2017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.2 直角三角形 课时1
一、填空题
1．直角三角形两锐角 ;反之,两锐角互余的三角形是
2．直角三角形两直角边的平方和等于 ;反之,有两边的平方和等于 平方的三角形是直角三角形.
3．逆命题的定义:如果两个命题的题设和结论刚好相反,那么这样的两个命题叫做 ,如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做它的
4．逆定理的定义:一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为
5．写出命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命
题:
二、选择题
6．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．在△ABC中，已知∠A+∠B=∠C，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
8．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠EFD=60°，EP⊥FP，则∠BEP=（ ）度．
A．70° B．65° C．60° D．55°
9．（2017·瑶海模拟）如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
10．一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ）
A．5 B． C． D．5或
11．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2 cm，则另一条直角边的长是（ ）
A．4 cm B．4 cm C．6 cm D．6 cm
12．下列各组长度的线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
13．（2017·靖江模拟）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
14．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：
①∠A=∠B-∠C；
②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5；
③a2=(b+c)(b-c)；
④a∶b∶c=5∶12∶13，
其中能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
15．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
16．下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．两条直线平行，内错角相等
B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等
C．全等三角形的对应角相等
D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
17．下列定理有逆定理的是（ ）
A．同角的余角相等
B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C．全等三角形的对应角相等
D．对顶角相等
三、解答题
18．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，CE是AB边上的高.
（1）若∠A=40°，∠B=72°，求∠DCE的度数；
（2）试写出∠DCE与∠A，∠B之间的数量关系，并证明.
19．如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
（1）求DB的长;
（2）在△ABC中,求BC边上的高.
20．如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求:
（1）AB的长;
（2）四边形ABCD的面积.
21．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.
答案解析部分
1．【答案】互余；直角三角形
【知识点】三角形内角和定理；逆命题
【解析】【解答】解 ：直角三角形两锐角互余 ；反之，两锐角互余的三角形是直角三角形；
故答案为 ：互余 ；直角三角形；
【分析】根据直角三角形的性质内容：直角三角形两锐角互余 ；反之,两锐角互余的三角形是直角三角形 ，就可以填了。
2．【答案】斜边的平方；第三边
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；反之，有两边的平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形.
故答案为 ：斜边的平方 ；第三边。
【分析】根据勾股定理及逆定理的内容 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之,有两边的平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，就可以了。
3．【答案】互逆命题；逆命题
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解 ：如果两个命题的题设和结论刚好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
故答案为 ：互逆命题 ；逆命题 。
【分析】根据逆命题的定义:如果两个命题的题设和结论刚好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题 。
4．【答案】逆定理
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解 ：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆命题。
故答案为 ：逆定理 。
【分析】根据逆定理的定义:一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理。
5．【答案】如果3a=3b,那么a=b
【知识点】逆命题
【解析】【解答】命题“如果”“a=b”那么“3a=3b”的逆命题是：如果3a=3b,那么a=b ，
故答案为：如果3a=3b,那么a=b
【分析】根据互逆命题的变换规则，将原命题的题设和结论交换位置就可以得出原命题的逆命题，即把如果和那么领起的部分交换一下位置即可。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解 ：∵△ABC中，∠BAC=90° ，
∴ ∠B＋∠C=90° ，
∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=90° ，
，∴∠B＋∠ADB=90° .
故∠B的余角有∠C与∠ADB 。
故应选 ：B .
