初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和 同步练习
一、选择题（每题3分，计18分）
1．（2019八上·获嘉月考）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状：
∵∠A=20°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，
∴△ABC是钝角三角形。
故选D.
2．将一个n边形变成n+1边形，内角和将（ ）
A．减少180° B．增加90° C．增加180° D．增加360°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】n边形的内角和是（n-2） 180°，n+1边形的内角和是（n-1） 180°.
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．
3．如图，在四边形ABCD 中，∠A+∠D=α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点 P，则∠P=（ ）
A．90°﹣ α B．90°+ α
C． α D．360°﹣ α
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，
∵PB 和 PC 分别为∠ABC、∠BCD 的平分线，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠BCD）= （360°﹣α）=180°﹣ α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣ α）= α．
故答案为：C．
【分析】根据四边形的内角和定理得出∠ABC+∠BCD=360°﹣α，根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=180°﹣ α，最后根据三角形的内角和定理，由∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）算出答案.
4．（2017·蒙阴模拟）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得
（n﹣2）180°=2340°，
解得n=15，
原多边形是15﹣1=14，
故选：B．
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
5．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）
A．27 B．35 C．44 D．54
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个内角度数为x，边数为n，
∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，
180n=1870+x，
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C．
【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．
6．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝ ∠ADC D．∠ADE＝ ∠ADC
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，
设∠ADE=x，∠ADC=y，根据三角形的内角和可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，根据四边形的内角和为360°可得∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以x= y，即∠ADE= ∠ADC．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和为180°、四边形的内角和为360°列方程组即可求解。
二、填空题（每题3分，计24分）
7．（2019九下·成都开学考）如图，是一副三角板叠放的示意图，则∠α= ．
【答案】75°
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
由已知可得∠1=45°，
∴由三角形外角的性质可得：∠2=45°+30°=75°，
又∵∠ =∠2，
∴∠ =75°.
故答案为：75°.
【分析】由三角形外角的性质可得∠2=∠1+30°=45°+30°=75°，利用对顶角相等可得∠ =∠2，从而求出结论.
8．（2017七下·惠山期中）在△ABC中，∠A=100°，∠B=3∠C，则∠B= 度．
【答案】60
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠C为x．
100°+x+3x=180°，
∴x=20°，
∴∠B=20°×3=60°．
【分析】由已知得100°+3∠C+∠C=180°，所以∠C=20°，∠B=3∠C=60°．
9．如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 度．
【答案】360
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：连接AC
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠DAC+∠ACD+∠ADC=360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=360°．
故答案为:360.
【分析】连接∠2 和∠4 的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
10．如图，平面镜 A 与 B 之间夹角为 120°，光线经过平面镜 A 反射后射在平面镜 B 上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1= 度．
【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，作出入射光线的法线，
根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠1=∠2，∠AOB=120°，
∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．
故答案为：30．
【分析】因为反射角等于入射角，所以∠1=∠2=∠3=∠4=（180°﹣120°）÷2．
11．在 Rt△ABC
中，锐角 A 的平分线与锐角 B 的邻补角的平分线相交于点 D，则∠ADB= 度．
【答案】45
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，
设锐角∠BAC 大小为x，∴∠ABE =90°+x,∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=45°+ ，∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=，
∴∠ADB=∠ABF-∠BAD=45°+ -=45°．
故答案为：45
【分析】根据三角形外角的定义得出∠ABE =90°+x,根据角平分线的定义得出∠ABF及∠BAD的度数，最后根据三角形外角性质，由∠ADB=∠ABF-∠BAD算出答案.
12．如图，△ABC 中，∠B=∠C，FD⊥BC
于 D，DE⊥AB
于 E，∠AFD=158°， 则∠EDF 等于 度．
【答案】68
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C，
∴∠BDE=∠CFD=180°﹣158°=22°，
∵FD⊥BC 于 D，DE⊥AB 于 E，
∴∠EDF=∠C=90°﹣22°=68°．
故答案为：68．
【分析】首先根据等角的余角相等得出∠BDE=∠CFD=22°，接着根据同角的余角相等得出∠EDF=∠C，从而求出∠EDF 的度数．
13．已知：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，PE⊥AB 于点 E，PF⊥CD 于点 F，如果∠AOC=50°，那么∠EPF= 度．
【答案】50
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠AOC=50°，
∴∠AOF=180°﹣∠AOC=130°．
∵PE⊥AB 于点 E，PF⊥CD 于点 F，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF=360°﹣∠AOF﹣∠OEP﹣∠OFP=50°．
【分析】首先由邻补角定义得出∠AOF的度数，然后根据垂直的定义得出∠OEP=∠OFP=90°，再根据四边形的内角和定理得出结果．
14．小明在阅览时发现这样一个问题“在某次聚会中，共有 6 人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手？”，小明通过努力得出了答案．为了解决更一般的问题，小明设计了下列图表进行探究：请你在图表右下角的横线上填上你归纳出的一般结论（填入最后一个图下的空线上）．
参加人数 2 3 4 5 … n
握手示意图
握手次数 1 2+1=3 3+2+1=6 4+3+2+1=10 …
【答案】
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图表可得：
当参加人数为 2 人时，握手次数为：1= ×2×1， 当参加人数为 3 人时，握手次数为：3= ×3×2， 当参加人数为 4 人时，握手次数为：6= ×4×3， 当参加人数为 5 人时，握手次数为：10= ×5×4，
…
∴当参加人数为 n 人时，握手次数为： ． 故答案为：
【分析】探索图形规律的题，首先根据图表，分别求出当参加人数为 2，3，4，5 人时，握手的次数，然后观察归纳找到规律为：当参加人数为 n 人时，握手次数为： ．
三、解答题（前6题每题8分，最后1题10份，计58分）
15．如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠1=35°，求∠2，∠B 与∠A 的度数．
【答案】解：∵∠ACB=90°，CD 是高，∠1=35°，
∴∠A=∠2=90°－∠1=55°，∠B=∠1=35°．
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据同角的余角相等，由 ∠A=∠2=90°－∠1 即可算出 ∠2 与∠A，同理根据同角的余角相等，由∠B=∠1=90°-∠2即可得出∠B的度数.
