高中数学必修第一册人教A版（2019）《3.2函数的基本性质课时1》教学设计

《函数的基本性质》教学设计
课时1单调性与最大(小)值
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.函数的单调性与单调区间 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 逻辑推理 【考查内容】 函数的单调性、奇偶性、周期性是高考的必考内容,尤其是单调性、奇偶性与函数图象、函数零点和不等式相结合考查 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.函数的最大(小)值 数学运算
3.函数的奇偶性 直观想象 数学抽象 逻辑推理
一、本节内容分析
本节内容包括函数的单调性、函数的单调区间、增函数与减函数、函数的最大值与最小值、函数的奇侧性.函数的单调性是本节的重要内容,通过图形的观察,了解函数的单调性,体会函数自变量的变化引起函数的值的变化规律,能用代数运算和函数图象揭示函数的主要性质,在动态中感悟x与y之间的变化关系.函数的性质包含单调性、奇偶性以及周期性,函数的奇偶性是学生学过的函数概念的延续和拓展,是函数的重要性质之一,它的研究也为幂函数、三角函数的性质等后续内容的深入学习起了铺垫的作用,是高中数学的核心知识之一.
本节内容是高中数学的主要内容,也是高考考查的热点,本节包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.函数的单调性与单调区间 2.函数的最大(小)值 3.函数的奇偶性 数学抽象 数学运算 直观想象 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
在学习本节内容之前,学生只学过一次函数、二次函数、反比例函数,所以对函数的单调性研究也只限于这几种函数.只能根据函数的图象观察出“随着自变量的增大,函数值增大”的变化趋势,而不能用符号语言进行严密的代数证明.学习了函数的单调性之后,对于研究函数的性质的方法已经有了一定的了解.尽管学生尚不知函数奇偶性,但他们在初中已经学习过轴对称与中心对称,对图象的对称性早已有一定的感性认识.在研究函数的单调性方面,学生懂得了由形象到具体,然后由具体到一般的科学处理方法,具备一些对数学研究方法的感性认识.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.函数的单调性和单调区间
2.函数的最大(小)值
3.函数的奇偶性
4.函数的奇偶性与单调性的联系
【教学目标设计】
1.了解单调函数、单调区间的概念;能说出单调函数、单调区间这两个概念的大致意思.
2.理解函数单调性的概念;能用自己的语言表述概念;并能根据函数的图象指出单调性、写出单调区间.
3.掌握运用函数的单调性定义解决一类具体问题;能运用函数的单调性定义证明简单函数的单调性.
4.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义,会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性.
5.会判断函数的奇偶性.
【教学策略设计】
1.教学时,教师要充分利用函数图象,让学生观察图象获得对函数基本性质的直观认识,要特别重视从几个实例的共同特征到一般性质的概况过程,并要引导学生用数学语言表达出来.这往往是形成数学概念,培养学生探究能力的契机,体现了数学抽象的核心素养.
2.教材在处理函数的奇偶性时,沿用了函数单调性的处理方法,即先给出几个特殊函数的图象,让学生通过图象直观地获得对函数奇偶性的认识,然后利用表格探究数量变化特征,通过代数运算验证发现的数量特征对定义域中的“任意”值都成立,最后在这个基础上建立偶(奇)函数的概念.在教学中,对于奇函数要让学生自己动手计算并填写数据,仿照偶函数概念建立的过程,独立地经历发现、猜想.
【教学方法建议】
演示教学法、情境教学法、问题教学法,还有_______________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.函数的单调性的概念、判断及证明.
2.理解函数奇偶性概念的形成和函数奇偶性判断.
难点:
1.归纳函数的抽象定义.
2.利用函数的定义证明具体函数的单调性.
3.函数奇偶性概念的探究与理解
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:我们在初中已经学习了函数图象的画法.为了研究函数的性质,我们按照列表、描点、连线等步骤先分别画函数和的图象.如图所示:
【情境设置】
回顾二次函数和三次函数图象
师:从函数的图象图(1)看到:图象在轴的右侧部分是上升的,也就是说,当在区间上取值时,随着的增大,相应的值也随着增大,即如果取,得到,那么当时,有.这时我们就说函数在上是增函数.
