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华师大版七年级数学下册10.3.2旋转的特征同步练习
一、选择题
1．（2016八上·达县期中）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故选C．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（ ）
A．32° B．64° C．77° D．87°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由旋转的性质可知，AC=AC′，
∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′=32°，
∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，
∵∠B=∠C′B′A，
∴∠B=77°，
故选C．
【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．
3．如图，已知□ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．170°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，
∵∠ADA′=50°，
∴∠A′DC=10°，
∴∠DA′B=130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′=∠BAE=30°，
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．
故选：C．
【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．
4．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，
∴∠OFA=（180°-130°）÷2=25°．
故选：C．
【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数．
5．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）
A．34° B．36° C．38° D．40°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由题意得，∠AOD=31°，∠BOC=31°，又∠AOC=100°，
∴∠DOB=100°-31°-31°=38°．
故选：C．
【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数．
6．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】
∵DE=DF，∠EDF=30°，
∴∠DFC= （180°-∠EDF）=75°，
∵∠C=45°，
∴∠BDN=∠DFC+∠C=75°+45°=120°，
故选C．
【分析】根据等腰三角形的性质和 特殊直角三角形的性质即可得到结果．
7．如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，则∠α的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AEF，
∴∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，
又∠B=100°，∴∠BAC=30°，
∴∠α=∠BAE﹣∠BAC=50°．
故选B．
【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角、对应线段作答．
8．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】
∵∠A=25°，∠BCA′=45°，
∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，
∵CB=CB′，
∴∠BB′C=∠B′BC=70°，
∴∠B′CB=40°，
∴∠ACA′=40°，
∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，
∴∠ACA′=∠A′BA=40°．
故选：C．
【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°．
9．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△APQ，使AP平行于CB，CB，AQ的延长线相交于点D．如果∠D=40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，由旋转变换的性质得：
∠PAQ=∠BAC；
∵AP∥BD，
∴∠PAQ=∠D=40°，
∴∠BAC=40°．
故选B．
【分析】如图，首先由旋转变换的性质得到∠PAQ=∠BAC；由平行线的性质得到∠PAQ=∠D=40°，即可解决问题．
10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．85° C．75° D．90°
【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°﹣∠C=90°﹣70°=20°，
∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，
∴∠BAC=∠DAE=85°．
故选B．
【分析】先根据旋转的性质得∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，再根据垂直的定义得∠AFC=90°，则利用互余计算出∠CAF=90°﹣∠C=20°，所以∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°，于是得到∠BAC=85°．
11．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°．
故选D．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算．
12．（2016九上·北京期中）如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AA′．由题意得：
AC=A′C，A′B′=AB，∠ACA′=90°，
∴∠AA′C=45°，AA′2=22+22=8；
∵AB′2=32=9，A′B′2=12=1，
∴AB′2=AA′2+A′B′2，
∴∠AA′B′=90°，∠A′=135°，
故选C．
【分析】如图，作辅助线；首先证明∠AA′C=45°，然后证明AB′2=AA′2+A′B′2，得到∠AA′B′=90°，进而得到∠A′=135°，即可解决问题．
13．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转60°后得到△A′B′C，若∠A=40°，∠B=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．100° B．90° C．70° D．110°
【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，∵∠A=40°，∠B=110°，
∴∠ACB=180°﹣110°﹣40°=30°；
由题意得：∠ACA′=60°，
∴∠BCA′=30°+60°=90°，
故选B．
【分析】如图，首先运用三角形的内角和定理求出∠ACB=30°，然后运用旋转变换的性质得到∠ACA′=60°，进而求出∠BCA′，即可解决问题．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，连结AB′．若A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A．6 B． C． D．3
【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，得
AB=4，∠BAC=30°．
由旋转的性质，得
A′B′=AB=4，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，AC=A′C．
由等腰三角形的性质，得
∠CAB′=∠A′=30°．
由邻补角的定义，得
∠AB′C=180°-∠A′B′C=120°．
由三角形的内角和定理，得
∠ACB′=180°-∠AB′C-∠B′AC=30°．
∴∠B′AC=∠B′CA=30°，
AB′=B′C=BC=2．
A′A=A′B′+AB′=4+2=6，
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，可得AB的长，根据旋转的性质，可得A′B′的长，B′C的长，∠A′、∠A′B′C′，根据邻补角的定义，可得∠AB′C的度数，根据等腰三角形的判定，可得AB′，根据线段的和差，可得答案．
15．如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，CD上的点，BE=CF，连接AE，BF，将△ABE绕正方形的对角线的交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，
即∠AOB是旋转角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠AOB=180°-45°-45°=90°，
即旋转角是90°．
故选D．
【分析】根据旋转性质得出旋转后A到B，只要根据正方形的性质和三角形的内角和定理求出∠AOB即可．
二、填空题
16．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= ．
【答案】3
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE=60°，AB=AE，
∴△BAE是等边三角形，
∴BE=3．
故答案为：3．
【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=3即可．
17．如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′B′C，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′= .
