高中数学必修第一册人教A版（2019）《3.2函数的基本性质》教材分析

3.2函数的基本性质
一、本节知识结构框图
二、重点、难点
重点：函数的单调性、奇偶性.
难点：增（减）函数的定义，利用增（减）函数的定义判断函数的单调性.
三、教科书编写意图及教学建议
运动变化的规律性是性质，变化中的不变性也是性质，函数是刻画客观世界中运动变化的重要数学模型，因此，运动变化中的规律性或不变性通常反映为函数的性质.
高中阶段要研究的函数性质有：单调性、最大（小）值、奇偶性、周期性、函数的零点、正或负增长率（衰减率）、增长（减少）快慢等.本节研究函数的单调性、最大（小）值、奇偶性，其中单调性是函数最重要的性质.
函数的单调性和奇偶性都可以在函数的图象上反映出来.因此，首先借助函数图象对其单调性和奇偶性有一个初步了解，并在此基础上进行定量刻画；然后用数学符号语言形成单调性与奇偶性的定义.这是研究函数性质的一般过程与方法，这样做有利于发展学生的数形结合思想，并由此培养学生数学抽象与直观想象等素养.
在教学时建议从若干实例出发，归纳出共同特征，再概括到同类事物中形成一般性质.这种从特殊到一般的归纳概括过程，有利于培养学生的数学思维和推理论证能力.
3.2.1单调性与最大（小）值
1.函数的单调性
学习函数的单调性，不仅可以让学生加深对函数基本性质的认识，而且可以让学生体会研究函数性质的过程与方法.
教科书给出研究函数单调性的过程是：
具体函数—图象特征—数量刻画—符号语言—抽象定义—单调性判定.
（1）函数单调性的定性刻画
教科书在研究函数的性质之前，给出了以下三个图形.
教学时可以让学生将图3-6与图3-7（或图3-8）进行比较，引导学生得出图3-6的特点是：图象从左至右保持上升；图3-7与图3-8的特点是：图象从左至右有升也有降.
由此产生问题：图3-6对应的函数图象“从左至右始终保持上升”，这一不变性是函数的什么性质呢？这里要注意在“如何观察”上加强启发和引导，学生在初中学过函数的单调性，采用描述“随的增大而增大（减小）”，这是从图象上看到的函数的变化趋势（变化中的不变性），所以学生借助初中的经验还是能够说出这种规律的.
对于图3-7与图3-8，观察发现，这两个函数图象具有的共同点是“在某个区间函数图象保持上升（或下降）”.因此，图3-6的函数图象从左到右始终保持上升，或者图3-7、图3-8的函数图象在某个区间保持上升（或下降），这是函数的一种性质，我们把这种性质归为函数的单调性.
（2）函数单调性的定量刻画
从图象观察到的函数单调性是“定性”的，需要进一步地用“定量”的方法对这一性质准确刻画，这就需要回到函数定义，利用函数符号.
例如，对于教科书上的例子，可以借用信息技术给出图3-9，并提出问题：你能从函数的对应关系出发说出图中点的两个坐标的意义吗？
在学生回答后，可以在图3-9中轴的左侧沿增大的方向拖动点，让学生观察点的坐标变化（图3-10），引导他们得出函数值的变化规律：函数值随自变量的增大而减小.
上述过程实现了将函数在区间上的“图象下降”这一不变性转化为“函数值随自变量的增大而减小”的数量化描述.尽管仍是“定性刻画”，但是它离用精确的数量关系进行“定量刻画”已经近了一步.
用同样的方法，可以让学生理解：函数在区间上“函数值随自变量的增大而增大”这一规律.
（3）函数单调性的定义
当把函数在区间上的单调性聚焦在“函数值随自变量的增大而减小（增大）”后，学生对“定量刻画”函数性质的必要性与数学意义应该有所体验，但如何用数量关系精确刻画“在区间上，函数值随自变量的增大而减小（增大）”这一规律还是存在困难的.
