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专题33因式分解:公式法
考试范围:xxx;考试时间:100分钟;命题人:xxx
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题
1.(2022·山东济南·八年级期末)下列多项式中,在实数范围内不能进行因式分解的是( )21教育网
A.a2+4 B.a2+2a+1 C.a2-1 D.9a2-6a+1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解即可得.
【详解】
解:A、在实数范围内不能进行因式分解,则此项符合题意;
B、,则此项不符合题意;
C、,则此项不符合题意;
D、,则此项不符合题意;
故选:A.
【点睛】
本题考查了利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解,熟练掌握乘法公式是解题关键.
2.(2022·重庆大渡口·八年级期末)把分解因式,结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平方差公式分解因式即可.
【详解】
解:=,
故选:C.
【点睛】
本题考查因式分解,熟记平方差公式是解答的关键.
3.(2022·重庆南岸·八年级期末)在下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
分析哪个选项的多项式能够写成平方差的形式即可.
【详解】
解:分析4个选项,只有C选项能够写成平方差的形式,
分解因式为:,
故选C.
【点睛】
本题考查利用平方差公式分解因式,熟练掌握平方差公式是解题的关键.
4.(2022·山西运城·八年级期末)已知能用完全平方公式因式分解,则m的值为( )
A.4 B. C.8 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据的结构特征判断m的值即可.
【详解】
解:∵能用完全平方公式因式分解,
∴
故选:D.
【点睛】
本题考查因式分解-运用公式法,熟练掌握完全平方公式的结构特点是解题的关键.
5.(2022·广东·君兰中学八年级期中)把分解因式,结果正确的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案.
【详解】
解:x2﹣9=(x+3)(x﹣3).
故选:C.
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式,正确运用平方差公式分解因式是解题关键.
6.(2022·陕西·西安市曲江第一中学八年级期中)下列多项式不能用公式法因式分解的是( )2-1-c-n-j-y
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用完全平方公式以及平方差公式分别分解因式得出答案.
【详解】
解:A. ,故该选项不符合题意;
B. ,故该选项不符合题意;
C. 不能用公式法因式分解,故该选项符合题意;
D. ,故该选项不符合题意;
故选C
【点睛】
本题考查了整式的因式分解,掌握因式分解的公式法是解决本题的关键.
7.(2022·河南新乡·八年级期末)把4x2-9y2分解因式,正确的是( )
A.(4x+y)(x-9y) B.(3x+2y)(3x-2y) C.(2x+9y)(2x-y) D.(2x+3y)(2x-3y)【出处:21教育名师】
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平方差公式因式分解即可.
【详解】
解:4x2-9y2=
故选:D
【点睛】
本题考查了平方差公式因式分解,掌握平方差公式因式分解是解题的关键.
8.(2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中)在△ABC中,若三边长满足,,△ABC的周长是( )
A.12 B.16 C.8 D.6
【答案】D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式和平方差公式对等式变形,可求出周长.
【详解】
解:∵,
∴,
∴,
∵,
∴.
故选:D.
【点睛】
本题主要考查了因式分解,完全平方公式和平方差公式,解题的关键是正确掌握因式分解的方法.
9.(2022·四川泸州·八年级期末)下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据因式分解定义解答.
【详解】
解:A. x(x 1)=x2 x是整式乘法,故该项不符合题意;
B. x2+1=x(x+)出现了分式,所以也是错误,故该项不符合题意;
C. 是因式分解,故该项符合题意;
D. 不是整式乘法也不是因式分解,故该项不符合题意;
故选:C.
【点睛】
此题考查了因式分解的定义:将一个多项式分解为几个整式的积的形式,叫将多项式分解因式,熟记定义是解题的关键.
10.(2022·福建泉州·八年级期末)对多项式进行因式分解,正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
利用平方差公式分解得到结果,即可作出判断.
【详解】
解:.
故选:B.
【点睛】
此题考查了利用平方差公式分解因式,熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键.
11.(2022·河北张家口·八年级期末)下列因式分解正确的是( )
A.x2y2﹣z2=x2(y+z)(y﹣z)
B.﹣x2y﹣4xy+5y=﹣y(x2+4x+5)
C.(x+2)2﹣9=(x+5)(x﹣1)
D.9﹣12a+4a2=﹣(3﹣2a)2
【答案】C
【解析】
【分析】
利用平方差、完全平方公式先判断、利用提公因式与完全平方公式判断对选项进行判断.
【详解】
解:A、,故选项不符合题意;
B、,分解不彻底,故选项不符合题意;
C、,故选项符合题意;
D、,故选项不符合题意.
故选:C.
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法分解 ( http: / / www.21cnjy.com )因式,要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解,解题的关键是掌握如果可以先提取公因式的要先提取公因式,再考虑运用公式法分解,分解要彻底.
12.(2022·山东济南·八年级期末)下列各式中,能用公式法分解因式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是: ( http: / / www.21cnjy.com )两个平方项,符号相反;能用完全平方公式法进行因式分解的式子的特点是:两个平方项的符号相同,另一项是两底数积的2倍,由此即可判断.
【详解】
解:A、,只能提公因式分解因式,故选项不符合题意;
B、有三项,并且有两项是平方项,但是最后的平方项符号是负的,不符合完全平方公式,故选项不符合题意;
C、不能继续分解因式,故选项不符合题意;
D、,能用平方差公式进行因式分解,故选项符合题意.
故选:D.
【点睛】
本题考查了因式分解,熟记平方差公式、完全平方公式是解题关键.
13.(2022·山东济南·八年级期末)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据完全平方式的特征:a2±2ab+b2,判断即可.