【答案】110°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵∠A=70°，AC=BC，
∴∠BCA=40°，
根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，
∴∠α=180°-2×70°=40°，
∵∠CBC′=∠α=40°，
∴∠BCC′=70°，
∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°；
故答案为：110°．
【分析】由∠A=70°，AC=BC，可知∠ACB=40°，根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠α=40°，∠BCC′=70°，于是∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°．
18．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，则∠BAD= 度．
【答案】60
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，
∴∠BAD=60度．
故答案为：60．
【分析】根据旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，依此即可求解．
19．如图，将等边△OAB绕O点按逆时针方向旋转150°，得到△OA′B′（点A′，B′分别是点A，B的对应点），则∠1= °．
【答案】150
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵等边△OAB绕点O按逆时针旋转了150°，得到△OA′B′，
∴∠AOA′=150°，
∵∠A′OB′=60°，
∴∠1=360°-∠AOA′-∠A′OB′=360°-150°-60°=150°，
故答案为：150．
【分析】首先根据旋转的性质得到∠AOA′=150°，然后根据∠A′OB′=60°得到∠1=360°-∠AOA′-∠A′OB′即可求解．
20．如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于D点．若∠A′DC=90°，则∠A= 度．
【答案】55
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′
∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°．
故答案为：55．
【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，则∠A度数可求．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，求∠BAB′的度数．
【答案】【解答】∵CC′∥AB，∴∠A CC′=∠CAB=70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，在△ACC′中，∵AC=AC′∴∠ACC′=∠AC′C=70°，∴∠CAC′=180°-70°-70°=40°，∴∠BAB′=40°．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】先根据平行线的性质，由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=70°，再根据旋转的性质得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC′=∠AC′C=70°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠CAC′=40°，从而得到∠BAB′的度数．
22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．求证：AE=BD．
【答案】【解答】证明：∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵CB=CA，∠BCA=90°，∴△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，∴AE=BD．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】先根据旋转的性质，由线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置得到CD=CE，∠DCE=90°，加上CB=CA，∠BCA=90°，于是根据旋转的定义可把△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，然后根据旋转的性质即可得到结论．
23．如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE．
①图中哪一个点是旋转中心？
②按什么方向旋转了多少度？
③如果CF=3cm．求EF的长
【答案】【解答】①△DCF绕点C逆时针旋转得到△BCE，所以旋转中心为点C；②∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，∴△DCF绕点C逆时针旋转90°得到△BCE；③∵△DCF绕点C逆时针旋转90°得到△BCE，∴CE=CF，∠ECF=90°，连接EF∴△CEF为等腰直角三角形，∴EF= CF= cm．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】①②根据旋转的定义求解；③根据旋转的性质得CE=CF，∠ECF=90°，则可判断△CEF为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
24．如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转35°至△ADE，∠B=40°，∠DAC=55°．求∠E的度数．
【答案】【解答】由旋转的性质得：∠EAC=35°，∠D=∠B=40°，∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=55°+35°=90°，∴∠E=90°-∠D=90°-40°=50°．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】由旋转的性质得出∠EAC=35°，∠D=∠B=40°，求出∠DAE=∠DAC+∠EAC=90°，即可得出∠E的度数．