对于函数而言，为进一步精确刻画它在区间上“函数值随自变量的增大而减小”这一规律，可以借助信息技术作出图3-11加以理解.在轴左侧任意改变，的位置，可以发现：只要保持点的横坐标大于点的横坐标，就会有点的纵坐标大于点的纵坐标.
利用函数的定义及解析式把上述规律表示出来，就可以得到函数在区间上满足：若，，且，就有.
虽然上述改变，的位置是随意的，但仍不能保证发现的结论在区间上的任何情况下都是正确的.因此，我们必须找到一种方法加以证明.这样，就有了以下用符号语言刻画的过程：
，，得到，，那么当时，
有.这时我们就说函数在上是单调递减的.
教科书的边空中要求学生说明“为什么”，实际上是让学生利用不等式的基本性质证明.
教学中，还可以让学生再举几个自己熟悉的例子，用上述方法描述函数的单调性.在此基础上，再引入函数单调性的定义.
需要注意的是，教科书区分了“单调递增”与“增函数”“单调递减”与“减函数”，这是与以往教科书有所不同的.实际上，函数的单调性是函数的一种“局部性质”，一个函数在其定义域内的某些区间上“增”而在另一些区间上“减”的情况是常见的.这时，如果仅仅以“增函数”“减函数”加以定义，会引起混淆.因此，教科书仅把在整个定义域上单调递增（减）的函数称为增（减）函数.
教科书给出函数单调性定义后设置了“思考”，意在引导学生体会函数的单调性是对定义域内的某个区间而言的.函数在某个区间上单调，并不意味着函数在整个定义域内都是单调的，教学时可以要求学生举例说明.
（4）函数的单调区间
在本节中，只需会求一次函数、二次函数、反比例函数及形如的简单函数的单调区间，而求更加复杂的函数的单调区间，待今后再学习.例如学习导数后，利用导数去求函数的单调区间.
在教学中，既要重视由函数图象获得单调区间，也应重视由函数的单调性帮助画函数的图象.这样数形结合地思考和解决问题，不仅可以更方便地发现解决问题的途径，而且有利于培养学生的直观想象素养.
（5）关于函数单调性的判定
虽然我们可以通过函数的图象了解函数的单调性，但证明函数在某个区间上单调递增（减），就必须回到定义上来.
从函数单调性定义可知，证明函数在某个区间上的单调性，需要用到不等式的性质和代数变形等.初中阶段，学生接触代数证明题较少，而通过代数运算（变形）证明数学命题是高中数学学习的重要任务，所以教学中应引起足够的重视.
让学生证明一些简单函数在某个区间上的单调性，不仅可以加深他们对函数单调性的理解，还可以让他们从中体会到面对“无穷”时的数学处理方法，从中感受数学的美与力量.
为了帮助学生规范证明过程，可以将（用定义）证明函数在区间上的单调性的过程归纳为以下步骤：
第一步，在区间上任取两个自变量的值，，并规定；
第二步，计算，将分解为若干可以直接确定符号的式子；
第三步，确定的符号.若，则函数在区间上单调递增；若，则函数在区间上单调递减.
（6）增（减）函数定义的等价形式
教科书习题3.2中的第9题，实际上是给出增（减）函数定义的等价形式.这个等价形式不仅可以简化判断单调性的过程，也为将来研究平均变化率与导数提供了基础，教学时要提醒学生加以注意.
比如，对于教科书上的例1，可以利用第9题中函数增减性的等价形式加以解决：，，且，则
.
当时，，所以是增函数；
当时，，所以是减函数.
（7）函数的单调区间不能简单合并
例如，函数在区间和上都单调递减，我们说函数在区间和上单调递减，但不能说在上单调递减，或在整个定义域内单调递减，即不能说是减函数.
（8）例题、练习与习题的处理
教科书在函数单调性部分安排了3个例题.
例1是利用单调性的定义研究一次函数的单调性.这里不仅是让学生熟悉利用定义研究函数单调性的过程，也是对初中阶段从图象中得到的结论进行严格的证明.此外，这里将“比较与的大小”转化为“比较与0的大小”的做法，体现了数学中“化繁为简”“化难为易”的转化与化归思想.
