关系和勾股定理的逆定理．
5．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，
所以AB2+EF2=GH2，故选B
【分析】先运用勾股定理算出所涉及的各条边长的平方，再运用勾股定理的逆定理判断是否构成直角三角形是解此题的一般方法
6．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】如图：
△ADB≌△AEC，
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：A．
【分析】是等腰三角形，AB，AC分别位于两个全等的直角三角形里，本题考查了等腰三角形的概念和全等三角形的判定定理，根据此知识点可得解．
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】设直角三角形的三边分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，扩大相同倍数后各边分别为na，nb，nc，因为(na)2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2，所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形，故答案为：A．
【分析】能够利用字母抽象的表示出题目表达的数学意义，并运用勾股定理和勾股定理的逆定理进行分析判断，是提高逻辑思维能力的好题目．
8．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A项满足三角形中有一个内角为90 ，B项满足勾股定理的逆定理，C项符合勾股数的比例关系，唯有D项不是直角三角形，故选D．
【分析】学生能够充分辨别三角形中角、边、边长的平方所能判定直角三角形的条件，是学习了勾股定理的逆定理后，对直角三角形的认识的一个新的知识体系．
9．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故②正确；
③42=16，62=36，显然42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故③正确；
④符合直角三角形的判定方法，故④正确；
所以4个结论都正确，故选D．
【分析】根据题意，一一查看选项，根据勾股定理的逆定理或有一个角为直角的三角形为直角三角形判断选项是否正确，本题考查直角三角形的判定方法，此题中涉及到直角三角形的三种判定方法：
①有一个角是直角的三角形是直角三角形；
②有两个锐角互余的三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理；
属基础题．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①∵一个角等于另外两个内角之和，
∴这个角= ×180°=90°，是直角三角形；
②三个内角之比为3：4：5，
∴最大的角= ×180°= ×180°＜90°，是锐角三角形；
③设三边分别为5k，12k，13k，
则（5k）2+（12k）2=25k2+144k2=169k2=（13k)2，是直角三角形；
④∵52+242=25+576=601≠252，
∴三边长分别为5，24，25的三角形不是直角三角形．
综上所述，是直角三角形的有①③共2个．
故答案为：B
【分析】①②根据三角形的内角和等于180°，求出三角形中最大的角的度数，然后即可判断；
④根据勾股定理逆定理列式进行计算即可得解．
本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理逆定理的应用，灵活求解，只要与90°进行比较即可，技巧性较强
11．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A．∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
故此选项正确；
B．∵∠C=90°
∴c是斜边
∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确；
C．∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边
故此选项错误；
D．∵∠A=30°∠B=60°
∴∠C=90°，AB为斜边，BC为30°角所对的边
∴AB=2BC
故此选项正确；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形对各个选项进行分析，从而不难求解，此题主要考查：（1）含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
12．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】①、设较短的一个直角边为M，则另一个直角边为2M，所以 M×2M=2，解得M= ，2M=2 ．根据勾股定理解得斜边为 ．所以此项正确；
②、根据勾股定理解得，另一边= = ，所以此项正确；
③、设∠A=x，则∠B=5x，∠C=6x．因为x+5x+6x=180°解得x=15°，从而得到三个角分别为15°、75°、90°．即△ABC为直角三角形，所以此项正确；
④、已知面积和高则可以得到底边为6，又因为是等腰三角形，则底边上的高也是底边上的中线，则可以得到底边的一半为3．此时再利用勾股定理求得腰长为 =5．所以此项正确．
所以正确的有四个．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理和已知条件可值四个结论都是正确的。
13．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，设两直角边的长度分别为x，2x，∴x2=4，∴两直角边分别为2、4，∴斜边为2 ，错误；
②∵直角三角形的最大边长为 ，最短边长为1，∴根据勾股定理得第三边为 ，正确；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，∴∠A=15°，∠B=75°，∠C=90°，正确；
④∵等腰三角形面积为12，底边上的高为4，∴底边=2×12÷4=6，∴腰长=5，正确．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可判断①错误，其余正确。
14．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是 ，所以错误；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；
③最大角∠C= ×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，正确．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理以及逆定理即可解答，本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
15．【答案】11，60， 61
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】从上边可以 发现第 一个数是奇数，且逐步递 增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为1，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2=(x+1)2，解得x=60，则得第⑤组勾股数是11，60， 61．