【详解】
解:A.x2+1,缺少积的2倍项,不能用完全平方公式进行分解因式,故A不符合题意;
B.x2+2x-1,缺少两数的平方的和,不能用完全平方公式进行分解因式,故B不符合题意;
C.x2+3x+9,积的2倍项的系数不符,不能用完全平方公式进行分解因式,故C不符合题意;
D.,故D符合题意;
故选:D.
【点睛】
本题考查了因式分解-运用公式法,熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键.
14.(2022·辽宁阜新·八年级期末)对于任意整数n,多项式(n+7)2﹣n2都能够被( )
A.2整除 B.n整除 C.(n+7)整除 D.7整除
【答案】D
【解析】
【分析】
先利用平方差公式因式分解,即可求解.
【详解】
解:(n+7)2﹣n2
,
∴对于任意整数n,多项式(n+7)2﹣n2都能够被7整除.
故选:D
【点睛】
本题主要考查了利用平方差公式因式分解,熟练掌握平方差公式是解题的关键.
15.(2022·云南红河·八年级期末)下列从左到右的变形中,是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式的积,可得答案.
【详解】
解:A、,该选项不符合题意;
B、没把一个多项式转化成几个整式的积,不属于因式分解,故此选项不符合题意;
C、是整式的乘法,不属于因式分解,故此选项不符合题意;
D、是把一个多项式转化成几个整式的积,属于因式分解,故此选项符合题意.
故选:D.
【点睛】
此题主要考查因式分解的定义.解题的关键是掌握因式分解的定义:把一个多项式化为几个整式的积的形式,这种变形就是把这个多项式因式分解.
16.(2022·辽宁沈阳·八年级期末)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,可得答案.
【详解】
解:是整式的乘法,故A不符合题意;
,符合因式分解的定义,故B符合题意;
不是把一个多项式转化成几个整式积的形式,故C不符合题意;
,没把一个多项式转化成几个整式积的形式,故D不符合题意;
故选:B.
【点睛】
本题考查了因式分解的意义,利用平方差公式分解因式,因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式,注意因式分解与整式乘法的区别.
17.(2022·四川资阳·八年级期末)下列各式中,能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
能用平方差公式分解因式的式子必须是两平方项的差.
【详解】
解:A.x2+4y2两项的符号相同,不能用平方差公式分解因式;
B.-x2+4y2是2y与x的平方的差,能用平方差公式分解因式;
C.x2-2y+1是三项不能用平方差公式分解因式;
D.-x2-4y2两项的符号相同,不能用平方差公式分解因式.
故选:B.
【点睛】
本题考查了平方差公式分解因式,熟记平方差公式结构是解题的关键.
18.(2022·湖南湘西·八年级期末)分析四个结论:①;②因式分解;③是完全平方式;④.其中正确的有( )
A.① B.③ C.②③④ D.①③④
【答案】B
【解析】
【分析】
根据零指数幂的意义、平方差公式、完全平方公式以及添括号法则即可求出答案.
【详解】
解:①当a=0时,不成立,故①不符合题意;
②因式分解:a2-b2=(a+b)(a-b),故②不符合题意;
③4b2+4b+1是完全平方式,故③符合题意;
④a+b+c=a-(-b-c),故④不符合题意;
故选:B.
【点睛】
本题考查零指数幂的意义、平方差公式、完全平方公式以及添括号法则,本题属于基础题型.
19.(2022·山东·济南协和双语实验学校八年级期中)下列多项式中,能用完全平方公式分解因式的是( )
A.x2﹣x+1 B.1﹣2xy+x2y2 C.a2﹣a D.a2+2ab﹣b2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的结构特征判断即可.
【详解】
解:选项A、C、D都不能够用完全平方公式分解,
选项B能用完全平方公式分解,即,
故选:B.
【点睛】
本题考查了完全平方公式,熟练掌握完全平方公式是解本题的关键.
20.(2022·福建厦门·八年级期末)已知a,b满足,且,则关于a与b的数量关系,下列说法中正确的是( )
①;②;③;④.
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
【答案】C
【解析】
【分析】
将等式整理即可得出①,根据因式分解及a≠3b即可得到④.
【详解】
解:∵(3 9b)(a+b)+9ab=4a a2,
∴3a+3b 9ab 9b2+9ab=4a a2
∴a2 a=9b2 3b
∴a2 9b2=a 3b
故①正确,
∴(a+3b)(a 3b)=a 3b,
∵a≠3b,
∴a 3b≠0,
∴a+3b=1.
故④正确,
故选:C.
【点睛】
本题主要考查了多项式乘多项式及因式分解,掌握因式分解是解题关键.
21.(2022·湖北武汉·八年级期末)下面分解因式正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
将各式分解得到结果,即可作出判断.
【详解】
解:A、,不符合题意;
B、,不符合题意;
C、,符合题意;
D、,不符合题意.
故选:C.
【点睛】
此题考查了因式分解-公式法,熟练掌握平方差公式及完全平方公式是解本题的关键.
22.(2022·重庆合川·八年级期末)下列因式分解中错误的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据完全平方公式,分组分解法,十字相乘法,平方差公式因式分解即可
【详解】
解:A. ,故该选项正确,不符合题意;
B. ,故该选项正确,不符合题意;
C. ,故该选项不正确,符合题意;
D. ,故该选项正确,不符合题意;
故选C
【点睛】
本题考查了因式分解,掌握因式分解的方法是解题的关键.
23.(2022·内蒙古呼和浩特·八年级期末)已知a2+b2=2a﹣b﹣2,则a﹣b的值为( )
A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.3
【答案】D
24.(2022·山东泰安·八年级期末)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A.x2+1 B.x2+2x﹣1 C.x2+3x+9 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的特点:两项平方项的符号相同,另一项是两底数积的2倍,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【详解】
解:A、x2+1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故本选项不符合题意;
B、x2+2x﹣1不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故本选项不符合题意;
C、x2+3x+9不符合完全平方公式法分解因式的式子特点,故本选项不符合题意;
D、,故选项正确;
故选:D
【点睛】
本题考查了完全平方式的运用分解因式,关键是熟练掌握完全平方式的特点.