例2本质上是研究反比例函数的单调性.在用定义证明函数的单调性时，要特别注意培养学生数学表达的严谨性和书写过程的规范性.
例3中的函数其实是正比例函数与反比例函数的和.教学时，除按函数单调性的定义进行证明外，还可以引导学生用定义探究在整个定义域内的单调性.
如果利用习题3.2第9题所提供的单调性定义的等价形式，可以得到
.
因此，，，且，可以得到如下表格：
的符号
单调递增 单调递减 单调递减 单调递增
所以，的增区间是和，减区间是和.
本小节的4个练习可这样处理：第1题结合单调性定义进行处理；第2题结合例1处理；第3题、第4题结合例2进行处理.所有的练习应让学生独立思考后画出函数图象，以帮助理解问题中函数的单调性和证明过程.
2.函数的最大（小）值
函数的最大（小）值与函数的单调性有着密切的联系.通常，知道了函数的单调性，就能较方便地找到函数的最大（小）值.
（1）函数的最大（小）值的定义
函数的最大（小）值的定义是借助二次函数及其图象引出的，概念的出现仍然是遵循从特殊到一般的原则.这里给出了两个“思考”，第一个思考以学生熟悉的素材给学生提供尝试的机会，也为引出最大值概念作准备；第二个思考，是让学生学会用类比的方法独立获得最小值概念.教学时不要由教师取而代之，要给学生提升数学思维能力的机会，并结合具体实例解决函数最小值的理解问题.
（2）例题、练习与习题的处理
例4是一个实际应用问题，这里需要物理中的斜抛运动知识作准备，如果学生没有这方面的知识，那么教学时宜作适当的说明.
例5是借助函数的单调性求函数最值的问题.教学时，需要强调证明函数单调性的重要性，只有在证明了函数在给定区间上是单调递减的，才能说明函数在区间端点取到的函数值是函数的最大（小）值.
本小节的3个练习可这样处理：第1题配合例4；第2题配合最大（小）值的概念；第3题配合例5。
3.2.2奇偶性
与函数单调性不同，函数的奇偶性是函数的整体性质，即它要求定义域中任意一个自变量都具有这样的特性.
教科书在处理函数的奇偶性时，沿用了处理函数的单调性的方法，即先给出几个特殊函数的图象，让学生获得函数奇偶性的直观定性认识；然后利用表格研究发现数量变化特征；最后通过代数运算，验证发现的数量特征的普遍性，在此基础上建立奇（偶）函数概念.
将上述研究函数奇偶性的过程概括起来就是：
具体函数—图象特征（对称性）—数量刻画—符号语言—抽象定义—奇偶性判定.
1.偶函数
（1）偶函数的定性认识
教科书先研究偶函数.在引导学生观察函数和的图象时，发现图象关于轴对称应该是不难的，难的是如何精确刻画一个图象关于对称，所以教科书以“探究”的形式提出了问题.
教学时，不要一步到位地用符号语言刻画函数图象关于轴的对称，要为培养学生的数形结合思想创造机会.具体地，要让学生将现在的研究与函数单调性的研究联系起来，产生将自己发现的图象特征进行“定量刻画”的想法，进而寻找“定量刻画”的方法.
（2）偶函数的数量刻画
让学生观察下列表格中的数量特征：
··· -3 -2 -1 0 1 2 3 ···
··· 9 4 1 0 1 4 9 ···
··· -1 0 1 2 1 0 -1 ···
学生应该不难发现结论：自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等.
但是，“如何给定表格中自变量的取值”“上述发现的结论是否具有一般性”“如何说明上述结论具有一般性”是教学中应充分重视的问题.对于初学用符号语言刻画函数特征的学生来说，它们不仅是重点也是难点，教学时可以通过让学生回顾刻画函数单调性的方法来突破这个难点.
实际上，函数的奇偶性就是平面几何中中心对称图形、轴对称图形的解析表示.利用平面几何中轴对称的知识，对直角坐标系中点的位置关系与相应的坐标之间的关系稍作思考，就可以容易地想到：，点与点关于轴对称，那么轴是线段PP'的垂直平分线，根据坐标的意义即得；反之也对.