【分析】勾股数有很多规律，学生能够根据题目发现特定规律并运用勾股定理正确求解，是探索数学奥秘的一个有效途径．
16．【答案】428+66
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵4个正方形的面积分别为25，144，48，121，
∴边长分别为：5、12、4 、11，
∵PR=13、PS=12、RS=5，
∴PS⊥SR，PQ⊥QR，
∴S四边形PQRS= （PS SR+PQ QR）=30+22 ，
显然S△HSG+S△CDQ=S四边形PQRS，
如图作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，
∵BP=PQ，∠BJP=∠QIP=90°，
∵∠APB+∠QPS=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠QPS=∠BPJ，
∴Rt△PQI≌Rt△PBJ，
∴QI=BJ，
∴S△APB=S△PSQ，
同理S△EFR=S△QSR，
则S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，
故八边形的面积=3（30+22 ）+144+48+121+25，
=428+66 ．
故答案为：428+66 ．
【分析】由PR=13、PS=12、RS=5得出PS⊥SR，PQ⊥QR，求出四边形PQRS的面积，作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，利用全等证出QI=BJ，推出S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，再把各部分的面积相加即可得到答案．本题主要考查了面积与等积变换，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理得逆定理等知识点，正确求出各部分的面积是解此题的关键．题目较好但有一定难度.
17．【答案】②③
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】①直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边，故不能组成一个三角形，故错误；②直角三角形的三边有a+b>c(a，b，c中c最大)，而在，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有+>成立，即(+)2>（ ）2，即a+b+2>c(由a+b>c)，则不等式成立，从而满足两边之和大于第三边，则以，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；③a+b，c+h，h这三个数中 c+h一定最大，(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h)2=c2+h2+2ch，又∵2ab=2ch=4S△ABC，∴(a+b)2+h2=(c+h)2，根据勾股定理的逆定理即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形，故正确；④假设a= 3，b=4，c=5，则，的长为，以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形，故错误．
【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可判断。
18．【答案】等腰直角
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据题意得，m﹣ =0，n﹣2=0，p﹣ =0，
解得m= ，n=2，p= ，
∴m=p，
又∵2+ 2=22=4，
即m2+p2=n2，
∴以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
【分析】根据绝对值、平方、二次根式的非负性可求出m ，n，p的值，再根据勾股定理的逆定理可证以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形．
19．【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据题意得，x﹣4=0，y﹣3=0，y+z﹣8=0，
解得x=4，y=3，z=5，
∵x2+y2=42+32=25=z2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【分析】根据绝对值、平方、二次根式的非负性可求出x，y，z的值，再根据勾股定理的逆定理可证此三角形是直角三角形．
20．【答案】 解：△ABC是等腰三角形，
理由是：∵BC=18cm，BC边上的中线为AD，
∴BD=CD=9cm
∵AB=41cm，BC=18cm，AD=40cm
∴AB2=1681，
BD2+AD2=1681，
∴AB2=BD2+AD2，
∴AD⊥BC
∵BD=CD，
∴AC=AB
∴△ABC是等腰三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由已知可得BD的长，再根据勾股定理的逆定理可判定AD垂直BC，从而根据可利用勾股定理求得AC的长，此时发现AB=AC，即该三角形是等腰三角形．此题主要考查学生对勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定线段的垂直平分线性质的理解及运用．
21．【答案】解：∵
= +b2﹣10b+25﹣25+c2﹣8c+16﹣16+6
= +（b﹣5）2+（c﹣4）2﹣35，
∴ ≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣4）2≥0，
∴代数式 有最小值时，a=3，b=5，c=4，
∴这个最小值为﹣35，
∴以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，直角边为a和c，
∴以a、b、c值为边的三角形的面积为
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性
【解析】【分析】根据算术平方根、平方的非负性结合已知条件可求a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理得到以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，且直角边为a和c，面积可求。
22．【答案】解：解法1：将①②两式相乘，得 ，即： ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0，即b+a=c或c+a=b或c+b=a．因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．解法2：结合①式，由②式可得 ，变形，得 ③又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），代入③式，得 ，即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，所以a=16或b=16或c=16．结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据题目中的已知条件可变形化简可得b+a=c或c+a=b或c+b=a，即以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形.
