高中数学必修第一册人教A版（2019）《3.2函数的单调性》教学设计二

《函数的单调性》教学设计
教学设计
一、阅读引导
阅读教材，问题导入.
根据以下提纲，阅读教材第76～77页内容，回答下列问题：
函数的图象如图，观察其变化规律，指出图象中体现的，之间的变化关系是什么？
二、知识深化
1.函数的单调性.
观察函数的图象，完成下列思考.
思考1：怎样描述函数随着自变量的值变化，函数值的变化情况？
提示：在上，随着自变量值的增大，函数值逐渐减小；在上，随着自变量值的增大，函数值逐渐增大.
归纳总结定义如下：
一般地，设函数的定义域为，区间：
（1）如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增，是增函数.
（2）如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减，是减函数.
（3）如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间.
思考2：函数在定义域内是单调函数吗？
提示：不是.并不是所有函数都有单调性，只有符合单调性定义的函数才有单调性.
思考3：函数定义域中对自变量的取值和有什么要求吗？
提示：定义域中的和有如下三个要求：
（1）任意性：即“，”，证明时不能以特殊代替一般；
（2）有大小之分；
（3）属于同一个单调区间.
思考4：函数在区间上是增（减）函数，对于，，则有“若，则”，反之是否也成立呢？
提示：函数单调性给出了变量与函数值之间的互化关系，比如在定义域上是减函数，若，，则.
2.函数的单调区间.
观察函数的图象，完成下列思考.
思考1：反比例函数的图象如图，它在区间和上都是减函数，能否说它在定义域上是减函数？为什么？
提示：不能，显然，时，满足，但，，不成立.
思考2：如果函数存在单调区间，那么函数是单调函数吗？
提示：当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可以用“，”分开，也可以用“和”来表示，但不能使用“”.
三、例题剖析
例1 根据定义，研究函数的单调性.
想一想 1：在初中，我们是如何根据的取值情况来说明函数值随自变量值的变化情况呢？这个函数值随自变量的值的变化有几种情况呢？
想一想 2：函数单调性的定义是如何表述的呢？如何通过函数单调性的定义来进行严格的推理运算呢？
想一想 3：两个实数大小的关系是如何比较的？
解：函数的定义域是.
，，且，则
.
由，得.所以
①当时，.
于是，即.
这时，是增函数.
②当时，.
于是，即.
这时，是减函数.
练习：教材第79页练习第1，2题.
讨论：用定义判断函数单调性的一般步骤是什么？
归纳总结：用定义判断函数单调性的一般步骤：
（1）取值：设，为给定区间内的任意两个值，且；
（2）作差变形：计算，并对进行有利于判断符号的变形，如因式分解、配方、有理化等；
（3）定号：与0比较大小，当正负不确定时，需要进行分类讨论；
（4）结论：指出函数在给定区间上的单调性.
若函数在区间上恒大于0（或恒小于0），可以把步骤（2）（3）变为：
（2）作商变形：计算，并对进行有利于判断商的值与1的大小关系的方向变形；
（3）定大小：比较与1的大小.
例2 物理学中的玻意耳定律（为正常数）告诉我们，对于一定量的气体，当其体积减少时，压强将变大.试对此用函数的单调性证明.
想一想1：玻意耳定律反映了函数的单调递增还是单调递减呢？通过函数的单调性定义证明，有哪些步骤呢？
想一想2：玻意耳定律中的自变量是哪一个量？
想一想3：初中学习了通分的内容，如何对两个分式进行通分呢？
证明：，，且，则
.
由，，得；
由，得.
又，于是，
即.
所以根据函数单调性的定义，函数，是减函数.也就是说当其体积减小时，压强将增大.
练习：教材第79页练习第3，4题.
讨论：用定义法证明单调性时一般有哪些变形技巧？
归纳总结：常用的变形技巧：
（1）因式分解：当原函数是多项式函数时，通常作差变形后进行因式分解；
（2）通分：当原函数是分式函数时，作差后往往进行通分，然后对分子、分母进行因式分解；
（3）配方：当原函数是二次函数时，作差后可以考虑配方，便于判断符号；
（4）分子有理化：当原函数是根式函数时，作差后往往考虑分子有理化.
例3 根据定义证明函数在区间上单调递增.
想一想1：两个都大于1的实数，它们的乘积比1大吗？
想一想2：在前面第二章中我们学习了不等式的性质，涉及其可乘性如何呢？
证明：，，且，有
.
由，，得，.
所以，.
又由，得.
于是，即.
所以，函数在区间上单调递增.
变式思考：
（1）如何根据定义证明函数在区间上单调递增？
（2）函数在区间上的单调性如何？
（3）函数在区间上的单调性如何？
四、巩固提升
教材第85～86页习题3.2第1，2，3，8题.
板书设计
第1课时 函数的单调性 1.函数单调性的定义 一般地，设函数的定义域为，区间： （1）如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递增，是增函数 （2）如果，，当时，都有，那么就称函数在区间上单调递减，是减函数 2.函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间 例题剖析 例1 例2 例3
教学研讨
关于教材中的例3，在例题剖析中学生已经掌握了证明的基本步骤，然后又进行了三个变式思考，相信学生对于这种形式的题目在解决的过程中已经有了思路.还可引导学生继续解决教材第86页中的第8题，在后面的学习中还会进一步来研究这类“对勾型”函数.