16．如图，若∠B=40°，∠C=71°，∠BME=133°，∠EPB=140°，∠F=47°．求∠A，∠D．
【答案】解：解：在△ABC 中，∵∠B=40°，∠C=71°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣40°﹣71°=69°，
∵∠BME=133°，∠EPB=140°，
∴∠E=360°﹣133°﹣140°﹣40°=47°，
在△DEF 中，∠D=180°﹣47°﹣47°=86°．
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【分析】在△ABC中，根据三角形的内角和等于 180°列式计算即可求出∠A，再根据四边形的内角和等于 360°，在四边形BMEP中，列式计算即可求出∠E，然后利用三角形的内角和等于 180°，在△DEF中列式计算即可求出∠D．
17．如图，已知三角形 ABC 的三个内角平分线交于点 I，IH⊥BC 于 H，试比较∠CIH 和∠BID 的大小．
【答案】解：因为 AI、BI、CI 为三角形 ABC 的角平分线， 所以∠BAD= ∠BAC，
∠ABI= ∠ABC，
∠HCI= ∠ACB．
所以∠BAD+∠ABI+∠HCI
= ∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB
= （∠BAC+∠ABC+∠ACB）
= ×180°
=90°．
所以∠BAD+∠ABI=90°﹣∠HCI．
又因为∠BAD+∠ABI=∠BID，90°﹣∠HCI=∠CIH，
2（∠BAD+∠ABI+∠HCI）=180°，
∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°，
所以∠BID=∠CIH．
所以∠BID 和∠CIH 是相等的关系．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°，根据三角形的外角定理得出∠BID=∠BAD+∠ABI=90°﹣∠HCI，根据直角三角形的两锐角互余得出∠CIH=90°﹣∠HCI，从而得出答案∠BID=∠CIH．
18．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）若∠A=100°，求x的值；
（2）若∠A=n°，求x的值．
【答案】（1）解：∵∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°﹣∠A=80°，即 2（∠2+∠4）=80°，∠2+∠4=40°．
∴x=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣40°=140°．
（2）解：由（1）可知，∠2+∠4= （180°﹣∠A），
∴x=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A=90°+ n°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理及角平分线的定义得出 ∠2+∠4=40° ，在△PBC中，根据三角形的内角和即可由x=180°﹣（∠2+∠4） 算出答案;
（2） 由（1）的结论可知 x=90°+ ∠A．
19．在△ABC
中，∠A= （∠B+∠C）、∠B﹣∠C=20°，求∠A、∠B、∠C
的度数．
【答案】解：∵∠A= （∠B+∠C），
∵2∠A=∠B+∠C①，
∵∠A+∠B+∠C=180°②，
把①代入③得，3∠A=180°，解得∠A=60°，
∴∠B+∠C=120°③，
∵∠B﹣∠C=20°④，
∴③+④得，2∠B=140°，解得∠B=70°，
∴∠C=50°，
∴∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据∠A= （∠B+∠C）可知 2∠A=∠B+∠C①，然后将①代入∠A+∠B+∠C=180°可知可得出∠A 的度数，进而得出得出∠B+∠C 的度数，再根据∠B﹣∠C=20°即可得出结论．
20．如图
（1）如图①，△ABC 是锐角三角形，高 BD、CE 相交于点 H，找出∠BHC和∠A 之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC 是钝角三角形，∠A＞90°，高 BD、CE 所在的直线相交于点
H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？
【答案】（1）解：由∠BHC 与∠EHD 是对顶角，得
∠BHC=∠EHD．
由高 BD、CE 相交于点 H，得
∠ADH=∠AEH=90°．
由四边形内角和定理，得
∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA=360°，
∠A+∠EHD=360°﹣∠AEH﹣∠HDA=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠BHC+∠A=180°
（2）解：由∠BHC 与∠EHD 是对顶角，得
∠BHC=∠EHD．
由高 BD、CE 相交于点 H，得
∠ADH=∠AEH=90°．
由四边形内角和定理，得
∠H+∠AEH+∠EHD+∠HDA=360°，
∠H+∠DAE=360°﹣∠AEH﹣∠HDA=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠BHC+∠BAC=180°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠BHC =∠EHD ，在四边形AEHD中，根据四边形的内角和定理，可得结论；
（2）根据对顶角相等得出∠BHC =∠EHD ，在四边形AEHD中，根据四边形的内角和定理，可得结论.