23．【答案】AC=120× =12(nmile)，BC=50× =5(nmile)，又因为AB=13nmile，所以AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，由∠CBA=50°，知∠CAB=40°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东50°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】正确运用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定，从而根据已知条件求出直角三角形中两个锐角的度数是本题的基本思路.
24．【答案】（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
（2）解：PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ= PB，即PQ2=2PB2；
由旋转的性质知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；
故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ，再根据△ABC是等边三角形，可得∠ABC=60°，结合已知条件可证△BPQ是等边三角形，在△PQC中应用勾股定理的逆定理可得△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°；（2）方法同（1）。
1 / 12017-2018学年人教版数学八年级下册同步训练： 17.2《勾股定理的逆定理》
一、单选题
1．若△ABC三边长a，b，c满足 +| |+（ ）2=0，则△ABC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【知识点】勾股定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】∵△ABC三边长a，b，c满足 +| |+（ ）2=0=0，且 ≥0，| |≥0，（ ）2≥0
∴a+b﹣25=0，b﹣a﹣1=0，c﹣5=0，
∴a=12，b=13，c=5，
∵122+52=132，
∴△ABC是直角三角形．
故答案为：C．
【分析】根据绝对值、平方、二次根式的非负性可求出a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理可证以a、b、c为三边长的三角形是直角三角形。
2．在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为5，且△ABC是直角三角形，则满足条件的C点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．8个
【答案】C
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵点A，B的纵坐标相等，
∴AB∥x轴，点C到距离AB为5，并且在平行于AB的两条直线上．
∴满足条件的C点有：（1，6），（6，6），（11，6），（1，﹣4），（6，﹣4），（11，﹣4）
故选C．
【分析】当∠A=90°时，满足条件的C点2个；当∠B=90°时，满足条件的C点2个；当∠C=90°时，满足条件的C点2个．所以共有6个，用到的知识点为：到一条直线距离为某个定值的直线有两条．△ABC是直角三角形，它的任意一个顶点都有可能为直角顶点．
3．（2016八上·通许期末）如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为（ ）
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：
根据勾股定理可以得到：AC=BC= ，AB= ．
∵（ ）2+（ ）2=（ ）2．
∴AC2+BC2=AB2．
∴△ABC是等腰直角三角形．
∴∠ABC=45°．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理求出AC=BC的值，再根据勾股定理的逆定理得到△ABC是等腰直角三角形，求出∠ABC的度数.
4．长度为9、12、15、36、39的五根木棍，从中取三根依次搭成三角形，最多可搭成直角三角形的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】三角形三边关系；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】根据三角形的三边关系，知能够搭成的三角形有9、12、15；9、36、39；12、36、39；15、36、39；根据勾股定理的逆定理，知能够搭成直角三角形的有9、12、15和15、36、39．故选B．
【分析】首先根据三角形的三边关系找到所有的三角形，再根据勾股定理的逆定理进行分析排除，此题综合考查了三角形的三边关系和勾股定理的逆定理．
5．如图所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成直角三角形三边的线段是( )
A．CD，EF，GH B．AB，EF，GH C．AB，CD，GH D．AB，CD，EF
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】AB2=22+22=8，CD2=42+22=20，EF2=12+22=5，GH2=32+22=13，
所以AB2+EF2=GH2，故选B
【分析】先运用勾股定理算出所涉及的各条边长的平方，再运用勾股定理的逆定理判断是否构成直角三角形是解此题的一般方法
6．如图所示方格纸中的三角形是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】如图：
△ADB≌△AEC，
∴AB=AC．
∴△ABC是等腰三角形．
故答案为：A．
【分析】是等腰三角形，AB，AC分别位于两个全等的直角三角形里，本题考查了等腰三角形的概念和全等三角形的判定定理，根据此知识点可得解．