（3）偶函数的定义
教学时可以引导学生思考：
为何要从，，得出？
如何说明，都有？
这样做体现了从特殊到一般的思想，这是人们发现规律和不变性的重要方法，也是抽象数学概念的重要过程，教学时应注意给学生创造这样思考的机会.
对于上述第二个问题，教科书给出的处理过程如下：
实际上，，都有，这时称函数为偶函数.
在这里，要向学生说明用解析式证明第二个问题中的结论，实质上就是用符号语言刻画函数的性质.
教科书给出偶函数的定义与以往教科书给出的定义有所不同，在于强调了“偶函数的定义域关于原点对称”，即“如果，都有”，这在原来教科书定义中是一个隐性条件，现在将其显性化了.
2.奇函数
在给出偶函数定义的基础上，教科书设置了探究栏目，启发学生用类比的方法得出奇函数的定义.
为此，教科书在表3.2-2中留下大部分空格，旨在让学生自己动手计算填写数据，仿照偶函数概念建立的过程，独立地去经历发现、猜想与证明的全过程，并由此建立奇函数的概念.教学时要贯彻教科书的这一编写意图，放手让学生展开自主探究活动.
在得到奇函数的定义后，要让学生将奇函数的定义与偶函数的定义进行比较，指出奇函数与偶函数的共同点是：
（1）定义域关于原点对称；
（2）都是函数的整体性质.
奇函数与偶函数的不同点是：
（1）当自变量取一对相反数时，偶函数的函数值相等，而奇函数的函数值是一对相反数；
2）偶函数的图象关于轴对称，而奇函数的图象关于原点对称.
3.函数奇偶性的判定
根据奇（偶）函数的定义判断一个函数的奇偶性，可以按如下步骤进行：
第一步，求出函数的定义域.
第二步，判断定义域是否关于原点对称.若否，则函数不具有奇偶性，结束判断；若是，则进行第三步.
第三步，（为定义域），计算，若，则为偶函数；若，则为奇函数；若，且，则既不是偶函数也不是奇函数.
（1）注意在函数奇偶性判断中加强数形结合
有了偶函数的概念后，教科书给出了两个函数，加以说明.教学时，不仅要引导学生从偶函数的定义去思考，还要让他们想象一下这两个函数的图象.有条件的话，可让学生用信息技术画一画函数的图象.
对于一个奇函数或偶函数，根据它的图象关于原点或轴对称的特性，就可由自变量取正值时的图象和性质，来推断它在整个定义域内的图象和性质.其实，这也是研究函数奇偶性的好处所在——简化对函数的认识过程.
（2）奇（偶）函数定义的等价形式
设函数的定义域为，则有
是偶函数，，且；
是奇函数，，且.
以上形式在判断函数的奇偶性中非常有用，这种形式使得判断的方向很明确.
4.例题、练习与习题的处理
（1）教科书第85页上的“思考”，意在让学生通过函数的奇偶性画函数的图象.教学时，可将练习的第1题与之配合.
（2）例6的教学可与练习的第2题结合，目的是让学生用奇偶性的定义判断函数的奇偶性.
（3）应让学生认识到并不是所有的函数都具有奇偶性，如函数与既不是奇函数也不是偶函数，这可以从图象上让学生认识，也可以由定义去说明.因为它们的定义域分别是与，不关于原点对称，所以不满足奇函数与偶函数的定义.
（4）教科书在习题3.2中安排了函数的单调性与奇偶性相结合的问题，这是学生学习时的一个难点，教学时可适当增加这方面的题目.例如：
已知奇函数在上单调递增，证明在上也单调递增.
证明时，可按如下的步骤进行：
①把要证明的结论具体化.任取，，即，，且设，要证明.
②为利用在上所具有的性质，转而考虑，的相反数，，易知
，，且，
因为在上单调递增，所以
.
③根据是奇函数的条件，有，，所以，由上面的式子可知，即证得在上单调递增.