21．如图
（1）如图①所示，∠1+∠2 与∠B+∠C 有什么关系？为什么？
（2）如图②若把△ABC 纸片沿 DE 点折叠当点
A 落在四边形 BCED 内部时， 则∠A 与∠α+∠β之间有一种数量关系始终保持不变，请写出这个规律并说明理由．
【答案】（1）解：∠1+∠2=∠B+∠C，
∵如图 1，在△AED 和△ACB 中，
∠1+∠2+∠A=∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于 180°），
∴∠1+∠2=∠B+∠C（等量代换）．
（2）解：规律：α+β=2∠A．
理由：∵在△ADE 中，∠1+∠
2=180°﹣∠A（三角形内角和等于 180°），
在四边形 BCED 中，∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°（四边形内角和等于 360°），
又∵根据题（1）得∠1+∠2=∠B+∠C（已证），
∴2（∠1+∠2）+α+β=360°（等量代换），
∴2（180°﹣∠A）+α+β=360°（等量代换），
∴α+β=2∠A．
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和是 180°，解答即可；
（2）根据题（1） 的结论和四边形的内角和是 360°解答即可．
四、选择题:(每题3分，计6分)
22．（2017八上·新会期末）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．10°
【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，
∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，
∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．
故选A．
【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
23．如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形， 则图中∠1 的大小为（ ）．
A．120° B．36° C．108° D．90°
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠1=540°÷5=108°，
，故答案为： C.
【分析】所求角即为正五边形的内角，先利用多边形的内角和定理求出五边形的内角和，再根据正五边形的每一个内角都相等，用内角的总度数除以内角的个数即可算出答案.
五、填空题:(每题3分，计6分)
24．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点 A2，…，∠An﹣1BC 的平分线与∠An﹣1CD 的平分线交于点 An．设∠A=θ．则：
（1）∠A1= ；
（2）∠An= ．
【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的外角性质；探索图形规律；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵A1B 是∠ABC 的平分线，A1C 是∠ACD 的平分线，
∴∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD= ∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴ （∠A+∠ABC）= ∠ABC+∠A1，
∴∠A1= ∠A，
∵∠A=θ，
∴∠A1= ；
（ 2 ）同理可得∠A2= ∠A1= θ= ， 所以∠An= ．
故答案为：（1） ，（2） ．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC= ∠ ABC，∠A1CD= ∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；
（2）与（1）同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的 ，根据此规律即可得解．
25．（2019八上·镇原期中）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°，那么∠BMD为 度.
【答案】85
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°。
∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°。
【分析】利用平角的定义求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数。
六、解答题:(第5题8分，第6题10分，第5题10分)
26．△ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C=7∠A，求∠A 的度数．
【答案】解：∵4∠C=7∠A，
∴∠C= ∠A，
∵∠A+∠B+∠C=∠A+∠B+ ∠A=180°，
∴∠B=180°﹣ ∠A，
∵∠A＜∠B＜∠C，
∴ ，
由①得，∠A＜48°， 由②得，∠A＞40°，
∴40°＜∠A＜48°，
∵∠A，∠C 是整数，∠C= ∠A，
∴∠A 是 4 的整数倍，
∴∠A=44°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】先用∠A 表示出∠C，再根据三角形的内角和等于 180°列式整理用∠A 表示出∠B，再根据 ∠A＜∠B＜∠C 列出不等式求出∠A 的取值范围，最后根据∠A 是整数即可得出答案.