7．将直角三角形三条边的长度都扩大同样的倍数后得到的三角形( )
A．仍是直角三角形 B．可能是锐角三角形
C．可能是钝角三角形 D．不可能是直角三角形
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】设直角三角形的三边分别为a，b，c，且满足a2+b2=c2，扩大相同倍数后各边分别为na，nb，nc，因为(na)2+(nb)2=n2(a2+b2)=n2c2=(nc)2，所以扩大同样的倍数后得到的三角形仍是直角三角形，故答案为：A．
【分析】能够利用字母抽象的表示出题目表达的数学意义，并运用勾股定理和勾股定理的逆定理进行分析判断，是提高逻辑思维能力的好题目．
8．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）
A．三内角之比为1：2：3 B．三边长的平方之比为1：2：3
C．三边长之比为3：4：5 D．三内角之比为3：4：5
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A项满足三角形中有一个内角为90 ，B项满足勾股定理的逆定理，C项符合勾股数的比例关系，唯有D项不是直角三角形，故选D．
【分析】学生能够充分辨别三角形中角、边、边长的平方所能判定直角三角形的条件，是学习了勾股定理的逆定理后，对直角三角形的认识的一个新的知识体系．
9．下列说法正确的有（ ）
①如果∠A+∠B=∠C，那么△ABC是直角三角形；②如果∠A：∠B：∠C=1：2：3，则三角形是直角三角形；③如果三角形的三边长分别为4、4、6，那么这个三角形不是直角三角形；④有一个角是直角的三角形是直角三角形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180°，得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，故①正确；
②设∠A=x，∠B=2x，∠C=3x，则∠A+∠B=∠C，由①知，该三角形是直角三角形，故②正确；
③42=16，62=36，显然42+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，该三角形不是直角三角形，故③正确；
④符合直角三角形的判定方法，故④正确；
所以4个结论都正确，故选D．
【分析】根据题意，一一查看选项，根据勾股定理的逆定理或有一个角为直角的三角形为直角三角形判断选项是否正确，本题考查直角三角形的判定方法，此题中涉及到直角三角形的三种判定方法：
①有一个角是直角的三角形是直角三角形；
②有两个锐角互余的三角形是直角三角形；
③勾股定理的逆定理；
属基础题．
10．有四个三角形，分别满足下列条件：（1）一个角等于另外两个内角之和；（2）三个内角之比为3：4：5；（3）三边之比为5：12：13；（4）三边长分别为5，24，25．其中直角三角形有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①∵一个角等于另外两个内角之和，
∴这个角= ×180°=90°，是直角三角形；
②三个内角之比为3：4：5，
∴最大的角= ×180°= ×180°＜90°，是锐角三角形；
③设三边分别为5k，12k，13k，
则（5k）2+（12k）2=25k2+144k2=169k2=（13k)2，是直角三角形；
④∵52+242=25+576=601≠252，
∴三边长分别为5，24，25的三角形不是直角三角形．
综上所述，是直角三角形的有①③共2个．
故答案为：B
【分析】①②根据三角形的内角和等于180°，求出三角形中最大的角的度数，然后即可判断；
④根据勾股定理逆定理列式进行计算即可得解．
本题考查了直角三角形的性质以及勾股定理逆定理的应用，灵活求解，只要与90°进行比较即可，技巧性较强
11．△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，下列说法中，错误的是（ ）
A．如果∠C﹣∠B=∠A，那么∠C=90°
B．如果∠C=90°，那么c2﹣b2=a2
C．如果（a+b）（a﹣b）=c2，那么∠C=90°
D．如果∠A=30°∠B=60°，那么AB=2BC
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；含30°角的直角三角形；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A．∵∠C﹣∠B=∠A，∠C+∠B+∠A=180°
∴2∠C=180°
∴∠C=90°
故此选项正确；
B．∵∠C=90°
∴c是斜边
∴满足c2﹣b2=a2故此选项正确；
C．∵（a+b）（a﹣b）=c2∴a2﹣b2=c2∴a是斜边
故此选项错误；
D．∵∠A=30°∠B=60°
∴∠C=90°，AB为斜边，BC为30°角所对的边
∴AB=2BC
故此选项正确；
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理，三角形内角和定理及含30度角的直角三角形对各个选项进行分析，从而不难求解，此题主要考查：（1）含30度角的直角三角形：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．（2）三角形内角和定理：三角形内角和是180°．（3）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
12．下列说法中，正确的个数有（ ）
①已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则斜边长为 ；
②直角三角形的最大边长为 ，最短边长为1，则另一边长为 ；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；
④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】①、设较短的一个直角边为M，则另一个直角边为2M，所以 M×2M=2，解得M= ，2M=2 ．根据勾股定理解得斜边为 ．所以此项正确；