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得出∠B＋∠C=90° ，∠B＋∠ADB=90° ，从而得出∠B的余角有∠C与∠ADB 。
7．【答案】A
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：∠A+∠B=∠C ①
∠A+∠B+∠C=180 ②
联立①②解得∠C=90
则得出△ABC为直角三角形 ；
故应选 ：A 。
【分析】根据三角形的内角和及等量代换得出∠C=90 °，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形从而得出结论。
8．【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF=180-∠EFD=120°；
∵FP平分∠EFD，且∠EFD=60°，
∴∠EFP=30°，
∵ EP⊥FP，
∴ ∠EPF=90° ，
∴∠FEP=60°；
∴∠BEP=∠BEF-∠FEP=60°．
故应选 ： C 。
【分析】根据二直线平行同旁内角互补得出∠BEF=180-∠EFD=120°；根据角平分线的定义得出∠EFP=30°，根据垂直的定义得出∠EPF=90° ，根据三角形的内角和得出∠FEP=60°；根据角的和差得出∠BEP=∠BEF-∠FEP=60° 。
9．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠ABC=50°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．
∴∠BCD=40°．
故选：C．
【分析】先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD的度数．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当已知边3和4都是直角边，则第三边是斜边，长是 ；当已知边3和4一条是直角边一条是斜边时，则第三边是直角边长是： = ．
故应选：D 。
【分析】根据直角三角形的斜边是最长的边，而此题又没有说明3和4是什么边，故此题分两种情况，①当已知边3和4都是直角边 ，②当已知边3是直角边一条4是斜边时，根据根据勾股定理计算即可。
11．【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解 ；∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2 cm ，
∴ 此三角形的斜边长为4cm，
∴ 另一条直角边为6cm ；
故应选 ：C .
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系，得出斜边的长，再根据勾股定理算出另一条直角边长即可 。
12．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵302+402=502，∴该三角形是直角三角形，A符合题意 ；
∵72+122≠132，∴该三角形不是直角三角形，B不符合题意；
∵52+92≠122，∴该三角形不是直角三角形，C不符合题意；
∵32+42≠62，∴该三角形不是直角三角形，D不符合题意；
故应选 ：A 。
【分析】根据勾股定理的逆定理，满足两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，一一判断即可。
13．【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，
∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 ．
故选D．
【分析】从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．
14．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠B-∠C，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，
∴①是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴设∠A=3x ，∠B=4x ，∠ C=5 x ，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴②不是直角三角形；
③∵a2=（b+c）（b-c），
∴a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，
∴③是直角三角形；
④∵a：b：c=5：12：13，
∴设a=5x ，b=12x ，c=13x ，
∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，
∴④是直角三角形．
故应选：C 。
【分析】判断一个三角形是不是直角三角形，可以从角的角度，也可以从边的角度来判断 ；根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，根据勾股定理的逆定理，满足两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，就可以一一判断 。
15．【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A 答案是等腰三角形，两腰的长度大于底边的长度，根据大边对大角，可以得出底角大于顶角，而底角不能为钝角，故此三角形不能是钝角三角形；A不符合题意；
B 根据勾股定理的逆定理，此三角形是直角三角形，故B不符合题意 ；
C小的两边的平方和小于最大边的平方，故此三角形是钝角三角形，C符合题意 ；
D此三条线段不能构成三角形，D不符合题意。
故应选 ： C .
【分析】根据三角形三边之间的关系，及大边对大角，勾股定理的逆定理就可以一一判断。
16．【答案】A
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：A 逆命题： 内错角相等 ，两条直线平行.是真命题，A符合题意；
B 逆命题： 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.不一定成立，如它们的绝对值相等，但一正一负，则这两个实数不相等，B不符合题意 ；
C 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，不一定成立，因为它们也可以相似的，C不符合题意 ；
D逆命题 ：如果两个数的平方相等，则这两个数也相等，不一定成立，如2与-2的平方相等，但它们就不相等，故D不符合题意；
故应选 ：A 。
【分析】将一个命题的题设和结论交换位置，就得到原命题的逆命题，根据真命题的定义一一判断即可。
17．【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；对顶角及其性质；逆命题
【解析】【解答】解：A、同角的余角相等，其逆命题是，如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，显然是假命题，故A不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题是到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上，是真命题，故B符合题意；
C、全等三角形的对应角相等，其逆命题是如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，显然是假命题，故C不符合题意 ；
D、对顶角相等，的逆命题是相等得角是对顶角，也是个假命题，从而得出D不符合题意 。
故答案为：B 。
【分析】定理有逆定理，则定理的逆命题必须是正确的，对于同角的余角相等，其逆命题是，如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，显然是假命题，故A不符合题意；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题是到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上，是真命题，故B符合题意；全等三角形的对应角相等，其逆命题是如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，显然是假命题，故C不符合题意 ；对顶角相等，的逆命题是相等得角是对顶角，也是个假命题，从而得出D不符合题意 。
18．【答案】（1）解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=68°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD= ∠ACB=34°.
