2018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.3.2 等边三角形（1） 同步练习
一、选择题
1．等边三角形的一个角是（ ）．
A． B． C． D．
2．一个等边三角形的对称轴共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．6条
3．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（ ）度．
A．30 B．20 C．25 D．15
4．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
5．如图，△APB与△CDP均为等边三角形，且PA⊥PD，PA＝PD.有下列三个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6．（2016八上·柘城期中）如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（ ）
A．90° B．120° C．270° D．360°
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
二、填空题
9．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
10．等边三角形的边长为a，则它的周长为 ．
11．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E、F，连接AF，BE相交于点P，若AE=CF，则∠APB= ．
12．如图，l∥m，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l、m上，∠1=25°，则∠2= .
13．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．
（1）请你写出两个正确结论：① ；② ；
（2）当∠B=60°时，还可以得出正确结论： ；（只需写出一个）
14．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
15．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ cm.
三、解答题
16．已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求：∠B、∠C的度数，△ABC是什么三角形？
17．已知：如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE.
18．已知：在 中， ， 为 的中点， ， ，垂足分别为点 ，且 .求证： 是等边三角形.
19．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
20．如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？
21．如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】等边三角形三个角相等，且和为180°，所以每一个内角是60°，
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得到三个角相等，又三角形内角和是180°，求出等边三角形的每一个角的度数.
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】一个等边三角形有3条对称轴.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形是如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；得到等边三角形的对称轴共有3条.
3．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠DAC= ∠BAC=30°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED= = =75°，
∴∠EDC=∠ADC ∠ADE=90° 75°=15°.
故答案为：D.
【分析】由等边三角形的各个内角都是60°，再根据三线合一得到∠DAC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠EDC的度数.
4．【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵这个三角形是轴对称图形
∴一定有两个角相等
∴这是一个等腰三角形
∵有一个内角是60°
∴根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得
这是一个等边三角形
【分析】本题思路的关键是利用轴对称的性质，得到两个锐角相等，从而得到等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法得到结论.
5．【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△APB与△CDP是等边三角形，
∴PA=PB=AB，PD=DC=PC，∠ABP=∠APB=∠BAP=∠CPD=60°，
∵PA＝PD.
∵PA=PB=AB=PD=DC=PC，
∵PA⊥PD，
∴∠BPC=360°-90°-60°×2=150°，
∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正确；
∵PA⊥PD，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD∥BC，故②正确；
∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，
∴直线PC与AB垂直，故③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质得到三边相等，三个角都是60°，再由已知得到六条边相等，再由周角定义求出∠PBC的度数；由等腰直角三角形的性质和同旁内角互补两直线平行，得到AD∥BC；根据等边对等角和等边三角形的性质，得到直线PC与AB垂直.
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中， ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故选C
【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
7．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，
∴∠ABC=180°-60°-60°=60°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，
∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，
∴∠1+∠2=120°．
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和和外角和定理，求出∠1+∠2的度数.
8．【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵∠B=60°，AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC=3，∴△ABC的周长为：3BC=9，
故答案为：B．
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，再由BC的值求出△ABC的周长.
9．【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠3=180°-60°-20°=100°，
∴∠2=∠3=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据等边三角形的性质可知∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠3=∠2的度数.
10．【答案】3a
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：因为等边三角形的三边相等，而等边三角形的边长为a，所以它的周长为3a．
故答案为3a．
【分析】根据等边三角形的三边相等得到等边三角形的周长.
11．【答案】120°
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=CA，
∵在△ABE和△CAF中：
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠CAF，
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠CAF+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠APB=180°-60°=120°．
故答案为：120°.
【分析】根据等边三角形的性质，得到各个内角都是60°，各个边相等，再由SAS得到△ABE≌△CAF，得到对应角相等，再根据三角形外角的性质求出∠APB的度数.
12．【答案】35°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】过C作CM∥直线l．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．
∵直线l∥直线m，∴直线l∥直线m∥CM．
∵∠ACB=60°，∠1=25°，∴∠1=∠MCB=25°，
∴∠2=∠ACM=∠ACB﹣∠MCB=60°﹣25°=35°．
故答案为：35°．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB=60°，再根据平行线的传递性得到三线平行，得到内错角相等，求出∠2的度数.
13．【答案】（1）AD⊥BC；△ABD≌△ACD
（2）△ABC是等边三角形
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）①AD⊥BC；②△ABD≌△ACD；
故答案为：AD⊥BC，△ABD≌△ACD．（2）∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．
故答案为：△ABC是等边三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一和全等三角形的判定方法SSS，写出即可；（2）根据有一个角是60°等腰三角形是等边三角形，得出结论.