25．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG．
（1）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
（2）观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）【解答】存在．
∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴把△CBE绕点C顺时针旋转90°可得△CDG；
（2）【解答】BE=DG，BE⊥DG．理由如下：
延长GD交BE于M，如图，
∵△CBE绕点C顺时针旋转90°可得△CDBG，
∴BE=DG，∠BEC=∠DGC，
∵∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠BEC+∠DGC=90°，
∴∠BMG=90°，
∴DG⊥BE．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据旋转的定义，把△CBE绕点C顺时针旋转90°可得△CDG；（2）根据旋转的性质得BE=DG，∠BEC=∠DGC，由于∠BEC+∠CBE=90°，则∠BEC+∠DGC=90°，于是可判断DG⊥BE．
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华师大版七年级数学下册10.3.2旋转的特征同步练习
一、选择题
1．（2016八上·达县期中）如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（ ）
A．35° B．40° C．50° D．65°
2．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转90°后得到的△AB′C′（点B的对应点是点B′，点C的对应点是点C′），连接CC′．若∠CC′B′=32°，则∠B的大小是（ ）
A．32° B．64° C．77° D．87°
3．如图，已知□ABCD中，AE⊥BC于点E，以点B为中心，取旋转角等于∠ABC，把△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，连接DA′．若∠ADC=60°，∠ADA′=50°，则∠DA′E′的大小为（ ）
A．130° B．150° C．160° D．170°
4．如图，正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，连接AF，则∠OFA的度数是（ ）
A．15° B．20° C．25° D．30°
5．如图，△ODC是由△OAB绕点O顺时针旋转31°后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且∠AOC的度数为100°，则∠DOB的度数是（ ）
A．34° B．36° C．38° D．40°
6．一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角形的斜边上，AC与DM，DN分别交于点E，F，把△DEF绕点D旋转到一定位置，使得DE=DF，则∠BDN的度数是（ ）
A．105° B．115° C．120° D．135°
7．如图，△ABC绕点A顺时针旋转80°得到△AEF，若∠B=100°，∠F=50°，则∠α的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
8．如图，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A′B′C，且点B刚好落在A′B′上，若∠A=25°，∠BCA′=45°，则∠A′BA等于（ ）
A．30° B．35° C．40° D．45°
9．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转某个角度得到△APQ，使AP平行于CB，CB，AQ的延长线相交于点D．如果∠D=40°，则∠BAC的度数为（ ）
A．30° B．40° C．50° D．60°
10．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（ ）
A．60° B．85° C．75° D．90°
11．如图，△ABC为钝角三角形，将△ABC绕点A按逆时针方向旋转120°得到△AB′C′，连接BB′，若AC′∥BB′，则∠CAB′的度数为（ ）
A．45° B．60° C．70° D．90°
12．（2016九上·北京期中）如图，在△ABC中，AB=1，AC=2，现将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C′，连接AB′，并有AB′=3，则∠A′的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
13．如图，将△ABC绕着点C顺时针旋转60°后得到△A′B′C，若∠A=40°，∠B=110°，则∠BCA′的度数是（ ）
A．100° B．90° C．70° D．110°
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．将△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C，连结AB′．若A、B′、A′在同一条直线上，则AA′的长为（ ）
A．6 B． C． D．3
15．如图，E，F分别是正方形ABCD的边BC，CD上的点，CD上的点，BE=CF，连接AE，BF，将△ABE绕正方形的对角线的交点O按顺时针方向旋转到△BCF，则旋转角是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
二、填空题
16．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB=3，则BE= ．
17．如图，在△ABC中，∠A=70°，AC=BC，以点B为旋转中心把△ABC按顺时针旋转α度，得到△A′B′C，点A′恰好落在AC上，连接CC′，则∠ACC′= .