27．如图，
△ABC 中，分别延长△ABC 的边 AB、AC 到 D、E，∠CBD 与∠BCE的平分线相交于点 P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现
如下规律：
（1）若∠A=50°，则∠P= °；
（2）若∠A=90°，则∠P= °；
（3）若∠A=100°，则∠P= °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A 与∠P 的关系，并说明理由．
【答案】（1）65
（2）45
（3）40
（4）解：∠P=90°﹣ ∠A．理由如下：
∵BP 平分∠DBC，CP 平分∠BCE，
∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP
又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠CBP+∠BCP=90°+ ∠A
又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，
∴∠P=90°﹣ ∠A．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，
又∵∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点 P，
∴ ， ，
∴ =115°，
∴∠P=65°．
（ 2 ） ∵∠A=90°
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣90°=90°，∠DBC+∠BCE=360°﹣90°=270°
又∵∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点 P
∴
∴ =135°，
∴∠P=45°．
（ 3 ）
∵∠A=100°
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°，∠DBC+∠BCE=360°﹣80°=280°
又∵∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点 P
∴
∴ =140°
∴∠P=40°．
【分析】（1）若∠A=50°，根据三角形的内角和则有∠ABC+∠ACB=130°，根据邻补角的定义得出∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P 的度数；
（2）（3）和（1）的解题步骤相似；
（4） ∠P=90°﹣ ∠A．理由如下： 根据角平分线的定义得出 ∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP ，根据三角形外角的定理得出 ∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC， 从而即可得出 ∠CBP+∠BCP=90°+ ∠A ，最后根据三角形的内角和定理即可求出结论.
28．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点
P 在线段 AB 上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点 P 在边 AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2 之间的关系为： ；
（3）若点P运动到边 AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2 之间的关系为： ．
【答案】（1）140
（2）∠1+∠2=90°+α
（3）解：∠1=90°+∠2+α，
理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
（4）∠2=90°+∠1﹣α
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°； 故答案为：140°；
（ 2 ）由（1）得出：
∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
（ 4 ）设AC与PE相交于点F，
∴∠PFD=∠EFC，
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，
∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，
∴∠2=90°+∠1﹣α．
故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，变形即可得出结论.
1 / 1初中数学苏科版七年级下册7.5 多边形的内角和与外角和 同步练习
一、选择题（每题3分，计18分）
1．（2019八上·获嘉月考）在△ABC中，∠A=20°，∠B=60°，则△ABC的形状是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形
2．将一个n边形变成n+1边形，内角和将（ ）
A．减少180° B．增加90° C．增加180° D．增加360°
3．如图，在四边形ABCD 中，∠A+∠D=α，∠ABC 的平分线与∠BCD 的平分线交于点 P，则∠P=（ ）
A．90°﹣ α B．90°+ α
C． α D．360°﹣ α
4．（2017·蒙阴模拟）如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
5．一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形对角线的条数是（ ）
A．27 B．35 C．44 D．54
6．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C，点E在边AB上，∠AED＝60°，则一定有（ ）
A．∠ADE＝20° B．∠ADE＝30°
C．∠ADE＝ ∠ADC D．∠ADE＝ ∠ADC
二、填空题（每题3分，计24分）
7．（2019九下·成都开学考）如图，是一副三角板叠放的示意图，则∠α= ．
8．（2017七下·惠山期中）在△ABC中，∠A=100°，∠B=3∠C，则∠B= 度．
9．如图，∠1+∠2+∠3+∠4= 度．
10．如图，平面镜 A 与 B 之间夹角为 120°，光线经过平面镜 A 反射后射在平面镜 B 上，再反射出去，若∠1=∠2，则∠1= 度．
11．在 Rt△ABC
中，锐角 A 的平分线与锐角 B 的邻补角的平分线相交于点 D，则∠ADB= 度．
12．如图，△ABC 中，∠B=∠C，FD⊥BC
于 D，DE⊥AB
于 E，∠AFD=158°， 则∠EDF 等于 度．
13．已知：如图，直线 AB、CD 相交于点 O，PE⊥AB 于点 E，PF⊥CD 于点 F，如果∠AOC=50°，那么∠EPF= 度．
14．小明在阅览时发现这样一个问题“在某次聚会中，共有 6 人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手？”，小明通过努力得出了答案．为了解决更一般的问题，小明设计了下列图表进行探究：请你在图表右下角的横线上填上你归纳出的一般结论（填入最后一个图下的空线上）．
参加人数 2 3 4 5 … n
握手示意图
握手次数 1 2+1=3 3+2+1=6 4+3+2+1=10 …
三、解答题（前6题每题8分，最后1题10份，计58分）
15．如图，在直角△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠1=35°，求∠2，∠B 与∠A 的度数．
16．如图，若∠B=40°，∠C=71°，∠BME=133°，∠EPB=140°，∠F=47°．求∠A，∠D．
17．如图，已知三角形 ABC 的三个内角平分线交于点 I，IH⊥BC 于 H，试比较∠CIH 和∠BID 的大小．
18．如图，已知∠1=∠2，∠3=∠4．
（1）若∠A=100°，求x的值；
（2）若∠A=n°，求x的值．
19．在△ABC
中，∠A= （∠B+∠C）、∠B﹣∠C=20°，求∠A、∠B、∠C
的度数．
20．如图
（1）如图①，△ABC 是锐角三角形，高 BD、CE 相交于点 H，找出∠BHC和∠A 之间存在何种等量关系；
（2）如图②，若△ABC 是钝角三角形，∠A＞90°，高 BD、CE 所在的直线相交于点
H，把图②补充完整，并指出此时（1）中的等量关系是否仍然成立？
21．如图
（1）如图①所示，∠1+∠2 与∠B+∠C 有什么关系？为什么？
（2）如图②若把△ABC 纸片沿 DE 点折叠当点
A 落在四边形 BCED 内部时， 则∠A 与∠α+∠β之间有一种数量关系始终保持不变，请写出这个规律并说明理由．
四、选择题:(每题3分，计6分)
22．（2017八上·新会期末）如图，一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=45°，∠E=30°，则∠BFD的度数是（ ）
A．15° B．25° C．30° D．10°
23．如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形， 则图中∠1 的大小为（ ）．
A．120° B．36° C．108° D．90°
五、填空题:(每题3分，计6分)
24．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A1，∠A1BC 的平分线与∠A1CD 的平分线交于点 A2，…，∠An﹣1BC 的平分线与∠An﹣1CD 的平分线交于点 An．设∠A=θ．则：
（1）∠A1= ；
（2）∠An= ．
25．（2019八上·镇原期中）一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点D恰好放在等腰直角三角板的斜边AB上，BC与DE交于点M.如果∠ADF=100°，那么∠BMD为 度.