图象在轴的左侧部分是下降的,也就是说,当在区间上取值时,随着的增大,相应的值反而随着减小,即如果取,得到,那么当时,有.这时我们就说函数在上是减函数.
今天我们就来学习一下函数的基本性质——单调性.
【设计意图】
回顾学过的函数图象的画法,并通过画函数和图象,锻炼学生的动手实践能力,观察图象,激发学生兴趣,引出课题.
教学精讲
探究1 函数的单调性和单调区间
师:我们先看一下增函数的定义.
【要点知识】
增函数的定义
一般地,设函数的定义域为,区间,如果,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递增,特别地,当函数在它的定义域上单调递增时,我们称是增函数(increasing function)(如图):
【先学后教】
学生阅读教材,自主学习,得出增函数的定义.老师规范语言表述,体现了先学后教的教学策略.
【学生阅读教材,自主学习,总结增函数的定义,教师规范语言】
师:增函数的定义中,把“当时,都有”改为“当时,都有”,这样行吗 为什么
生:可以.
生:增函数的定义中前后不等号开口方向相同.
师:像这样,当时,有,也就是说前面是“”,后面也是“”;“当时,有”,也就是说前面是“”,后面也是“”,我们称它为步调一致,所以可以简称为:“步调一致是增函数”.
师:增函数的定义中,“当时,有,”反映了函数值有什么变化趋势 函数的图象有什么特点
生:函数值随着自变量的增大而增大:从左向右看,图象是上升的.
师:类比增函数的定义.你能总结减函数的定义及其几何意义吗
【学生先自己类比增函数的定义,得出减函数的定义及其几何意义,教师进行纠正后概括】
【要点知识】
减函数的定义
一般地,设函数的定义域为,区间,如果,当时,都有,那么就称函数在区间上单调递减,特别地,当函数在它的定义域上单调递减时,我们称是减函数(decreasing function)(如图).
师:函数在区间上具有单调性,说明了函数在区间上的图象有什么变化趋势
【推测解释能力】
教师提问,学生回答,推测得到增函数的概念,培养学生的推测解释能力.
【概括理解能力】
类比增函数的定义,学生概括减函数的定义,培养学生的概括理解能力.
【要点知识】
单调区间
如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间.
师:函数在区间上具有单调性,说明了函数单调递增或单调递减,也可以说函数在这一区间上是单调函数.在单调区间上,增函数的图象是上升的,减函数的图象是下降的.
【情境学习】
根据增、减函数的定义,教师讲授单调区间定义,使学生在问题情境中获得知识.
【情境设置】
函数的单调性和单调区间
1.设是区间上某些自变量的值组成的集合,而且,当时,都有.我们能说函数在区间上单调递增吗 你能举例说明吗
2.函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,你能举出在整个定义域内是单调递增的函数例子吗 你能举出在定义域内的某些区间上单调递增但在另一些区间上单调递减的函数例子吗
【综合问题解决能力】
综合所学知识,回答情境设置中的问题,进一步理解知识点的同时,培养学生的综合问题解决能力.
【学生思考,举例说明,教师给与肯定或补充,并总结】
生:1.不能,例如函数,当时是增函数,当时是减函数.
生:2.(1)函数在定义域上是增函数.(2)函数在上单调递增,在上单调递减.
师:函数是增函数还是减函数,是对定义域内某个区间而言的,函数的单调区间是其定义域的子集;有的函数在一些区间上是增函数,而在另一些区间上不是增函数.
师:“任意”应是该区间内任意的两个实数,忽略需要任意取值这个条件,就不能保证函数是增函数(或减函数),例如,图中,在那样的特定位置上,虽然使得,但显然此图象表示的函数不是一个单调函数.
【意义学习】
运用函数图象,理解概念,突出“数形结合”思想在数学中的重要性.
【典型例题】
函数单调性的应用
例1 根据定义,研究函数的单调性.
师:根据函数单调性的定义,需要考察当时,.还是.根据实数大小关系的基本事实,只要考察与0的大小关系.
【学生分组交流讨论,教师巡视、指导】
生:函数的定义域是,且时,则
,
由,得.所以
①当时,,于是,即,此时,是增函数.
②当时,,于是,即,此时,是减函数.