18．如图，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，则∠BAD= 度．
19．如图，将等边△OAB绕O点按逆时针方向旋转150°，得到△OA′B′（点A′，B′分别是点A，B的对应点），则∠1= °．
20．如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转35°，得到△A′B′C，A′B′交AC于D点．若∠A′DC=90°，则∠A= 度．
三、解答题
21．如图，在△ABC中，∠CAB=70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，使得CC′∥AB，求∠BAB′的度数．
22．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．求证：AE=BD．
23．如图所示，已知正方形ABCD中的△DCF可以经过旋转得到△BCE．
①图中哪一个点是旋转中心？
②按什么方向旋转了多少度？
③如果CF=3cm．求EF的长
24．如图，△ABC绕顶点A顺时针旋转35°至△ADE，∠B=40°，∠DAC=55°．求∠E的度数．
25．如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连结BE、DG．
（1）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由．
（2）观察猜想BE与DG之间的关系，并证明你的结论．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵CC′∥AB，
∴∠ACC′=∠CAB=65°，
∵△ABC绕点A旋转得到△AB′C′，
∴AC=AC′，
∴∠CAC′=180°﹣2∠ACC′=180°﹣2×65°=50°，
∴∠CAC′=∠BAB′=50°．
故选C．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠ACC′=∠CAB，根据旋转的性质可得AC=AC′，然后利用等腰三角形两底角相等求∠CAC′，再根据∠CAC′、∠BAB′都是旋转角解答．
2．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由旋转的性质可知，AC=AC′，
∵∠CAC′=90°，可知△CAC′为等腰直角三角形，则∠CC′A=45°．
∵∠CC′B′=32°，
∴∠C′B′A=∠C′CA+∠CC′B′=45°+32°=77°，
∵∠B=∠C′B′A，
∴∠B=77°，
故选C．
【分析】旋转中心为点A，C、C′为对应点，可知AC=AC′，又因为∠CAC′=90°，根据三角形外角的性质求出∠C′B′A的度数，进而求出∠B的度数．
3．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，∠ADC=60°，
∴∠ABC=60°，∠DCB=120°，
∵∠ADA′=50°，
∴∠A′DC=10°，
∴∠DA′B=130°，
∵AE⊥BC于点E，
∴∠BAE=30°，
∵△BAE顺时针旋转，得到△BA′E′，
∴∠BA′E′=∠BAE=30°，
∴∠DA′E′=∠DA′B+∠BA′E′=160°．
故选：C．
【分析】根据平行四边形对角相等、邻角互补，得∠ABC=60°，∠DCB=120°，再由∠A′DC=10°，可运用三角形外角求出∠DA′B=130°，再根据旋转的性质得到∠BA′E′=∠BAE=30°，从而得到答案．
4．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵正方形OABC绕着点O逆时针旋转40°得到正方形ODEF，
∴∠AOF=90°+40°=130°，OA=OF，
∴∠OFA=（180°-130°）÷2=25°．
故选：C．
【分析】先根据正方形的性质和旋转的性质得到∠AOF的度数，OA=OF，再根据等腰三角形的性质即可求得∠OFA的度数．
5．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由题意得，∠AOD=31°，∠BOC=31°，又∠AOC=100°，
∴∠DOB=100°-31°-31°=38°．
故选：C．
【分析】根据旋转的性质求出∠AOD和∠BOC的度数，计算出∠DOB的度数．
6．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】
∵DE=DF，∠EDF=30°，
∴∠DFC= （180°-∠EDF）=75°，
∵∠C=45°，
∴∠BDN=∠DFC+∠C=75°+45°=120°，
故选C．
【分析】根据等腰三角形的性质和 特殊直角三角形的性质即可得到结果．
7．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转80°得到△AEF，
∴∠C=∠F=50°，∠BAE=80°，
又∠B=100°，∴∠BAC=30°，
∴∠α=∠BAE﹣∠BAC=50°．
故选B．
【分析】根据旋转的性质找到对应点、对应角、对应线段作答．
8．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】
∵∠A=25°，∠BCA′=45°，
∴∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，
∵CB=CB′，
∴∠BB′C=∠B′BC=70°，
∴∠B′CB=40°，
∴∠ACA′=40°，
∵∠A=∠A′，∠A′DB=∠ADC，
∴∠ACA′=∠A′BA=40°．
故选：C．
