2017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.9 弧长及扇形的面积
一、选择题
1．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则 的长为（ ）
A．π B． C．2π D．3π
2．如图， ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则 的长为（ ）
A． π B． π C． π D． π
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧 的长等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2017·马龙模拟）一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（ ）
A．6厘米 B．12厘米 C． 厘米 D． 厘米
5．如图，⊙O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，正方形ABCD的边AB=1， 和 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C． ﹣1 D．1﹣
7．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B．2 C． D．1
8．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形的面积为（ ）
A． π B． π C．6π D． π
9．（2017·海宁模拟）如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm，AB=20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面面积为 π cm2，则扇形圆心角的度数为（ ）
A．120° B．140° C．150° D．160°
10．（2017·东河模拟）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于 ．（结果保留π）
12．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，半径=6，则 的长为 ．
13．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中 的长为 ．
14．如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC=120°，BD=2AD，则BD的长度为 cm．
15．如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则阴影部分的面积为 ．
16．如图，在圆心角为135°的扇形OAB中，半径OA=2cm，点C，D为 的三等分点，连接OC，OD，AC，CD，BD，则图中阴影部分的面积为 cm2．
三、解答题
17．如图，点A、B、C在圆O上，AB为直径，且AB=4，AC=2．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求弧AC的长度．
18．已知如图，在直角坐标系xOy中，点A，点B坐标分别为（﹣1，0），（0， ），连结AB，OD由△AOB绕O点顺时针旋转60°而得．
（1）求点C的坐标；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积；
（3）线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴ 的长= =2π；
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补和已知条件可求得∠A的度数，再由圆周角定理可求得∠BOD的度数，根据公式弧长= 可求解。
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，
∴ 的长= = ；
故答案为：B．
【分析】根据题意作辅助线，连接OE，由平行四边形的对角相等可得∠D=∠B=70°，根据三角形内角和定理可求∠DOE的度数，则由公式弧长=，可求弧 D E 的长。
3．【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=2，
∴劣弧 的长为： = ．
故答案为：A．
【分析】连接OB、OC，由圆周角定理圆心角∠BOC的度数，根据等边三角形的判定定理可得△OBC是等边三角形，则半径可求，最后根据公式弧长=可求劣弧 BC 的长。
4．【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l= ，
由题意得，2π= ，
解得：R=6cm．
故答案为：A．
【分析】根据弧长的计算公式得出方程，解方程即可。
5．【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OC．
∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
则劣弧BC的长是： = π．
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理可求得圆心角∠BOC的度数，根据公式弧长=可求劣弧BC的长。
6．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形= ﹣1= ．
故答案为：A．
【分析】由图可知弧 B D 和弧 A C 将正方形分成四部分，分别用1、2、3、4表示如图，扇形ABD和扇形ACD的面积之和=2S3+S1+S2， 正方形的面积=S1+S2+S3+S4， 两式相减可得S3﹣S4=S扇形﹣S正方形， 将圆心角和半径代入计算可知选项A符合题意。
7．【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AE，OD、OE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，
∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．
∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．
故答案为：A．
【分析】首先证明△ABC是等边三角形．则△EDC是等边三角形，边长是2．而和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．据此即可求解．
8．【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=60°．
∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积= ×π×36﹣ ×π×16= π．
故答案为：D．
【分析】由旋转的性质可得：△ABC≌△A′B′C，那么S△ABC=S△A′B′C，AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C=S扇形ACA′﹣S扇形BCB′。
9．【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OB=10cm，AB=20cm，