②、根据勾股定理解得，另一边= = ，所以此项正确；
③、设∠A=x，则∠B=5x，∠C=6x．因为x+5x+6x=180°解得x=15°，从而得到三个角分别为15°、75°、90°．即△ABC为直角三角形，所以此项正确；
④、已知面积和高则可以得到底边为6，又因为是等腰三角形，则底边上的高也是底边上的中线，则可以得到底边的一半为3．此时再利用勾股定理求得腰长为 =5．所以此项正确．
所以正确的有四个．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理和已知条件可值四个结论都是正确的。
13．下列说法：①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，则斜边长为 ；②直角三角形的最大边长为 ，最短边长为1，则另一边长为 ；③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，则△ABC为直角三角形；④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5，其中正确结论的序号是（ ）
A．只有①②③ B．只有①②④ C．只有③④ D．只有②③④
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】①已知直角三角形的面积为4，两直角边的比为1：2，设两直角边的长度分别为x，2x，∴x2=4，∴两直角边分别为2、4，∴斜边为2 ，错误；
②∵直角三角形的最大边长为 ，最短边长为1，∴根据勾股定理得第三边为 ，正确；
③在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：5：6，∴∠A=15°，∠B=75°，∠C=90°，正确；
④∵等腰三角形面积为12，底边上的高为4，∴底边=2×12÷4=6，∴腰长=5，正确．
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理可判断①错误，其余正确。
14．下列结论中，错误的有（ ）
①Rt△ABC中，已知两边分别为3和4，则第三边的长为5；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，则∠A=90°；
③若△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：5：6，则这个三角形是一个直角三角形；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=4xy．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①分两种情况讨论：当3和4为直角边时，斜边为5；当4为斜边时，另一直角边是 ，所以错误；
②三角形的三边分别为a、b、c，若a2+b2=c2，应∠C=90°，所以错误；
③最大角∠C= ×6=90°，这个三角形是一个直角三角形，正确；
④若（x﹣y）2+M=（x+y）2成立，则M=（x+y）2﹣（x﹣y）2=4xy，正确．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理以及逆定理即可解答，本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
二、填空题
15．观察以下几组勾股数，并寻找规律：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41，…
请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：
【答案】11，60， 61
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】从上边可以 发现第 一个数是奇数，且逐步递 增2，故第5组第一个数是11，又发现第二、第三个数相差为1，故设第二个数为x，则第三个数为x+1，根据勾股定理得：112+x2=(x+1)2，解得x=60，则得第⑤组勾股数是11，60， 61．
【分析】勾股数有很多规律，学生能够根据题目发现特定规律并运用勾股定理正确求解，是探索数学奥秘的一个有效途径．
16．如图，已知八边形ABCDEFGH中4个正方形的面积分别为25，144，48，121个平方单位，PR=13（单位），则该八边形的面积= 平方单位．
【答案】428+66
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】∵4个正方形的面积分别为25，144，48，121，
∴边长分别为：5、12、4 、11，
∵PR=13、PS=12、RS=5，
∴PS⊥SR，PQ⊥QR，
∴S四边形PQRS= （PS SR+PQ QR）=30+22 ，
显然S△HSG+S△CDQ=S四边形PQRS，
如图作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，
∵BP=PQ，∠BJP=∠QIP=90°，
∵∠APB+∠QPS=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠QPS=∠BPJ，
∴Rt△PQI≌Rt△PBJ，
∴QI=BJ，
∴S△APB=S△PSQ，
同理S△EFR=S△QSR，
则S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，
故八边形的面积=3（30+22 ）+144+48+121+25，
=428+66 ．
故答案为：428+66 ．
【分析】由PR=13、PS=12、RS=5得出PS⊥SR，PQ⊥QR，求出四边形PQRS的面积，作QI⊥PS交于I，BJ⊥AP交AP的延长线于J，利用全等证出QI=BJ，推出S△APB+S△EFR=S四边形PQRS，再把各部分的面积相加即可得到答案．本题主要考查了面积与等积变换，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理得逆定理等知识点，正确求出各部分的面积是解此题的关键．题目较好但有一定难度.