【分析】首先根据旋转的性质以及三角形外角的性质得出∠BCA′+∠A′=∠B′BC=45°+25°=70°，以及∠BB′C=∠B′BC=70°，再利用三角形内角和定理得出∠ACA′=∠A′BA=40°．
9．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：如图，由旋转变换的性质得：
∠PAQ=∠BAC；
∵AP∥BD，
∴∠PAQ=∠D=40°，
∴∠BAC=40°．
故选B．
【分析】如图，首先由旋转变换的性质得到∠PAQ=∠BAC；由平行线的性质得到∠PAQ=∠D=40°，即可解决问题．
10．【答案】B
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，
∵AD⊥BC，
∴∠AFC=90°，
∴∠CAF=90°﹣∠C=90°﹣70°=20°，
∴∠DAE=∠CAF+∠EAC=20°+65°=85°，
∴∠BAC=∠DAE=85°．
故选B．
【分析】先根据旋转的性质得∠C=∠E=70°，∠BAC=∠DAE，再根据垂直的定义得∠AFC=90°，则利用互余计算出∠CAF=90°﹣∠C=20°，所以∠DAE=∠CAF+∠EAC=85°，于是得到∠BAC=85°．
11．【答案】D
【知识点】图形的旋转
【解析】【解答】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，
∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，
∴∠AB′B=（180°﹣120°）=30°，
∵AC′∥BB′，
∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，
∴∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′=120°﹣30°=90°．
故选D．
【分析】先根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质由AC′∥BB′得∠C′AB′=∠AB′B=30°，然后利用∠CAB′=∠CAC′﹣∠C′AB′进行计算．
12．【答案】C
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，连接AA′．由题意得：
AC=A′C，A′B′=AB，∠ACA′=90°，
∴∠AA′C=45°，AA′2=22+22=8；
∵AB′2=32=9，A′B′2=12=1，
∴AB′2=AA′2+A′B′2，
∴∠AA′B′=90°，∠A′=135°，
故选C．
【分析】如图，作辅助线；首先证明∠AA′C=45°，然后证明AB′2=AA′2+A′B′2，得到∠AA′B′=90°，进而得到∠A′=135°，即可解决问题．
13．【答案】B
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：如图，∵∠A=40°，∠B=110°，
∴∠ACB=180°﹣110°﹣40°=30°；
由题意得：∠ACA′=60°，
∴∠BCA′=30°+60°=90°，
故选B．
【分析】如图，首先运用三角形的内角和定理求出∠ACB=30°，然后运用旋转变换的性质得到∠ACA′=60°，进而求出∠BCA′，即可解决问题．
14．【答案】A
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，得
AB=4，∠BAC=30°．
由旋转的性质，得
A′B′=AB=4，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，AC=A′C．
由等腰三角形的性质，得
∠CAB′=∠A′=30°．
由邻补角的定义，得
∠AB′C=180°-∠A′B′C=120°．
由三角形的内角和定理，得
∠ACB′=180°-∠AB′C-∠B′AC=30°．
∴∠B′AC=∠B′CA=30°，
AB′=B′C=BC=2．
A′A=A′B′+AB′=4+2=6，
故选：A．
【分析】根据直角三角形的性质，可得AB的长，根据旋转的性质，可得A′B′的长，B′C的长，∠A′、∠A′B′C′，根据邻补角的定义，可得∠AB′C的度数，根据等腰三角形的判定，可得AB′，根据线段的和差，可得答案．
15．【答案】D
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】将△ABE绕正方形的对角线交点O按顺时针方向旋转到△BCF时，A和B重合，
即∠AOB是旋转角，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAO=∠ABO=45°，
∴∠AOB=180°-45°-45°=90°，
即旋转角是90°．
故选D．
【分析】根据旋转性质得出旋转后A到B，只要根据正方形的性质和三角形的内角和定理求出∠AOB即可．
16．【答案】3
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，
∴∠BAE=60°，AB=AE，
∴△BAE是等边三角形，
∴BE=3．
故答案为：3．
【分析】根据旋转的性质得出∠BAE=60°，AB=AE，得出△BAE是等边三角形，进而得出BE=3即可．
17．【答案】110°
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵∠A=70°，AC=BC，
∴∠BCA=40°，
根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，
∴∠α=180°-2×70°=40°，
∵∠CBC′=∠α=40°，
∴∠BCC′=70°，
∴∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°；