14．【答案】a
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AON=60°，
∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
15．【答案】4
【知识点】等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC=AB=8cm．
∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，∴BE= BC=4cm．
故答案为：4
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，由AB=AC，得到A在BC的垂直平分线上，同理得到点D在BC的垂直平分线上，得到AD垂直平分BC，求出BE的长.
16．【答案】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推知△ABC是等边三角形，结合等边三角形的性质求∠B、∠C的度数．
17．【答案】证明：∵DG∥BC，∴∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中， ∴△DFG≌△EFC(AAS)， ∴GD=CE，∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60 ，
∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等边三角形，
∴AD=GD， ∴AD=CE.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法AAS，得到△DFG≌△EFC，得到对应边相等，再由等边三角形的性质，得到各个角都是60°，再根据两直线平行同位角相等，得到△ADG是等边三角形，得到AD=CE.
18．【答案】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．∵D为的AC中点，∴DA=DC．又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，∴∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴ΔABC是等边三角形
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定
【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法HL，得到RtΔAED≌RtΔCDF，得到对应角相等，再由等角对等边得到ΔABC是等边三角形.
19．【答案】解：△BDC≌△AEC．理由如下：∵△ABC、△EDC均为等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE．，∴△BDC≌△AEC（SAS）.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，得到边相等，角都是60°，再由SAS得到△BDC≌△AEC.
20．【答案】解：连接DP，∵∠DOP=60°，OD=OP，∴△ODP是等边三角形，∴∠OPD=60°，PO=PD，∵等边三角形ABC，∴∠A=∠B=60°，∴∠AOP+∠OPA=120°，∠OPA+∠DPB=120°，∴∠AOP=∠DPB，在△AOP和△BPD中 ，∴△AOP≌△BPD，∴AO=BP=2，∴AP=AB﹣AP=6﹣2=4
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到△ODP是等边三角形，再由等边三角形的性质和全等三角形的判定方法AAS，得到△AOP≌△BPD，得到对应边相等，求出AP的长.
21．【答案】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
又∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE
（2）解：在等边△ECD中，
∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC=120°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=120°﹣60°=60°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法SAS，得到△ACD≌△BCE，得到对应边相等；（2）根据等边三角形的性质和三角形的外角性质，再由△ACD≌△BCE，求出∠AEB的度数．
1 / 12018-2019学年数学人教版（五四学制）八年级上册20.3.2 等边三角形（1） 同步练习
一、选择题
1．等边三角形的一个角是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】等边三角形三个角相等，且和为180°，所以每一个内角是60°，
故答案为：B.
【分析】根据等边对等角得到三个角相等，又三角形内角和是180°，求出等边三角形的每一个角的度数.
2．一个等边三角形的对称轴共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．6条
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】一个等边三角形有3条对称轴.
故答案为：C.
【分析】轴对称图形是如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；得到等边三角形的对称轴共有3条.
3．如图，AD是等边三角形ABC的中线，AE=AD，则∠EDC=（ ）度．
A．30 B．20 C．25 D．15
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
∵AD是△ABC的中线，
∴∠DAC= ∠BAC=30°，AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，
∵AE=AD，
∴∠ADE=∠AED= = =75°，
∴∠EDC=∠ADC ∠ADE=90° 75°=15°.
故答案为：D.
【分析】由等边三角形的各个内角都是60°，再根据三线合一得到∠DAC的度数，再根据三角形内角和定理求出∠EDC的度数.
4．如果一个三角形是轴对称图形，且有一个内角是60°，那么这个三角形是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．等腰三角形 D．含30°角的直角三角形
【答案】A
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】∵这个三角形是轴对称图形
∴一定有两个角相等
∴这是一个等腰三角形
∵有一个内角是60°
∴根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形得
这是一个等边三角形
【分析】本题思路的关键是利用轴对称的性质，得到两个锐角相等，从而得到等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法得到结论.
5．如图，△APB与△CDP均为等边三角形，且PA⊥PD，PA＝PD.有下列三个结论：①∠PBC＝15°；②AD∥BC；③直线PC与AB垂直．其中正确的有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】平行线的判定；三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△APB与△CDP是等边三角形，
∴PA=PB=AB，PD=DC=PC，∠ABP=∠APB=∠BAP=∠CPD=60°，
∵PA＝PD.
∵PA=PB=AB=PD=DC=PC，
∵PA⊥PD，
∴∠BPC=360°-90°-60°×2=150°，
∴∠PBC=∠PCB=15°，故①正确；
∵PA⊥PD，
∴△APD是等腰直角三角形，
∴∠PAD=45°，
∴∠BAD+∠ABC=45°+60°+60°+15°=180°，
∴AD∥BC，故②正确；
∵∠ABC+∠PCB=60°+15°+15°=90°，
∴直线PC与AB垂直，故③正确；
综上所述，正确的有①②③共3个．
故答案为：D.