∵CE⊥AB，∴ ∠CEB=90° ，又∵∠B=72°，
∴∠BCE=18°.
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=16° 。
（2）解：∠DCE= (∠B-∠A).
证明： ∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD= ∠ACB ，
∵ ∠ACB=180°-∠A-∠B ，
∴∠ACD=（180°-∠A-∠B） ，
∵∠CDB=∠A＋∠ACD ，
∴ ∠CDB =∠A＋（180°-∠A-∠B）=90°＋∠A－∠B ，
∵∠DCE=90°-∠CDE ，
∴∠DCE=90°－90°-∠A＋∠B=(∠B-∠A) .
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得出∠ACB的度数，根据角平分线的定义得出∠BCD= ∠ACB ，根据垂直的定义及三角形的内角和得出∠BCE=18°.根据角的和差由∠DCE=∠BCD-∠BCE算出答案；
（2）根据角平分线的定义得出∠ACD= ∠ACB ，根据三角形的内角和及等量代换得出∠ACD=（180°-∠A-∠B） ，根据三角形的外角定理得出∠CDB=∠A＋∠ACD ，由等量代换得出∠CDB =∠A＋（180°-∠A-∠B）=90°＋∠A－∠B ，根据直角三角形两锐角互余得出∠DCE=90°-∠CDE ， 从而得出结论。
19．【答案】（1）解：∵DB⊥BC,
∴ ∠DBC=90° ,
在Rt△DBC中 ∵BC=4,CD=5,
∴DB= =3 。
（2）解：如图,延长BD至E.使DE=BD,连接AE.∵D是AC的中点,∴AD=DC.在△BDC和△EDA中,
∴△BDC≌△EDA(SAS).
∴∠CAE=∠BCD.
∴AE∥BC.
∵DB⊥BC,∴BE⊥AE.
∴BE等于△ABC中BC边上的高.∴BE=2BD=6 。
【知识点】平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理直接计算出BD即可；
（2）根据中点定义得出AD=DC.然后根据SAS判断出△BDC≌△EDA ，根据全等三角形对应角相等得出∠CAE=∠BCD.从而根据内错角相等二直线平行得出AE∥BC.根据平行线间的距离是一个定值得出BE等于△ABC中BC边上的高，从而得出答案。
20．【答案】（1）解：如图,延长AD,BC交于点E.
在Rt△ABE中,∠A=60°,∴∠E=30°.
在Rt△CDE中,CD=4,∠E=30°.∴CE=2CD=8.
∴BE=BC+CE=6+8=14.
设AB=x,则AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,解得x= ,则AB= 。
（2）解：在Rt△CDE中,∠CDE=90°,
∴DE= = =4 .
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= ·AB·BE- ·CD·DE= × ×14- ×4×4 = .
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】(1)如图,延长AD,BC交于点E,根据三角形的内角和得出∠E=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出CE=2CD=8 ，根据线段的和差得出BE=BC+CE=6+8=14，设AB=x,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系则AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2 ，解方程求出x的值，即得到AB的长度；
（2）根据勾股定理得出DE的长，然后根据S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE计算出答案。
21．【答案】解:如图,将△CPB绕点C顺时针旋转90°,得△CP'A,则P'C=PC=2,P'A=PB=1. ∠PCP'=90°,∠BPC=∠AP'C ，∴∠CP'P=45° ；连接PP',∴PP'2=22+22=8.又P'A=1,PA=3,而PP'2+P'A2=8+1=9,PA2=9,∴PP'2+P'A2=PA2.∴∠AP'P=90°.又∠CP'P=45°,∴∠BPC=∠CP'A=135°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【分析】如图,将△CPB绕点C顺时针旋转90°,得△CP'A,根据旋转的性质知, P'C=PC=2,P'A=PB=1， ∠PCP'=90°, ∠BPC=∠AP'C ，根据等腰直角三角形的性质得出∠CP'P=45° ， 连接PP',根据勾股定理得出PP'2=22+22=8. 根据勾股定理的逆定理PP'2+P'A2=PA2，从而得出∠AP'P=90°,根据角的和差及等量代换得出∠BPC=∠CP'A=135°.