∴OA=OB+AB=30cm，
设扇形圆心角的度数为α，
∵纸面面积为 π cm2，
∴ ﹣ = π，
∴α=150°，
故选C．
【分析】根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．
10．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AN∥BM，
∴∠1=∠2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴S阴影=S扇形ABD+S扇形ENM= + = ．
故答案为：B．
【分析】先根据平行线的性质得出∠1=∠2，再由正方形的性质得出∠ABD=45°，由S阴影=S扇形ABD+S扇形ENM即可得出结论．
11．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2，
∴∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
又∵AC=1，
∴弧CD的长为 = ，
故答案为： ．
【分析】弧长=，根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得∠ABC=30°，则∠A=60°，将n和r的值代入弧长公式计算即可求解。
12．【答案】 π
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOC=130°﹣60°=70°，
∴ 的长= = π．
故答案为 π．
【分析】由题意可作辅助线，连接OC，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得∠AOC=60°，则∠BOC的度数可求，将∠BOC的度数和半径OA的长代入弧长公式计算即可求解。
13．【答案】22015π
【知识点】正比例函数的图象和性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…
∵P1 是⊙O2上的点，
∴P1O1=OO1，
∵直线l解析式为y=x，
∴∠P1OO1=45°，
∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，
同理，PnOn垂直于x轴，
∴ 为 圆的周长，
∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，
∴OOn=2n﹣1，
∴ = 2π OOn= π 2n﹣1=2n﹣2π，
当n=2017时， =22015π．
故答案为 22015π．
【分析】由题意可作辅助线，连接P1O1，P2O2，P3O3…，根据直线l解析式为y=x可得∠P1OO1=45°，即△P1OO1为等腰直角三角形，所以有P1O1⊥x轴，同理可得PnOn垂直于x轴，弧P n On + 1的长=圆周长，所以OOn=，则弧PnOn+1=2，把n=2017代入计算即可求解。
14．【答案】20
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设AD=x，则AB=3x．
由题意300π= ，
解得x=10，
∴BD=2x=20cm．
故答案为20．
【分析】根据BD=2AD可设AD=x，则AB=3x，由扇形的面积=可求出x的值，则BD的长度可求。
15．【答案】π﹣2
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴△OAB是等腰直角三角形．
∵OA=2，
∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB= ﹣ ×2×2=π﹣2．
故答案为π﹣2．
【分析】由图可知：S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB，S扇形=n360，将∠AOB=90°和半径r=2代入计算即可求解。
16．【答案】 π﹣3
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图作DH⊥OB于H．
∵点C，D为 的三等分点，∠AOB=135°，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=45°，
∴△ODH是等腰直角三角形，△AOC≌△COD≌△DOB，
∵OD=2，
∴DH=OH= ，
∴S△ODB= OB DH= ，
∴S△AOC=S△COD=S△DOB= ，
∴S阴= ﹣3S△DOB=（ π﹣3 ）cm2，
故答案为（ π﹣3 ）cm2．
【分析】根据题意可作辅助线，过点D作DH⊥OB于H，由点C，D为 弧 A B 的三等分点可得△AOC≌△COD≌△DOB，所以S阴 =扇形AOB的面积-3S△DOB， 而扇形AOB的面积=n360，在三角形DOB中根据已知条件可求高DH，代入上式计算即可求解。
17．【答案】（1）解：∵AB为直径，∴∠C=90°，∵AB=4，AC=2，
∴sin∠B= = ，
∴∠ABC=30°
（2）解：连接OC，∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∴弧AC的长度= = π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°，在直角三角形ABC中，根据sin∠B= ，可求出∠B的正弦值，再由特殊角的三角函数值可求得∠ABC的度数。
（2）连接OC，由（1）知∠B=30°，则∠AOC的度数可求，而弧AC的长度=，将∠AOC的度数和半径代入计算即可求解。
18．【答案】（1）解：如图1，过C作CE⊥OA于E，
∵点A，点B坐标分别为（﹣1，0），（0， ），
∴OA=1，OB= ，
∵△AOB绕点O顺时针旋转60°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，
∴OE= OC= ，CE= OC= ，
∴C（﹣ ， ）
（2）解：△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积= + + × = π+
（3）解：如图2，
线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积═（ ﹣1× ）+（）+（ ﹣ ）= .
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据题意可作辅助线，过C作CE⊥OA于E，由旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，再由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得OE的长，在直角三角形CEO中，用锐角三角函数可求CE的长，根据点C在第二象限可写出点C的坐标。
（2）由题意结合图形可得，△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积=扇形AOC的面积+扇形BOD的面积+三角形BOC的面积。
（3）由题意结合图形可得，线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积═扇形AOC的面积-三角形AOC的面积+扇形BOD的面积-三角形DOM的面积+三角形BCM的面积。扇形面积=n360.