【分析】根据等边三角形的性质得到三边相等，三个角都是60°，再由已知得到六条边相等，再由周角定义求出∠PBC的度数；由等腰直角三角形的性质和同旁内角互补两直线平行，得到AD∥BC；根据等边对等角和等边三角形的性质，得到直线PC与AB垂直.
6．（2016八上·柘城期中）如图：等边三角形ABC中，BD=CE，AD与BE相交于点P，则∠APE的度数是（ ）
A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】C
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：∵等边△ABC，
∴∠ABD=∠C，AB=BC，
在△ABD与△BCE中， ，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠BAD=∠CBE，
∵∠ABE+∠EBC=60°，
∴∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=∠ABE+∠BAD=60°，
∴∠APE=60°．
故选C
【分析】根据题目已知条件可证△ABD≌△BCE，再利用全等三角形的性质及三角形外角和定理求解．
7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1＋∠2的度数为（ ）
A．90° B．120° C．270° D．360°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【解答】∵图中是三个等边三角形，∠3=60°，
∴∠ABC=180°-60°-60°=60°，∠ACB=180°-60°-∠2=120°-∠2，
∠BAC=180°-60°-∠1=120°-∠1，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴60°+（120°-∠2）+（120°-∠1）=180°，
∴∠1+∠2=120°．
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和和外角和定理，求出∠1+∠2的度数.
8．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为（ ）
A．12 B．9 C．8 D．6
【答案】B
【知识点】等边三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：在△ABC中，∵∠B=60°，AB=AC，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=180°-60°-60°=60°，
∴△ABC为等边三角形，
∵BC=3，∴△ABC的周长为：3BC=9，
故答案为：B．
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，再由BC的值求出△ABC的周长.
二、填空题
9．如图，过等边△ABC的顶点A作射线．若∠1＝20°，则∠2的度数为 ．
【答案】100°
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质
【解析】【解答】如图，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠3=180°-60°-20°=100°，
∴∠2=∠3=100°.
故答案为：100°.
【分析】根据等边三角形的性质可知∠B的度数，再根据三角形内角和定理求出∠3=∠2的度数.
10．等边三角形的边长为a，则它的周长为 ．
【答案】3a
【知识点】等边三角形的性质
【解析】【解答】解：因为等边三角形的三边相等，而等边三角形的边长为a，所以它的周长为3a．
故答案为3a．
【分析】根据等边三角形的三边相等得到等边三角形的周长.
11．等边三角形ABC的边长为6，在AC，BC边上各取一点E、F，连接AF，BE相交于点P，若AE=CF，则∠APB= ．
【答案】120°
【知识点】三角形的外角性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【解答】∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ABC=∠BCA=60°，AB=CA，
∵在△ABE和△CAF中：
∴△ABE≌△CAF（SAS），
∴∠ABE=∠CAF，
∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠CAF+∠BAP=∠BAC=60°，
∴∠APB=180°-60°=120°．
故答案为：120°.
【分析】根据等边三角形的性质，得到各个内角都是60°，各个边相等，再由SAS得到△ABE≌△CAF，得到对应角相等，再根据三角形外角的性质求出∠APB的度数.
12．如图，l∥m，等边△ABC的顶点A、B分别在直线l、m上，∠1=25°，则∠2= .
【答案】35°
【知识点】平行线的判定；平行线的性质
【解析】【解答】过C作CM∥直线l．
∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°．
∵直线l∥直线m，∴直线l∥直线m∥CM．
∵∠ACB=60°，∠1=25°，∴∠1=∠MCB=25°，
∴∠2=∠ACM=∠ACB﹣∠MCB=60°﹣25°=35°．
故答案为：35°．
【分析】根据等边三角形的性质得到∠ACB=60°，再根据平行线的传递性得到三线平行，得到内错角相等，求出∠2的度数.
13．已知：如图，△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，连接AD．
（1）请你写出两个正确结论：① ；② ；
（2）当∠B=60°时，还可以得出正确结论： ；（只需写出一个）
【答案】（1）AD⊥BC；△ABD≌△ACD
（2）△ABC是等边三角形
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【解答】解：（1）①AD⊥BC；②△ABD≌△ACD；
故答案为：AD⊥BC，△ABD≌△ACD．（2）∵AB=AC，∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．
故答案为：△ABC是等边三角形．
【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一和全等三角形的判定方法SSS，写出即可；（2）根据有一个角是60°等腰三角形是等边三角形，得出结论.