1 / 12017-2018学年北师大版数学八年级下册同步训练：1.2 直角三角形 课时1
一、填空题
1．直角三角形两锐角 ;反之,两锐角互余的三角形是
【答案】互余；直角三角形
【知识点】三角形内角和定理；逆命题
【解析】【解答】解 ：直角三角形两锐角互余 ；反之，两锐角互余的三角形是直角三角形；
故答案为 ：互余 ；直角三角形；
【分析】根据直角三角形的性质内容：直角三角形两锐角互余 ；反之,两锐角互余的三角形是直角三角形 ，就可以填了。
2．直角三角形两直角边的平方和等于 ;反之,有两边的平方和等于 平方的三角形是直角三角形.
【答案】斜边的平方；第三边
【知识点】勾股定理；勾股定理的应用
【解析】【解答】解 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；反之，有两边的平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形.
故答案为 ：斜边的平方 ；第三边。
【分析】根据勾股定理及逆定理的内容 ：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，反之,有两边的平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形，就可以了。
3．逆命题的定义:如果两个命题的题设和结论刚好相反,那么这样的两个命题叫做 ,如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做它的
【答案】互逆命题；逆命题
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解 ：如果两个命题的题设和结论刚好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题。
故答案为 ：互逆命题 ；逆命题 。
【分析】根据逆命题的定义:如果两个命题的题设和结论刚好相反,那么这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做它的逆命题 。
4．逆定理的定义:一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为
【答案】逆定理
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解 ：如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆命题。
故答案为 ：逆定理 。
【分析】根据逆定理的定义:一般地,如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么它也是一个定理,称这两个定理互为逆定理。
5．写出命题“如果a=b,那么3a=3b”的逆命
题:
【答案】如果3a=3b,那么a=b
【知识点】逆命题
【解析】【解答】命题“如果”“a=b”那么“3a=3b”的逆命题是：如果3a=3b,那么a=b ，
故答案为：如果3a=3b,那么a=b
【分析】根据互逆命题的变换规则，将原命题的题设和结论交换位置就可以得出原命题的逆命题，即把如果和那么领起的部分交换一下位置即可。
二、选择题
6．如图，AD是Rt△ABC的斜边BC上的高，则图中与∠B互余的角有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解 ：∵△ABC中，∠BAC=90° ，
∴ ∠B＋∠C=90° ，
∵ AD⊥BC ，
∴∠ADB=90° ，
，∴∠B＋∠ADB=90° .
故∠B的余角有∠C与∠ADB 。
故应选 ：B .