1 / 12017-2018学年北师大版数学九年级下册同步训练：3.9 弧长及扇形的面积
一、选择题
1．如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB、OD，若∠BOD=∠BCD，则 的长为（ ）
A．π B． C．2π D．3π
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BCD+∠A=180°，
∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，
∴2∠A+∠A=180°，
解得：∠A=60°，
∴∠BOD=120°，
∴ 的长= =2π；
故答案为：C．
【分析】根据圆内接四边形的对角互补和已知条件可求得∠A的度数，再由圆周角定理可求得∠BOD的度数，根据公式弧长= 可求解。
2．如图， ABCD中，∠B=70°，BC=6，以AD为直径的⊙O交CD于点E，则 的长为（ ）
A． π B． π C． π D． π
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；平行四边形的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OE，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D=∠B=70°，AD=BC=6，
∴OA=OD=3，
∵OD=OE，
∴∠OED=∠D=70°，
∴∠DOE=180°﹣2×70°=40°，
∴ 的长= = ；
故答案为：B．
【分析】根据题意作辅助线，连接OE，由平行四边形的对角相等可得∠D=∠B=70°，根据三角形内角和定理可求∠DOE的度数，则由公式弧长=，可求弧 D E 的长。
3．如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则劣弧 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OB、OC，
∵∠BAC=30°，
∴∠BOC=2∠BAC=60°，
又OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴BC=OB=OC=2，
∴劣弧 的长为： = ．
故答案为：A．
【分析】连接OB、OC，由圆周角定理圆心角∠BOC的度数，根据等边三角形的判定定理可得△OBC是等边三角形，则半径可求，最后根据公式弧长=可求劣弧 BC 的长。
4．（2017·马龙模拟）一个扇形的圆心角为60°，弧长为2π厘米，则这个扇形的半径为（ ）
A．6厘米 B．12厘米 C． 厘米 D． 厘米
【答案】A
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：l= ，
由题意得，2π= ，
解得：R=6cm．
故答案为：A．
【分析】根据弧长的计算公式得出方程，解方程即可。
5．如图，⊙O的半径为1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧BC的长是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OB，OC．
∠BOC=2∠BAC=2×36°=72°，
则劣弧BC的长是： = π．
故答案为：B．
【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理可求得圆心角∠BOC的度数，根据公式弧长=可求劣弧BC的长。
6．如图，正方形ABCD的边AB=1， 和 都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（ ）
A． B．1﹣ C． ﹣1 D．1﹣
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形= ﹣1= ．
故答案为：A．
【分析】由图可知弧 B D 和弧 A C 将正方形分成四部分，分别用1、2、3、4表示如图，扇形ABD和扇形ACD的面积之和=2S3+S1+S2， 正方形的面积=S1+S2+S3+S4， 两式相减可得S3﹣S4=S扇形﹣S正方形， 将圆心角和半径代入计算可知选项A符合题意。
7．如图，AB是⊙O的直径，点E为BC的中点，AB=4，∠BED=120°，则图中阴影部分的面积之和为（ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】A
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接AE，OD、OE．
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
又∵∠BED=120°，
∴∠AED=30°，
∴∠AOD=2∠AED=60°．
∵OA=OD
∴△AOD是等边三角形，
∴∠OAD=60°，
∵点E为BC的中点，∠AEB=90°，
∴AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，边长是4．△EDC是等边三角形，边长是2．
∴∠BOE=∠EOD=60°，
∴和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．
∴阴影部分的面积=S△EDC=×22=．
故答案为：A．