六、解答题:(第5题8分，第6题10分，第5题10分)
26．△ABC 中，三个内角的度数均为整数，且∠A＜∠B＜∠C，4∠C=7∠A，求∠A 的度数．
27．如图，
△ABC 中，分别延长△ABC 的边 AB、AC 到 D、E，∠CBD 与∠BCE的平分线相交于点 P，爱动脑筋的小明在写作业的时发现
如下规律：
（1）若∠A=50°，则∠P= °；
（2）若∠A=90°，则∠P= °；
（3）若∠A=100°，则∠P= °；
（4）请你用数学表达式归纳∠A 与∠P 的关系，并说明理由．
28．Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点，点P是一动点．令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．
（1）若点
P 在线段 AB 上，如图（1）所示，且∠α=50°，则∠1+∠2= °；
（2）若点 P 在边 AB 上运动，如图（2）所示，则∠α、∠1、∠2 之间的关系为： ；
（3）若点P运动到边 AB 的延长线上，如图（3）所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？猜想并说明理由．
（4）若点P运动到△ABC 形外，如图（4）所示，则∠α、∠1、∠2 之间的关系为： ．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】根据三角形的内角和定理求出∠C，即可判定△ABC的形状：
∵∠A=20°，∠B=60°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=180°﹣20°﹣60°=100°，
∴△ABC是钝角三角形。
故选D.
2．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】n边形的内角和是（n-2） 180°，n+1边形的内角和是（n-1） 180°.
【分析】本题主要考查了多边形的内角和公式，是需要识记的内容．
3．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；角平分线的定义
【解析】【解答】解：∵四边形 ABCD 中，∠ABC+∠BCD=360°﹣（∠A+∠D）=360°﹣α，
∵PB 和 PC 分别为∠ABC、∠BCD 的平分线，
∴∠PBC+∠PCB= （∠ABC+∠BCD）= （360°﹣α）=180°﹣ α，则∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）=180°﹣（180°﹣ α）= α．
故答案为：C．
【分析】根据四边形的内角和定理得出∠ABC+∠BCD=360°﹣α，根据角平分线的定义得出∠PBC+∠PCB=180°﹣ α，最后根据三角形的内角和定理，由∠P=180°﹣（∠PBC+∠PCB）算出答案.
4．【答案】B
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设新多边形是n边形，由多边形内角和公式得
（n﹣2）180°=2340°，
解得n=15，
原多边形是15﹣1=14，
故选：B．
【分析】根据多边形内角和公式，可得新多边形的边数，根据新多边形比原多边形多1条边，可得答案．
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：设这个内角度数为x，边数为n，
∴（n﹣2）×180°﹣x=1510，
180n=1870+x，
∵n为正整数，
∴n=11，
∴=44，
故选：C．
【分析】设出题中所给的两个未知数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为整数求解即可，再进一步代入多边形的对角线计算方法，即可解答．
6．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【解答】如图，
设∠ADE=x，∠ADC=y，根据三角形的内角和可得，∠ADE+∠AED+∠A=180°，根据四边形的内角和为360°可得∠A+∠B+∠C+∠ADC=360°，即x+60+∠A=180①，3∠A+y=360②，由①×3-②可得3x-y=0，所以x= y，即∠ADE= ∠ADC．
故答案为：D．
【分析】根据三角形的内角和为180°、四边形的内角和为360°列方程组即可求解。
7．【答案】75°
【知识点】三角形的外角性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：如图，
由已知可得∠1=45°，
∴由三角形外角的性质可得：∠2=45°+30°=75°，
又∵∠ =∠2，
∴∠ =75°.
故答案为：75°.
【分析】由三角形外角的性质可得∠2=∠1+30°=45°+30°=75°，利用对顶角相等可得∠ =∠2，从而求出结论.