【分析】根据直角三角形的两锐角互余得出∠B＋∠C=90° ，∠B＋∠ADB=90° ，从而得出∠B的余角有∠C与∠ADB 。
7．在△ABC中，已知∠A+∠B=∠C，则△ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定
【答案】A
【知识点】三角形相关概念
【解析】【解答】解：∠A+∠B=∠C ①
∠A+∠B+∠C=180 ②
联立①②解得∠C=90
则得出△ABC为直角三角形 ；
故应选 ：A 。
【分析】根据三角形的内角和及等量代换得出∠C=90 °，根据有一个角是直角的三角形是直角三角形从而得出结论。
8．如图，若AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠EFD=60°，EP⊥FP，则∠BEP=（ ）度．
A．70° B．65° C．60° D．55°
【答案】C
【知识点】角的运算；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠BEF=180-∠EFD=120°；
∵FP平分∠EFD，且∠EFD=60°，
∴∠EFP=30°，
∵ EP⊥FP，
∴ ∠EPF=90° ，
∴∠FEP=60°；
∴∠BEP=∠BEF-∠FEP=60°．
故应选 ： C 。
【分析】根据二直线平行同旁内角互补得出∠BEF=180-∠EFD=120°；根据角平分线的定义得出∠EFP=30°，根据垂直的定义得出∠EPF=90° ，根据三角形的内角和得出∠FEP=60°；根据角的和差得出∠BEP=∠BEF-∠FEP=60° 。
9．（2017·瑶海模拟）如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，∠1=50°，则∠BCD的度数为（ ）
A．50° B．45° C．40° D．30°
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵l1∥l2，
∴∠1=∠ABC=50°．
∵CD⊥AB于点D，
∴∠CDB=90°．
∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．
∴∠BCD=40°．
故选：C．
【分析】先依据平行线的性质可求得∠ABC的度数，然后在直角三角形CBD中可求得∠BCD的度数．
10．一直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长为（ ）
A．5 B． C． D．5或
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：当已知边3和4都是直角边，则第三边是斜边，长是 ；当已知边3和4一条是直角边一条是斜边时，则第三边是直角边长是： = ．
故应选：D 。
【分析】根据直角三角形的斜边是最长的边，而此题又没有说明3和4是什么边，故此题分两种情况，①当已知边3和4都是直角边 ，②当已知边3是直角边一条4是斜边时，根据根据勾股定理计算即可。
11．已知直角三角形中30°角所对的直角边长是2 cm，则另一条直角边的长是（ ）
A．4 cm B．4 cm C．6 cm D．6 cm
【答案】C
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解 ；∵直角三角形中30°角所对的直角边长是2 cm ，
∴ 此三角形的斜边长为4cm，
∴ 另一条直角边为6cm ；
故应选 ：C .
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系，得出斜边的长，再根据勾股定理算出另一条直角边长即可 。
12．下列各组长度的线段能构成直角三角形的一组是（ ）
A．30，40，50 B．7，12，13 C．5，9，12 D．3，4，6
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：∵302+402=502，∴该三角形是直角三角形，A符合题意 ；
∵72+122≠132，∴该三角形不是直角三角形，B不符合题意；
∵52+92≠122，∴该三角形不是直角三角形，C不符合题意；
∵32+42≠62，∴该三角形不是直角三角形，D不符合题意；
故应选 ：A 。
【分析】根据勾股定理的逆定理，满足两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，一一判断即可。
13．（2017·靖江模拟）如图，在5×5的正方形网格中，从在格点上的点A，B，C，D中任取三点，所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵从点A，B，C，D中任取三点能组成三角形的一共有4种可能，其中△ABD，△ADC，△ABC是直角三角形，
∴所构成的三角形恰好是直角三角形的概率为 ．
故选D．
【分析】从点A，B，C，D中任取三点，找出所有的可能，以及能构成直角三角形的情况数，即可求出所求的概率．
14．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件：
①∠A=∠B-∠C；
②∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5；
③a2=(b+c)(b-c)；
④a∶b∶c=5∶12∶13，
其中能判定△ABC是直角三角形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理；三角形相关概念
【解析】【解答】解：①∵∠A=∠B-∠C，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B=90°，
∴①是直角三角形；
②∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴设∠A=3x ，∠B=4x ，∠ C=5 x ，
又∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴A=45°，∠B=60°，∠C=75°，
∴②不是直角三角形；
③∵a2=（b+c）（b-c），
∴a2+c2=b2，符合勾股定理的逆定理，
∴③是直角三角形；
④∵a：b：c=5：12：13，
∴设a=5x ，b=12x ，c=13x ，
∴a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，
∴④是直角三角形．
故应选：C 。
【分析】判断一个三角形是不是直角三角形，可以从角的角度，也可以从边的角度来判断 ；根据有一个角是直角的三角形是直角三角形，根据勾股定理的逆定理，满足两边的平方和等于第三边的平方的三角形是直角三角形，就可以一一判断 。
15．下列长度的三条线段能组成钝角三角形的是（ ）
A．3，4，4 B．3，4，5 C．3，4，6 D．3，4，7
【答案】C
【知识点】三角形三边关系；等腰三角形的判定；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A 答案是等腰三角形，两腰的长度大于底边的长度，根据大边对大角，可以得出底角大于顶角，而底角不能为钝角，故此三角形不能是钝角三角形；A不符合题意；
B 根据勾股定理的逆定理，此三角形是直角三角形，故B不符合题意 ；
C小的两边的平方和小于最大边的平方，故此三角形是钝角三角形，C符合题意 ；
D此三条线段不能构成三角形，D不符合题意。
故应选 ： C .