师:在初中,我们利用函数图象得到了上述结论,这里用严格推理(作差、因式分解、配方等方法)运算得到了函数的单调性.
【简单问题解决能力】
根据所学知识,解决例1题,锻炼学生的简单问题解决能力.
【典型例题】
函数单调性的应用
例2 物理学中的玻意耳定律(为正常数)告诉我们,对于一定量的气体,当其体积减小时,压强将增大.试对此用函数的单调性证明.
例3 根据定义证明函数在区间上单调递增.
【学生讨论,教师提示,学生完成两道题】
师:对于例2题,只要证明函数是减函数即可.
生:,且,则.
由得;由,得.又,于是0,即.所以,根据函数单调性定义,是减函数.当体积减小时,压强将增大.
师:对于例3题可考虑作差证明.
生:,且,有.
由得.所以,又由得.于是,即,所以,函数在区间上单调递增.
【说明论证能力】
在熟练掌握函数单调性概念的基础上,激发学生潜能,用单调性解决问题,培养学生的说明论证能力.
师:下面我们进行巩固练习.
【巩固练习】
函数单调性的应用
1.证明函数在上是增函数.
2.证明函数在上是减函数.
【学生独立完成,教师巡视指导,随后展示完整的证明过程】
生:1.设是上的任意两个实数,且,则,由,得,于是,即在上是增函数.
生:2.设是上的任意两个实数,且,则,由,得,又由,得,于是,即在上是减函数.
【意义学习】
根据函数单调性的定义,进一步加深对增减函数的认识,学习单调区间的概念、培养学生解决问题的能力.
师:通过学习,我们共同总结一下函数单调性的知识要点.
【归纳总结】
函数的单调性
1.知识:
(1)概念:增减函数、单调区间.
(2)证明增减函数(定义法)的步骤:取值作差定号结论.
2.方法:观察法(利用函数图象)、定义法(利用函数的单调性定义)
【概括理解能力】
回顾所学知识,师生共同总结函数单调性的知识要点,加深学生对函数单调性的理解,培养学生的归纳总结能力,提升数学抽象核心素养.
探究2 函数的最大(小)值
师:我们知道二次函数的图象上有一个最低点,即,都有.当一个函数的图象有最低点时,我们就说函数有最小值.
【多媒体展示函数图象】
【情境设置】
探究函数的最大值
你能以函数为例说明函数有最大值的含义吗
【设情境,巧激趣】
设置问题情境,探究函数最大值的定义,激发学生的学习兴趣,更好地达到教学目标.
【学生讨论,回答问题,教师规范语言并展示多媒体】
【要点知识】
函数的最大值的定义
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
(1),都有.
(2),使得.
那么,我们称是函数的最大值(maximum value).
师:你能仿照函数最大值的定义,给出函数的最小值的定义吗
【学生思考,教师补充,规范语言并展示多媒体】
【要点知识】
函数的最小值的定义
一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足:
(1),都有.
(2),使得.
那么,我们称是函数的最小值(minimum value).
【概括理解能力】
类比函数最大值定义,总结函数最小值,培养学生的概括理解能力.
师:下面我们来看一个例题.
【典型例题】
函数最值的应用
例4 “菊花”烟花是最壮观的烟花之一,制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度(单位:)与时间(单位:)之间的关系为,那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻 这时距地面的高度是多少(精确到)
【教师引导学生独立完成,并出示规范解题过程】
【典例解析】
函数最值的应用
解:画出函数的图象,显然,函数图象的顶点就是烟花上升的最高点,顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻,纵坐标就是这时距地面的高度.
由二次函数的知识,对于函数,我们有:
当时,函数有最大值
于是,烟花冲出后是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度约为.
【情境学习】
通过解决实际情境问题,学生掌握求二次函数的最值方法,加深学生对函数最值的理解,和对函数学习的兴趣.
师:我们刚才会求解二次函数的最大值,那么其他函数的最值,你会求解吗
【典型例题】
求函数的最值
例5 已知函数,求函数的最大值和最小值.
师:请大家回忆一下反比例函数的图象,做出函数的图象,你能发现函数在区间是增函数还是减函数
生:减函数.