25.(2022·辽宁锦州·八年级期末)下列等式从左到右的变形,属于因式分解正确的是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
对每个选项进行分析,选出符合题意的选项即可.
【详解】
解:A、属于单项式乘多项式,与题意不符;
B、,故错误,与题意不符;
C、是逆用完全平方差公式进行因式分解,故正确,符合题意;
D、属于多项式乘多项式,与题意不符;
故选:C.
【点睛】
本题考查公式法进行因式分解和因式分解的定义,能够熟练辨别等式是否属于因式分解是解决本题的关键.
26.(2022·福建宁德·八年级期末)下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的结构特点: ( http: / / www.21cnjy.com )必须是三项式,其中有两项能写成两个数( 或式)的平方和的形式,另-项是这两个数( 或式)的积的2倍,对各选项分析判断后利用排除法求解.
【详解】
解∶A、,不符合完全平方公式,故此选项错误;
B、,不符合完全平方公式,故此选项错误;
C、,不符合完全平方公式,故此选项错误;
D、,符合完全平方公式,故此选项正确;
故选∶D.
【点睛】
此题主要考查了利用完全平方公式分解因式,熟练掌握完全平方公式的特点是解题关键.
27.(2022·山东济南·八年级期末)下列式子中,能运用平方差公式分解因式的是( )
A.﹣4a2+b2 B.x2+4 C.a2+c2﹣2ac D.﹣a2﹣b2
【答案】A
【解析】
【分析】
根据平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b),逐一判断即可解答.
【详解】
解:A、-4a2+b2=(b+2a)(b-2a),故A符合题意;
B、x2+4不能运用平方差公式分解因式,故B不符合题意;
C、a2+c2-2ac=(a-c)2,故C不符合题意;
D、-a2-b2不能运用平方差公式分解因式,故D不符合题意;
故选:A.
【点睛】
本题考查了因式分解-运用公式法,熟练掌握平方差公式是解题的关键.
28.(2022·山东青岛·八年级期末)下列多项式中不能运用公式法进行因式分解的是( )21cnjy.com
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用平方差公式、完全平方公式逐个判断即可.
【详解】
解:,故A选项能用公式法进行因式分解,不符合题意;
,故B选项能用公式法进行因式分解,不符合题意;
,故C选项能用公式法进行因式分解,不符合题意;
不能用公式法进行因式分解,故D选项符合题意;
故选D.
【点睛】
本题考查利用公式法进行因式分解,熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解题的关键.
29.(2022·安徽·淮北一中八年级期末)若实数a,b,c满足,则( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据,可得,再代入,可得,即可求解.
【详解】
解:∵,
∴,
∴
故选:C
【点睛】
本题主要考查了完全平方公式的应用,熟练掌握完全平方公式是解题的关键.
30.(2022·河南省实验中学八年级期末)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( )21*cnjy*com
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据完全平方公式进行判断即可;
【详解】
解:A.不能进行因式分解;故不符合题意;
B.,利用完全平方公式进行因式分解;故符合题意;
C.不能进行因式分解;故不符合题意;
D.不能进行因式分解;故不符合题意;
故选:B.
【点睛】
本题主要考查利用完全平方公式分解因式,掌握完全平方公式是解题的关键.
31.(2022·辽宁·沈阳市第七中学八年级阶段练习)下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据完全平方公式的结构特点判断即可.
【详解】
解:A.第三项不是正数,故该选项不符合题意;
B.第三项不是正数,故该选项不符合题意;
C.第二项不是积的2倍,故该选项不符合题意;
D.,故该选项符合题意;
故选:D.
【点睛】
本题考查了提公因式法与公式法的综合运用,掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解题的关键.
第II卷(非选择题)
二、填空题
32.(2022·四川凉山·八年级期末)已知,,,则代数式的值是________.
【答案】6
【解析】
【分析】
由题意得到a-b=﹣1,b-c=﹣1,a-c=﹣2,再把要求的代数式用完全平方公式进行因式分解,整体代入即可得到答案.
【详解】
∵,,,
∴a-b=﹣1,b-c=﹣1,a-c=﹣2,
∴
=
=
=
=
=6,
故答案为:6.
【点睛】
此题考查了因式分解的应用,熟练掌握完全平方公式进行因式分解是解题的关键.
33.(2022·山东济南·八年级期中)分解因式:______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方差公式因式分解即可求解.
【详解】
解:原式=.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了因式分解,掌握平方差公式是解题的关键.
34.(2022·湖南湘西·八年级期末)分解因式:=________________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据平方差公式因式分解即可求解.
【详解】
解:原式=.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了因式分解,掌握因式分解的方法是解题的关键.
35.(2022·广东深圳·八年级期末)因式分解:______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用平方差公式分解因式即可.
【详解】
解:
.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了因式分解,解题的关键是掌握平方差公式:.
36.(2022·河南洛阳·八年级期末)已知,,则________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据绝对值的意义求出,再将,代入分解后的式子中即可.
【详解】
解:∵,
∴
又∵,m+n=5
∴
故答案为:.
【点睛】
本题考查因式分解——运用平方差公式,求代数式的值,绝对值的意义,解题关键是掌握平方差公式.
37.(2022·河南郑州·八年级期末)请写出一个多项式,要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解,且有一项是.符合要求的多项式可以是____________________.
【答案】(答案不唯一).
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式即可得出答案.
【详解】
由题意可得:符合要求的多项式为:(答案不唯一),
故答案为:(答案不唯一).