【分析】根据三角形三边之间的关系，及大边对大角，勾股定理的逆定理就可以一一判断。
16．下列命题的逆命题正确的是（ ）
A．两条直线平行，内错角相等
B．若两个实数相等，则它们的绝对值相等
C．全等三角形的对应角相等
D．若两个实数相等，则它们的平方也相等
【答案】A
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：A 逆命题： 内错角相等 ，两条直线平行.是真命题，A符合题意；
B 逆命题： 如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等.不一定成立，如它们的绝对值相等，但一正一负，则这两个实数不相等，B不符合题意 ；
C 逆命题：如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，不一定成立，因为它们也可以相似的，C不符合题意 ；
D逆命题 ：如果两个数的平方相等，则这两个数也相等，不一定成立，如2与-2的平方相等，但它们就不相等，故D不符合题意；
故应选 ：A 。
【分析】将一个命题的题设和结论交换位置，就得到原命题的逆命题，根据真命题的定义一一判断即可。
17．下列定理有逆定理的是（ ）
A．同角的余角相等
B．线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等
C．全等三角形的对应角相等
D．对顶角相等
【答案】B
【知识点】余角、补角及其性质；三角形全等及其性质；线段垂直平分线的性质；对顶角及其性质；逆命题
【解析】【解答】解：A、同角的余角相等，其逆命题是，如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，显然是假命题，故A不符合题意；
B、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题是到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上，是真命题，故B符合题意；
C、全等三角形的对应角相等，其逆命题是如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，显然是假命题，故C不符合题意 ；
D、对顶角相等，的逆命题是相等得角是对顶角，也是个假命题，从而得出D不符合题意 。
故答案为：B 。
【分析】定理有逆定理，则定理的逆命题必须是正确的，对于同角的余角相等，其逆命题是，如果两个角相等，那么它们是同一个角的余角，显然是假命题，故A不符合题意；线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，其逆命题是到线段两端点距离相等的点在这线段的垂直平分线上，是真命题，故B符合题意；全等三角形的对应角相等，其逆命题是如果两个三角形的对应角相等，则这两个三角形全等，显然是假命题，故C不符合题意 ；对顶角相等，的逆命题是相等得角是对顶角，也是个假命题，从而得出D不符合题意 。
三、解答题
18．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，CE是AB边上的高.
（1）若∠A=40°，∠B=72°，求∠DCE的度数；
（2）试写出∠DCE与∠A，∠B之间的数量关系，并证明.
【答案】（1）解：∵∠A=40°，∠B=72°，∴∠ACB=180°-∠A-∠B=68°.
∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠BCD= ∠ACB=34°.
∵CE⊥AB，∴ ∠CEB=90° ，又∵∠B=72°，
∴∠BCE=18°.
∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=16° 。
（2）解：∠DCE= (∠B-∠A).
证明： ∵CD是∠ACB的平分线，
∴∠ACD= ∠ACB ，
∵ ∠ACB=180°-∠A-∠B ，
∴∠ACD=（180°-∠A-∠B） ，
∵∠CDB=∠A＋∠ACD ，
∴ ∠CDB =∠A＋（180°-∠A-∠B）=90°＋∠A－∠B ，
∵∠DCE=90°-∠CDE ，
∴∠DCE=90°－90°-∠A＋∠B=(∠B-∠A) .