8．【答案】60
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：设∠C为x．
100°+x+3x=180°，
∴x=20°，
∴∠B=20°×3=60°．
【分析】由已知得100°+3∠C+∠C=180°，所以∠C=20°，∠B=3∠C=60°．
9．【答案】360
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图：连接AC
∵∠BAC+∠ACB+∠ABC=180°，∠DAC+∠ACD+∠ADC=180°，
∴∠BAC+∠ACB+∠ABC+∠DAC+∠ACD+∠ADC=360°，
即∠1+∠2+∠3+∠4=360°．
故答案为:360.
【分析】连接∠2 和∠4 的顶点，可得两个三角形，根据三角形的内角和定理即可求出答案．
10．【答案】30
【知识点】三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图所示，作出入射光线的法线，
根据“入射角等于反射角”可知∠1=∠3，∠2=∠4，
∵∠1=∠2，∠AOB=120°，
∴1=∠2=（180°﹣120°）÷2=30°．
故答案为：30．
【分析】因为反射角等于入射角，所以∠1=∠2=∠3=∠4=（180°﹣120°）÷2．
11．【答案】45
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：如图，
设锐角∠BAC 大小为x，∴∠ABE =90°+x,∵BF平分∠ABE，∴∠ABF=45°+ ，∵AD平分∠CAB，∴∠BAD=，
∴∠ADB=∠ABF-∠BAD=45°+ -=45°．
故答案为：45
【分析】根据三角形外角的定义得出∠ABE =90°+x,根据角平分线的定义得出∠ABF及∠BAD的度数，最后根据三角形外角性质，由∠ADB=∠ABF-∠BAD算出答案.
12．【答案】68
【知识点】余角、补角及其性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠B=∠C，
∴∠BDE=∠CFD=180°﹣158°=22°，
∵FD⊥BC 于 D，DE⊥AB 于 E，
∴∠EDF=∠C=90°﹣22°=68°．
故答案为：68．
【分析】首先根据等角的余角相等得出∠BDE=∠CFD=22°，接着根据同角的余角相等得出∠EDF=∠C，从而求出∠EDF 的度数．
13．【答案】50
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵∠AOC=50°，
∴∠AOF=180°﹣∠AOC=130°．
∵PE⊥AB 于点 E，PF⊥CD 于点 F，
∴∠OEP=∠OFP=90°，
∴∠EPF=360°﹣∠AOF﹣∠OEP﹣∠OFP=50°．
【分析】首先由邻补角定义得出∠AOF的度数，然后根据垂直的定义得出∠OEP=∠OFP=90°，再根据四边形的内角和定理得出结果．
14．【答案】
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】解：根据图表可得：
当参加人数为 2 人时，握手次数为：1= ×2×1， 当参加人数为 3 人时，握手次数为：3= ×3×2， 当参加人数为 4 人时，握手次数为：6= ×4×3， 当参加人数为 5 人时，握手次数为：10= ×5×4，
…
∴当参加人数为 n 人时，握手次数为： ． 故答案为：
【分析】探索图形规律的题，首先根据图表，分别求出当参加人数为 2，3，4，5 人时，握手的次数，然后观察归纳找到规律为：当参加人数为 n 人时，握手次数为： ．
15．【答案】解：∵∠ACB=90°，CD 是高，∠1=35°，
∴∠A=∠2=90°－∠1=55°，∠B=∠1=35°．
【知识点】余角、补角及其性质；直角三角形的性质
【解析】【分析】根据同角的余角相等，由 ∠A=∠2=90°－∠1 即可算出 ∠2 与∠A，同理根据同角的余角相等，由∠B=∠1=90°-∠2即可得出∠B的度数.