【分析】首先证明△ABC是等边三角形．则△EDC是等边三角形，边长是2．而和弦BE围成的部分的面积=和弦DE围成的部分的面积．据此即可求解．
8．如图，将△ABC绕点C按顺时针旋转60°得到△A′B′C，已知AC=6，BC=4，则线段AB扫过的图形的面积为（ ）
A． π B． π C．6π D． π
【答案】D
【知识点】扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点C旋转60°得到△A′B′C，
∴△ABC≌△A′B′C，
∴S△ABC=S△A′B′C，∠BCB′=∠ACA′=60°．
∵AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C，
∴AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′﹣S扇形BCB′，
∴AB扫过的图形的面积= ×π×36﹣ ×π×16= π．
故答案为：D．
【分析】由旋转的性质可得：△ABC≌△A′B′C，那么S△ABC=S△A′B′C，AB扫过的图形的面积=S扇形ACA′+S△ABC﹣S扇形BCB′﹣S△A′B′C=S扇形ACA′﹣S扇形BCB′。
9．（2017·海宁模拟）如图，某厂生产一种扇形折扇，OB=10cm，AB=20cm，其中裱花的部分是用纸糊的，若扇子完全打开摊平时纸面面积为 π cm2，则扇形圆心角的度数为（ ）
A．120° B．140° C．150° D．160°
【答案】C
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵OB=10cm，AB=20cm，
∴OA=OB+AB=30cm，
设扇形圆心角的度数为α，
∵纸面面积为 π cm2，
∴ ﹣ = π，
∴α=150°，
故选C．
【分析】根据扇形的面积公式列方程即可得到结论．
10．（2017·东河模拟）如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图所示：
∵AN∥BM，
∴∠1=∠2．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴S阴影=S扇形ABD+S扇形ENM= + = ．
故答案为：B．
【分析】先根据平行线的性质得出∠1=∠2，再由正方形的性质得出∠ABD=45°，由S阴影=S扇形ABD+S扇形ENM即可得出结论．
二、填空题
11．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，AB=2，以点A为圆心、AC的长为半径画弧，交AB边于点D，则弧CD的长等于 ．（结果保留π）
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵∠ACB=90°，AC=1，AB=2，
∴∠ABC=30°，
∴∠A=60°，
又∵AC=1，
∴弧CD的长为 = ，
故答案为： ．
【分析】弧长=，根据直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可得∠ABC=30°，则∠A=60°，将n和r的值代入弧长公式计算即可求解。
12．如图，在扇形AOB中，AC为弦，∠AOB=130°，∠CAO=60°，半径=6，则 的长为 ．
【答案】 π
【知识点】等边三角形的判定与性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠CAO=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠BOC=130°﹣60°=70°，
∴ 的长= = π．
故答案为 π．
【分析】由题意可作辅助线，连接OC，根据有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形可得∠AOC=60°，则∠BOC的度数可求，将∠BOC的度数和半径OA的长代入弧长公式计算即可求解。
13．如图，在平面直角坐标系中，直线l的函数表达式为y=x，点O1的坐标为（1，0），以O1为圆心，O1O为半径画圆，交直线l于点P1，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交直线l于点P2，交x轴正半轴于点O3，以O3为圆心，O3O为半径画圆，交直线l于点P3，交x轴正半轴于点O4；…按此做法进行下去，其中 的长为 ．
【答案】22015π
【知识点】正比例函数的图象和性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接P1O1，P2O2，P3O3…
∵P1 是⊙O2上的点，
∴P1O1=OO1，
∵直线l解析式为y=x，
∴∠P1OO1=45°，
∴△P1OO1为等腰直角三角形，即P1O1⊥x轴，
同理，PnOn垂直于x轴，
∴ 为 圆的周长，
∵以O1为圆心，O1O为半径画圆，交x轴正半轴于点O2，以O2为圆心，O2O为半径画圆，交x轴正半轴于点O3，以此类推，
∴OOn=2n﹣1，
∴ = 2π OOn= π 2n﹣1=2n﹣2π，
当n=2017时， =22015π．
故答案为 22015π．
【分析】由题意可作辅助线，连接P1O1，P2O2，P3O3…，根据直线l解析式为y=x可得∠P1OO1=45°，即△P1OO1为等腰直角三角形，所以有P1O1⊥x轴，同理可得PnOn垂直于x轴，弧P n On + 1的长=圆周长，所以OOn=，则弧PnOn+1=2，把n=2017代入计算即可求解。