14．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP= 时，△AOP为等边三角形．
【答案】a
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【解答】解：∵AON=60°，
∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．
故答案是：a．
【分析】根据“有一内角为60度的等腰三角形是等边三角形”进行解答．
15．如图，AB＝AC＝8cm，DB＝DC，若∠ABC＝60°，则BE＝ cm.
【答案】4
【知识点】等边三角形的判定；线段垂直平分线的判定
【解析】【解答】解：∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，A在BC的垂直平分线上，
∴BC=AB=8cm．
∵DB=DC，∴点D在BC的垂直平分线上，
∴AD垂直平分BC，∴BE= BC=4cm．
故答案为：4
【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到△ABC是等边三角形，由AB=AC，得到A在BC的垂直平分线上，同理得到点D在BC的垂直平分线上，得到AD垂直平分BC，求出BE的长.
三、解答题
16．已知：在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，求：∠B、∠C的度数，△ABC是什么三角形？
【答案】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°
【知识点】等边三角形的判定
【解析】【分析】利用“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”推知△ABC是等边三角形，结合等边三角形的性质求∠B、∠C的度数．
17．已知：如图，点D在等边△ABC的边AB上，作DG∥BC，交AC于点G，点F在边AC上，连接DF并延长，交BC的延长线于点E，FE=FD．求证：AD=CE.
【答案】证明：∵DG∥BC，∴∠DGF=∠ECF，在△DFG和△EFC中， ∴△DFG≌△EFC(AAS)， ∴GD=CE，∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠ACB=60 ，
∵DG∥BC，∴∠ADG=∠B，∠AGD=∠ACB，∴∠A=∠ADG=∠AGD，∴△ADG是等边三角形，
∴AD=GD， ∴AD=CE.
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】根据全等三角形的判定方法AAS，得到△DFG≌△EFC，得到对应边相等，再由等边三角形的性质，得到各个角都是60°，再根据两直线平行同位角相等，得到△ADG是等边三角形，得到AD=CE.
18．已知：在 中， ， 为 的中点， ， ，垂足分别为点 ，且 .求证： 是等边三角形.
【答案】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C．∵DE⊥AB， DF⊥BC，∴∠DEA=∠DFC=90°．∵D为的AC中点，∴DA=DC．又∵DE=DF，∴RtΔAED≌RtΔCDF(HL)，∴∠A=∠C，∴∠A=∠B=∠C，∴ΔABC是等边三角形
【知识点】直角三角形全等的判定（HL）；等边三角形的判定
【解析】【分析】根据直角三角形的判定方法HL，得到RtΔAED≌RtΔCDF，得到对应角相等，再由等角对等边得到ΔABC是等边三角形.
19．如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．
【答案】解：△BDC≌△AEC．理由如下：∵△ABC、△EDC均为等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=60°．∴∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD，即∠BCD=∠ACE．，∴△BDC≌△AEC（SAS）.
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】根据等边三角形的性质，得到边相等，角都是60°，再由SAS得到△BDC≌△AEC.
20．如图，在等边△ABC中，AC=6，点O在AC上，且AO=2，点P是AB上一动点，连接OP，将线段OP绕点O逆时针旋转60°得到线段OD．要使点D恰好落在BC上，则AP的长是多少？
【答案】解：连接DP，∵∠DOP=60°，OD=OP，∴△ODP是等边三角形，∴∠OPD=60°，PO=PD，∵等边三角形ABC，∴∠A=∠B=60°，∴∠AOP+∠OPA=120°，∠OPA+∠DPB=120°，∴∠AOP=∠DPB，在△AOP和△BPD中 ，∴△AOP≌△BPD，∴AO=BP=2，∴AP=AB﹣AP=6﹣2=4
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质；等边三角形的判定
【解析】【分析】根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，得到△ODP是等边三角形，再由等边三角形的性质和全等三角形的判定方法AAS，得到△AOP≌△BPD，得到对应边相等，求出AP的长.
21．如图，△ACB和△ECD都是等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE．
（1）求证：AD=BE；
（2）求∠AEB的度数．
【答案】（1）证明：∵△ACB和△ECD都是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
又∵∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
∴△ACD≌△BCE（SAS）．
∴AD=BE
（2）解：在等边△ECD中，
∠CDE=∠CED=60°，
∴∠ADC=120°，
∵△ACD≌△BCE，
∴∠BEC=∠ADC=120°，
∴∠AEB=∠BEC﹣∠CED=120°﹣60°=60°．
【知识点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质和全等三角形的判定方法SAS，得到△ACD≌△BCE，得到对应边相等；（2）根据等边三角形的性质和三角形的外角性质，再由△ACD≌△BCE，求出∠AEB的度数．
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