【点睛】
本题主要考查公式法分解因式,正确运用平方差公式是解题的关键.
38.(2022·山东·济南协和双语实验学校八年级期中)把多项式x2﹣16分解因式的结果为 _____.21世纪教育网版权所有
【答案】
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式分解因式得出答案.
【详解】
解:.
故答案为:.
【点睛】
本题主要考查了公式法分解因式,解题的关键是掌握正确应用平方差公式.
39.(2022·陕西·交大附中分校八年级期中)已知m+n=3.m﹣n=2.则m2﹣n2=_____.
【答案】
【解析】
【分析】
根据完全平方公式运算分解,然后将式子的值代入即可求解.
【详解】
解:∵m+n=3.m﹣n=2.
∴m2﹣n2=.
故答案为:.
【点睛】
本题考查了因式分解,代数式求值,正确的计算是解题的关键.
三、解答题
40.(2022·山东济南·八年级期末)因式分解:
(1)a2-9; www-2-1-cnjy-com
(2)2x2-12x+18
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)利用平方差公式进行因式分解即可;
(2)综合利用提取公因式法和完全平方公式进行因式分解即可.
【详解】
解:(1)原式
;
(2)原式
.
【点睛】
本题考查了因式分解,熟练掌握提取公因式法和公式法是解题的关键.
41.(2022·广西·环江毛南族自治县教研室八年级期末)因式分解:.
【答案】
【解析】
【分析】
利用完全平方公式分解即可.
【详解】
解:(x-y)2+6(x-y)+9=(x-y+3)2.
【点睛】
本题考查了因式分解-运用公式法,熟练掌握完全平方公式的特点是解题的关键.
42.(2022·河南南阳·八年级期末)(1)计算:+;
(2)分解因式:3-12x.
【答案】(1);(2)3x(x+2y)(x2y)
【解析】
【分析】
(1)直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、乘方的性质分别化简,进而得出答案;
(2)直接提取公因式3x,再利用平方差公式分解因式得出答案.
【详解】
(1)原式 ,
;
(2)原式=3x(-4),
=3x(x+2y)(x2y).
【点睛】
此题主要考查了实数的运算以及分解因式,正确掌握相关运算法则和乘法公式是解题关键.
43.(2022·湖北十堰·八年级期末)先阅读下列材料,再解答下列问题:材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.www.21-cn-jy.com
解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请解答下列问题:【版权所有:21教育】
(1)因式分解:1+2(2x-3y)+(2x-3y)2.
(2)因式分解:(a+b)(a+b-4)+4;
【答案】(1)(1+2x-3y)2;(2)(a+b-2)2.
【解析】
【分析】
(1)将(2x-3y)看作一个整体,利用完全平方公式进行因式分解.
(2)令A=a+b,代入后因式分解,再代入即可将原式因式分解.
【详解】
解:(1)原式=(1+2x-3y)2.
(2)令A=a+b,则原式变为A(A-4)+4=A2-4A+4=(A-2)2,
故:(a+b)(a+b-4)+4=(a+b-2)2.
故答案为(1)(1+2x-3y)2;(2)(a+b-2)2.
【点睛】
本题考查因式分解的应用,解题的关键是仔细读题,理解题意,掌握整体思想解决问题的方法.
44.(2022·云南玉溪·八年级期末)分解因式:
【答案】
【解析】
【分析】
先提公因式,再运用完全平方公式分解因式即可.
【详解】
解:原式=
=
【点睛】
本题主要考查了分解因式,分解 ( http: / / www.21cnjy.com )因式时首先观察是否有公因式,有公因式的先提取公因式,然后再观察能否用公式法分解,分解因式一定要分解到不能再分解为止.掌握以上知识是解题的关键.21教育名师原创作品
45.(2022·河南洛阳·八年级期末)把下列多项式分解因式:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)先利用完全平方公式展开,再利用完全平方公式分解;
(2)先提公因式2x,再利用完全平方公式分解.
(1)解:===;
(2)==
【点睛】
本题考查了用提公因式法和公式法进行 ( http: / / www.21cnjy.com )因式分解,一个多项式有公因式首先提取公因式,然后再用其他方法进行因式分解,同时因式分解要彻底,直到不能分解为止.
46.(2022·陕西渭南·八年级期末)先阅读下列材料,再解答下列问题:
材料分析:因式分解:.
解:将“”看成整体,设,则原式.
再将代入,得原式.
实践探索:上述解题用到的是数学中常用的一种思想方法——“整体思想”,请你结合上述解题思路,自已完成下列题目:21·世纪*教育网
(1)因式分解:;
(2)因式分解:.
【答案】(1)(1﹣x+y)2
(2)(5a﹣6)2
【解析】
【分析】
(1)将看成整体,令代入原式即可求解;
(2)将 看成整体,令代入原式即可求解.
(1)设x﹣y=a,则原式=1﹣2a+a2=(1﹣a)2,将x﹣y=a代入,得原式=(1﹣x+y)2;
(2)设a﹣1=m,则原式=25m2﹣10m+1=(5m﹣1)2,将a﹣1=m代入,得原式=(5a﹣6)2.
【点睛】
本题考查了整体代入的思想,运用完全平方公式因式分解,整体代入是解题的关键.
47.(2022·山东济南·八年级期中)分解因式:
(1)
(2)
【答案】(1);
(2).
【解析】
【分析】
(1)先提公因式,再利用平方差公式分解即可;
(2)先提公因式,再用完全平方公式分解即可.
(1)解:.
(2)解:.
【点睛】
本题考查提公因式,公式法分解因式,解题的关键是掌握平方差公式分解因式,完全平方公式分解因式.
48.(2022·湖南湘西·八年级期末)分解因式
(1);
(2)a2(x-y)+16(y-x).
