高中数学必修第一册人教A版（2019）学案《函数的基本性质》知识探究

《函数的基本性质》知识探究
探究点1 函数的单调性与单调区间
1.如果函数在定义域的某个子集上是增加的或是减少的,那么就称函数在这个子集上具有单调性.这个子集叫做函数的单调区间.
在单调区间上,如果函数是增加的,那么它的图象从左到右是上升的;如果函数是减少的,那么它的图象从左到右是下降的.
2.在书写函数的单调区间时,区间端点的开或闭没有严格规定,习惯上,若函数在区间端点处有意义,则写成闭区间(也可以写成开区间);若函数在区间端点处无意义,则必须写成开区间.
【要点辨析】
1.讨论函数的单调性时,必须先确定函数的定义域.函数的递增(或递减)是针对定义域内的某个区间而言的,故.
2.当函数值的改变量与其对应的自变量的改变量符号相同时,函数单调递增;符号相反时,函数单调递减.
3.函数单调区间可以有多个,对于单调性相同的区间,不能用“”连接,应该用“和”或“,”连接区间.
4.函数的严格单调与不严格单调.
取,显然,.对于来讲,有,即在其定义域内是严格单调的,但对于来讲,,即在其定义域内是不严格单调的.
学科素养:运用抽象的定义和直观的图象判断函数单调性、奇偶性,计算最值等问题.提升数学运算、逻辑推理核心素养.
典例1 [推测解释能力](2018山东烟台高一联考)下列说法中正确的个数为( )
①定义在上的函数,如果有无穷多个,当时,有,那么在上为增函数.
②如果函数在区间上为减函数,在区间上也为减函数,那么在区间和上就一定是减函数.
③对任意的,且,当0时,在上是减函数.
④对任意的,且,当时,在上为增函数.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
解析:理解函数单调性相关概念并进行推理是解决本题的关键.具体解题过程如下:①“无穷多个”不代表“任意”,故①错误.以为例,可知②错误.由得或即或
∴在上是减函数,故③正确.同理④也正确.
答案:B
探究点2 函数的最大(小)值
函数的最值是一个函数值,即存在一个自变量,使得等于最值.最大值对应图象上最高点的纵坐标;函数的最小值对应图象上最低点的纵坐标.
【要点辨析】
1.对于定义域内的任意元素,都有(或),“任意”两个字不可省略.
2.使函数取得最大(小)值的自变量的值有时可能不止一个.
3.函数的最值和值域的关系与区别
关系 函数的最值和值域反映的都是函数的整体性质,针对的是整个定义域
区别 1.函数的值域一定存在;函数的最值不一定存在 2.若函数的最值存在,则一定是值域中的元素 3.若单调函数的值域是开区间(两端点都取不到),则函数无最值;若单调函数的值域是闭区间,则闭区间的端点值就是函数的最值
学科素养:利用函数的单调性解决最值问题,提升数学运算、逻辑推理核心素养.
典例2 [分析计算能力](1)函数在区间上的最大值为________,最小值为____________.
(2)函数的最大值为___________.
解析:本题主要利用函数的单调性进行分析计算,求函数的最值.特别地对于定义域是闭区间的函数,需要确定出函数在端点处的函数值的大小,与前面的最值进行比较后得出函数的最值.具体解题过程如下:
(1)本题可以运用数形结合法,即画出函数的图象,根据图象可知此函数在区间上单调递减,在区间的两个端点处分别取得最大值与最小值,最大值为,最小值为.
(2)当时,函数单调递增,则有,无最大值;当时,函数单调递减,则在处取得最大值,最大值为5,所以函数在整个定义域内的最大值为5.
答案:(1)3 (2)5
探究点3 函数的奇偶性
根据奇偶函数的图象特征得出结论:(1)奇函数的图象关于原点对称,反过来,若一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数.(2)偶函数的图象关于轴对称;反过来,若一个函数的图象关于轴对称,那么这个函数是偶函数.
研究这类函数的性质时,只需研究函数在区间或上的情况,即可推断出函数在整个定义域内的性质.
【要点辨析】
1.如果为奇函数,点在其图象上,那么点,即点也在的图象上.
2.如果为偶函数,点在其图象上,那么点,即点也在的图象上.
学科素养:利用函数的奇偶性解决综合问题,提升数学运算、逻辑推理核心素养.
典例3 [说明论证能力]已知函数,).
(1)求证:在上是单调递增函数(用定义证明).
(2)若在上的值域是,求的值.
解析:根据函数奇偶性的定义和性质进行说明论证,即可解决本题.具体解题过程如下.(1)设,则,∴在上是单调递增函数.
(2)∵在上是单调递增函数,∴在上是单调递增,∴.故.
探究点4 函数的奇偶性与单调性的联系
1.奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
2.偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
【要点辨析】
函数的奇偶性与单调性的差异
1.奇偶性与单调性都是函数的重要性质,单调性是函数的“局部性质”,用于研究函数值随自变量变化的趋势;奇偶性是函数的“整体性质”,用于研究函数图象在整个定义域上的对称性.
2.研究函数的“奇偶性”与“单调性”对了解函数的性质非常重要,如果知道一个函数是奇函数或是偶函数,根据它的图象关于原点对称或关于y轴对称的特性,只要把这个函数的定义域分成关于原点对称的两部分,由函数在其中一部分上的图象和性质,即可推断它在整个定义域内的图象和性质;而要研究其中一部分图象的情况,就得研究其函数值随自变量的变化,这就是单调性,把这两种性质结合在一起才能更好的了解函数的特征.
学科素养:利用奇偶函数的单调性解决问题,提升数学运算、逻辑推理核心素养.
典例4 [推测解释能力](2018陕西西安一中高一月考)下列命题:
(1)若函数是一个定义在上的函数,则函数是一个奇函数.
(2)函数是偶函数.
(3)函数的图象可由的图象向右平移2个单位得到.
(4)对于定义在上的函数,若存在,则函数不是奇函数.
上述正确命题的序号是_________.
解析:本题根据函数的奇偶性、单调性来逐项推测判断特别地在判断某个函数是否具有奇偶性时,可利用具有奇偶性的函数的必要条件是函数的定义域关于原点对称.具体推理过程如下:(1)∵,∴原命题正确.(2)函数定义域是,不关于原点对称,所以原命题错误.(3),因此把向右平移2个单位得到图象,原命题正确.(4)如果,则函数可能是奇数,故原命题错误.
答案:(1)(3)
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