16．【答案】解：解：在△ABC 中，∵∠B=40°，∠C=71°，
∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=180°﹣40°﹣71°=69°，
∵∠BME=133°，∠EPB=140°，
∴∠E=360°﹣133°﹣140°﹣40°=47°，
在△DEF 中，∠D=180°﹣47°﹣47°=86°．
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角
【解析】【分析】在△ABC中，根据三角形的内角和等于 180°列式计算即可求出∠A，再根据四边形的内角和等于 360°，在四边形BMEP中，列式计算即可求出∠E，然后利用三角形的内角和等于 180°，在△DEF中列式计算即可求出∠D．
17．【答案】解：因为 AI、BI、CI 为三角形 ABC 的角平分线， 所以∠BAD= ∠BAC，
∠ABI= ∠ABC，
∠HCI= ∠ACB．
所以∠BAD+∠ABI+∠HCI
= ∠BAC+ ∠ABC+ ∠ACB
= （∠BAC+∠ABC+∠ACB）
= ×180°
=90°．
所以∠BAD+∠ABI=90°﹣∠HCI．
又因为∠BAD+∠ABI=∠BID，90°﹣∠HCI=∠CIH，
2（∠BAD+∠ABI+∠HCI）=180°，
∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°，
所以∠BID=∠CIH．
所以∠BID 和∠CIH 是相等的关系．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理；三角形的外角性质
【解析】【分析】根据角平分线的定义、三角形内角和定理可知∠BAD+∠ABI+∠HCI=90°，根据三角形的外角定理得出∠BID=∠BAD+∠ABI=90°﹣∠HCI，根据直角三角形的两锐角互余得出∠CIH=90°﹣∠HCI，从而得出答案∠BID=∠CIH．
18．【答案】（1）解：∵∠1=∠2，∠3=∠4．
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°﹣∠A=80°，即 2（∠2+∠4）=80°，∠2+∠4=40°．
∴x=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣40°=140°．
（2）解：由（1）可知，∠2+∠4= （180°﹣∠A），
∴x=180°﹣（∠2+∠4）=180°﹣ （180°﹣∠A）=90°+ ∠A=90°+ n°．
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【分析】（1）利用三角形的内角和定理及角平分线的定义得出 ∠2+∠4=40° ，在△PBC中，根据三角形的内角和即可由x=180°﹣（∠2+∠4） 算出答案;
（2） 由（1）的结论可知 x=90°+ ∠A．
19．【答案】解：∵∠A= （∠B+∠C），
∵2∠A=∠B+∠C①，
∵∠A+∠B+∠C=180°②，
把①代入③得，3∠A=180°，解得∠A=60°，
∴∠B+∠C=120°③，
∵∠B﹣∠C=20°④，
∴③+④得，2∠B=140°，解得∠B=70°，
∴∠C=50°，
∴∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】先根据∠A= （∠B+∠C）可知 2∠A=∠B+∠C①，然后将①代入∠A+∠B+∠C=180°可知可得出∠A 的度数，进而得出得出∠B+∠C 的度数，再根据∠B﹣∠C=20°即可得出结论．
20．【答案】（1）解：由∠BHC 与∠EHD 是对顶角，得
∠BHC=∠EHD．
由高 BD、CE 相交于点 H，得
∠ADH=∠AEH=90°．
由四边形内角和定理，得
∠A+∠AEH+∠EHD+∠HDA=360°，
∠A+∠EHD=360°﹣∠AEH﹣∠HDA=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠BHC+∠A=180°
（2）解：由∠BHC 与∠EHD 是对顶角，得
∠BHC=∠EHD．
由高 BD、CE 相交于点 H，得
∠ADH=∠AEH=90°．
由四边形内角和定理，得
∠H+∠AEH+∠EHD+∠HDA=360°，
∠H+∠DAE=360°﹣∠AEH﹣∠HDA=360°﹣90°﹣90°=180°，
∴∠BHC+∠BAC=180°．
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【分析】（1）根据对顶角相等得出∠BHC =∠EHD ，在四边形AEHD中，根据四边形的内角和定理，可得结论；
（2）根据对顶角相等得出∠BHC =∠EHD ，在四边形AEHD中，根据四边形的内角和定理，可得结论.
21．【答案】（1）解：∠1+∠2=∠B+∠C，
∵如图 1，在△AED 和△ACB 中，
∠1+∠2+∠A=∠A+∠B+∠C=180°（三角形内角和等于 180°），
∴∠1+∠2=∠B+∠C（等量代换）．
（2）解：规律：α+β=2∠A．
理由：∵在△ADE 中，∠1+∠
2=180°﹣∠A（三角形内角和等于 180°），
在四边形 BCED 中，∠BDE+∠DEC+∠B+∠C=360°（四边形内角和等于 360°），
又∵根据题（1）得∠1+∠2=∠B+∠C（已证），
∴2（∠1+∠2）+α+β=360°（等量代换），
∴2（180°﹣∠A）+α+β=360°（等量代换），
∴α+β=2∠A．
【知识点】三角形内角和定理；多边形内角与外角；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和是 180°，解答即可；
（2）根据题（1） 的结论和四边形的内角和是 360°解答即可．
22．【答案】A
【知识点】三角形的外角性质
【解析】【解答】解：∵Rt△CDE中，∠C=90°，∠E=30°，
∴∠BDF=∠C+∠E=90°+30°=120°，
∵△BDF中，∠B=45°，∠BDF=120°，
∴∠BFD=180°﹣45°﹣120°=15°．
故选A．
【分析】先由三角形外角的性质求出∠BDF的度数，根据三角形内角和定理即可得出结论．
23．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；正多边形的性质
【解析】【解答】解：∵正五边形的内角和为（5﹣2）×180°=540°，
∴∠1=540°÷5=108°，
，故答案为： C.
【分析】所求角即为正五边形的内角，先利用多边形的内角和定理求出五边形的内角和，再根据正五边形的每一个内角都相等，用内角的总度数除以内角的个数即可算出答案.