17．若a，b，c是直角三角形的三条边长，斜边c上的高的长是h，给出下列结论：
①以a2，b2，c2的长为边的三条线段能组成一个三角形；②以，，的长为边的三条线段能组成一个三角形；③以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形；④以，，的长为边的三条线段能组成直角三角形，正确结论的序号为 ．
【答案】②③
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】①直角三角形的三条边满足勾股定理a2+b2=c2，因而以a2，b2，c2的长为边的三条线段不能满足两边之和大于第三边，故不能组成一个三角形，故错误；②直角三角形的三边有a+b>c(a，b，c中c最大)，而在，三个数中最大，如果能组成一个三角形，则有+>成立，即(+)2>（ ）2，即a+b+2>c(由a+b>c)，则不等式成立，从而满足两边之和大于第三边，则以，的长为边的三条线段能组成一个三角形，故正确；③a+b，c+h，h这三个数中 c+h一定最大，(a+b)2+h2=a2+b2+2ab+h2，（c+h)2=c2+h2+2ch，又∵2ab=2ch=4S△ABC，∴(a+b)2+h2=(c+h)2，根据勾股定理的逆定理即以a+b，c+h，h的长为边的三条线段能组成直角三角形，故正确；④假设a= 3，b=4，c=5，则，的长为，以这三个数的长为边的三条线段不能组成直角三角形，故错误．
【分析】根据勾股定理和勾股定理的逆定理可判断。
18．已知|m﹣ |+ +（p﹣ ）2=0则以m、n、p为三边长的三角形是 三角形．
【答案】等腰直角
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据题意得，m﹣ =0，n﹣2=0，p﹣ =0，
解得m= ，n=2，p= ，
∴m=p，
又∵2+ 2=22=4，
即m2+p2=n2，
∴以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形．
故答案为：等腰直角．
【分析】根据绝对值、平方、二次根式的非负性可求出m ，n，p的值，再根据勾股定理的逆定理可证以m、n、p为三边长的三角形是等腰直角三角形．
19．已知x，y，z均为正数，且|x﹣4|+（y﹣3）2+ =0，若以x，y，z的长为边长画三角形，此三角形的形状为 ．
【答案】直角三角形
【知识点】勾股定理的逆定理；偶次方的非负性；算术平方根的性质（双重非负性）；绝对值的非负性
【解析】【解答】根据题意得，x﹣4=0，y﹣3=0，y+z﹣8=0，
解得x=4，y=3，z=5，
∵x2+y2=42+32=25=z2，
∴此三角形是直角三角形．
故答案为：直角三角形．
【分析】根据绝对值、平方、二次根式的非负性可求出x，y，z的值，再根据勾股定理的逆定理可证此三角形是直角三角形．
三、解答题
20．一如图，在△ABC中，AB=41cm，BC=18cm，BC边上的中线AD=40cm．△ABC是等腰三角形吗？为什么？
【答案】 解：△ABC是等腰三角形，
理由是：∵BC=18cm，BC边上的中线为AD，
∴BD=CD=9cm
∵AB=41cm，BC=18cm，AD=40cm
∴AB2=1681，
BD2+AD2=1681，
∴AB2=BD2+AD2，
∴AD⊥BC
∵BD=CD，
∴AC=AB
∴△ABC是等腰三角形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】由已知可得BD的长，再根据勾股定理的逆定理可判定AD垂直BC，从而根据可利用勾股定理求得AC的长，此时发现AB=AC，即该三角形是等腰三角形．此题主要考查学生对勾股定理的逆定理及等腰三角形的判定线段的垂直平分线性质的理解及运用．
21．当a、b、c为何值时，代数式 有最小值？并求出这个最小值和此时以a、b、c值为边的三角形的面积．
【答案】解：∵
= +b2﹣10b+25﹣25+c2﹣8c+16﹣16+6
= +（b﹣5）2+（c﹣4）2﹣35，
∴ ≥0，（b﹣5）2≥0，（c﹣4）2≥0，
∴代数式 有最小值时，a=3，b=5，c=4，
∴这个最小值为﹣35，
∴以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，直角边为a和c，
∴以a、b、c值为边的三角形的面积为
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；偶次方的非负性
