高中数学必修第一册人教A版（2019）《3.2函数的单调性和单调区间》知识解读

《函数的单调性和单调区间》知识解读
(1)函数的单调性
名称 定义 图形表示 几何 意义
增 函 数 一般地,设函数的定义域为I,区间:如果,当时,都有,那么就称函数在区间D上单调递增(increasingfunction),区间D称为的单调增区间 函数的图像在区间D上从左到右是上升的
减函数 一般地,设函数的定义域为I,区间:如果,当时,都有,那么就称函数在区间D上单调递减(decreasing function),区间D称为的单调减区间 函数的图像在区间D上从左到右是下降的
辨析比较☆
(1)定义中有三个特征:一是同属于一个单调区间;二是是任意的两个实数,证明单调性时不可随意用两个特殊值代替;三是与有大小,通常规定,但也可规定.
(2)函数的递增(或递减)是针对定义域Ⅰ内的某个区间A而言的,显然.
(3)当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时,函数单调递增;符号相反时,函数单调递减.
(2)函数的单调区间
如果函数在区间D上是单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间D叫作的单调区间.
单调性:如果函数在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数在这个子集上具有单调性.
②函数单调性的几何意义:在单调区间上,如果函数是增加的,那么它的图像从左到右是上升的;如果函数是减少的,那么它的图像从左到右是下降的.简单概括为“上增下减”.
③函数的单调性是函数的局部性质,是函数在其定义域内的某个区间上的增减性质:
a.这个区间可以是整个定义域.如:函数在整个定义域(-∞,+∞)上是减少的,函数在整个定义域(-∞,+∞)上是增加的.
b.这个区间也可以是定义域的真子集.如:函数在定义域(-∞,+∞)上不具有单调性,但在(-∞,0]上是减少的,在[0,+∞)上是增加的.
c.有的函数不具有单调性.如:常数函数y=2,函数y=,它们的定义域为R,在定义域内的任何一个区间上都不是单调的.
⑤单调区间的书写:函数在其定义域内某一点处的函数值是确定的,讨论函数在某点处的单调性没有意义.在书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定,习惯上,若函数在区间端点处有意义,则写成闭区间(也可以写成开区间);若函数在区间端点处无意义,则必须写成开区间.如函数的单调减区间是(-∞,0],单调增区间是[0,+∞);函数的单调减区间是(-∞,0)和(0,+∞).
辨析比较☆
(1)函数的单调区间是其定义域内的某一个区间,如函数y=
的单调减区间.故在讨论函数的单调性时,必须先确定函数的定义域.
(2)若函数在其定义域内的两个区间A,B上都是增加(减少)的,般不认为在区间AB上一定是增加(减少)的.如:函数在区间(-∞,0)上是减少的,在区间(0,+∞)上也是减少的,但不能说它在整个定义域(-∞,0)(0,+∞)上是减少的.
(3)常见函数的单调性
函数 单调性
一次函数y=ax+b (a≠0) a>0时,在R上单调递增; a<0时,在R上单调递减
反比例函数 (a≠0) a>0时,单调减区间是(-∞,0)和(0,+∞) a<0时,单调增区间是(-∞,0)和(0,+∞)
二次函数 a>0时,单调减区间是(-∞,m],单调增区间是[m,+∞); a<0时,单调减区间是[m,+∞),单调增区间是(-∞,m]
辨析比较☆
函数的严格单调与不严格单调
如图(1)中的和图(2)中的.
取,显然.对于来讲,有,即在其定义域内是严格单调的,但对于来讲,,即在其定义域内是不严格单调的.
提醒☆
若要说明函数在某个区间上不是单调增(减)函数,只需在该区间上找到两个值,证明当时,成立即可.
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