24．【答案】（1）
（2）
【知识点】三角形的外角性质；探索图形规律；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵A1B 是∠ABC 的平分线，A1C 是∠ACD 的平分线，
∴∠A1BC= ∠ABC，∠A1CD= ∠ACD，
又∵∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，
∴ （∠A+∠ABC）= ∠ABC+∠A1，
∴∠A1= ∠A，
∵∠A=θ，
∴∠A1= ；
（ 2 ）同理可得∠A2= ∠A1= θ= ， 所以∠An= ．
故答案为：（1） ，（2） ．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠A1BC= ∠ ABC，∠A1CD= ∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A1CD=∠A1BC+∠A1，整理即可得解；
（2）与（1）同理求出∠A2，可以发现后一个角等于前一个角的 ，根据此规律即可得解．
25．【答案】85
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答解：∵∠ADF=100°，∠EDF=30°，∴∠MDB=180°﹣∠ADF﹣∠EDF=180°﹣100°﹣30°=50°。
∴∠BMD=180°﹣∠B﹣∠MDB=180°﹣45°﹣50°=85°。
【分析】利用平角的定义求出∠MDB的度数，再根据三角形内角和定理得出∠BMD的度数。
26．【答案】解：∵4∠C=7∠A，
∴∠C= ∠A，
∵∠A+∠B+∠C=∠A+∠B+ ∠A=180°，
∴∠B=180°﹣ ∠A，
∵∠A＜∠B＜∠C，
∴ ，
由①得，∠A＜48°， 由②得，∠A＞40°，
∴40°＜∠A＜48°，
∵∠A，∠C 是整数，∠C= ∠A，
∴∠A 是 4 的整数倍，
∴∠A=44°．
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【分析】先用∠A 表示出∠C，再根据三角形的内角和等于 180°列式整理用∠A 表示出∠B，再根据 ∠A＜∠B＜∠C 列出不等式求出∠A 的取值范围，最后根据∠A 是整数即可得出答案.
27．【答案】（1）65
（2）45
（3）40
（4）解：∠P=90°﹣ ∠A．理由如下：
∵BP 平分∠DBC，CP 平分∠BCE，
∴∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP
又∵∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP=∠A+∠ACB，2∠BCP=∠A+∠ABC，
∴2∠CBP+2∠BCP=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∴∠CBP+∠BCP=90°+ ∠A
又∵∠CBP+∠BCP+∠P=180°，
∴∠P=90°﹣ ∠A．
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的定义
【解析】【解答】解：（1）∵∠A=50°，
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣50°=130°，∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，
又∵∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点 P，
∴ ， ，
∴ =115°，
∴∠P=65°．
（ 2 ） ∵∠A=90°
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣90°=90°，∠DBC+∠BCE=360°﹣90°=270°
又∵∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点 P
∴
∴ =135°，
∴∠P=45°．
（ 3 ）
∵∠A=100°
∴∠ABC+∠ACB=180°﹣100°=80°，∠DBC+∠BCE=360°﹣80°=280°
又∵∠CBD 与∠BCE 的平分线相交于点 P
∴
∴ =140°
∴∠P=40°．
【分析】（1）若∠A=50°，根据三角形的内角和则有∠ABC+∠ACB=130°，根据邻补角的定义得出∠DBC+∠BCE=360°﹣130°=230°，根据角平分线的定义可以求得∠PBC+∠PCB 的度数，再利用三角形的内角和定理即可求得∠P 的度数；
（2）（3）和（1）的解题步骤相似；
（4） ∠P=90°﹣ ∠A．理由如下： 根据角平分线的定义得出 ∠DBC=2∠CBP，∠BCE=2∠BCP ，根据三角形外角的定理得出 ∠DBC=∠A+∠ACB∠BCE=∠A+∠ABC， 从而即可得出 ∠CBP+∠BCP=90°+ ∠A ，最后根据三角形的内角和定理即可求出结论.
28．【答案】（1）140
（2）∠1+∠2=90°+α
（3）解：∠1=90°+∠2+α，
理由：∵∠2+∠α=∠DME，∠DME+∠C=∠1，
∴∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α．
（4）∠2=90°+∠1﹣α
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；多边形内角与外角
【解析】【解答】解：（1）∵∠1+∠2+∠CDP+∠CEP=360°，∠C+∠α+∠CDP+∠CEP=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠α，
∵∠C=90°，∠α=50°，
∴∠1+∠2=140°； 故答案为：140°；
（ 2 ）由（1）得出：
∠α+∠C=∠1+∠2，
∴∠1+∠2=90°+α
故答案为：∠1+∠2=90°+α；
（ 4 ）设AC与PE相交于点F，
∴∠PFD=∠EFC，
∴180°﹣∠PFD=180°﹣∠EFC，
∴∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，
∴∠2=90°+∠1﹣α．
故答案为：∠2=90°+∠1﹣α．
【分析】（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；
（2）利用（1）中所求得出答案即可；
（3）利用三角外角的性质得出∠1=∠C+∠2+α=90°+∠2+α；
（4）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α+180°﹣∠1=∠C+180°﹣∠2，变形即可得出结论.
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