【解析】【分析】根据算术平方根、平方的非负性结合已知条件可求a，b，c的值，再根据勾股定理的逆定理得到以a、b、c值为边的三角形为直角三角形，且直角边为a和c，面积可求。
22．已知a，b，c为正数，满足如下两个条件：
a+b+c=32 ①
②
是否存在以 ， ， 为三边长的三角形？如果存在，求出三角形的最大内角．
【答案】解：解法1：将①②两式相乘，得 ，即： ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，即 ，所以b﹣c+a=0或c+a﹣b=0或c﹣a+b=0，即b+a=c或c+a=b或c+b=a．因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°．解法2：结合①式，由②式可得 ，变形，得 ③又由①式得（a+b+c）2=1024，即a2+b2+c2=1024﹣2（ab+bc+ca），代入③式，得 ，即abc=16（ab+bc+ca）﹣4096．（a﹣16）（b﹣16）（c﹣16）=abc﹣16（ab+bc+ca）+256（a+b+c）﹣163=﹣4096+256×32﹣163=0，所以a=16或b=16或c=16．结合①式可得b+a=c或c+a=b或c+b=a．因此，以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形，它的最大内角为90°
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据题目中的已知条件可变形化简可得b+a=c或c+a=b或c+b=a，即以 ， ， 为三边长可构成一个直角三角形.
23．如图，在我国沿海有一艘不明国籍的轮船进入我国海域，我海军甲、乙两艘巡逻艇立即从相距13nmile的A，B两个基地前去拦截，六分钟后同时到达C地将其拦截．已知甲巡逻艇每小时航行120nmile，乙巡逻艇每小时航行50nmile，航向为北偏西40°，问：甲巡逻艇的航向是多少？
【答案】AC=120× =12(nmile)，BC=50× =5(nmile)，又因为AB=13nmile，所以AC2+BC2=AB2，所以△ABC是直角三角形，可知∠CAB+∠CBA=90°，由∠CBA=50°，知∠CAB=40°，所以甲巡逻艇的航向为北偏东50°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】正确运用勾股定理的逆定理进行直角三角形的判定，从而根据已知条件求出直角三角形中两个锐角的度数是本题的基本思路.
24．综合题
（1）如图①所示，P是等边△ABC内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ，连接PQ．若PA2+PB2=PC2，证明∠PQC=90°；
（2）如图②所示，P是等腰直角△ABC（∠ABC=90°）内的一点，连接PA、PB、PC，将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ，连接PQ．当PA、PB、PC满足什么条件时，∠PQC=90°？请说明．
【答案】（1）证明：由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ；
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=60°，即∠CBP+∠ABP=60°；
∵∠ABP=∠CBQ，
∴∠CBP+∠CBQ=60°，即∠PBQ=60°；
又∵BP=BQ，∴△BPQ是等边三角形；
∴BP=PQ；
∵PA2+PB2=PC2，即PQ2+QC2=PC2；
∴△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°
（2）解：PA2+2PB2=PC2；理由如下：
同（1）可得：△PBQ是等腰直角三角形，则PQ= PB，即PQ2=2PB2；
由旋转的性质知：PA=QC；
在△PQC中，若∠PQC=90°，则PQ2+QC2=PC2，即PA2+2PB2=PC2；
故当PA2+2PB2=PC2时，∠PQC=90°
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【分析】（1）由旋转的性质知：BP=BQ、PA=QC，∠ABP=∠CBQ，再根据△ABC是等边三角形，可得∠ABC=60°，结合已知条件可证△BPQ是等边三角形，在△PQC中应用勾股定理的逆定理可得△PQC是直角三角形，且∠PQC=90°；（2）方法同（1）。
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