师:观察函数图象,如何求该函数的最大值和最小值.
生:在函数图象两个端点处取得的,也就是在区间的两个端点处求得.
【教师引导学生分析后学生独立做题,并请两位同学板演,师生共同评价,教师出示规范解答】
【典例解析】
求函数的最值
解:,且,则
由,得,
于是
即
所以,函数在区间上单调递减.
因此,函数在区间的两个端点处分别取得最大值与最小值.在时取得最大值,最大值是2;在时取得最小值,最小值是.
【分析计算能力】
通过利用图象法求解函数的最大值和最小值,锻炼学生的数形结合解决问题的思维方式和分析计算能力.
【先学后教】
通过教师引导学生分析求函数最值的例题,同时学生进行板演,教师针对学生的练习情况掌握学习动态,及时给出求函数最值问题的方法,体现了先学后教的教学策略.
师:通过以上例题的学习,我们共同总结一下如何求解函数的最值.
【师生共同总结,教师多媒体展示】
【归纳总结】
求函数最值的方法
求函数最值的问题实质上就是求函数的值域问题,因此求函数值域的方法也可用来求函数最值.求函数最值的常用方法如下:
(1)配方法:主要适用于二次函数或可化为二次函数的函数,要特别注意自变量的取值范围.
(2)换元法:用换元法时一定要注意新元的取值范围.
(3)数形结合法:对于图象较容易画出的函数的最值问题,可借助图象直观求出.
(4)利用函数的单调性:要注意函数的单调性对函数最值的影响,特别是闭区间上函数的最值.
【意义学习】
通过例题的学习,学生体会到函数最值的应用,通过师生共同总结求函数最值的方法,增加了学生求解函数最值的能力,培养了学生的分析计算、推测解释的学科能力,逻辑推理、数学运算的核心素养.
师:通过这节课你学到了哪些知识
【课堂小结】
单调性与最大(小)值
【设计意图】
总结本节课所学知识:函数的单调性与最大(小)值,使学生对其有一个系统的认识与巩固.
教学评价
通过本节的学习,学生学会研究常见函数的单调性,利用单调性解决最值问题,会利用函数的图象研究函数的奇偶性.
应用所学知识,完成下列各题:
1.已知函数为定义在上的增函数.若成立,则的取值范围是___________.
解析:本题的实质是利用函数的单调性的定义和性质解不等式,将符号“”剥掉,列出关于未知量的不等式(组)转化为具体的不等式.培养学生的分析计算能力.具体解题过程如下:
∵的定义域是解得或.
∵是定义在上的增函数,∴,
∴或,即的取值范围是.
2.已知是定义在上的不恒为零的函数,且对定义域内的任意,都满足.
(1)求的值.
(2)判断的奇偶性,并说明理由.
解析:通过变式演练,强化学生对函数奇偶性的理解.(1)可以利用赋值法,令,得的值,令,得的值;(2)利用定义法证明是奇函数,要借助赋值法得.具体解题过程如下:
(1)∵对定义域内任意都有,
∴令时,有.
∴令时,有,
∴.
(2)是奇函数.理由如下:
∵对定义域内任意都有,
∴令,有,
将代入得函数是上的奇函数.
【设计意图】
通过对第1题的演练,让学生深层理解“怎样利用函数的单调性求参数的取值范围”;第2题是强化学生深层理解函数奇偶性的定义及性质.
【分析计算能力】
通过演练,一方面让学生自我评价掌握情况,一方面培养学生的分析计算能力.
【以学定教】
本节综合了函数的单调性、最值及函数奇偶性等知识,运用数形结合思想研究函数性质,从而解决问题.
教学反思
单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容,而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的,要解决这一问题,就要加强对函数单调性的理解,通过对证明过程的分析,帮助学生掌握单调性的证明,以及求函数的最值;很多同学在判断函数奇偶性的时候不注意定义域的判断,在讲解新课的时候要着重强调;若且的定义域关于原点对称,则既是奇函数又是偶函数.奇函数在处有意义,则.
【以学论教】
通过情境教学法引出本节的学习,探究函数的单调性、最值和奇偶性,用函数图象和性质解决函数问题.课题教学效果较好,根据学生实际学习情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处、不足之处及改进方法.
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