故答案为：110°．
【分析】由∠A=70°，AC=BC，可知∠ACB=40°，根据旋转的性质，AB=BA′，BC=BC′，∠CBC′=∠α=40°，∠BCC′=70°，于是∠ACC′=∠ACB+∠BCC′=110°．
18．【答案】60
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵将△ABC绕点A按顺时针方向旋转60°得△ADE，
∴∠BAD=60度．
故答案为：60．
【分析】根据旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，依此即可求解．
19．【答案】150
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】∵等边△OAB绕点O按逆时针旋转了150°，得到△OA′B′，
∴∠AOA′=150°，
∵∠A′OB′=60°，
∴∠1=360°-∠AOA′-∠A′OB′=360°-150°-60°=150°，
故答案为：150．
【分析】首先根据旋转的性质得到∠AOA′=150°，然后根据∠A′OB′=60°得到∠1=360°-∠AOA′-∠A′OB′即可求解．
20．【答案】55
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC绕着点C时针旋转35°，得到△AB′C′
∴∠ACA′=35°，∠A'DC=90°
∴∠A′=55°，
∵∠A的对应角是∠A′，即∠A=∠A′，
∴∠A=55°．
故答案为：55．
【分析】根据旋转的性质，可得知∠ACA′=35°，从而求得∠A′的度数，又因为∠A的对应角是∠A′，则∠A度数可求．
21．【答案】【解答】∵CC′∥AB，∴∠A CC′=∠CAB=70°，∵△ABC绕点A旋转到△AB′C′的位置，∴AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，在△ACC′中，∵AC=AC′∴∠ACC′=∠AC′C=70°，∴∠CAC′=180°-70°-70°=40°，∴∠BAB′=40°．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】先根据平行线的性质，由CC′∥AB得∠ACC′=∠CAB=70°，再根据旋转的性质得AC=AC′，∠BAB′=∠CAC′，于是根据等腰三角形的性质有∠ACC′=∠AC′C=70°，然后利用三角形内角和定理可计算出∠CAC′=40°，从而得到∠BAB′的度数．
22．【答案】【解答】证明：∵线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置，∴CD=CE，∠DCE=90°，∵CB=CA，∠BCA=90°，∴△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，∴AE=BD．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】先根据旋转的性质，由线段CD绕点C顺时针旋转90°至CE位置得到CD=CE，∠DCE=90°，加上CB=CA，∠BCA=90°，于是根据旋转的定义可把△BCD绕点C顺时针旋转90°得到△ACE，然后根据旋转的性质即可得到结论．
23．【答案】【解答】①△DCF绕点C逆时针旋转得到△BCE，所以旋转中心为点C；②∵四边形ABCD为正方形，∴CB=CD，∠BCD=90°，∴△DCF绕点C逆时针旋转90°得到△BCE；③∵△DCF绕点C逆时针旋转90°得到△BCE，∴CE=CF，∠ECF=90°，连接EF∴△CEF为等腰直角三角形，∴EF= CF= cm．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】①②根据旋转的定义求解；③根据旋转的性质得CE=CF，∠ECF=90°，则可判断△CEF为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的性质求解．
24．【答案】【解答】由旋转的性质得：∠EAC=35°，∠D=∠B=40°，∴∠DAE=∠DAC+∠EAC=55°+35°=90°，∴∠E=90°-∠D=90°-40°=50°．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】由旋转的性质得出∠EAC=35°，∠D=∠B=40°，求出∠DAE=∠DAC+∠EAC=90°，即可得出∠E的度数．
25．【答案】（1）【解答】存在．
∵四边形ABCD和CEFG为正方形，
∴CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，
∴把△CBE绕点C顺时针旋转90°可得△CDG；
（2）【解答】BE=DG，BE⊥DG．理由如下：
延长GD交BE于M，如图，
∵△CBE绕点C顺时针旋转90°可得△CDBG，
∴BE=DG，∠BEC=∠DGC，
∵∠BEC+∠CBE=90°，
∴∠BEC+∠DGC=90°，
∴∠BMG=90°，
∴DG⊥BE．
【知识点】旋转的性质
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得CB=CD，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90°，则可根据旋转的定义，把△CBE绕点C顺时针旋转90°可得△CDG；（2）根据旋转的性质得BE=DG，∠BEC=∠DGC，由于∠BEC+∠CBE=90°，则∠BEC+∠DGC=90°，于是可判断DG⊥BE．
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