14．如图，扇形纸叠扇完全打开后，扇形ABC的面积为300πcm2，∠BAC=120°，BD=2AD，则BD的长度为 cm．
【答案】20
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：设AD=x，则AB=3x．
由题意300π= ，
解得x=10，
∴BD=2x=20cm．
故答案为20．
【分析】根据BD=2AD可设AD=x，则AB=3x，由扇形的面积=可求出x的值，则BD的长度可求。
15．如图，⊙O的半径为2，点A，B在⊙O上，∠AOB=90°，则阴影部分的面积为 ．
【答案】π﹣2
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠AOB=90°，OA=OB，
∴△OAB是等腰直角三角形．
∵OA=2，
∴S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB= ﹣ ×2×2=π﹣2．
故答案为π﹣2．
【分析】由图可知：S阴影=S扇形OAB﹣S△OAB，S扇形=n360，将∠AOB=90°和半径r=2代入计算即可求解。
16．如图，在圆心角为135°的扇形OAB中，半径OA=2cm，点C，D为 的三等分点，连接OC，OD，AC，CD，BD，则图中阴影部分的面积为 cm2．
【答案】 π﹣3
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图作DH⊥OB于H．
∵点C，D为 的三等分点，∠AOB=135°，
∴∠AOC=∠COD=∠DOB=45°，
∴△ODH是等腰直角三角形，△AOC≌△COD≌△DOB，
∵OD=2，
∴DH=OH= ，
∴S△ODB= OB DH= ，
∴S△AOC=S△COD=S△DOB= ，
∴S阴= ﹣3S△DOB=（ π﹣3 ）cm2，
故答案为（ π﹣3 ）cm2．
【分析】根据题意可作辅助线，过点D作DH⊥OB于H，由点C，D为 弧 A B 的三等分点可得△AOC≌△COD≌△DOB，所以S阴 =扇形AOB的面积-3S△DOB， 而扇形AOB的面积=n360，在三角形DOB中根据已知条件可求高DH，代入上式计算即可求解。
三、解答题
17．如图，点A、B、C在圆O上，AB为直径，且AB=4，AC=2．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求弧AC的长度．
【答案】（1）解：∵AB为直径，∴∠C=90°，∵AB=4，AC=2，
∴sin∠B= = ，
∴∠ABC=30°
（2）解：连接OC，∵∠B=30°，
∴∠AOC=60°，
∴弧AC的长度= = π
【知识点】圆周角定理；弧长的计算；锐角三角函数的定义
【解析】【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角可得∠C=90°，在直角三角形ABC中，根据sin∠B= ，可求出∠B的正弦值，再由特殊角的三角函数值可求得∠ABC的度数。
（2）连接OC，由（1）知∠B=30°，则∠AOC的度数可求，而弧AC的长度=，将∠AOC的度数和半径代入计算即可求解。
18．已知如图，在直角坐标系xOy中，点A，点B坐标分别为（﹣1，0），（0， ），连结AB，OD由△AOB绕O点顺时针旋转60°而得．
（1）求点C的坐标；
（2）△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积；
（3）线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积．
【答案】（1）解：如图1，过C作CE⊥OA于E，
∵点A，点B坐标分别为（﹣1，0），（0， ），
∴OA=1，OB= ，
∵△AOB绕点O顺时针旋转60°得到△COD，
∴∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，
∴OE= OC= ，CE= OC= ，
∴C（﹣ ， ）
（2）解：△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积= + + × = π+
（3）解：如图2，
线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积═（ ﹣1× ）+（）+（ ﹣ ）= .
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算；旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据题意可作辅助线，过C作CE⊥OA于E，由旋转的性质可得∠AOC=∠BOD=60°，AO=OC=1，再由直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半可求得OE的长，在直角三角形CEO中，用锐角三角函数可求CE的长，根据点C在第二象限可写出点C的坐标。
（2）由题意结合图形可得，△AOB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积=扇形AOC的面积+扇形BOD的面积+三角形BOC的面积。
（3）由题意结合图形可得，线段AB绕点O顺时针旋转60°所扫过的面积═扇形AOC的面积-三角形AOC的面积+扇形BOD的面积-三角形DOM的面积+三角形BCM的面积。扇形面积=n360.
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