【答案】(1)
(2)(x﹣y)(a+4)(a﹣4)
【解析】
【分析】
(1)直接利用公式法分解因式即可;
(2)先提提取公因式,然后运用公式法分解因式即可.
(1)解: =;
(2)a2(x﹣y)+16(y﹣x)=a2(x﹣y)-16(x﹣y)=(x﹣y)(a2﹣16)=(x﹣y)(a+4)(a﹣4).
【点睛】
题目主要考查利用提公因式法及公式法分解因式,熟练掌握因式分解的方法是解题关键.
49.(2022·河南三门峡·八年级期末)因式分解:
(1)
(2)
【答案】(1)(a-b)(x+3)(x-3)
(2)(a+2)2(a-2)2
【解析】
【分析】
(1)先提公因式,然后再用平方差公式进行分解因式即可;
(2)先根据平方差公式进行分解因式,然后再用完全平方公式分解因式即可.
(1)解:
(2)解:
【点睛】
本题主要考查了因式分解,熟练掌握平方差公式和完全平方公式,是解题的关键.
50.(2022·四川成都·八年级期末)先化简,再求值:,其中.
【答案】,
【解析】
【分析】
根据分式的加减运算以及乘除运算进行化简,然后将的值代入原式即可求出答案.
【详解】
解:原式=
,
当时,
原式
.
【点睛】
本题考查分式的化简求值,解题的关键是熟练运用分式的加减运算以及乘除运算,本题属于基础题型.
51.(2022·山西太原·八年级期末)(1)分解因式:ab3﹣a3b;
题目:将(2x+y)2﹣(x+2y)2分解因式
小彬:原式=(4x2+4xy+y2)﹣(x2+4xy+4y2)……第1步=3x2﹣3y2……第2步=3(x+y)(x﹣y)……第3步 小颖:原式=(2x+y+x+2y)(2x+y﹣x+2y)……第1步=(3x+3y)(x+3y)……第2步=3(x+y)(x+3y)……第3步
(2)在分解因式时,小彬和小颖对同一道题产生了分歧,下面是他们的解答过程,请认真阅读并完成相应的任务.【来源:21·世纪·教育·网】
任务:
①经过讨论,他们发现小彬 ( http: / / www.21cnjy.com )的解答正确,他第1步依据的乘法公式用字母表示为_____,小颖的解答错误,从第_____步开始出错,错误的原因是_____.
②按照小颖的思路,写出正确的解答过程.
【答案】(1);(2)①;1;第二个因式内,去括号后,最后一项没有变号;②见解析
【解析】
【分析】
(1)综合利用提取公因式法和平方差公式进行因式分解即可得;
(2)①写出完全平方公式即可,小颖的解答从第1步开始出错,错在第二个因式内,去括号后,最后一项没有变号;
②先计算平方差公式,再计算整式的加减即可得.
【详解】
解:(1)原式
;
(2)①小彬的解答正确,他第1步依据的乘法公式用字母表示为,小颖的解答错误,从第1步开始出错,错误的原因是去括号后,最后一项没有变号,
故答案为:;1;第二个因式内,去括号后,最后一项没有变号;
②原式
.
【点睛】
本题考查了因式分解,熟练掌握因式分解的常见方法(提取公因式法、十字相乘法、公式法、换元法、分组分解法)是解题关键.
52.(2022·河南驻马店·八年级期末)下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程.
解:设,
原式=(第一步)
=(第二步)
=(第三步)
=(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ________.
A.提取公因式
B.平方差公式
C.完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?________.(填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果________.【来源:21cnj*y.co*m】
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解.
【答案】(1)C
(2)不彻底,
(3)
【解析】
【分析】
(1)根据分解因式的方法直接得出答案;
(2)该同学因式分解的结果不彻底,进而再次运用完全平方公式分解因式得出即可;
(3)将(x2-2x) 看作整体进而分解因式即可.
(1)
解:第二步到第三步为:
,
∴运用的是因式分解的完全平方公式,
∴选项C正确;
故答案为:C;
(2)
解:该同学因式分解的结果不彻底
∵ ,
∴ 原式=,
∴该同学因式分解的结果不彻底,最后结果为,
故答案为:不彻底,;
(3)
解:设,
则:原式
故答案为:.
【点睛】
此题主要考查了公式法分解因式,熟练利用完全平方公式分解因式是解题关键,注意分解因式要彻底.
53.(2022·河南信阳·八年级期末)(1)因式分解:.
(2)计算:.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)首先去括号并合并同类项,进而利用完全平方公式分解因式即可;
(2)先计算括号里面的积的乘方以及同底数幂的乘法,再合并同类项,然后计算括号外的除法即可.
【详解】
解:(1)
(2)
【点睛】
本题主要考查了公式法因式分解及整式的混合运算,解题关键是熟练掌握相关运算法则和完全平方公式.
54.(2022·河南信阳·八年级期末)阅读以下材料
材料:因式分解:
解:将“”看成整体,令,则原式
再将“A”还原,得原式
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)因式分解:______;
(2)因式分解:;
(3)求证:无论n为何值,式子的值一定是一个不小于1的数.
【答案】(1)
(2)
(3)见解析
【解析】
【分析】
(1)把(x-y)看作一个整体,直接利用完全平方公式因式分解即可;
(2)令,代入后因式分解后代入即可将原式因式分解;
(3)令,进一步整理为,再将代入可得:,根据,从而说明原式是一定是一个不小于1的数.
(1)解: ==;故答案为:;
(2)设,原式,将A还原,则原式;
(3)令,则原式,将还原,原式,因为无论n为何值,所以.所以无论n为何值,式子的值一定是一个不小于1的数.