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和得出∠ACB的度数，根据角平分线的定义得出∠BCD= ∠ACB ，根据垂直的定义及三角形的内角和得出∠BCE=18°.根据角的和差由∠DCE=∠BCD-∠BCE算出答案；
（2）根据角平分线的定义得出∠ACD= ∠ACB ，根据三角形的内角和及等量代换得出∠ACD=（180°-∠A-∠B） ，根据三角形的外角定理得出∠CDB=∠A＋∠ACD ，由等量代换得出∠CDB =∠A＋（180°-∠A-∠B）=90°＋∠A－∠B ，根据直角三角形两锐角互余得出∠DCE=90°-∠CDE ， 从而得出结论。
19．如图,在△ABC中,D为AC边的中点,且DB⊥BC,BC=4,CD=5.
（1）求DB的长;
（2）在△ABC中,求BC边上的高.
【答案】（1）解：∵DB⊥BC,
∴ ∠DBC=90° ,
在Rt△DBC中 ∵BC=4,CD=5,
∴DB= =3 。
（2）解：如图,延长BD至E.使DE=BD,连接AE.∵D是AC的中点,∴AD=DC.在△BDC和△EDA中,
∴△BDC≌△EDA(SAS).
∴∠CAE=∠BCD.
∴AE∥BC.
∵DB⊥BC,∴BE⊥AE.
∴BE等于△ABC中BC边上的高.∴BE=2BD=6 。
【知识点】平行线的判定与性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理直接计算出BD即可；
（2）根据中点定义得出AD=DC.然后根据SAS判断出△BDC≌△EDA ，根据全等三角形对应角相等得出∠CAE=∠BCD.从而根据内错角相等二直线平行得出AE∥BC.根据平行线间的距离是一个定值得出BE等于△ABC中BC边上的高，从而得出答案。
20．如图,在四边形ABCD中,∠A=60°,∠B=∠D=90°,BC=6,CD=4,求:
（1）AB的长;
（2）四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解：如图,延长AD,BC交于点E.
在Rt△ABE中,∠A=60°,∴∠E=30°.
在Rt△CDE中,CD=4,∠E=30°.∴CE=2CD=8.
∴BE=BC+CE=6+8=14.
设AB=x,则AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2,解得x= ,则AB= 。
（2）解：在Rt△CDE中,∠CDE=90°,
∴DE= = =4 .
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE= ·AB·BE- ·CD·DE= × ×14- ×4×4 = .
【知识点】三角形的面积；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】(1)如图,延长AD,BC交于点E,根据三角形的内角和得出∠E=30°，根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出CE=2CD=8 ，根据线段的和差得出BE=BC+CE=6+8=14，设AB=x,根据含30°角的直角三角形的边之间的关系则AE=2x,根据勾股定理得:x2+142=(2x)2 ，解方程求出x的值，即得到AB的长度；
（2）根据勾股定理得出DE的长，然后根据S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE计算出答案。
21．如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内一点,且PA=3,PB=1,PC=2,求∠BPC的度数.
【答案】解:如图,将△CPB绕点C顺时针旋转90°,得△CP'A,则P'C=PC=2,P'A=PB=1. ∠PCP'=90°,∠BPC=∠AP'C ，∴∠CP'P=45° ；连接PP',∴PP'2=22+22=8.又P'A=1,PA=3,而PP'2+P'A2=8+1=9,PA2=9,∴PP'2+P'A2=PA2.∴∠AP'P=90°.又∠CP'P=45°,∴∠BPC=∠CP'A=135°.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；旋转的性质
【解析】【分析】如图,将△CPB绕点C顺时针旋转90°,得△CP'A,根据旋转的性质知, P'C=PC=2,P'A=PB=1， ∠PCP'=90°, ∠BPC=∠AP'C ，根据等腰直角三角形的性质得出∠CP'P=45° ， 连接PP',根据勾股定理得出PP'2=22+22=8. 根据勾股定理的逆定理PP'2+P'A2=PA2，从而得出∠AP'P=90°,根据角的和差及等量代换得出∠BPC=∠CP'A=135°.
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