【点睛】
本题考查了因式分解的应用,解题的关键是仔细读题,理解题意,掌握整体思想解决问题的方法.
55.(2022·河北石家庄·八年级期末)分解因式:
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
(1)先提取公因式,再运用平方差公式分解即可;
(2)将3(x-y)当成整体直接运用完全平方公式分解即可.
(1)解:原式.
(2)原式.
【点睛】
本题考查因式分解,解题关键是掌握因式分解的两种方法提公因式法和运用公式法,公式法又分为平方差公式和完全平方公式,适当时可运用整体思想.
56.(2022·河北沧州·八年级期末)阅读材料:将(x+y)2+2(x+y)+1分解因式.
解:将x+y看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2,再将A还原,原式=(x+y+1)2.21·cn·jy·com
上述材料解题过程用到了整体思想,整体思想是数学中的常用方法,请根据上面方法完成下列各小题.
(1)因式分解:(m+n)2﹣6(m+n)+9;
(2)设M=(a﹣b)(a﹣b﹣2)+1.
①因式分解M;
②若M=0,求a﹣b的值.
【答案】(1)
(2)①;②1
【解析】
【分析】
(1)仿照材料中例题的解题思路,进行计算即可解答;
(2)①仿照材料中例题的解题思路,进行计算即可解答;②根据M=0,可得(a-b-1)2=0,进行计算即可解答.2·1·c·n·j·y
(1)解:令m+n=A,原式=A2﹣6A+9=(A﹣3)2,再将A还原,原式=(m+n﹣3)2;
(2)解∶①M=(a﹣b)(a﹣b﹣2)+1 ( http: / / www.21cnjy.com )=(a﹣b)[(a﹣b)﹣2]+1, 令a﹣b=C,则M=C(C﹣2)+1=C2﹣2C+1=(C﹣1)2=(a﹣b﹣1)2;②∵M=0,∴(a﹣b﹣1)2=0,∴a﹣b﹣1=0,∴a﹣b=1,∴a﹣b的值为1.
【点睛】
本题考查了因式分解一运用公式法,熟练掌握完全平方公式,以及整体的数学思想是解题的关键.
57.(2022·陕西咸阳·八年级期末)阅读理解:
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和,巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解.
例如:.
观察上述因式分解的过程,回答下列问题:
(1)因式分解;
(2)试说明多项式的值总是一个正数.
【答案】(1)
(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)先仿照例子进行即可解答;
(2)先仿照例子进行即可解答,然后根据平方的非负性即可说明.
(1)解:.
(2)解:∵∴∴多项式的值总是一个正数.
【点睛】
本题主要考查因式分解的应用,灵活运用配方再、平方差公式、完全平方公式是解答本题的关键.
58.(2022·河南驻马店·八年级期末)阅读下列材料:
利用完全平方公式,可以将多项式ax2+bx ( http: / / www.21cnjy.com )+c(a≠0)变形为a(x+m)2+n的形式,我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式.
例如:x2+11x+24
=(x+8)(x+3)
根据以上材料,解答下列问题:
(1)初步感知:用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成(x+m)2+n的形式;
(2)问题探究:下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程:
解:x2﹣3x﹣40
=x2﹣3x+32﹣32﹣40
=(x﹣3)2﹣49
=(x﹣3+7)(x﹣3﹣7)
=(x+4)(x﹣10)
老师说,这位同学的解答过程中有错误,请你找出该同学解答中开始出现错误的地方,并用“一一”标画出来,然后写出完整的、正确的解答过程.
【答案】(1)
(2)标画出的错误见解析;正确解答过程见解析
【解析】
【分析】
(1)根据配方法,可得答案;
(2)根据配方法,可以看出该同学的错误;再根据配方法和平方差公式,分解因式,可得答案.
(1)解:x2+8x﹣1
(2)该同学第一步出现错误,如图所示: ( http: / / www.21cnjy.com / )正确的解答如下:
【点睛】
本题主要考查了配方法分解因式,熟练掌握配方法的基本步骤和平方差公式,是解题的关键.
59.(2022·青海西宁·八年级期末)【观察】
;
【感悟】
在二次根式的运算中,需要运用分式的基本性质,将分母转化为有理数,这就是分母有理化.像上述解题过程中与,与相乘的积都不含二次根式,我们可以将这两个式子称为互为有理化因式.
(1)【运用】的有理化因式是__________;的有理化因式是__________;
(2)将下列各式分母有理化:
①;
②
【答案】(1),
(2)①;②
【解析】
【分析】
(1)根据有理化因式的定义进行求解即可;
(2)根据分母有理化的方法进行求解即可.
(1)解:∵∴的有理化因式是;∵∴的有理化因式是;
(2)解:①原式=②原式
【点睛】
本题考查二次根式的运算,分母有理化,平方差公式,解题的关键是正确理解题意,熟练掌握相应的运算法则.
60.(2022·重庆大渡口·八年级期末)(1)因式分解:;
(2)化简:.
【答案】(1)3x(x+2)(x-2);(2)
【解析】
【分析】
(1)先提供因式3x,再利用平方差公式分解因式即可求解;
(2)利用平方差公式、完全平方公式进行分式的乘除法运算求解即可.
【详解】
解:(1)
=3x(x2-4)
=3x(x+2)(x-2);
(2)
=
=.
【点睛】
本题考查因式分解、分式的乘除法,熟记平方差公式和完全平方公式,掌握分式的运算法则是解答的关键.
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绝密★启用前
专题33因式分解:公式法
考试范围:xxx;考试时间:100分钟;命题人:xxx
注意事项:
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第I卷(选择题)
一、单选题
1.(2022·山东济南·八年级期末)下列多项式中,在实数范围内不能进行因式分解的是( )21教育网
A.a2+4 B.a2+2a+1 C.a2-1 D.9a2-6a+1
2.(2022·重庆大渡口·八年级期末)把分解因式,结果正确的是( )
A. B. C. D.
3.(2022·重庆南岸·八年级期末)在下列多项式中,能用平方差公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
4.(2022·山西运城·八年级期末)已知能用完全平方公式因式分解,则m的值为( )
A.4 B. C.8 D.
5.(2022·广东·君兰中学八年级期中)把分解因式,结果正确的是( )
A. B. C. D.
6.(2022·陕西·西安市曲江第一中学八年级期中)下列多项式不能用公式法因式分解的是( )2·1·c·n·j·y
A. B. C. D.
7.(2022·河南新乡·八年级期末)把4x2-9y2分解因式,正确的是( )
A.(4x+y)(x-9y) B.(3x+2y)(3x-2y) C.(2x+9y)(2x-y) D.(2x+3y)(2x-3y)【来源:21·世纪·教育·网】
8.(2022·甘肃省兰州市教育局八年级期中)在△ABC中,若三边长满足,,△ABC的周长是( )21*cnjy*com
A.12 B.16 C.8 D.6
9.(2022·四川泸州·八年级期末)下列各式中,从左到右的变形是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
10.(2022·福建泉州·八年级期末)对多项式进行因式分解,正确的是( )
A. B.
C. D.
11.(2022·河北张家口·八年级期末)下列因式分解正确的是( )
A.x2y2﹣z2=x2(y+z)(y﹣z)
B.﹣x2y﹣4xy+5y=﹣y(x2+4x+5)
C.(x+2)2﹣9=(x+5)(x﹣1)
D.9﹣12a+4a2=﹣(3﹣2a)2
12.(2022·山东济南·八年级期末)下列各式中,能用公式法分解因式的是( )
A. B. C. D.
13.(2022·山东济南·八年级期末)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A. B. C. D.
14.(2022·辽宁阜新·八年级期末)对于任意整数n,多项式(n+7)2﹣n2都能够被( )
A.2整除 B.n整除 C.(n+7)整除 D.7整除
15.(2022·云南红河·八年级期末)下列从左到右的变形中,是因式分解的是( )
A. B.
C. D.
16.(2022·辽宁沈阳·八年级期末)下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是( )
A. B.
C. D.
17.(2022·四川资阳·八年级期末)下列各式中,能用平方差公式进行因式分解的是( )
A. B.
C. D.
18.(2022·湖南湘西·八年级期末)分析四个结论:①;②因式分解;③是完全平方式;④.其中正确的有( )21世纪教育网版权所有
A.① B.③ C.②③④ D.①③④
19.(2022·山东·济南协和双语实验学校八年级期中)下列多项式中,能用完全平方公式分解因式的是( )21·世纪*教育网
A.x2﹣x+1 B.1﹣2xy+x2y2 C.a2﹣a D.a2+2ab﹣b2
20.(2022·福建厦门·八年级期末)已知a,b满足,且,则关于a与b的数量关系,下列说法中正确的是( )21教育名师原创作品
①;②;③;④.
A.①② B.②③ C.①④ D.③④
21.(2022·湖北武汉·八年级期末)下面分解因式正确的是( )
A. B.
C. D.
22.(2022·重庆合川·八年级期末)下列因式分解中错误的是( )
A. B.
C. D.
23.(2022·内蒙古呼和浩特·八年级期末)已知a2+b2=2a﹣b﹣2,则a﹣b的值为( )
A.﹣1 B.﹣2 C.1 D.3
24.(2022·山东泰安·八年级期末)下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是( )
A.x2+1 B.x2+2x﹣1 C.x2+3x+9 D.
25.(2022·辽宁锦州·八年级期末)下列等式从左到右的变形,属于因式分解正确的是( )21*cnjy*com
A. B.
C. D.
26.(2022·福建宁德·八年级期末)下列各式中,能用完全平方公式分解因式的是( )
A. B. C. D.
27.(2022·山东济南·八年级期末)下列式子中,能运用平方差公式分解因式的是( )
A.﹣4a2+b2 B.x2+4 C.a2+c2﹣2ac D.﹣a2﹣b2
28.(2022·山东青岛·八年级期末)下列多项式中不能运用公式法进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
29.(2022·安徽·淮北一中八年级期末)若实数a,b,c满足,则( )
A. B. C. D.
30.(2022·河南省实验中学八年级期末)下列多项式能用完全平方公式分解因式的是( )www-2-1-cnjy-com
A. B. C. D.
31.(2022·辽宁·沈阳市第七中学八年级阶段练习)下列多项式能直接用完全平方公式进行因式分解的是( )
A. B. C. D.
第II卷(非选择题)
二、填空题
32.(2022·四川凉山·八年级期末)已知,,,则代数式的值是________.
33.(2022·山东济南·八年级期中)分解因式:______.
34.(2022·湖南湘西·八年级期末)分解因式:=________________.
35.(2022·广东深圳·八年级期末)因式分解:______.
36.(2022·河南洛阳·八年级期末)已知,,则________.
37.(2022·河南郑州·八年级期末)请写出一个多项式,要求该多项式能利用平方差公式进行因式分解,且有一项是.符合要求的多项式可以是____________________.
38.(2022·山东·济南协和双语实验学校八年级期中)把多项式x2﹣16分解因式的结果为 _____.
39.(2022·陕西·交大附中分校八年级期中)已知m+n=3.m﹣n=2.则m2﹣n2=_____.
三、解答题
40.(2022·山东济南·八年级期末)因式分解:
(1)a2-9; www.21-cn-jy.com
(2)2x2-12x+18
41.(2022·广西·环江毛南族自治县教研室八年级期末)因式分解:.
42.(2022·河南南阳·八年级期末)(1)计算:+;
(2)分解因式:3-12x.
43.(2022·湖北十堰·八年级期末)先阅读下列材料,再解答下列问题:材料:因式分解:(x+y)2+2(x+y)+1.
解:将“x+y”看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2.
再将“A”还原,得原式=(x+y+1)2.上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请解答下列问题:
(1)因式分解:1+2(2x-3y)+(2x-3y)2.
(2)因式分解:(a+b)(a+b-4)+4;
44.(2022·云南玉溪·八年级期末)分解因式:
45.(2022·河南洛阳·八年级期末)把下列多项式分解因式:
(1)
(2)
46.(2022·陕西渭南·八年级期末)先阅读下列材料,再解答下列问题:
材料分析:因式分解:.
解:将“”看成整体,设,则原式.
再将代入,得原式.
实践探索:上述解题用到的是数学中常用的一种思想方法——“整体思想”,请你结合上述解题思路,自已完成下列题目:
(1)因式分解:;
(2)因式分解:.
47.(2022·山东济南·八年级期中)分解因式:
(1)
(2)
48.(2022·湖南湘西·八年级期末)分解因式
(1);
(2)a2(x-y)+16(y-x).
49.(2022·河南三门峡·八年级期末)因式分解:
(1)
(2)
50.(2022·四川成都·八年级期末)先化简,再求值:,其中.
51.(2022·山西太原·八年级期末)(1)分解因式:ab3﹣a3b;
(2)在分解因式时,小彬和小颖对同一道题产生了分歧,下面是他们的解答过程,请认真阅读并完成相应的任务.【来源:21cnj*y.co*m】
题目:将(2x+y)2﹣(x+2y)2分解因式
小彬:原式=(4x2+4xy+y2)﹣(x2+4xy+4y2)……第1步=3x2﹣3y2……第2步=3(x+y)(x﹣y)……第3步 小颖:原式=(2x+y+x+2y)(2x+y﹣x+2y)……第1步=(3x+3y)(x+3y)……第2步=3(x+y)(x+3y)……第3步
任务:
①经过讨论,他们发现小彬的解答正 ( http: / / www.21cnjy.com )确,他第1步依据的乘法公式用字母表示为_____,小颖的解答错误,从第_____步开始出错,错误的原因是_____.
②按照小颖的思路,写出正确的解答过程.
52.(2022·河南驻马店·八年级期末)下面是某同学对多项式 进行因式分解的过程.
解:设,
原式=(第一步)
=(第二步)
=(第三步)
=(第四步)
回答下列问题:
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的 ________.
A.提取公因式
B.平方差公式
C.完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底?________.(填“彻底”或“不彻底”),若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果________.2-1-c-n-j-y
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式进行因式分解.
53.(2022·河南信阳·八年级期末)(1)因式分解:.
(2)计算:.
54.(2022·河南信阳·八年级期末)阅读以下材料
材料:因式分解:
解:将“”看成整体,令,则原式
再将“A”还原,得原式
上述解题用到的是“整体思想”,“整体思想”是数学解题中常用的一种思想方法,请你解答下列问题:
(1)因式分解:______;
(2)因式分解:;
(3)求证:无论n为何值,式子的值一定是一个不小于1的数.
55.(2022·河北石家庄·八年级期末)分解因式:
(1)
(2)
56.(2022·河北沧州·八年级期末)阅读材料:将(x+y)2+2(x+y)+1分解因式.
解:将x+y看成整体,令x+y=A,则原式=A2+2A+1=(A+1)2,再将A还原,原式=(x+y+1)2.21cnjy.com
上述材料解题过程用到了整体思想,整体思想是数学中的常用方法,请根据上面方法完成下列各小题.
(1)因式分解:(m+n)2﹣6(m+n)+9;
(2)设M=(a﹣b)(a﹣b﹣2)+1.
①因式分解M;
②若M=0,求a﹣b的值.
57.(2022·陕西咸阳·八年级期末)阅读理解:
配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和,巧妙的运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解.
例如:.
观察上述因式分解的过程,回答下列问题:
(1)因式分解;
(2)试说明多项式的值总是一个正数.
58.(2022·河南驻马店·八年级期末)阅读下列材料:
利用完全平方公式,可以将多项式ax2+bx+ ( http: / / www.21cnjy.com )c(a≠0)变形为a(x+m)2+n的形式,我们把这样的变形方法叫做多项式ax2+bx+c的配方法.运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行分解因式.21·cn·jy·com
例如:x2+11x+24
=(x+8)(x+3)
根据以上材料,解答下列问题:
(1)初步感知:用多项式的配方法将x2+8x﹣1化成(x+m)2+n的形式;
(2)问题探究:下面是某位同学用配方法及平方差公式把多项式x2﹣3x﹣40进行分解因式的解答过程:
解:x2﹣3x﹣40
=x2﹣3x+32﹣32﹣40
=(x﹣3)2﹣49
=(x﹣3+7)(x﹣3﹣7)
=(x+4)(x﹣10)
老师说,这位同学的解答过程中有错误,请你找出该同学解答中开始出现错误的地方,并用“一一”标画出来,然后写出完整的、正确的解答过程.【出处:21教育名师】
59.(2022·青海西宁·八年级期末)【观察】
;
【感悟】
在二次根式的运算中,需要运用分式的基本性质,将分母转化为有理数,这就是分母有理化.像上述解题过程中与,与相乘的积都不含二次根式,我们可以将这两个式子称为互为有理化因式.【版权所有:21教育】
(1)【运用】的有理化因式是__________;的有理化因式是__________;
(2)将下列各式分母有理化:
①;
②
60.(2022·重庆大渡口·八年级期末)(1)因式分解:;
(2)化简:.
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